高中数学复合函数练习题
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第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域
思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 例2. 若函数f x x ()= +1 1 ，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+1 1 ，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨ ⎩ 1 1() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1 11 1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{} x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。 例3. 已知f x ()32-的定义域为[] x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[] 3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[] x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[] -15， 例4. 已知f x x x ()lg 2 2 248 -=-，则函数f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2 2248-=-，知x x 2 2 8 0-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以 x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞ （3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。 例5. 若函数f x ()2的定义域为[] -11，，则f x (log )2的定义域为____________。 解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[] x ∈-11，，由此得21 22x ∈⎡⎣⎢⎤ ⎦ ⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤ ⎦ ⎥ 又f 对log 2x 作用，所以log 21 22x ∈⎡⎣⎢⎤ ⎦⎥，，解得[ ] x ∈ 24， 即f x (log )2的定义域为 [ ] 24， 评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。 （二）同步练习： 1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2 的定义域。 答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。 答案：]9,3[- 3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。 答案：) 23,1()0,2 1(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。故22,2 22 2.x x ⎧ -<<⎪⎪ ⎨ ⎪-< <⎪⎩，解得() ()4,11,4x ∈--。故⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4-- 5、已知函数)(x f 的定义域为)23 ,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a a x f ax f x g 的定义域。 ［解析］由已知，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧<<-<<-.232 , 2321, 232 1,232 1a x a a x a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2 3 21|{<<- x x ； （2）当a a 23 23>，即10< 21a a ->-， 定义域为}23 2|{a x a x <<-； （3）当a a 2323<，即1>a 时，有2 21a a -<-， 定义域为}23 21|{a x a x <<-. 故当1≥a 时，定义域为}23 21|{a x a x <<-； 当10< 3 2|{a x a x <<- ［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。