第6章热量传递概论与能量方程
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第六章
1. 试根据傅立叶定律，推导固体或静止介质中三维不稳态导热的热传导方程。设导热系数为常数。
解：如本题附图所示，将热力学第一定律应用于此微元体得
（微元体内能的增长速率） =（加入微元体的热速率） 采用欧拉方法，上述文字方程可表述如下，即
dxdydz Q dxdydz U
θ
ρθρ∂∂=∂∂∙
（1） 式中，ρ为微元体的密度，dxdydz 为微元体的体积，ρdxdydz 为微元体的质量。
加入流体微元的热速率有三种：一为由环境导入微元体
的热速率；二为微元体的发热速率，用q
表示，其单位为)s m /(J 3
⋅；三为辐射传热速率，一般温度下其值很小，可忽略不计。
由环境导入微元体的热速率，可确定如下。
如图所示，设沿三个坐标方向输入微元体的导热通量分别为x A q )(、y A q )(和z A q )(，由于微元体沿各方向的导热系数相等，则沿x 方向输入微元体的热速率为x A q )(dydz
，而
沿x 方向输出微元体的热速率为
dydz dx A q x A
q x x ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∂∂
+
)()(
于是，沿x 方向净输入微元体的热速率为
dxdydz x t k dxdydz A q x dydz dx A q x A q dydz A q
x x x x 22
)()()()(∂∂=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂-=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-
同理，沿y 方向净输入微元体的热速率为
dxdydz A q y y ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂-
)(dxdydz
y
t k
2
2
∂∂=
沿z 方向净输入微元体的热速率为
dxdydz A q z z ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-)(dxdydz
z
t k
2
2
∂∂=
于是，以导热方式净输入微元体的热速率为
2
2
2
22
2
()t t t k dxdydz x
y
z
∂∂∂+
+
∂∂∂
由于向微元体中加入的热速率为导热速率与微元内部发热速率qdxdydz 之和，故式（1）
右侧可写为
习题1 附图
dxdydz q
dxdydz z
t y
t x
t k dxdydz Q ++
+
=∂∂∙
)(
2
2
2
2
2
2
∂∂∂∂∂∂θ
ρ
从而能量方程的形式为
q
)z
t y
t x
t (
k U ++
+
=∂∂2
2
2
2
2
2
∂∂∂∂∂∂θ
ρ
又 ∂θ
∂ρ∂θ
∂ρ∂θ
∂ρ
t c t c U p
v
≈=
故
2
p
p
t k
q
t c c θ
ρρ∂=
∇+
∂ （2）
或
k
q t t
+
∇=2
1∂θ
∂α （3）
式（2）或（3）即为固体或静止介质中三维不稳态导热时的热传导方程。
2. 某不可压缩的粘性流体层流流过与其温度不同的无限宽度的平板壁面。设流动与传热均为稳态过程，壁温及流体的物性值恒定。试由普遍化的能量方程式（6-22）出发，简化成上述情况下的能量方程，并说明简化过程的依据。 解：
① 无内热源，式（6-22）中的q
=0； ② 层流流动，因速度较低，可假设φ=0； ③ 不可压缩流体流动，故0y x z u u u x
y
z
∂∂∂+
+
=∂∂∂。
于是式（6-22）可简化为
t
k D DU 2
∇=θ
ρ
（1）
根据定义，上式中的U 可表示为
t c U v =
式中，v c 为定容比热容，对于不可压缩流体或固体，v c 与定压比热容p c 大致相等，则当p c 为常量时，式（1）变为
t
k D Dt c p
2
∇=θ
ρ （2）
或
t
D Dt 2
∇=αθ
（3）
式中，p
c k
ρα=
则
t
D Dt 2
∇=αθ
（4）
④平面二维流动，0z u =
⑤板壁无限宽，0t z
∂=∂ ，
2
0t z
∂=∂
则式（4）变为
2
2
2
2
(
)x
y
t t t t t u u x
y
x
y
αθ
∂∂∂∂∂++=+
∂∂∂∂∂ （5）
稳态过程 2
2
2
2
(
)x
y
t t t t u u x y
x
y
α∂∂∂∂+=+
∂∂∂∂ （6）
3. 有一厚度为L (x 方向)的固体大平板，其初始温度为0t ，突然将其与x 轴垂直的两端面的温度升至s t ，并维持此温度不变。已知平板内只发生沿x 方向的导热。试由一般化的热传导方程式（6-27）出发，简化成上述情况下的热传导方程，并写出定解条件。
解：热传导方程式（6-27）为
2
1t
q t k
αθ
∙
∂=∇+
∂
① 固体平板内无热源， 0q ∙
= ② 平板内只发生x 方向的导热，t y
∂∂，
0t z
∂=∂，
2
2
2
2
0t t y
z
∂∂=
=∂∂
从而热传导方程化为
2
2t t x
α
θ
∂∂=∂∂
定解条件为
0θ= , 0t t =（对于任何x ）； 0x = , s t t =（0θ>）； x L = , s t t =（0θ>）
4. 试由柱坐标系的能量方程（6-31）出发，导出流体在圆管内进行稳态轴对称对流传热时的能量方程，并说明简化过程的依据。设z »r 。
解：能量方程（6-31）为
D t D αθ='
〔2
2
2
2
2
11()t t t r
r r
r
r z
θ
∂∂∂∂+
+
∂∂∂∂〕
① 稳态，0t θ∂='
∂