正方形轴对称性的应用

正方形轴对称性的应用

【教学目标】

1．让学生理解正方形的轴对称性，并能用于解决有关的推理、证明和计算等问题．

2．通过探索，进行观察、猜想、分析、归纳、推理，培养学生的发散思维能力，同时提高他们分析问题，解决问题的能力．

3．让学生体验数学活动的逻辑性和趣味性，同时增强他们解题的自信心．

【教学重点】对正方形的轴对称性的理解．

【教学难点】对正方形的轴对称性的灵活应用．

【教学过程】

一、知识回顾：

对称轴，今天我们就通过几个例子来初步探讨一下正方形的轴对称性在我们解题中的一些应用．

二、例题讲授：

1．求面积：

【例1】如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为AD 、BC 边的中点，点G 、H 分别为AB 、CD 边上的点，且BG =CH ，则图中阴影部分的面积之和为 ．

点拨：EF 所在的直线为正方形ABCD 的一条对称轴．

2．求线段和的最小值：

【例2】如图，已知在矩形ABFE 中，AB =4，AE =2．若G 为AB 上一点，且AG ＝1，P 为EF 上一动点，

变式：如图，正方形ABCD 的边长为4．若E 、F 分别为AD 、BC 的中点，G 为AB 上一点，且AG ＝1，P 为EF 上一动点，则PG ＋PB 的最小值为__________． 点拨：EF 所在的直线为正方形ABCD 的一条对称轴．

3．求角的度数：

【例3】如图，在正方形ABCD 中，∠DAF =25°，AF 交对角线BD 于点E ，则∠BEC =_______． 点拨：BD 所在的直线为正方形ABCD 的一条对称轴．

4．证明线段垂直：

【例4】如图，E 为正方形ABCD 的边AD 的中点，CE 交BD 于点F ． 求证AF BE ．

点拨：BD 所在的直线、AD 的中垂线均为正方形ABCD 的对称轴．

三、练习落实： 1．如图，已知正方形的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．

2．如图，正方形ABCD 的边长为4．若 F 为BC 上一点，且BF ＝1，P 为AC 上一动点，则PB

+PF 的最小值为 ．

3．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，F 为AD 上一点，BE 、BF 分别交AC 于M 、N 两点，若50EBF ∠=︒，则CME DNF ∠+∠=__________．

四、小结归纳：

1．正方形具有很好的轴对称性，对角线所在的直线和每组对边的垂直平分线都是它的对称轴；

2．灵活运用正方形的轴对称性，在解决与正方形有关的某些问题时显得简捷明了．

本节课我们通过四个例题，从不同角度体会了正方形轴对称性给我们解题带来的方便，只要同学们在今后的学习中积极思考、善于观察和总结，一定会有更多意想不到的收获．

五、作业巩固：

1．如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，连接EF ．若3PA =，则EF 的长为 ．

2．如图，正方形ABCD 的边长为4．若E 、F 分别为AB 、BC 上的点，且AE ＝2，BF ＝1，P 为AC 上的

一动点，则PF ＋PE 的最小值为__________．

变式：如图，正方形ABCD 的边长为4．

（1）若E 为AB 上一点，且AE ＝2，F 、P 分别为BC 、AC 上的动点，则PF ＋PE 的最小值为__________．

（2）若点E 、F 、P 分别为AB 、BC 、AC 上的动点，则PF ＋PE 的最小值为___ __．此时BE 和CF 之间的数量关系为：___ __．

*3．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连结PA 、PC ．在BC 上取一点E ，连结PE ，使得PE PC =，连结AE ，判断PAE △的形状，并说明理由．

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