轴对称图形基本念

轴对称图形基本念

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【本讲教育信息】

一、教学内容：

1. 基本概念：轴对称、轴对称图形，线段的垂直平分线。

2. 轴对称的性质。

3. 线段的垂直平分线的性质及判定

4. 尺规作图：轴对称图形的作法；作线段的垂直平分线

5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点。

二、知识要点：

1. 基本概念

（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：

区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。

联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2. 轴对称的性质：

（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。）

3. 线段的垂直平分线的性质及判定

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

4. 尺规作图

（1）如何作轴对称图形

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点

（2）作线段的垂直平分线

①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点，

②作直线CD。

CD就是线段AB的垂直平分线。

5. 关于坐标轴对称的点的坐标特点

点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（_____，_____）；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（_____，_____）。

三、重点难点：

1. 重点：①轴对称图形的性质；②线段垂直平分线的性质及判定；③关于坐标轴对称的点的坐标特点。

2. 难点：轴对称图形以及关于坐标轴对称的点的坐标特点。

【考点分析】

中考对本节内容考查的热点有轴对称图形的概念和性质，以及用轴对称、平移等知识设计图案。试题的难度较小，以基础题为主，题型以填空题、选择题为主，也有简单的作图题。

【典型例题】

例1.如图是由两个等边三角形组成的图形，它是轴对称图形吗？如果不是，请移动其中一个三角形，使它与另一个三角形一起组成轴对称图形，有几种移法？（至少画四种，相同类型的算一种），怎样移动才能使所构成的图形具有尽可能多的对称轴？

分析：每个等边三角形都是轴对称图形，都有三条对称轴。要使两个等边三角形组合的图形仍是轴对称图形，则它们至少有一条对称轴重合，要使组合后的图形的对称轴尽可能多，则要让这两个等边三角形的三条对称轴都重合。

解：不是。有以下几种移动方法（如图所示），其中，第3个图的对称轴最多。

评析：看似没有规律的题目，其实往往蕴含着规律，我们要善于发现其中的内在规律，这样解题才不盲目。

例2. 如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）

①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A

＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；

⑤∠ADC＝∠BDC＝90°

A. 2个

B. 3

个 C. 4

个 D. 5个

分析：由垂直平分线的定义可以直接得出①和⑤；由垂直平分线的性质可得出②；由△ADC≌△BDC可得到③和④。

解：D

评析：掌握线段垂直平分线的性质，能提供线段相等的思路，用于证明全等等其它问题。

例3. 写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。

（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）。

分析：求已知点关于坐标轴的对称点时，要用关于坐标轴对称的点的横、纵坐标规律。

解：（－2，3），（1，－2），（－2，－4），（0，2）关于x轴对称的点的坐标分别为（－2，－3），（1，2），（－2，4），（0，－2）；关于y轴对称的点的坐标分别为（2，3），（－1，－2），（2，－4），（0，2）。

评析：点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。

例4.（2007年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：

如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：

（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围。

（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）。

分析：由折叠的意义可知每次折叠后重合的部分是一个正方形，最后两端交叉处重叠了两个正方形，也就是说在这次折叠中总计有五个正方形，而每个正方形的边长是长方形纸条的宽xcm，那么由长方形的总长可得0＜5x＜26，即得x 的取值范围。对于第二小题根据图形得AP＝BM＝26－5x，而AM＝AP＋PM，PM ＝x。

解：（1）由折纸过程知：0＜5x＜26，∴0＜x＜。

（2）∵图④是轴对称图形，

∴AM＝＋x＝13－x，即点M与点A的距离是（13－x）cm。

评析：图形的折叠问题是要弄清折叠后有哪些条件可用，并利用好折叠后图形的轴对称性与三角形全等等一些重要性质，本题中的折纸关键是要注意到所折角度应为45°，由①到④时长方形的长至少不少于宽的5倍。

例5. 如图所示，已知线段AB，画出线段AB关于直线l的对称图形。

分析：如果图形是由直线、射线或线段组成时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连结对称点，就可以画出对称图形。

解：（1）画出点A关于直线l的对称点A'；

（2）画出点B关于直线l的对称点B'：

（3）连结A'B'，则线段A'B'即为所求。

评析：画已知图形关于某直线的对称图形：①对称轴是对应点连线的垂直平分线，②若对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

例6.要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。修在河边什么地方，可使所用水管最短？