初中数学-勾股定理证明
勾股定理的十种证明方法
勾股定理的十种证明方法勾股定理是我们初中时就接触到的重要定理，也是数学史上最为著名的定理之一，在几何运算和三角函数中都有广泛应用。
其说法是：在直角三角形中，直角边上的平方和等于斜边上的平方，即 a^2+b^2=c^2。
本文将会介绍十种不同的证明方法，每种证明方法都体现了数学思维中的不同角度与方法。
1. 几何证明方法这种证明方法是最早的证明方法之一，它主要通过图形来证明定理的正确性。
我们可以通过构建一条边长为 a 和一条边长为 b 的正方形，再以这两条正方形的对角线为直角边构建一个直角三角形，即可证明勾股定理。
2. 相似三角形证明方法这种证明方法主要通过相似三角形来证明勾股定理的正确性。
我们可以画出一系列相似的三角形，来证明斜边和直角边之间的关系。
3. 数学归纳法证明方法根据数学归纳法，证明当 n=1 时定理成立，当 n=k 时定理成立，则推出 n=k+1 时定理也成立。
此证明方法需要适当运用代数知识来完成。
4. 三角函数证明方法使用三角函数来证明勾股定理也是一种有效的证明方法。
通过使用正弦、余弦、正切等函数来证明斜边和直角边之间的关系。
5. 向量证明方法通过考虑向量的长度和夹角关系，证明斜边和直角边之间的关系。
此方法依赖于向量的基本运算和性质。
6. 代数证明方法这种证明方法主要依赖于代数计算的过程，可以通过平方、开方、因式分解等方法来证明定理的正确性。
7. 微积分证明方法从微积分的角度来考虑勾股定理，可以通过求导和积分的运算关系来证明斜边和直角边之间的关系。
8. 数组和矩阵证明方法运用数组和矩阵的运算来证明勾股定理的正确性，需要适当了解数组和矩阵的基本运算和性质。
9. 物理学应用证明方法勾股定理在物理学中也有广泛的应用，比如在机械学中，勾股定理可以用来计算质点的速度和加速度。
10. 函数图像证明方法运用函数图像的特点来证明勾股定理的正确性，需要适当了解函数图像的特点和性质。
对于一些特殊的函数，也可以通过对其函数图像进行研究来证明定理的正确性。
直角三角形三条边的长度关系
直角三角形三条边的长度关系直角三角形是初中数学学习中的一个重要内容，它的性质和应用广泛存在于各种数学和物理问题中。
在本文中，我们将探讨直角三角形三条边的长度关系。
一、勾股定理在直角三角形中，最著名的定理就是勾股定理。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理可以用数学公式表示为：$c^2=a^2+b^2$其中，$a$、$b$分别表示直角三角形的两条直角边的长度，$c$表示斜边的长度。
勾股定理的证明可以用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯的证明是通过构造一个正方形，利用几何关系来证明勾股定理的。
二、三角函数除了勾股定理之外，三角函数也是直角三角形的重要内容。
三角函数是指正弦、余弦和正切三种函数，它们是角的函数，可以用来描述直角三角形中的各种关系。
正弦、余弦和正切分别定义为：$sintheta=frac{a}{c}$$costheta=frac{b}{c}$$tantheta=frac{a}{b}$其中，$theta$表示直角三角形的一个角，$a$、$b$、$c$分别表示直角三角形的三条边。
三角函数可以用来求解直角三角形的各种问题，例如已知某个角度和一个边长，可以用三角函数求出另外两个边长。
此外，三角函数还有许多重要的性质和应用，例如在物理学中的波动问题中，三角函数是不可或缺的。
三、三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形的三条边之间还存在着一些特殊的关系。
这些关系可以用来求解一些直角三角形的问题。
1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根乘以2。
2. 黄金比例黄金比例是指一条线段被分成两段，其中一段与整条线段的比值等于另一段与这一段的比值。
在直角三角形中，斜边与直角边的比值就是黄金比例，它的值为$frac{1+sqrt{5}}{2}$。
3. 三边比在一些特殊的直角三角形中，三条边之间存在着一些特殊的比例关系。
初中数学-勾股定理16种证明方法
勾股定理的16种证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++, 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上,B 、F 、C三点在一条直线上,C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形,它的面积等于()2b a +. ∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）, 以c 为斜D 边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º,∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形,它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形,它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED,C∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c,∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理,HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S,则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC,交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ,垂足为M;再过点F 作FN ⊥PQ,垂足为N .∵ ∠BCA = 90º,QP ∥BC, ∴ ∠MPC = 90º, ∵ BM ⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90º,∴ BCPM 是一个矩形,即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º, ∴ ∠QBM = ∠ABC,又∵ ∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c, ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H 、C 、B 三点在一条直线上,连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE,交AB 于点M,交DE 于点L . ∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,∵ ΔFAB 的面积等于221a,ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半,∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证,矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ,即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过点C 作CD ⊥AB,垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中,∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º,∠CAD = ∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB, 即 AB AD AC •=2.同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 AB BD BC •=2. ∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+,即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ）,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC,AF 交GT 于F,AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF,垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直,垂足为E,DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º,∠PAC = 90º, ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º,∠BCA = 90º, AD = AB = c,∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .K∴ DH = BC = a,AH = AC = b . 由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b,AP= a,从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a,∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º,∠DHF = 90º,∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º, ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF,TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形,上底TF=b ―a,下底BP= b,高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图）,则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 = ab b 212-, 985S S S +=,∴824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①,得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ）,斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º,∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º,BT = BE = b, ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º,∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º,∴ ∠GHF = ∠DBC.R∵ DB = EB ―ED = b ―a, ∠HGF = ∠BDC = 90º,∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG,垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º,可知 ∠ABE = ∠QAM,而AB = AQ = c,所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM,又得QM = AE = a,∠AQM = ∠BAE . ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º,∠BAE + ∠CAR = 90º,∠AQM = ∠BAE, ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º,QM = AR = a,∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=,612S S a +=,8732S S S b ++=,又∵ 27S S =,58S S =,64S S =,∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c , 即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c . 如图,以B 为圆心a 为半径作圆,交AB 及AB 的延长线分别于D 、E,则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º,点C 在⊙B 上,所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理,得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -,即222a cb -=,∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB,过点B 作BD ∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有BD AC BC AD DC AB •+•=•, ∵ AB = DC = c,AD = BC = a, AC = BD = b,∴ 222AC BC AB +=,即 222b a c +=,∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O,切点分别为D 、E 、F （如图）,设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+, ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+,即 ()222242c rc r ab b a ++=++,∵ab S ABC 21=∆,∴ ABC S ab ∆=42, 又∵ AO C BO CAO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2,∴()ABC S rc r ∆=+442, ∴ ()ab rc r242=+,∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过点C 作CD ⊥AB,垂足是D .假设222c b a ≠+,即假设 222AB BC AC ≠+,则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2,或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB,或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中,∵ ∠A = ∠A,∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB,则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中, ∵ ∠B = ∠B, ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB,则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º,∴ ∠ADC ≠90º,∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以,222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b,斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a2222++=+;把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ）,斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ）,把它们拼成如图所示形状,使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a,连结DA 、DC,则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a, ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º,CM = a, ∠AED = 90º, AE = b, ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º,∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º, ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC,CB ∥DA,则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º,D D∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB,在ΔABF 和ΔADE 中,∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE, ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º,BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中, ∵ AB = BC = c,BF = CG = a, ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=, 6212S S S b ++=, 732S S a +=,76451S S S S S +===,∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程
如何用火柴盒证明勾股定理的解题过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
而在现代生活中，我们可以通过一些简单的实验来证明这个定理，比如使用火柴盒。
我们需要准备一些火柴盒，以及一张平整的纸张。
在纸张上画出一个直角三角形，其中一条边代表直角边，另外两条边分别代表斜边和另一条直角边。
然后，我们按照所画直角三角形的比例，将火柴盒分别摆放在两条直角边上，使其形成一个完整的三角形。
接下来，我们开始证明勾股定理。
我们在直角三角形中标出直角和两个锐角，然后对应的边分别记为a、b、c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
在这个实验中，火柴盒的长度可以代替三角形的边长，通过比例尺来测量和计算。
通过这种简单的实验方法，我们可以直观地理解勾股定理，并且深化我们对数学知识的理解。
使用火柴盒来证明勾股定理是一种有趣而且形象的方法，可以让我们更加直观地感受数学定理的魅力。
希望通过这个实验，读者们可以对勾股定理有更深入的认识，同时也能够激发大家对数学的兴趣和学习热情。
【2000字】第二篇示例：勾股定理是几何中的重要概念，描述了直角三角形三边之间的关系。
它指出：直角三角形的两条直角边上的平方和等于斜边上的平方。
这个定理在数学中具有重要的意义，被广泛应用于各种计算和证明中。
在这篇文章中，我们将通过一个有趣的方法使用火柴盒来证明勾股定理的解题过程。
我们需要准备一些材料：一个大火柴盒，两个小火柴盒。
我们可以用大火柴盒表示直角三角形的直角边，小火柴盒表示直角三角形的其他两条边。
接下来，我们开始解题：第一步：我们将大火柴盒拆开，得到两根直角边。
假设这两根火柴的长度分别为a和b。
第二步：将两根火柴盒以直角相对放置，在它们的交点处放一个小火柴盒，构成一个直角三角形。
第三步：测量斜边的长度，假设为c。
我们可以直接测量出c的长度，也可以通过勾股定理计算出c的长度。
初中数学之勾股定理知识点
初中数学之勾股定理知识点勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以.方法三：，，化简得证.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c 及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足，那么以a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，a，b，c 为正整数时，称a，b，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。
初中数学公式推导与定理证明
初中数学公式推导与定理证明数学作为一门精确的科学，其研究对象是数量、结构、变化以及空间等方面的规律。
在初中数学学习中，公式推导与定理证明是非常重要的一部分。
通过推导公式和证明定理，可以帮助学生深入理解数学知识，培养逻辑思维和分析问题的能力。
本文将从几个典型的数学公式和定理入手，展开探讨。
一、勾股定理的推导与证明勾股定理是初中数学中最重要的定理之一，也是数学史上最早的定理之一。
它的推导与证明可以通过几何方法和代数方法来完成。
几何方法是最常见的推导方式。
我们可以以直角三角形为例，设直角边长分别为a和b，斜边长为c。
根据勾股定理的定义，我们可以得到等式a² + b² = c²。
接下来，我们可以通过画图来证明这一等式。
首先，我们画一个正方形，边长为a+b。
然后，再在正方形的两个相邻边上各画一个正方形，边长分别为a和b。
这样，我们可以得到一个以c为斜边的正方形。
根据几何性质，这个正方形的面积等于以a和b为边长的两个正方形的面积之和。
即(a+b)² = a² + b² + 2ab。
将这个等式与勾股定理的等式进行比较，可以发现它们是相等的。
因此，我们可以得出结论，勾股定理成立。
代数方法是另一种常用的推导方式。
我们可以通过代数运算来证明勾股定理。
首先，我们假设a、b和c都是正整数，并且a和b互质。
根据勾股定理的定义，我们可以得到等式a² + b² = c²。
接下来，我们将这个等式进行变形。
首先，我们可以将c²拆分为(a+b)² - 2ab。
然后，将等式移项得到2ab = (a+b)² - c²。
再进行因式分解，得到2ab = (a+b+c)(a+b-c)。
由于a、b和c都是正整数，所以(a+b+c)和(a+b-c)也都是正整数。
因此，我们可以得出结论，2ab一定是一个偶数，而(a+b+c)和(a+b-c)要么都是奇数，要么都是偶数。
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
勾股定理证明方法汇总
勾股定理证明方法汇总
1.几何证明法：利用图形上的几何关系证明，常见的有直角三角形的内接圆、等腰直角三角形、正方形等。
2.代数证明法：利用代数方法推导证明，常见的有初中数学中的推公式、高中数学中的三角恒等式证明等。
3.向量证明法：利用向量的性质证明，常见的有勾股定理的向量形式证明。
4.相似证明法：利用相似三角形的性质证明，常见的有勾股定理的相似三角形证明。
5.三角函数证明法：利用三角函数的性质证明，常见的有勾股定理的正弦余弦形式证明。
6.三角形面积证明法：利用三角形面积的性质证明，常见的有勾股定理的面积证明法。
7.数学归纳法证明：常用于勾股定理的递推证明。
8.解析几何证明法：利用解析几何的方法证明，常见的有勾股定理的坐标形式证明。
9.投影证明法：利用勾股定理的投影关系证明，常用于勾股定理在三维空间中的证明。
10.逆证法证明：假设勾股定理不成立，推导出矛盾结论，从而证明勾股定理成立。
- 1 -。
勾股定理的证明方法十种过程
勾股定理的证明方法十种过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是几何学中最基础的定理之一。
它表明在直角三角形中，直角的两边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法有很多种，下面我将介绍十种常用的证明过程。
一、几何证明法1. 利用相似三角形的性质，构造辅助线，将直角三角形分割成两个直角三角形，再利用勾股定理的定义证明斜边的平方等于直角两边的平方和。
2. 利用平行线的性质，构造辅助线，形成四边形，再利用四边形的性质推导出勾股定理。
二、代数证明法1. 利用代数方法将直角三角形的三边长度表示成a，b，c，利用勾股定理的定义列出等式a^2 + b^2 = c^2，再进行变形推导得到结论。
2. 利用向量法，将三角形的三个顶点表示成二维向量，用向量的性质证明直角三角形满足勾股定理。
三、三角函数证明法1. 利用正弦、余弦、正切等三角函数的关系，将直角三角形的三条边长和角度联系起来，通过三角函数的计算推导出勾股定理。
2. 利用三角函数的定义，将角度和边长关系转换成三角函数的等式，再通过化简和运算得到勾股定理。
五、解析几何证明法1. 利用直角三角形在坐标平面上的表示，用坐标的差和平方和表达斜边和直角两边之间的关系，进行运算保证两边相等。
2. 利用解析几何的方法，利用两直线间的距离公式和直线的斜率关系，推导出勾股定理成立的条件。
七、数学归纳法证明法1. 从一个特殊的直角三角形出发，比如3-4-5直角三角形，验证勾股定理成立。
然后假设勾股定理对于n=1的情况成立，推导出n=k+1的情况也成立，利用数学归纳法证明定理的普遍性。
2. 从勾股数列的性质入手，证明勾股定理的普遍性。
十、几何变换证明法1. 利用几何变换，比如平移、旋转等，将直角三角形变换成其他几何形状，再通过形状不变性证明勾股定理。
2. 利用相似性和对称性的变换，将直角三角形转化成其他几何形状，结合几何形状的性质证明勾股定理的成立。
勾股定理的证明七十五种方法,初中平面几何经典证明
勾股定理的证明勾股定理是平面几何中最重要的定理！它是历史上第一个将数与形联系起来的定理，开启了论的发现使人们加深了对数的理解，发现了无理数。
勾股定理也是历史上第一个给出完全解答的不定方程，并引出了费马大定理。
而勾股定理的证明目前约有500种，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
今天我们来分享几种证明方法，从证明方法中感受勾股定理的魅力，加深对勾股定理的理解。
方法一：赵爽弦图证法方法二：毕达哥拉斯证法ccc2222214()2c ab b a a b c=⨯+-⇒+=kF22ABF2222ABF ADC 11S =,S 22S ADLM ADLM BELM a a b a b c ∆∆≅∆+=，由同底等高面积关系得＝，Ｓ＝＝，故方法三：书本证明方法222221()42a b ab c a b c+=⨯+⇒+=法四：利用三角形相似推导aaabbbbaabbbbcB2222222,,()BC BD BA AC AD AB a BD c b AD ca b AD c BD c AD BD c c ====+=+=+=g g g g g g 由射影定理可得即两者相加方法六：托勒密定理证明E22222AC AD AE b ()()c a c a a b c =-++=g 由切割线定理可得：＝故得aA222AC BD+AB CD=AD BC +b =c a g g g 由托勒密定理可得：即方法八：总统证法方法九：八法变式ab22222r=211111S =()2222211()()2()24a b cab ar br cr a b c rab a b c a b c ab a b c a b c ∆+-=++=++=+++-⇒=+-+=由切线长定理可知即abb22222111()4222S a b ab ca b c +=⨯++=梯＝故abb2222111c ()()222S a b b b a aa b c =++-+=四＝故方法十和方法十一：总结：上述方法是非常常见的方法，当然同学们可以总结出，用到最多的还是面积法，对于面积法无论证明方法如何变化，图形如何变化，方法都有一种熟悉感。
勾股定理证明-初中数学常见的模型方法专题
勾股定理证明方法1 商高证明法证明：∵222()2S a b a b ab =+=++大正方形，4S S S =+大正方形直角三角形小正方形2142ab c =⨯+22c ab =+，∴22222a b ab c ab ++=+，∴222+=a b c ．方法2 赵爽弦图2、以a 、b 为直角边()b a >，以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．∵Rt Rt DAH ABE ≌，∴HDA EAB ∠=∠．∵90HAD HAD ∠+∠=︒，∴90EAB HAD ∠+∠=︒，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于2c ．∵EF FG GH HE b a ====-，90HEF ∠=︒．∴EFGH 是一个边长为b a -的正方形，它的面积等于2()b a -．∴2214()2ab b a c ⨯+-=． ∴222+=a b c ．方法3 刘徽证明方法——青朱出入图3、勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方才幂．开方除之，即弦也．——《九章算术注》222+=a b c方法4 加菲尔德方法——梯形面积法4、以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上．∵Rt Rt EAD CBE ≌，∴ADE BEC ∠=∠．∵90AED ADE ∠+∠=︒，∴90AED BEC ∠+∠=︒．∴1809090DEC ∠=︒-︒=︒． ∴DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于212c ． 又∵90DAE ∠=︒，90EBC ∠=︒，∴//AD BC ．∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于21()2a b +． ∴22111()2222a b ab c +=⨯+．∴222+=a b c ．方法55.张景中证明方法1——对角线垂直的四边形CEBD ABE ADC S S S =+222111222c a b =+ 222c a b =+方法66.张景中证明方法2——悬挂模型矩形DECF ADE BFD ≌()2a b CE CF +== ABC ADB S S S =+正221112()4222a b ab c ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭222+=a b c方法7欧几里得证明7、做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD ．过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L ．∵AF AC =，AB AD =，FAB GAD ∠=∠，∴FAB GAD ≌． ∵FAB 的面积等于212a ，GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴矩形ADLM 的面积2a =．同理可证，矩形MLEB 的面积2b =．∵正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积∴222c a b =+，即222+=a b c ．注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =方法8杨作玫证明8、做两个全等直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、()b b a >，斜边长为c ．再作一个边长为c 的正方形．把它们拼成如图所示的多边形．过A 作AF AC ⊥，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R ．过B 作BP AF ⊥，垂足为P ．过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 与H ．∵90BAD ∠=︒，90PAC ∠=︒，∴DAH BAC ∠=∠．又∵90∠=︒DHA ，90BCA ∠=︒，AD AB c ==，∴Rt Rt DHA BCA ≌．∴DH BC a ==，AH AC b ==．由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt Rt APB BCA ≌．即PB CA b ==，AP a =，从而PH b a =-．∵Rt Rt DGT BCA ≌，Rt Rt DHA BCA ≌，∴Rt Rt DGT DHA ≌，∴DH DG a ==，GDT HDA ∠=∠．有∵90DGT ∠=︒，90DHF ∠=︒方法9陈杰证明9、设直角三角形两直角边的长分别为a 、()b b a >，斜边的成为c ，做两个边长分别为a 、b 的正方形()b a >，把它们拼成如图所示的形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．在EH b =上截取ED a =，连结DA 、DC ，则AD c =．∵EM EH HM b a =+=+，ED a =，∴()DM EM ED b a a b =-=+-=．又∵90CMD ∠=︒，CM a =，90AED ∠=︒，AE b =∴Rt Rt AED DMC ≌．∴EAD MDC ∠=∠，DC AD c ==．∵180ADE ADC MDC ∠+∠+∠=︒，90ADE MDC ADE EAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒．∴作//AB DC ，//CB DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形．∵90BAF FAD DAE FAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAF DAE ∠=∠．连结FB ，在ABF 和ADE 中，∵AB AD c ==，AE AF b ==，BAF DAE ∠=∠，∴ABF ADE △≌△．∴90AFB AED ∠=∠=︒，==BF DE a ．∴点B 、F 、G 、H 在一条直线上．在Rt ABF 和Rt BCG 中，∵AB BC c ==，BF CG a ==，∴Rt Rt ABF BCG ≌．∵22345c S S S S =+++，2126b S S S =++，237a S S =+， 15467S S S S S ===+， ∴7223126a b S S S S S +=++++ ()23176S S S S S =++++ 2345S S S S =+++ 2c =∴222+=a b c ．方法10李锐证明10、设直角三角形两直角边长分别为a 、()b b a >，斜边的长为c ．做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．∵90TBE ABH ∠=∠=︒，∴TBH ABE ∠=∠．又∵90BTH BEA ∠=∠=︒，BT BE b ==，∴Rt Rt HBT ABE ≌．∴HT AE a ==．∴GH GT HT b a =-=-．又∵90GHF BHT ∠+∠=︒，90DBC BHT TBH BHT ∠+∠=∠+∠=︒，∴GHF DBC ∠=∠．∵DB EB ED b a =-=-，90HGF BDC ∠=∠=︒，∴Rt Rt HGF BDC ≌．即27S S =．过Q 作QM AG ⊥，垂足是M ．由90BAQ BEA ∠=∠=︒，可知ABE QAM ∠=∠，而AB AQ c ==，∴Rt Rt ABE QAM ≌．又Rt Rt HBT ABE ≌．所以Rt Rt ABE QAM ≌．即85S S =．由Rt Rt ABE QAM ≌，有得QM AE a ==，AQM BAE ∠=∠．∵90AQM FQM ∠+∠=︒，90BAE CAR ∠+∠=︒，AQM BAE ∠=∠，∴FQM CAR ∠=∠．又∵90QMF ARC ∠=∠=︒，QM AR a ==，∴Rt Rt QMF ARC ≌．即46S S =．∵212345c S S S S S =++++，216a S S =+，2378b S S S =++，又∵27S S =，85S S =，46S S =，∴2216378a b S S S S S +=++++14325S S S S S =++++2c =，即222+=a b c ．【拓展】1. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，求证：四边形EHGF 是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质证明Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，然后证明90FEH ∠=即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD BC AD ===，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒∵BE CH GD FA ===，∴AE BH CG FD ===，∴Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，∴EF HE GH FG ===，AFE BEH ∠=∠．∵90AEF AFE ∠+∠=，∴90AEF BEH ∠+∠=，∴90FEH ∠=，∴四边形EHGF 是正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，此外//EQ BC ，HP//CD ，GO//DA ，FR//AB ，求证：四边形ORQP 是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件得到四边形AFRE 、四边形EBHQ 、四边形HCGP 、四边形FOGD 均为长方形，在根据三角形全等证明即可；【详解】∵//EQ BC ，HP//CD ，GO//AD ，FR//AB ，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形AFRE 、四边形EBHQ 、四边形HCGP 、四边形FOGD 均为长方形， ∴AEF RFE BHE QEH CGH PHG DFG OGF ≌≌≌≌≌≌≌， ∴FR EQ HP GO ===，ER HQ GP FO ===，∴OR RQ QP PO ===，且18090POR FOG ∠=︒-∠=︒，∴四边形ORQP 为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，结合三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质证明是解题的关键．3. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，此外//EQ BC ，HP//CD ，GO//DA ，FR//AB ．求证：（1）4AEF ABCD EHGF S S S =+正方形正方形； （2）4FRE EHGF ORQPS S S =+正方形正方形； （3）ABCD EHGF EHGF ORQP S S S S -=-正方形正方形正方形正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，然后证明90FEH ∠=即可得到答案；（2）先证明AEF RFE △≌△，然后同理可以得到RFE QEH PHG OGF △≌△≌△≌△，然后证明四边形ORQP 是正方形，即可得到结论；（3）根据（1）（2）的结论求解即可.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD BC AD ===，90A B C D ∠=∠=∠=∠=∵BE CH GD FA ===，∴AE BH CG FD ===，∴Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，∴EF HE GH FG ===，AFE BEH ∠=∠，AEF BHE CGH DFGS S S S ==△△△△= ∵90AEF AFE ∠+∠=，∴90AEF BEH ∠+∠=，∴90FEH ∠=，∴四边形EHGF 是正方形．∴4AEF ABCD EHGF S S S =+正方形正方形（2）∵四边形EHGF 是正方形∴EH HG GF FE ===，90FEH EHG HGF GFE ∠=∠=∠=∠=∵//EQ BC ， FR//AB∴四边形AERF 是平行四边形∵∠A =90°∴四边形AERF 是矩形∴AEF RFE △≌△∴90A=ERF=∠∠同理可以得到BHE QEH △≌△，CGH PHG △≌△，DFG OGF △≌△ ∴RFE QEH PHG OGF △≌△≌△≌△∴RFE QEH PHG OGFS S S S △△△△===，RE QH PG OE ===，RF QE PH OG ===∴OR RQ QP PO === ∵90A=ERF=∠∠ ∴90ORQ=∠∴四边形ORQP 是正方形 ∴4FREEHGF ORQPS S S=+正方形正方形（3）∵4AEFABCDEHGFSSS-=△正方形正方形，4FRE EHGF ORQP =S S S -正方形正方形△， 又∴AEF RFE △≌△∴AEF RFES S △△= ∴ABCD EHGF EHGF ORQP S S S S -=-正方形正方形正方形正方形【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.例题4. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A. 9B. 6C. 4D. 3【答案】D 【解析】【分析】已知ab∴8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长. 【详解】a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：，11ab 8422=⨯=每一个直角三角形的面积为：，214ab a b 252（），∴⨯+-=2a b 25169∴-=-=（）， a b 3∴-=，故选D.【点睛】本题考查勾股定理的推导∴有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．变式15. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）A. 8B. 6C. 4D. 5【答案】B【解析】【详解】根据面积的差得出a+b的值，再利用a∴b=2，解得a∴b的值代入即可． 解：∵AB=10∴EF=2∴∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4∴∴四个直角三角形面积和为100∴4=96，设AE为a∴DE为b，即4×ab=96∴∴2ab=96∴a2+b2=100∴∴∴a+b∴2=a2+b2+2ab=100+96=196∴∴a+b=14∴∵a∴b=2，解得：a=8∴b=6∴∴AE=8∴DE=6∴∴AH=8∴2=6∴故选B∴变式26. 如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b 表示，进而两式相减即可求出ab 的值．【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：2217a b +=，又小正方形的面积为2()5a b -=即2225a b ab +-= ∴1725ab -= ∴ab =6 故选：B ．【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a 、b 表示大小正方形的面积．巩固练习7. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A ， 利用以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B ，利用以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积推导勾股定理可判断C ，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D ．【详解】解: A 、两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故()2211112222ab ab c a b ++=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积，故()22142ab c a b ⨯+=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积，()22142a ab bc ⨯++=，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、四个小图形面积和等于大正方形面积，()2222ab a b a b ++=+ ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若12321S S S ++=，则S 2的值是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【详解】解：∵图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，∴CG ＝NG ，CF ＝DG ＝NF ， ∴S 1＝（CG +DG ）2 ＝CG 2+DG 2+2CG •DG ＝GF 2+2CG •DG ， S 2＝GF 2，S 3＝（NG ﹣NF ）2＝NG 2+NF 2﹣2NG •NF ，∵S 1+S 2+S 3＝21＝GF 2+2CG •DG +GF 2+NG 2+NF 2﹣2NG •NF ＝3GF 2， ∴S 2的值是：7． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S 1+S 2+S 3＝21＝GF 2+2CG •DG +GF 2+NG 2+NF 2﹣2NG •NF ＝3GF 2是解决问题的关键． 9. 如图，在ABC 中，90A ∠=︒，则三个半圆面积S 1，S 2，S 3的关系为___________．【答案】123S S S =+ 【解析】【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出1S 、2S 、3S ，然后根据222BC AB AC =+即可得出1S 、2S 、3S 的关系．【详解】解：在ABC ∆中，90A ∠=︒，222BC AB AC ∴=+，22311()228S AC AC ππ==，22211()228S AB AB ππ==，22111()228S BC BC ππ==， 222321()88SS AC AB BC S ππ∴+=+==，即123S S S =+． 故答案为：123S S S =+．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．解题的关键是勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点 E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明： 222+=a b c ．【答案】见解析． 【解析】【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AEb a ，根据Rt ABCRt DAE ，易证90DAB ︒∠=，再根据 ADEABCADFBDFCES SS S四边形四边形， ADBDFBADFBSSS∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证． 【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AEb aADEABCADFBDFCESSSS四边形四边形1122ab ab ba b2ab b ab =+-2b =Rt ABC Rt DAE ∆≅∆ABADcADE BAC ∴∠=∠90ADE DAE90BACDAE即90DAB ︒∠=， ∴AD AB ⊥ ∴A D BD F BA D F BSSS∆∆=+四边形21122c a bba222111222c b a =+- 即有：2222111222b c b a ∴222+=a b c【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．11. （1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：222C a b =+．【答案】（1）222()2a b a ab b +=++；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答； （2）利用面积法证明即可得到结论． 【详解】（1）222()2a b a ab b +=++；（2）如图，∴Rt △DEC ≌Rt △EAB ， ∴∠DEC =∠EAB ，DE=AE ， ∴90EAB AEB ∠+∠=︒， ∴90DEC AEB ∠+∠=︒， ∴△AED 为等腰直角三角形， ∴Rt ABERt DCERt DEAABCDSSSS=++梯形，∴21111()()2222b a a b ab abc ++=++，即22()2a b ab c +=+， ∴222()2a b a ab b +=++， ∴22222a ab b ab c ++=+， ∴222c a b =+．【点睛】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．培优12. 阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．【答案】【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）24；（4）403；【迁移运用】a 2+b 2﹣ab＝c 2，证明见解析 【解析】【分析】初步运用：（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积=小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC =x ，根据勾股定理列出方程可求x ，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，得出答案即可．迁移运用：根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【详解】解：【初步运用】（1）由题意：b =2a ，c =5a ， ∴小正方形面积：大正方形面积=5a 2：9a 2=5：9， 故答案为：5：9；（2）空白部分的面积为=52﹣2×12×4×6=28，故答案为：28； （3）24÷4=6，设AC =x ，依题意有：（x +3）2+32=（6﹣x ）2， 解得x =1，∴面积为：12×（3+1）×3×4=12×4×3×4 =24，故该飞镖状图案的面积是24；（4）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=40，∴S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ， ∴S 1+S 2+S 3=3x +12y =40，∴x+4y=403，∴S2=x+4y=403，故答案为：403；[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab=c2．理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，可得：12（a+b）×k（a+b）=3×12×b×ka+12×c×ck，∴（a+b）2=3ab+c2，∴a2+b2﹣ab=c2．【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．21。
反证勾股定理
反证勾股定理勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是初中数学中最基础的定理之一。
然而，这个看似简单的定理却有着深刻的数学内涵和广泛的应用场景。
在本文中，我们将介绍如何从反证法的角度出发来证明勾股定理。
反证法，顾名思义，是一种通过反向推理来证明某个命题的方法。
这种方法的基本思想是：假设所要证明的命题不成立，然后找出这种假设所导致的矛盾，进而推断所要证明的命题必定成立。
下面我们将通过反证法来证明勾股定理。
首先，让我们回忆一下勾股定理的内容：对于任意一组三角形的三条边a、b、c（其中c为斜边），满足a² + b² = c²。
我们假设这个定理不成立，也就是说，存在一组三角形，它的三条边a、b、c不能满足勾股定理。
那么，我们可以列出以下两个无序数对：(a,b)和(a,c)根据反证法的思想，我们需要假设这两个数对中至少有一个是勾股数，即满足a² + b² = c²或a² + c² = b²。
假设(a,b)是勾股数，则有：a² + b² = c²根据此式，我们可以知道c必须满足以下条件：c > ac > b而我们又可以将原始三角形的边长表示为c = a + k和c = b + m（其中k和m均为正整数）。
将这个式子代入a² + b² = c²中，得到：a² + b² = (a + k)² + (b + m)²展开式子并合并同类项，得到：a² + b² = a² + 2ak + k² + b² + 2bm + m²这个式子还可以进一步简化为：2ab = 2ak + 2bm + k² + m²因为a和b都是正整数，所以a和b的乘积必须是偶数。
但是右边的式子中，k²和m²必须都是奇数，所以它们的和一定是偶数。
初中数学勾股定理(精选课件)
初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年级：课时数：学科教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间:课题勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即：a2+b２=ｃ2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:ａ、b、c有关系a２+b２=ｃ２，那么这个三角形是直角三角形。
３、满足的三个正整数,称为勾股数。
教学内容一、日校回顾二、知识回顾1。
勾股定理如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积=B的面积+Ａ的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，ｂ，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明:(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。
（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中,ａ,b是直角边，ｃ是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
（3）除了利用a，ｂ,ｃ表示三边的关系外，还应会利用AＢ，BC，CA表示三边的关系,在△AＢC中,∠Ｂ＝９0°,利用勾股定理有。
2. 利用勾股定理的变式进行计算ﻩ由,可推出如下变形公式:(１）;（2）(3）（4)（5)（平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理１、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边（２）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（３)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边(如c)（2）验证与是否具有相等关系（3）若=，则△ＡBC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABＣ不是直角三角形。
初中数学 如何证明勾股定理在球面上的应用
初中数学如何证明勾股定理在球面上的应用。
证明勾股定理在球面上的应用引言：勾股定理是数学中一个基本的几何定理，它描述了直角三角形中直角边的长度与斜边长度之间的关系。
然而，勾股定理不仅适用于平面几何，也可以推广到球面上。
在本文中，我们将探讨如何证明勾股定理在球面上的应用，并介绍一些与球面几何相关的实际问题。
一、球面的基本概念在开始证明之前，我们先回顾一下球面的基本概念。
球面是由围绕一个固定中心的所有点等距离地构成的曲面。
球面上的点可以用经度和纬度来表示。
经度是指从球心到球面上某点的连线与某一参考子午线的夹角，纬度是指从球心到某点的连线与球面切平面的夹角。
二、勾股定理在球面上的证明我们现在来证明勾股定理在球面上的应用。
假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠ABC 是直角。
我们要证明a² + b² = c²，其中a、b 和c 分别表示直角边和斜边的长度。
首先，我们将直角边a 和b 延长到球面上的较大圆上，如下图所示。
[插入球面上直角边延长的示意图]根据球面几何的性质，直角边 a 和 b 延长后在球面上的长度分别等于它们在球面上的弧长。
设直角边a 延长后的弧长为α，直角边b 延长后的弧长为β。
根据球面上的弧长公式，我们可以得到α = rα'，β = rβ'，其中r 是球的半径，α' 和β' 分别是直角边a 和 b 在球面上的夹角。
由于直角三角形ABC 是直角三角形，所以直角边 a 和 b 在球面上的夹角α' 和β' 的和等于90°，即α' + β' = 90°。
现在，我们来考虑直角边c 在球面上的弧长。
根据球面几何的性质，直角边c 在球面上的弧长等于直角边a 和 b 延长后的弧长之和。
设直角边 c 在球面上的弧长为γ。
根据球面上的弧长公式，我们可以得到γ = α + β = r(α' + β') = 90°。
勾股定理证明-初中数学常见的模型方法专题
勾股定理证明方法1 商高证明法证明：∵222()2S a b a b ab =+=++大正方形， 4S S S =+大正方形直角三角形小正方形2142ab c =⨯+ 22c ab =+，∴22222a b ab c ab ++=+，∴222+=a b c ．方法2 赵爽弦图2、以a 、b 为直角边()b a >，以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．∵Rt Rt DAH ABE ≌，∴HDA EAB ∠=∠．∵90HAD HAD ∠+∠=︒，∴90EAB HAD ∠+∠=︒，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于2c ．∵EF FG GH HE b a ====-，90HEF ∠=︒．∴EFGH 是一个边长为b a -的正方形，它的面积等于2()b a -．∴2214()2ab b a c ⨯+-=． ∴222+=a b c ．方法3 刘徽证明方法——青朱出入图3、勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方才幂．开方除之，即弦也．——《九章算术注》222+=a b c方法4 加菲尔德方法——梯形面积法4、以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上．∵Rt Rt EAD CBE ≌，∴ADE BEC ∠=∠．∵90AED ADE ∠+∠=︒，∴90AED BEC ∠+∠=︒．∴1809090DEC ∠=︒-︒=︒．∴DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于212c ． 又∵90DAE ∠=︒，90EBC ∠=︒，∴//AD BC ．∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于21()2a b +． ∴22111()2222a b ab c +=⨯+．∴222+=a b c ．方法55.张景中证明方法1——对角线垂直的四边形CEBD ABE ADC S S S =+222111222c a b =+ 222c a b =+方法66.张景中证明方法2——悬挂模型矩形DECFADE BFD ≌()2a b CE CF +==ABC ADB S S S =+正22111()4222a b ab ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭222+=a b c方法7欧几里得证明7、做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD ．过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L ．∵AF AC =，AB AD =，FAB GAD ∠=∠，∴FAB GAD ≌．∵FAB 的面积等于212a ，GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴矩形ADLM 的面积2a =．同理可证，矩形MLEB 的面积2b =．∵正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积∴222c a b =+，即222+=a b c ．注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =方法8杨作玫证明8、做两个全等直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、()b b a >，斜边长为c ．再作一个边长为c 的正方形．把它们拼成如图所示的多边形．过A 作AF AC ⊥，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R ．过B 作BP AF ⊥，垂足为P ．过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 与H ．∵90BAD ∠=︒，90PAC ∠=︒，∴DAH BAC ∠=∠．又∵90∠=︒DHA ，90BCA ∠=︒，AD AB c ==，∴Rt Rt DHA BCA ≌．∴DH BC a ==，AH AC b ==．由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt Rt APB BCA ≌．即PB CA b ==，AP a =，从而PH b a =-．∵Rt Rt DGT BCA ≌，Rt Rt DHA BCA ≌，∴Rt Rt DGT DHA ≌，∴DH DG a ==，GDT HDA ∠=∠．有∵90DGT ∠=︒，90DHF ∠=︒方法9陈杰证明9、设直角三角形两直角边的长分别为a 、()b b a >，斜边的成为c ，做两个边长分别为a 、b 的正方形()b a >，把它们拼成如图所示的形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．在EH b =上截取ED a =，连结DA 、DC ，则AD c =．∵EM EH HM b a =+=+，ED a =，∴()DM EM ED b a a b =-=+-=．又∵90CMD ∠=︒，CM a =，90AED ∠=︒，AE b =∴Rt Rt AED DMC ≌．∴EAD MDC ∠=∠，DC AD c ==．∵180ADE ADC MDC ∠+∠+∠=︒，90ADE MDC ADE EAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒．∴作//AB DC ，//CB DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形．∵90BAF FAD DAE FAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAF DAE ∠=∠．连结FB ，在ABF 和ADE 中，∵AB AD c ==，AE AF b ==，BAF DAE ∠=∠，∴ABF ADE △≌△．∴90AFB AED ∠=∠=︒，==BF DE a ．∴点B 、F 、G 、H 在一条直线上．在Rt ABF 和Rt BCG 中，∵AB BC c ==，BF CG a ==，∴Rt Rt ABF BCG ≌．∵22345c S S S S =+++，2126b S S S =++，237a S S =+，15467S S S S S ===+，∴7223126a b S S S S S +=++++()23176S S S S S =++++2345S S S S =+++2c =∴222+=a b c ．方法10李锐证明10、设直角三角形两直角边长分别为a 、()b b a >，斜边的长为c ．做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．∵90TBE ABH ∠=∠=︒，∴TBH ABE ∠=∠．又∵90BTH BEA ∠=∠=︒，BT BE b ==，∴Rt Rt HBT ABE ≌．∴HT AE a ==．∴GH GT HT b a =-=-．又∵90GHF BHT ∠+∠=︒，90DBC BHT TBH BHT ∠+∠=∠+∠=︒，∴GHF DBC ∠=∠．∵DB EB ED b a =-=-，90HGF BDC ∠=∠=︒，∴Rt Rt HGF BDC ≌．即27S S =．过Q 作QM AG ⊥，垂足是M ．由90BAQ BEA ∠=∠=︒，可知ABE QAM ∠=∠，而AB AQ c ==，∴Rt Rt ABE QAM ≌．又Rt Rt HBT ABE ≌．所以Rt Rt ABE QAM ≌．即85S S =．由Rt Rt ABE QAM ≌，有得QM AE a ==，AQM BAE ∠=∠．∵90AQM FQM ∠+∠=︒，90BAE CAR ∠+∠=︒，AQM BAE ∠=∠，∴FQM CAR ∠=∠．又∵90QMF ARC ∠=∠=︒，QM AR a ==，∴Rt Rt QMF ARC ≌．即46S S =．∵212345c S S S S S =++++，216a S S =+，2378b S S S =++，又∵27S S =，85S S =，46S S =，∴2216378a b S S S S S +=++++14325S S S S S =++++2c =，即222+=a b c ．【拓展】1. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，求证：四边形EHGF 是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质证明Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，然后证明90FEH ∠=即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD BC AD ===，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒∵BE CH GD FA ===，∴AE BH CG FD ===，∴Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，∴EF HE GH FG ===，AFE BEH ∠=∠．∵90AEF AFE ∠+∠=，∴90AEF BEH ∠+∠=，∴90FEH ∠=，∴四边形EHGF 是正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，此外//EQ BC ，HP//CD ，GO//DA ，FR//AB ，求证：四边形ORQP 是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件得到四边形AFRE 、四边形EBHQ 、四边形HCGP 、四边形FOGD 均为长方形，在根据三角形全等证明即可；【详解】∵//EQ BC ，HP//CD ，GO//AD ，FR//AB ，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形AFRE 、四边形EBHQ 、四边形HCGP 、四边形FOGD 均为长方形， ∴AEF RFE BHE QEH CGH PHG DFG OGF ≌≌≌≌≌≌≌， ∴FR EQ HP GO ===，ER HQ GP FO ===，∴OR RQ QP PO ===，且18090POR FOG ∠=︒-∠=︒，∴四边形ORQP 为正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，结合三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质证明是解题的关键．3. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，此外//EQ BC ，HP//CD ，GO//DA ，FR//AB ．求证：（1）4AEF ABCD EHGF S SS =+正方形正方形； （2）4FREEHGF ORQP S S S =+正方形正方形； （3）ABCD EHGF EHGF ORQP S S S S -=-正方形正方形正方形正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，然后证明90FEH ∠=即可得到答案；（2）先证明AEF RFE △≌△，然后同理可以得到RFE QEH PHG OGF △≌△≌△≌△，然后证明四边形ORQP 是正方形，即可得到结论；（3）根据（1）（2）的结论求解即可.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD BC AD ===，90A B C D ∠=∠=∠=∠=∵BE CH GD FA ===，∴AE BH CG FD ===，∴Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，∴EF HE GH FG ===，AFE BEH ∠=∠，AEF BHE CGH DFG S S S S ==△△△△= ∵90AEF AFE ∠+∠=，∴90AEF BEH ∠+∠=，∴90FEH ∠=，∴四边形EHGF 是正方形．∴4AEF ABCD EHGF S S S =+正方形正方形（2）∵四边形EHGF 是正方形∴EH HG GF FE ===，90FEH EHG HGF GFE ∠=∠=∠=∠=∵//EQ BC ， FR//AB∴四边形AERF 是平行四边形∵∠A =90°∴四边形AERF 是矩形∴AEF RFE △≌△∴90A=ERF=∠∠同理可以得到BHE QEH △≌△，CGH PHG △≌△，DFG OGF △≌△ ∴RFE QEH PHG OGF △≌△≌△≌△∴RFE QEH PHG OGF S S S S △△△△===，RE QH PG OE ===，RF QE PH OG ===∴OR RQ QP PO === ∵90A=ERF=∠∠∴90ORQ=∠∴四边形ORQP 是正方形 ∴4FREEHGF ORQP S SS =+正方形正方形（3）∵4AEF ABCD EHGF S S S -=△正方形正方形，4FRE EHGF ORQP =S S S -正方形正方形△， 又∴AEF RFE △≌△ ∴AEF RFE S S △△=∴ABCD EHGF EHGF ORQP S S S S -=-正方形正方形正方形正方形【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.例题4. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A. 9B. 6C. 4D. 3【答案】D 【解析】【分析】已知ab∴8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长. 【详解】a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：，11ab 8422=⨯=每一个直角三角形的面积为：，214ab a b 252（），∴⨯+-=2a b 25169∴-=-=（），a b 3∴-=，故选D.【点睛】本题考查勾股定理的推导∴有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．变式15. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A. 8B. 6C. 4D. 5【答案】B【解析】【详解】根据面积的差得出a+b的值，再利用a∴b=2，解得a∴b的值代入即可．解：∵AB=10∴EF=2∴∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4∴∴四个直角三角形面积和为100∴4=96，设AE为a∴DE为b，即4×ab=96∴∴2ab=96∴a2+b2=100∴∴∴a+b∴2=a2+b2+2ab=100+96=196∴∴a+b=14∴∵a∴b=2，解得：a=8∴b=6∴∴AE=8∴DE=6∴∴AH=8∴2=6∴故选B∴变式26. 如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b 表示，进而两式相减即可求出ab 的值．【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：2217a b +=，又小正方形的面积为2()5a b -= 即2225a b ab +-= ∴1725ab -= ∴ab =6 故选：B ．【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a 、b 表示大小正方形的面积．巩固练习7. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A ， 利用以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B ，利用以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积推导勾股定理可判断C ，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D ．【详解】解: A 、两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故()2211112222ab ab c a b ++=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积，故()22142ab c a b ⨯+=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积，()22142a a b b c ⨯++=，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、四个小图形面积和等于大正方形面积，()2222ab a b a b ++=+ ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若12321S S S ++=，则S 2的值是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【详解】解：∵图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，∴CG ＝NG ，CF ＝DG ＝NF ， ∴S 1＝（CG +DG ）2 ＝CG 2+DG 2+2CG •DG ＝GF 2+2CG •DG ， S 2＝GF 2，S 3＝（NG ﹣NF ）2＝NG 2+NF 2﹣2NG •NF ，∵S 1+S 2+S 3＝21＝GF 2+2CG •DG +GF 2+NG 2+NF 2﹣2NG •NF ＝3GF 2， ∴S 2的值是：7． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S 1+S 2+S 3＝21＝GF 2+2CG •DG +GF 2+NG 2+NF 2﹣2NG •NF ＝3GF 2是解决问题的关键． 9. 如图，在ABC 中，90A ∠=︒，则三个半圆面积S 1，S 2，S 3的关系为___________．【答案】123S S S =+ 【解析】【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出1S 、2S 、3S ，然后根据222BC AB AC =+即可得出1S 、2S 、3S 的关系．【详解】解：在ABC ∆中，90A ∠=︒，222BC AB AC ∴=+，22311()228S AC AC ππ==，22211()228S AB AB ππ==，22111()228S BC BC ππ==，222321()88S S AC AB BC S ππ∴+=+==，即123S S S =+． 故答案为：123S S S =+．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．解题的关键是勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点 E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明： 222+=a b c ．【答案】见解析． 【解析】【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b a ，根据Rt ABCRt DAE ，易证90DAB ︒∠=，再根据 ADEABCADFBDFCE S SSS 四边形四边形，ADB DFB ADFB S S S ∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证．【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AE b aADEABCADFBDFCE S SSS 四边形四边形1122ab ab b a b2ab b ab =+-2b =Rt ABC Rt DAE ∆≅∆ABADcADE BAC ∴∠=∠90ADE DAE 90BACDAE即90DAB ︒∠=， ∴AD AB ⊥∴ADB DFB ADFB S S S ∆∆=+四边形21122c a bba222111222c b a =+- 即有：2222111222b c b a ∴222+=a b c【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．11. （1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：222C a b =+．【答案】（1）222()2a b a ab b +=++；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答； （2）利用面积法证明即可得到结论． 【详解】（1）222()2a b a ab b +=++；（2）如图，∴Rt △DEC ≌Rt △EAB ， ∴∠DEC =∠EAB ，DE=AE ， ∴90EAB AEB ∠+∠=︒， ∴90DEC AEB ∠+∠=︒， ∴△AED 为等腰直角三角形， ∴RtABERtDCERtDEAABCD S S S S =++梯形，∴21111()()2222b a a b ab ab c ++=++，即22()2a b ab c +=+， ∴222()2a b a ab b +=++， ∴22222a ab b ab c ++=+， ∴222c a b =+．【点睛】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．培优12. 阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．【答案】【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）24；（4）403；【迁移运用】a2+b2﹣ab＝c2，证明见解析【解析】【分析】初步运用：（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；（2）根据空白部分的面积=小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可；（3）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．迁移运用：根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【详解】解：【初步运用】（1）由题意：b=2a，c，∴小正方形面积：大正方形面积=5a2：9a2=5：9，故答案为：5：9；（2）空白部分的面积为=52﹣2×12×4×6=28，故答案为：28；（3）24÷4=6，设AC=x，依题意有：（x+3）2+32=（6﹣x）2，解得x=1，∴面积为：12×（3+1）×3×4=12×4×3×4=24，故该飞镖状图案的面积是24；（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=40，∴S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=40，∴x+4y=403，∴S2=x+4y=403，故答案为：403；[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab=c2．理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，可得：12（a+b）×k（a+b）=3×12×b×ka+12×c×ck，∴（a+b）2=3ab+c2，∴a2+b2﹣ab=c2．【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．21。
初中数学 如何证明勾股定理在三维空间中的几何意义
初中数学如何证明勾股定理在三维空间中的几何意义。
勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了直角三角形中直角边的长度与斜边长度之间的关系。
虽然最初勾股定理是在二维平面中提出的，但它也可以推广到三维空间中。
在本文中，我们将探讨如何证明勾股定理在三维空间中的几何意义。
为了证明勾股定理在三维空间中的几何意义，我们将使用向量和内积的概念。
在三维空间中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的分量来表示，例如(a₁, a₂, a₃)。
两个向量的内积可以通过将它们的对应分量相乘并求和得到，表示为a·b。
首先，让我们回顾一下勾股定理在二维平面中的形式。
在直角三角形中，如果直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么根据勾股定理，有a² + b² = c²。
我们将使用这个形式来推导三维空间中的勾股定理。
考虑一个三维空间中的直角三角形，其中直角边的长度分别为a、b和c。
我们可以使用向量来表示这三条边。
假设向量a和b分别表示直角边的长度，我们可以将它们相加得到一个新的向量c，表示斜边的长度。
根据向量的定义，c = a + b。
根据内积的定义，我们可以计算出c² = (a + b)·(a + b)。
根据内积的性质，我们可以展开这个式子得到c² = a·a + 2a·b + b·b。
另一方面，根据内积的性质，a·b = |a| |b| cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
由于我们考虑的是直角三角形，所以夹角θ为90度，即cosθ = 0。
因此，a·b = 0。
将这个结果代入c²的计算中，我们有c² = a·a + b·b。
根据向量的长度定义，我们可以将a·a和b·b表示为|a|²和|b|²。
因此，c² = |a|² + |b|²，即勾股定理在三维空间中成立。
利用相似三角形证明勾股定理
利用相似三角形证明勾股定理《利用相似三角形证明勾股定理》1. 引言在初中数学中，我们学习了勾股定理，即直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
而在证明这一定理时，利用相似三角形是一种常见的方法。
2. 相似三角形的基本概念相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
这一性质为证明勾股定理提供了重要的数学基础。
3. 勾股定理的几何证明假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，AB为直角边，BC为斜边。
我们可以通过构造辅助线段，将三角形ABC分解为若干个相似三角形，进而利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
我们构造辅助线段BD，使得∠ABD为直角。
连接AD，并延长AD至点E，使得AC=AE。
这样，我们就构造出了三个相似三角形ABC、ABD和ADE。
由于三个三角形相似，我们可以根据相似三角形的性质，建立以下比例关系：AB/AD = AD/AE = AB/AC通过简单的代数变换，我们可以得到AB² = BD·BC，即勾股定理成立。
5. 总结与回顾利用相似三角形证明勾股定理，其实是通过分解复杂问题为若干个相似三角形，从而简化证明的过程。
这种方法既能减少繁琐的计算，又能使问题的解法更加直观和具体。
在学习数学的过程中，我们应该多思考和尝试，灵活地运用各种数学方法，以便更好地理解和掌握数学知识。
6. 个人观点与理解在数学学习中，利用相似三角形证明勾股定理是一种非常具有启发性的方法。
通过这种证明方法，我们可以更深入地理解勾股定理的本质，同时也能够培养我们的逻辑思维能力和数学建模能力。
在学习数学定理和证明时，我们应该注重灵活应用各种方法，以便更好地理解和掌握数学知识。
以上就是关于“利用相似三角形证明勾股定理”的文章内容，希望能对您有所帮助。
7. 勾股定理的应用勾股定理是数学中一个非常重要且实用的定理，它在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
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【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)，整理得到：a^2+b^2=c^2。
【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c^2.∵RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2.∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。
此主题相关图片如下：【证法3】以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2.∵EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2.∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。
此主题相关图片如下：【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于c^2/2.又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)^2/2(a+b)^2/2=2*ab/2+c^2/2,∴ a^2+b^2=c^2。
此主题相关图片如下：做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵AB = BE = EG = GA = c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a^2+b^2=S+2*ab/2c^2=S+2*ab/2∴ a^2+b^2=c^2。
此主题相关图片如下：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90º，QP∥BC，∴∠MPC = 90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP = 90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.此主题相关图片如下：做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于a^2/2，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=a^2.同理可证，矩形MLEB的面积=b^2.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积∴ a^2+b^2=c^2。
此主题相关图片如下：【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即 AC^2=AD*AB.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有BC^2=BD*AB.∴ AC^2+BC^2=(AD+BD)*AB=AB^2，即a^2+b^2=c^2。
此主题相关图片如下：【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为此主题相关图片如下：【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵∠ TBE = ∠ABH = 90º，∴∠TBH = ∠ABE.又∵∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b，∴RtΔHBT ≌ RtΔABE.∴HT = AE = a.∴GH = GT―HT = b―a.又∵∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴∠GHF = ∠DBC.∵DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即S7=S2.过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM .即S8=S5.由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.∵∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，∴∠FQM = ∠CAR.又∵∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，∴RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4=S6.此主题相关图片如下：【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB 的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得此主题相关图片如下：【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有此主题相关图片如下：【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F （如图），设⊙O的半径为r.∵AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF-BF）= CE+CD= r + r = 2r,此主题相关图片如下：【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.此主题相关图片如下：【证法15】（辛卜松证明）此主题相关图片如下：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为（a+b）^2=a^2+2ab+b^2；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面此主题相关图片如下：【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则AD = c.∵EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴DM = EM―ED = (b+a)―a = b.又∵∠CMD = 90º，CM = a，∠AED = 90º，AE = b，∴RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴∠ADC = 90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF ≌ ΔADE.∴∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵AB = BC = c，BF = CG = a，∴RtΔABF ≌ RtΔBCG.此主题相关图片如下：。