中考数学压轴题专题突破二次函数中的面积问题

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的面积问题

1．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．

（Ⅰ）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

2．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”．锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图1所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．

（1）求C1和C2的解析式；

（2）如图2，过点B作直线BE：y＝x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，

在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；

（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ 的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

3．如图1，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，过点A 的抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）求a，b的值；

（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC 于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点P为线段OA上的一个动点（与点O、点A不重合），以点O为圆心、以OP为半径的圆弧与线段OC交于点M，以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点N，连接MN．在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．

4．已知直线1：y＝kx+b满足2k﹣b＝﹣6，抛物线y＝ax2（a≠0），O为坐标原点．（1）若a＝1．

①判断直线1与抛物线y＝ax2（a≠0）的交点个数，并说明理由；

②若点O到直线y＝kx+b的距离为2．求k和b的值；

（2）若直线1与x轴、y轴分别交于A、B两点，且该直线过第一、二、四象限，tan∠ABO＝．将抛物线沿y轴平移，点P是平移后抛物线上任意一点，当P的横坐标为时，△P AB面积有最小值，且最小值为4，求平移后的抛物线解析式．

5．已知：抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），点B在x轴的正半轴上，OC＝3OA（O为坐标原点）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线上的一个动点且在x轴下方和抛物线对称轴的左侧，过E作EF∥x 轴交抛物线于另一点F，作ED⊥x轴于点D，FG⊥x轴于点G，求四边形DEFG周长m 的最大值；

（3）设抛物线顶点为P，当四边形DEFG周长m取得最大值时，以EF为边的平行四边形面积是△AEP面积的2倍，另两顶点总有一顶点Q在抛物线上，求Q点的坐标．

6．如图1，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与双曲线相交于点A、B．已知点B的坐标为（﹣

2，﹣2），点A在第一象限内且纵坐标为4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）在抛物线y＝ax2+bx的对称轴上有一点Q，设w＝BQ2+AQ2，试求出使w的值最小的点Q的坐标；

（3）在图1的基础上，点D是x轴上一点，且OD＝4，连接CD、AD（如图2），直线CD交y轴于点M，连接AM，动点P从点C出发，沿折线CAD方向以1个单位/秒的速度向终点D匀速运动，设△PMA的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）．