进才中学特级教师张雪明为您在线解读数学高考卷

进才中学特级教师张雪明为您在线解读数学高考卷今年数学考卷的难点和创新在哪里？新一年的高考备战已经开始，今年的高考数学试卷能给我们些什么启示？刚刚进入高三的的学生们应该怎样安排复习？
2008年6月11日（周三）17：30—18：30，上海市进才中学特级教师张雪明做客东方网嘉宾聊天室，为您解读数学高考试卷，分析命题趋势，为考生们备战数学高考提建议。

[嘉宾介绍]
张雪明，进才中学数学教师，学校研究发展处主任。

先后被评定为江苏省特级教师、上海市特级教师。

主要学术兼职有：中国数学会会员，北京全品教育研究所研究员，浦东新区中学高级职务评审委员、专家组成员，上海市教科院带教导师，《高考（沪版）》杂志学科主编。

在多所大学开设过教师培训课程。

致力于课程与学科教学论的研究与实践。

曾分别主持区、市级课题4项，获得市级以上教育科研成果奖10余项。

在全国有影响的专业期刊上发表论文50余篇，主编、著述各种书籍40余册。

[聊天实录]
[主持人]：各位网友大家好，欢迎你收看东方网嘉宾聊天室节目。

昨天我们请到一位特别好的语文老师跟我们点评今年高考语文试卷的作文，今天我们非常荣幸请到上海进才中学的数学老师。

[嘉宾张雪明]答：各位网友大家好。

[主持人]：可能很多考生都说数学很难，有些考生觉得还可以，不知道为什么，可不可以说一下今年的试题？
[嘉宾张雪明]答：有的考生说难，我们应该有一个标准来比。

难有两个方面，一个纬度是从技巧上面，脑筋急转弯，想得到就做出来，想不出来就做不出来。

另外一个难就是突出学科素养，即便有些问题看上去非常简单，但是对于一部分同学也有难度，原因是在设计的时候我们把它的学科素养，它的思维品质这一方面人为地设计在里面。

你比方说它里面有一个小问题，就是第9题是一个统计学的问题，是一个样本，样本里面有若干个数要我们确定它里面的中数大小。

那么中数是一个简单的概念，如果这个概念搞清楚了，这个题就很容易找到中数，知道中间两个和。

只要理解方差的含义，方差是表达正负的量，让方差小让这两个数尽可能接近，就口答是10.5，但是对于大部分同学来说这部分就丢分了。

我觉得今年的难度与去年相比更温和一点，能力不比去年要求低。

[主持人]：有可能答题系数不会那么大，但是也有学生会认为不会答，有些可能不是说你平时多看一些题就可以了？
[嘉宾张雪明]答：对，我们认为老做题带来一些惯性，反而对解答带来困难。

比如说倒数第二题，是求一个轨迹问题，最终是按照变化动点在一个已知轨迹上变化，Q点落在X轴对称的抛物线上，由于我们大量作题已经定格了，认为与X轴对称就是标准的相左相右，这样做出来虽然得到一部分分，但是第三小题大量的分就得不到的，因此做题太多造成思维定式就会不能把一些题目产生冲击力，第一次读反而有冲击力，可能都预料到，由于做得多反而造成读题的偏差。

[主持人]：但是我们平时一直在说数学一定要多做，到现在张老师却跟我们说也许做多了不太好，我觉得还不是很能理解。

那我们平时作题的时候要多作题又不能作多，这怎么把握呢？
[嘉宾张雪明]答：数学是做出来，华罗庚就这么说的。

在做题当中悟一些东西，从而对学科的背景和素养有一些提高，从而能够对学科本质的地方抓得比较牢，这就是所谓的以不变应万变，因为了解了背后的东西才能掌握全局性。

但是同时如果同质化的问题，类似的问题我们每天都在做，这样是不对的，因为会导致思维的惯性产生。

所以我们认为如果你对非同质化的问题，你做得比较多，这个一般情况下反而可以提高你的思维品质。

但是我们平时的这些习题如果不加区分就有同质化的现象。

这样做下去就是所谓的题海，所谓题海与做题多这不是一回事。

[主持人]：就是说不能千篇一律做一样，应该换着花样来。

[嘉宾张雪明]答：也就是你选择的时候最好让老师帮你选择，比如说你作业选择哪一本书，他给你建议，甚至帮你怎么做，哪些要做，哪些不要做，做一个大概的考量规划，不要盲目一本一本拿过来做题。

还有一个现象，就是有的同学一本书总是做某一块，比如说函数，他做厌恶了丢掉，然后换一本还做这一块，还把大部分都舍弃了，导致同质化严重，其他地方一片荒芜。

[主持人]：我想知道今年看卷子之后，张老师有没有觉得有什么题很出乎意料或者很新颖的题，有吗？
[嘉宾张雪明]答：这样的题有，而且不止一处。

比如说第9题统计的问题，这个问题我们一直在想，该考但是怎么考，如果你出一个求方差或者求标准差、均数这样东西很傻，因为只是让学生算一下就可以了，这个考察是没有任何价值了。

而我们命题者利用这个考虑中数的基本概念，更考察了方差的数值，为什么在统计学里面把方差提出来，而且作为统计学里面一个考察社会现象重要的量。

由于你把握它的背景，你知道方差是描述变化幅度，这样在解答题的时候就无需计算。

再比方说第10题，我非常欣赏什么地方呢？它很美，因为在生活当中的确有这样的现象，它是一个海岛，四周是海平面，浅水区是椭圆，正好在焦点上有两个灯塔，高度不太一样，然后反映到仰角上，这样使船判断是否在浅水区或者深水区。

生活当中可能是其他复杂的曲线，但我们同学了解这个模型就足够了，他走到社会可以利用这样的感觉去构造一个更复杂的模型解决这个问题。

所以它很好为我们的学生提供一个生活的背景，同时让他们觉得数学是有价值
有用的，而且里面没有复杂的计算或者脑筋急转弯，非常好。

再一个创新我觉得倒数第二题，可能考生觉得比较困难，里面实际上是一个代数变换，就是把坐标A、B变成1/A和1/B怎么办，命题者希望学生从里面达成变换、分类讨论等等这样的过程，所以对他考察比较全面。

最后一题也蛮有新意，最后一题的特点在于它一点都不难，但是能力特别高，为什么不难，我们可以看一看，它的递推关系一个是等比一个是等差，也就是数学第一课学的东西，而且思想和方法上面第一个让他升华，然后不完全归纳逐步达到一般。

所以从思想方法的考察到知识点的考察非常简单，最终想顺利解决最后一个问题，这要求很高的，我个人以为第三题可能有相当比例的学生在这里落下马来。

事实上如果他能够把数学里面最基本的方法就是数学里面的不完全归纳这个最基本的思想运用到此处，他舍得花时间在草稿纸上进行演算，大部分同学都可以拿分。

如果觉得难就是对里面深刻认识缺少归纳。

[主持人]：我觉得你经常跟我提到对它非常本质的理解，而且经常说难度不高，但是能力要求很高。

我们也看到有一个网友是一位考生家长，他说我在网上看了，都说比07年的难，听孩子讲今年考题要转一个弯思考，可能时间不够，物理难度太大，跟化学相比就亏了。

这位家长说的转个弯的思考是不是就是能力上去理解呢？
[嘉宾张雪明]答：我觉得就他的话说我觉得是蛮有道理的。

因为他在这儿说的转个弯并不是我们所讲的脑筋急转弯，我们在数学里面要排斥脑筋急转弯，但是生活的东西经过考生数学化，能够画出数学的模型解决生活的现象。

那么这个是数学的东西，因为数学的最终追求也是想达到这一点，数学化的能力。

因为一个学生被我们经过数学的熏陶和培养，除了基本的知识以及过程和方法，最终还有科学的语言以及思维的方式，如果说能够把这样一些弯给转过来这是我们追求的。

实际上这个弯要想转好，一个就是要对数学有一个悟性。

我们脑筋急转弯的题可能考生解不好，学生也解不好，所以数学要转生活和数学这个弯，今年这个方面体现的比较多。

第二个弯就是数学的基本哲学层面的方面，我说的可能有一点深奥，但是事实上这真的很简单。

有的时候我们同学就会体会到，老师说这个方法我们可以归纳一下，找几个特例画一下，最后发现眉目，找到一般的方法解决了。

这个在一般人看来觉得这个没有意思，还要找几个特例，明显没有数学修养，这是数学的大修养。

一看找到一个技巧，一下子解决了，找不着这个技巧就谁也没戏，那不能要的。

所以今年的试卷应该说有拐弯的地方，但是这个弯大部分还是值得一拐的。

[主持人]：面对这样一个难度不大，但是能力要求很高的考题，我相信很有一部分考生被难倒了。

作为要进入高三复习的学生，他们面对这样的问题，需要能力的时候，在一年之中怎么快速提高自己的能力呢？
[嘉宾张雪明]答：应该说没有一个确切的或者一个万能的回答，这个原因在于即便我的回答是比较准确的，在理解上、在后面的操作上会出现一些很大的变化。

所以，我们只能够提供一种理念，根据这种试卷，
或者说我们数学教学的现状以及高考的双重任务，一个人要测量要区分要选拔人才，同时要弘扬数学的精神，最终要把数学作为人的一种素养一种品质，传递下去。

所以这个大方向变不了，考察能力让他回归数学本源，这些都不可更改。

特别是以往一些窍门可能改为通则通法，也就是数学的一些原则，一些方法要凸显出来。

按照这样的一个设想，我个人以为在目前这几个体现能力的方面，它在以后的考卷当中只能更加弘扬和广大，上海的试卷应该说在前面，在全国都起到一定的示范作用，每年都有所创新，有些创新已经在全国得到推行和认可。

所以，这个高举素质教育的大旗，把能力考察作为方向，把高考作为引导教学走向更好方向的指挥棒不可更改。

这些调子定下来以后就可以做一个复习上的判断。

我觉得给考生提四个方面的想法：第一，复习一定要全面，不能偏，不能复习一年以后有的地方复习得很厚实，有的地方连见都没有见过。

所以考完之后有的学生问什么叫做中位数，什么叫做众数，方差又是什么？本来这是一个送分的，但是没有送出去。

再比方说第17题扇形的题，三角函数的题，这个题非常简单，但是很多同学在这个地方出现麻烦，影响整个试卷的发挥，所以又有的同学说又是三角函数害了我，导致在后面的试题以及后面两个学科考不好。

我来描述一下，它总归是一个扇形，扇形是圆的一部分，AD是半径的一部分，如果仅仅盯着这个线来做肯定做不好，因为圆心是确定位置的，半径是确定大小的，这两个量永远是解决圆相关问题的源泉，所以应该想到连接CO这条半径，一旦连接起来，你就发现定律就出来了。

所以想法很重要。

作为一个素养我觉得圆肯定圆心、半径，对这个概念认识的深度就非常深，因此是3分钟解决，还是30分钟害在里面差距非常大。

所以第一个要注重全面，不能在某个地方有缺漏。

[嘉宾张雪明]答：第二个要重视数学基本方法，不能把一个做题的技巧捏在你的听课笔记上面。

一个方法、两个方法、十个方法，最后考卷里面出来是第十一个方法，他还不会。

那怎么办呢？就要掌握最一般的方法。

像最后一题只要是不完全归纳用上来可能做出80%，大部分同学都可以从基本往下做，能做多少得多少分。

所以基本的方法就是我说的哲学层面的原方法，归纳呀、演算呀、类比呀。

第三，重视思维的独立性。

你一年时间千万别把自己完全交给老师，也不要把自己完全交给例题，有解答的，他看别人怎么解，老师讲给我听的，换句话说我没有自己了，我没有自己脑袋了，我是一个容器，别人告诉我赶快记下来，我抄笔记，所以我记了很多，但是我自己没有主张。

那么题目能够产生差距，就是那几个创新的问题，那几个地方你如果没有自己的想法，没有人告诉你，也没有见过，所以你只有等老师讲给你，但是考场上不会有老师讲给你听，只有两个老师是看着你的，不是讲给你听的。

所以你要保持想法，该自己做的事情要慢慢自己完成，别怕耗时间，半个小时做一道题与半个小时听十道题效果不一样，我的意思是前者更重要，后者是积累，积累的是经验，前者积累的是智慧，最终达到一定程度以后还是靠这个。

第四，就是慎
重题海战。

我们第一轮复习要做大量的题，数学特点就是这样的，但是的确量有一个量，以覆盖大概知识点为准，掌握基本的智能为准，发展自己的思路。

[主持人]：我有一个问题，张老师最开始说复习要全面。

但是你想只有一年的时间又分几轮的复习，在这个里面要抓全面的话，可能每个点都抓到但是每个点都不深，特别是基础比较薄弱的时候，出现问题的时候，他会说确实我哪儿都想覆盖，但是确实哪儿都覆盖不了。

是不是可以画一下重点，把重点突击一下就可以了，你认为呢？
[嘉宾张雪明]答：事实上一旦考能力你靠题目覆盖的战术肯定要失效，所谓的全面性并不是说你要做一千道题就更全面，题目永远全面不了。

就是简单的因式分解可以做无穷无尽的题，你光做因式分解可以吗？因此我所说的全面性就是对它的基本知识，基本概念要理解。

还是回到第9题，方差最小，什么叫做方差最小，也许你做一千道题都是求方差的，你没有覆盖这个知识点。

那么认识的全面在于方差这个知识点发生的过程，为什么人们要创立这个方差，难道就是想让我们成千成万的考生做这个结果吗？它是人类文明一个工具呀，它为了描述整个社会的现象，这样一个工具说明它刻画了一个稳定性，如果你理解这个含义这一道题是不需要算的，连计算器都不要算。

所以需要全面性，深刻地领会，理解那些基础知识、基本概念，比方说什么叫做奇偶性，什么叫做反函数，这些概念要真正理解，而不是说我做了一千道求反函数，我做了一万道判断奇偶性的，但是背后的东西的由来以及发生的过程是否明白。

抓住这些东西，才能真正抓住基础。

[主持人]：就是我们进行复习的时候包括书本里面的基础点，你都不能漏掉。

还有刚刚张老师说用一般的方法想一个问题，但是其实有很多数学题，尤其是做试卷的时候，最后几道题觉得很难，我们经常想老师是不是想到一些曲折的解法，是不是跟这个题类似，可以用来解答。

如果想到一般的解法比方说像归纳，我想大多数考生都不敢相信，这么简单的方法用到最后一道题是不是有一点玄呀。

[嘉宾张雪明]答：对，所以考生要克服认知上的偏差。

我们总是希望接触题目多，把解题的技巧整理成一个网络，把后面的大鱼用网络一下子捞出来。

但是我们发现有很大的问题，为什么？这个网络我们永远不可能编织得很完美，因为它的方法，它的策略是无穷无尽的，只有一部分断了，你花了很大的功夫，但是鱼还会漏掉。

你应该发现只要不是现在看以前的试卷，如果当时都是第一次面对这个试卷的时候，你发现后两题都是不可能，或者基本上不可能。

可能是去年的，现在慢慢归纳得到一般的结果。

但是明年最后两题是什么，你能够预计吗？不可能。

因为命题有命题人的想法，他说我命出来的东西被人预见到了，这个题就失败了。

所以在这儿应该是解放思想。

你看我们后面的两题，它里面的方法的确都不是很技巧性的东西，你像最后一题，我们用归纳从特殊的慢慢向一般的去出发，倒数第二题事实上也是把里面的代数变
换揭示出来，然后往里面代换最后进行分类讨论。

它里面这些东西就带入化解，你说这能叫做技巧，这都是我们平时傻傻地做题方案或者想法思路。

说明大智慧就存在于最前面的基本层面。

我们说知识是一个链条的，知识的链条第一个扣它用的是什么？那是最重要的，那里就蕴含着大智慧。

我们演绎了很多次，发现技巧很有创意，通常会落入脑筋急转弯。

所以有些题全班没有人做出来，老师是看了答案才会，我觉得那些题没有思考价值，为什么呢？因为陈景润也不会，那不是数学，应该区分开来。

[主持人]：有很多考生希望张老师分析一下试卷里面的题目，我觉得对他们勇气很佩服的，因为确实需要很大的勇气。

张老师可以把第9题或者倒数第二题给大家讲一下吧。

[嘉宾张雪明]答：我只能在空中心灵的一种交流吧。

[主持人]：大多数都是参加过考试还是有一些印象的。

[嘉宾张雪明]答：比方说第9题统计，里面数据是2337AB、12、18.3、20，然后中位数是10.5，什么叫做中位数呢？就是从小到大排成一排中间就叫做中位数，然后它统计学里面描述状态的量，就是没有平均数来的更有价值，但是它在某些情况下有价值。

如果要是偶数，中间就没有这个数了，那中间有两个，就应该把中间两个加起来除以2就得到，现在中位数是10.5，所以A+B除以2等于10.5。

然后要求方差最小，方差是描述震荡幅度的，所以要求把每个数与平均数做差，取其平分累加起来除以N，这组数据围绕平均数震荡的幅度有多大，震荡越大说明偏离得远。

现在要求最小，当然A、B偏离平均数要总体平均越小越好，这样我们就可以推演一下，也可以直观判断一下当然AB两个正好相等偏差是最小的，所以就可以口答AB相等都是10.5，这样的问题就解决了。

如果考生知道中位数，这应该是初中里面学的大部分考生都知道，关键是体会方差的含义，而不是说表面的现象怎么算的，根本就不要算。

这是一个题目可能给考生带来一定的困难。

那么第10题，我刚才说这个题很美，我真的喜欢这个题。

它就可以把数值的高度用圆角反演成地下的焦点到平面的距离，正好利用焦点椭圆上的点到两个焦点为定制这一条，描述到底在椭圆内还是椭圆外，我想你听到我的话肯定会写好。

第11题也非常有特色，这个题先给了一个简单的背景题，把X除过来构造成两个函数图象，让我们考虑另外两个更高层次的方程根，我们把X除过来就是三次的基函数，通过对称性数性结合就很容易得到A的曲直范围。

那么第15题就需要有一种语言的能力了，刚才说了培养考生最终就是科学的语言，由于学数学考察问题、分析问题、描述问题很严谨，富有逻辑性，所以作为语言第15题出的很有特别的地方，它需要考生把语言划归为一种对图形上点之间关系的一种判断。

这样就容易读出来，最后答案是DA，应该符合递增连续的状态。

如果说17题也会让一部分孩子出现问题的话，我刚才已经说了可以连接CO创造一个半径，这样在DOC里面用余弦定律可以解决，非常简
单，三步，一步是连，一步是余弦定律，第三步就是答了，问题是想到连这个，因为要记住在圆里面没有半径你什么事也做不了。

[嘉宾张雪明]答：其他就是最后两题有一点难度，最后两题第三题如果大部分考生做到这儿，把关于X 轴对称的抛物线可能会不把它一般化，是把顶点放到圆点，就得到另外一个就是抛物线什么也没有，8分可能就扣了5到6分。

如果说他要是能够把一般性得出来，最后写出这一题应该不算太难，一些优秀的学生能够想到。

但是也会有很多同学想不到，想到就可以做好，想不到就做不好，这也是我对整个试卷，如果有一点个人看法的话，就是在这里的设计，我觉得有一点不是最好。

最后一题还是那句话，如果现在拿到这个试卷听我的，就是用归纳的方法一个一个往后算，就会发现这里面真的不太难，实际上算了三步以后就会发现里面隐藏一个周期的数据，所以后面第二题就迎刃而解了，但第三题作为把关题无论怎么样，对于问题的表述，数学的一种表达，作为一种语言的应用深刻程度要求非常高，所以会出现丢分。

综合起来，如果让我给考生一个整体的得分点预期，我觉得可能在这几个地方他们会造成比较多的丢分。

一个是第9题可能因为对于统计学这个概念丢分，另外一个就是第11题对于语言的把握可能会出现偏差，导致他和被减的题产生分离，可能会丢分。

第15题可能根本就读不懂，这也可能会导致失分，这样就是3个地方12分了。

还有部分同学对于17题那个三角题耗费时间，也有个别同学会丢分。

另外就是最后两题的第三题，应该说21题的第三题相当部分的同学都要丢掉。

倒数第二题的第三小题可能部分同学被不严谨遗漏丢掉，这样看起来12分再上5分，再加上最后第三小题6分，如果是一个成绩不错，发挥又非常的正常，123分要得到的话这是值得恭喜一下的。

[主持人]：当然还要看分数，分数没有到123分不要太紧张，因为可能很多学生觉得能力上的测试不是很熟悉。

我今天看了一下，今年的试卷答案还没有公布出来，可能考生对答案比较关心，关键的大题究竟怎么样，张老师能不能小小透露一下。

[嘉宾张雪明]答：我只能报一下答案了，不知道能不能记下来。

以理科为例，文科再报一下。

刚才提到基本上是理科的特点，文科实际上今年和理科有部分交叉，而且交叉似乎比前年要多。

但是，还是那句话，我个人以为文科也不是比去年难，还是能力问题，所以文科今年不可能像前年那样，也不能像去年那样悲惨，今年的区分度蛮大的，因为能力性的考试容易出现这样。

[主持人]：可能高分同学不多。

[嘉宾张雪明]答：可能同学小题不一定记得。

[主持人]：也许号数跟答案也对不上。