勾股定理及其逆定理专题练习
勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)
CBAFEDCB A勾股定理及其逆定理（讲义）一、 知识点睛1. 11-19的平方：_______________________________________________________________________________________________________．2. 勾股定理：_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：4. 勾股定理逆定理：_______________________________________________________________________________________________________．5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．二、精讲精练1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形的周长为25C ．斜边长为5D ．三角形的面积为202. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长是________．S 3S 2S 1AB C86C3. 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF长为12cm ，则正方形CDEF 的面积为_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 2=4，S 3=6，则S 1=___________．5. 如图，已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________．6. （1）等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ，较短的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +(a -b )2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2=c 2．图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为________． 7. 如图，点C 在线段BD 上，AC ⊥BD ，CA =CD ，点E 在线段CA 上，且满足DE =AB ，连接DE 并延长交AB 于点F ． （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若已知BC =a ，AC =b ，AB =c ，你能借助本题提供的图形证明勾股定理吗？试一试吧．图2图1b ba ED A ABDEFc c图2b aba ED CBAlcba8. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是_________．第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，分别以AB ，BC ，CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE ，正方形BCMN ，正方形CAFG ，连接EF ，GM ，ND ．设△AEF ，△CGM ，△BND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1=S 2=S 3B ．S 1=S 2<S 3C ．S 1=S 3<S 2D ．S 2=S 3<S 110. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为______．11. 如图，从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m ，那么需要多长的 钢索？12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处1米．法算出旗杆的高度．13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）DCBAAB C DE F GH图3图2图1h 26246b 106c 125A ．B ．C ．D ．7152024257202425715202425252420157图2图1DCBAA ．0.3，0.4，0.5B ．7，12，15C ．11，60，61D ．9，40，4114. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，EF ，GHC ．AB ，CD ，GHD ．AB ，CD ，EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++，，（n 为正整数），则三角形的最大内角等于_______度．16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形17. 三边长分别是15，36，39的三角形是_______三角形.18. 如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：c =____，b =____，h =_____．19. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形中正确的是（ ）20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2请说明理由．勾股定理及其逆定理（随堂测试）1．有一块土地形状如图所示，∠B =∠D =90°，AB =20米，BC =15米，CD =7BAD CB ．A ．c b c a b a a b c a b c c b a c b a A BCD EF D ．c b a a b c C ．米，则这块地的面积为__________．2．若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④0.3，0.4，0.5；⑤2n +1，2n ，2n 2+2n +1（n 为正整数）．则其中能构成直角三角形的是_____________．3．如图，在四边形ABCD 中，AD =3，AB =4，BC =12，CD =13，∠BAD =90°． （1）求BD 的长； （2）证明：BD ⊥BC ； （3）求四边形ABCD 的面积．勾股定理及其逆定理（作业）1. 以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，22. 若三角形的三边长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）4. 已知甲、乙两人从同一点出发，甲往东走了12km ，乙往南走了5km ，这时甲、乙两人相距______．5. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到AB 的距离为____________．DC BAF E D CB A 6. 记为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ A ．S l +S 2>S 3 B ．S l +S 2< S 3C ．S 1+S 2=S 3D ．S 12+S 22=S 327. 中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，___________cm 2．8. 如图，每个小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积为_________．9. 如图，在正方形ABCD 中，AB =4，AE =2，DF =1，则图中共有直角三角形________个．10. 11. 如图，一架长25（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米？12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ，12cm ，13cm ，你能算出这个三角形的面积吗？b915勾股定理及其逆定理【参考答案】➢ 课前预习1. 大于，互余；2. 121，144，169，196，225，256，289，324，3613. 16A S =9B S = 25C S =A B C S S S +=➢ 知识点睛1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2. 略3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；11，60，61．➢ 精讲精练1. C2. 169 cm 23. 24.245. 证明略6. 167. 148. AD =12 cm ，AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C14. 符合要求，理由略15. （1）同位角相等，两直线平行．逆命题成立．（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．逆命题不成立． （3）锐角三角形是等边三角形．逆命题不成立．（4）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．逆命题成立．。
专题 勾股定理及其逆定理【九大题型】
专题2.6勾股定理及其逆定理【九大题型】【浙教版】【题型1勾股定理的运用】 (1)【题型2直角三角形中的分类讨论思想】 (2)【题型3勾股定理解勾股树问题】 (3)【题型4勾股定理解动点问题】 (4)【题型5勾股定理的验证】 (6)【题型6直角三角形的判定】 (8)【题型7勾股数问题】 (9)【题型8格点图中求角的度数】 (10)【题型9勾股定理及其逆定理的运用】 (11)【题型1勾股定理的运用】【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A．32B．74C．2D．52【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD ＝．【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD ＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是．【题型2直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（）A．24或84B．84C．48或84D．48【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42B．32C．42或32D．42或37【变式2-2】（2022春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（）A．30B．119+17C．119+17或30D．36【变式2-3】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为．【题型3勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【变式3-1】（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．81【变式3-2】（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A．2020B．2021C．2022D．2023【变式3-3】（2022春•张湾区期中）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（）A．225B．250C．275D．300【题型4勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B 出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．62596或252B．252或24或12C．62596或24或12D．62596或252或24【变式4-1】（2021秋•宛城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝40cm，AC＝30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动．则当运动时间t＝s时，△BPC为直角三角形．【变式4-2】（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）BC的长是．（2）当点P刚好在∠BAC的角平分线上时，t的值为．【变式4-3】（2022春•河东区期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？【题型5勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b﹣a）又∵S四边形ADCB∴12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．【变式5-1】（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．【变式5-2】（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．【变式5-3】（2022春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【题型6直角三角形的判定】【例6】（2022春•绥宁县期中）若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（）①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．A．3个B．4个C．5个D．6个【变式6-1】（2022春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，若a=35c，b=45c．则△ABC为直角三角形B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，a＝n2﹣1，b＝2n（n＞1）【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）若△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣c）2＝b2﹣2ac，则（）A．∠A为直角B．∠B为直角C．∠C为直角D．△ABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个①△ABC中a2＝c2﹣b2②△ABC的三内角之比为3：4：7③△ABC的三边平方之比为1：2：3④三角形三边之比为3：4：5A．1B．2C．3D．4【题型7勾股数问题】【例7】（2022春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝24时，b+c的值为（）A．162B．200C．242D．288【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．（1）当n＝1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2﹣B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【题型8格点图中求角的度数】【例8】（2021秋•伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是．【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝°．【变式8-2】（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB﹣∠PCD＝．【变式8-3】（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝．【题型9勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．（1）若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【变式9-1】（2022春•陵城区期中）如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．【变式9-2】（2021春•当涂县期末）如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【变式9-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝102．（1）求四边形ABCD的面积．（2）求对角线BD的长．。
勾股定理逆定理练习题
勾股定理逆定理练习题1. 问题描述勾股定理逆定理是指：如果一个三角形的三个边长满足勾股定理的条件，即a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形一定是直角三角形。
现在我们给出一些三角形的边长，请判断它们是否是直角三角形。
2. 题目列表以下是一些勾股定理逆定理练习题，请根据题目中给出的三边长度，判断其是否构成直角三角形。
题目1:三角形ABC，已知边长a=3，b=4，c=5。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目2:三角形XYZ，已知边长x=7，y=24，z=25。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目3:三角形PQR，已知边长p=8，q=15，r=12。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目4:三角形LMN，已知边长l=20，m=21，n=29。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目5:三角形UVW，已知边长u=5，v=12，w=13。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
3. 解题思路根据勾股定理逆定理，我们只需要判断给定的边长是否满足a^2 + b^2 = c^2的条件即可。
如果满足条件，则可判定为直角三角形，否则不是。
4. 题目解答题目1:三角形ABC，已知边长a=3，b=4，c=5。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠C题目2:三角形XYZ，已知边长x=7，y=24，z=25。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠Z题目3:三角形PQR，已知边长p=8，q=15，r=12。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠P题目4:三角形LMN，已知边长l=20，m=21，n=29。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠L题目5:三角形UVW，已知边长u=5，v=12，w=13。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠W5. 总结在解题过程中，我们通过判断给定的三边是否满足勾股定理的条件，即a^2 + b^2 = c^2，来确定是否构成直角三角形。
勾股定理及逆定理习题及答案
勾股定理及逆定理习题及答案1、由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形（）2、由于0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数（）3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( )（1）9，12，15; （2）15，36，39;（3）12，35，36 ; （4）12，18，22.4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三角形的面积是（）cm2 .(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是（）.(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形6．如图，在一块平地上，张大爷家屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答( )A．一定不会B．可能会C．一定会D．以上答案都不对7．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为 2.5 m的木梯，准备把梯子架到 2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( )A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m 8．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距（ ）海里．9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝ 12 b ，则△ABC 是什么特殊三角形？1ｘ 2.ｘ ３．（1）(2)(4) B (5)D 6.A 7.A(8)50海里9. 解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，所以(c ＋a)(c －a)＝2b·12b.所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形．。
勾股定理的逆定理练习试题学习资料
勾股定理的逆定理练习试题勾股定理逆定理练习题一、选择1.△ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（ ） A ．a=41，b=40，c=9 B ．a=1.2，b=1.6，c=2C ．a=12，b=13，c=14D ．a=35，b=45，c=12. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（ ）． A ．12．5 B ．12 C ．1522D ．9 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D6.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5二、填空1、若果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形，且______所对的角=90°.注：若a ，b ，c 能围成RT △则把它们同时扩大或缩小相同的倍数也可围成________.2、直角△的两条直角边长分别为1cm 和2cm ，一个正方形的边长恰好等于这个直角△的斜边长，则这个正方形的面积为__________.3、一个等腰△腰长为13cm ，边长为10cm ，则底边上的高位_______.4、如图，带阴影的矩形面积是________平方厘米。
. 3cm17cm8cm5、若15,25，X 三个数为勾股数，则X=_______6、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是三、解答题1、.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.2、如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－93、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.4、如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.5、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？6、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.ADC BA7、如图18－2－5，在ABC∆中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求ABC∆的周长和面积．8、如图18－2－7，四边形ABCD中，B=90∠o，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．扩展延伸题：1、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．l321S4S3S2S12、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(简单证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；3、图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形5的边长为1cm，则正方形1的边长为多少cm.。
勾股定理的逆定理-习题训练(含答案)
勾股定理的逆定理一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－910.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18－2－10参考答案一、基础·巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2.解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E, 则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.3.思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S . 答案：324.思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：∵E 为AB 中点，∴BE=2.∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.∵CE 2+EF 2=CF 2,∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.5.分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ABD 中，AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°.在△BDC 中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=132=BC 2.所以△BDC 是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=O B2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.∴a －5=0,b －12=0,c －13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形.12.思路分析：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在△DEC 中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）,∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =21×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.。
勾股定理及逆定理应用(含解答)
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：
a =，b =，c =
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.
2、若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：
A、5B、 C、5或 D、5或
3、等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（）
A、56B、48C、40D、32
4、若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）
A、2:3:4B、3:4:6C、5:12:13D、4:6:7
5、一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的面积（）
3、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC的面积是
4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为
5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点， 则图中阴影部136则AC=
7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为
4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面 倒下到 的位置，连结 ，设 ，请利用四边形 的面积证明勾股定理： .
5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF都是正方形. 证：△ABF≌△DAE
勾股定理及其逆定理专题练习
勾股定理及其逆定理专题练习（一）几何法证明勾股定理.1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理.（二）勾股定理的应用.一、勾股定理的简单计算：1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________.3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米.2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ．3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ．b c c a a b D CA E B4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米.5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________．三、勾股定理与图形变换：1、如图，已知ABC ∆中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长.2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ∆的面积.3、现有一长方形纸片ABCD，在剪纸过程中需要折叠，如图所示，将ADE∆沿AE 折叠，且使AD落在长方形内，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB,108=BC,求EC的长.=四、表面路径最短问题：1、如图，一圆柱形油罐底面圆的周长是24 m，高为6 m，一只壁虎从距底面1 m的A处爬行到C处去捕食，壁虎在油罐的侧面爬行，它爬行的最短路线长为多少？2、如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？（三）勾股定理的逆定理的应用.1、三角形的三边长为c b a ,,若()01692612522=+-+-+-c c b a ，则A B C ∆的形状是（ ）A 、以a 为斜边的直角三角形B 、以b 为斜边的直角三角形C 、以c 为斜边的直角三角形D 、不是直角三角形2、测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个花坛的面积是 .（四）定理及逆定理的综合应用：1、如图，在A B C ∆中，D 为BC 边上的点，已知13=AB ,12=AD ,15=AC ,5=BD ，则ADC ∆的面积为___________.2、如图， 90121334=∠====B DC AD BC AB ，，，，,则四边形ABCD 的面积是__________.。
勾股定理及其逆定理(含答案)
勾股定理及其逆定理1.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )A. 5cmB. 10cmC. 14cmD. 20cm3.如图：图形A的面积是（）A.225B.B. 144C.C. 81D.D. 无法确定4.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A. 6B. 8C. 10D. 125.如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（）A. 15B. 17C. 23D. 1136. 如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间6.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为（）A.B. 3C.D. 58. 直角三角形的两条直角边的长分别为4和5，则斜边长是（）A. 3B. 41C.D. 97.如图，图中直角三角形共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则BC的长是（）A. 8B. 10C. 12D. 169.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A. 6B. 7C. 8D. 910.如图，字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12 cm2B. 15 cm2C. 144 cm2D. 306 cm213. 已知直角三角形的两边长分别为2、3，则第三边长可以为（）A. B. 3 C. D.14. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A. （5，4）B. （4，5）C. （4，4）D. （5，3）11.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A.3B.4C.5D.612.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（）A. 5B.6C.7D.2513.如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）A. B. C. D.18. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A. 48B. 60C. 76D. 8014.如图，E为正方形ABCD内部一点，且，，，则阴影部分的面积为（）A. 25B. 12C. 13D. 1915.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC=10km，BC=24km，则M、C两点之间的距离为( )A. 13kmB. 12kmC. 11kmD. 10km16.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，则AB=（）A. 17B.C. 289D. 18117.直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是（）A. 5B. 6C. 6.5D. 1318.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知，，则AC的长为( )A. 10B. 11C. 12D. 1319.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A. a=15，b=8，c=17B. a=9，b=12，c=15C. a=7，b=24，c=25D. a=3，b=5，c=720.下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A. 2，3，4B. 3，4，5C. 6，8，12D.21.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A. 10 mB. 15 mC. 18 mD. 20 m22.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 2，3，4C. 4，6，7D. 5，11，1223.在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A. 4、7、9B. 5、12、13C. 6、8、10D. 7、24、2524.一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最长为（）A. 20cmB. 50cmC. 40cmD. 45cm25.已知的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（）.A. B.C. D.26.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A. 3，4，5B. 9，12，15C. ，，D. 0.3，0.4，0.527.-64的立方根是（）A. ±8B. 4C. -4D. 1628.-8的立方根是（）A. -2B. ±2C. 2D. -29.的立方根是（）A. -1B. 0C. 1D. ±130.下列说法正确的是（）A. 1的相反数是-1B. 1的倒数是-1C. 1的立方根是±1D. -1是无理数31.在实数0，-2，，3中，最大的是（）A. 0B. -2C.D. 332.在实数，，，中有理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个33.8的相反数的立方根是（）A. 2B.C. -2D.34.下列说法正确的是（）A. 是有理数B. 5的平方根是C. 2＜＜3D. 数轴上不存在表示的点35.-的相反数是（）A. -B. -C. ±D.36.|1-|的值为（）A. 1-B. 1+C. -1D. +137.在下列实数中：π，-，0，，最小的数是（）A. -B. 0C.D. π38.下列结论正确的是（）A. 无限不循环小数叫做无理数B. 有理数包括正数和负数C. 0是最小的整数D. 两个有理数的和一定大于每一个加数39.下列说法正确的是（）A. 3.14是无理数B. 是无理数C. 是有理数D. 2p是有理数40.下列各式正确的为（）A. =±4B. -=-9C. =-3D.41.下列说法正确的是（）A. 1的平方根是它本身B. 是分数C. 负数没有立方根D. 如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数42.下列四个数：-2，-0.6，，中，绝对值最小的是（）A. -2B. -0.6C.D.43.与最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 744.下列对实数的说法其中错误的是（）A. 实数与数轴上的点一一对应B. 两个无理数的和不一定是无理数C. 负数没有平方根也没有立方根D. 算术平方根等于它本身的数只有0或145.下列说法：①带根号的数都是无理数；②无理数都可用数轴上的点表示；③的平方根是±4：④a2的算术平方根是a；⑤负数也有立方根，其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选：C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理列式计算即可得解；本题考查了勾股定理，是基础题，主要是对勾股定理的理解与应用．【解答】解：由勾股定理得，A边长，故A的面积.故选C．4.【答案】C【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1，∠CAC1=60°，∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，∴∠BAC1=90°，AB=8，AC1=6，∴在Rt△BAC1中，BC1的长=，故选：C．根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长是解题的关键．根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵两个正方形的面积分别是64和49，∴AB=BD=8，DC=7，∴BC=BD+DC=8+7=15，根据勾股定理得：AC==17．故选B.6.【答案】C【解析】解：由勾股定理得，OB==，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C．利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∴BC2=EC2-EB2=22-12=3，∴正方形ABCD的面积=BC2=3．故选：B．先根据正方形的性质得出∠B=90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了正方形的性质．8.【答案】C【解析】解：由勾股定理得：斜边长为，故选：C．利用勾股定理即可求出斜边长．本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的内容是关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．【解答】解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C10.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．直接利用勾股定理得出AC的长，进而求出BC的长．【解答】解：∵AD⊥CD，CD=4，AD=3，∴AC==5，∵∠ACB=90°，AB=13，∴BC==12．故选C．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是勾股定理和等腰三角形的性质，在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰底边上的高．【解答】解：根据题意画出图形，，如图：BC =12，AB=AC=10 ，在△ABC中，AB =AC，AD⊥BC，则BD =DC=BC=6 ，在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，，故选C.12.【答案】C【解析】解：如图，∵a2+b2=c2，而a2=81，c2=225，∴b2=225-81=144，∴字母B所代表的正方形的面积为144cm2．故选：C．如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=81，c2=225，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．13.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论，分3是直角边和斜边两种情况讨论求解．【解答】解：3是直角边时，第三边==，3是斜边时，第三边==，所以，第三边长为或．故选D．14.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB=AO+OB=5，∴AD=AB=CD=5，∴DO===4，∴点C的坐标是（5，4）．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选A．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．【解答】解：如图所示：AB===5．故选：A．17.【答案】C【解析】【分析】通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．【解答】解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=1，BO=2，所以AB=．周长为4AB=4．故选C．18.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理以及正方形的性质，解题关键是利用勾股定理求出正方形的边长，然后利用部分之和等于整体求出阴影部分面积.由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE转换求面积.【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，∴S阴影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-×AE×BE=100-×6×8=76.故选C.19.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键，根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，∴正方形的面积是5×5=25，∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，∴阴影部分的面积是25-6=19，故选D．20.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=26，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到M、C两点之间的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，∴AB==26，∵M点是AB中点，∴MC=AB=13，故选A．21.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,掌握勾股定理是解决问题的关键．由题意可知：斜边为AB，直接由勾股定理求得答案即可．【解答】解：根据勾股定理，AB===17．故选A22.【答案】C【解析】解：由题意得，斜边=，所以斜边上的中线=×13=6.5．故选：C．根据勾股定理，先求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出中线长．此题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．23.【答案】D【解析】【分析】考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大．首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△ABC的中位线，∵OE=6，∴BC=2OE=12，∵AB=5，∴AC==13，故选D．24.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的知识是解决问题的关键.理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方.解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+52≠72，故选：D．25.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．26.【答案】C【解析】【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC===13（m），∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18（m）．故选C.27.【答案】A【解析】解：A.∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；B.∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C.∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D.∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A．利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．28.【答案】A【解析】解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．29.【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，首先要正确理解题意，明白怎么放桶内所能容下的木棒最长，然后灵活利用勾股定理，难度一般．根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理即可求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=2×12=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB===40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．30.【答案】A【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【解答】解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形；B.∵，设a、b、c边长为k、k、k∴则有k2+k2=2k2，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；C.∵∠C=∠A-∠B，∴∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；D.∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故能判定△ABC是直角三角形．故选A．31.【答案】C【解析】解：A、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；B、因为92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；D、因为0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误．故选：C．根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．32.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键.依据立方根的定义求解即可.【解答】解：∵（-4）3=-64，∴-64的立方根是-4．故选C．33.【答案】A【解析】解：∵-2的立方等于-8，∴-8的立方根等于-2．故选：A．如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．34.【答案】C【解析】解：的立方根是1，故选：C．根据开立方运算，可得一个数的立方根．本题考查了立方根，先求幂，再求立方根．35.【答案】A【解析】解：A、1的相反数是-1，正确；B、1的倒数是1，故错误；C、1的立方根是1，故错误；D、-1是有理数，故错误；故选：A．根据相反数、倒数、立方根，即可解答．本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定义．36.【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，要注意无理数的大小范围．根据正负数的大小比较，估算无理数的大小进行判断即可．【解答】解：2＜＜3，实数0，-2，，3中，最大的是3．故选D．37.【答案】B【解析】解：在实数，，，中=2，有理数有，共2个．故选：B．整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．此题考查了有理数和无理数的定义，注意需化简后再判断．38.【答案】C【解析】解：8的相反数是-8，-8的立方根是-2，则8的相反数的立方根是-2，故选：C．根据相反数的定义、立方根的概念计算即可．本题考查的是实数的性质，掌握相反数的定义、立方根的概念是解题的关键．39.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系，利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．【解答】解：A、是无理数，故A错误；B、5的平方根是，故B错误；C、＜，∴2＜3，故C正确；D、数轴上存在表示的点，故D错误；故选C．40.【答案】D【解析】解：根据相反数、绝对值的性质可知：-的相反数是．故选：D．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中．41.【答案】C【解析】解：|1-|的值为-1．故选：C．计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．考查了实数的性质，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．42.【答案】A【解析】解：∵-＜＜0＜π，∴最小的数是-．故选：A．根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数．此题主要考查了有理数的比较大小，根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．43.【答案】A【解析】解：A、无限不循环小数叫做无理数，正确，故本选项符合题意；B、有理数包括正有理数、0和负有理数，不正确，故本选项不符合题意；C、0不是最小的整数，没有最小的整数，不正确，故本选项不符合题意；D、一个数同0相加仍得这个数，所以两个有理数的和不一定大于每一个加数，不正确，故本选项不符合题意．故选：A．根据有理数、无理数、整数及有理数的加法法则判断即可．本题考查了有理数、无理数、整数及有理数的加法法则，属于基础知识，需牢固掌握．44.【答案】C【解析】解：整数和分数统称为有理数．A.3.14是小数，可写成分数的形式，所以是有理数，错误．B.是有理数，错误．D.2p表示p的2倍，要视乎p本身是否为有理数而定，错误．故选：C．按照有理数无理数的定义判断即可．本题考查了有理数的定义，正确理解有理数定义是解题关键．45.【答案】D【解析】解：A、=4，故原题计算错误；B、-=9，故原题计算错误；C、=3，故原题计算错误；D、=，故原题计算正确；故选：D．根据=|a|进行化简计算即可．此题主要考查了二次根式和立方根，关键是掌握二次根式的性质．46.【答案】D【解析】解：A、1的平方根是±1，错误；B、是无理数，错误；C、负数有立方根，错误；D、如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数，正确；故选：D．根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答即可．此题考查实数问题，关键是根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答．47.【答案】C【解析】解：∵|-2|=2，|-0.6|=0.6，||=，||=，∵，所以绝对值最小的是，故选：C．根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．此题考查了实数的大小比较，以及绝对值的意义，注意先运算出各项的绝对值．48.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道在5和5.5之间，题目比较典型，根据无理数的意义和二次根式的性质，即可求出答案.【解答】解：∵，∴，∴最接近的整数为，∴.故选B.49.【答案】C【解析】【分析】本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系是解题关键．根据平方根的意义、立方根的意义、实数与数轴的关系，可得答案．【解答】解：A.实数与数轴上的点一一对应，说法正确，故选项不符合题意；B.π+（1-π）=1，说法正确，故选项不符合题意；C.负数的立方根是负数，说法错误，故选项符合题意；D.算术平方根等于它本身的数只有0或1，说法正确，故选项不符合题意．故选C．50.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数中无理数的概念，算术平方根，平方根，立方根的概念.①根据无理数的定义即可判定；②根据无理数与数轴的关系即可判定；③根据算术平方根、平方根的定义计算即可判定；④根据算术平方根的定义即可判定；⑤根据立方根的定义即可判定.【解答】解：①带根号的数不一定是无理数，有的是有理数，故说法错误；②无理数都可用数轴上的点表示，故说法正确；③=4，4的平方根是±2，故说法错误：④a2的算术平方根是|a|，故说法错误；⑤负数也有立方根，故说法正确．正确的是：②⑤.故选B．。
勾股定理的逆定理练习题(超经典含答案)
3．【答案】A
【解析】A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
A．5B．6C．7D．8
11．下列命题中，命题为真命题的是
A．对顶角相等B．若a=b，则|a|=|b|
C．同位角相等，两直线平行D．若ac2<bc2，则a<b
12．如图所示的一块地，∠ADC=90°， ， ， ， ，求这块地的面积 为
A．54m2B．108m2C．216m2D．270m2
13．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2=DE2，则∠A的度数为__________．
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误．故选A．
20．【答案】A
【解析】∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．
∴四边形ABCD的面积是6．
18．【解析】（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=
在Rt△ADB中，由勾股定理得BD= ．
勾股定理逆定理练习题
CAD 第6题1．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是 2．已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在Rt △ABC 中，若ACBCAB ＝4，则下列结论中正确的是（ ）A ．∠C ＝90°B ．∠B ＝90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形4．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ） A ．仍是直角三角形 B ．不可能是直角三角形 C ．是锐角三角形 D ．是钝角三角形 4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．如图，一电线杆A B 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 约为1.732，结果保留三个有效数字）（ ）A ．5.00米B ．8.66米C ．17.3米D ．5.77米6．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD=2BD ，AC=6，BC=3，则BD 的长为（ ） A ．3 B ．12C ．1D ．4 7、△ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（ ）A ．a=41，b=40，c=9B ．a=1.2，b=1.6，c=2C ．a=12，b=13，c=14 D ．a=35，b=45，c=1 8、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A ．若a=b ，则a 2=b 2B ．全等三角形的周长相等C ．若a=0，则ab=0D ．有两边相等的三角形是等腰三角形 10．下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组11．如果△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，则△ABC 是______三角形，_____=90°，• 这个定理叫做_______． 12、一个命题成立，那么它的逆命题_______成立 3、△ABC 中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．13．已知两条线段的长为3cm 和2cm ，当第三条线段的长为 cm 时，这三条线段能组成一个直角三角形.14．一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．15．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m•后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．16．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______． 17．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 13. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．这棵树在折断之前有__________米.14、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .15、已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 16、如图1,在四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ＝8，DC ＝6，CB ＝24，AB ＝26.则四边形ABCD的面积为____________.17、如图3所示的一块地，已知AD ＝4m ，CD ＝3m ， AD ⊥DC ，AB ＝13m ，BC ＝12m ，则这块地的面积是__________2m . 18、1.判断由下列各组线段a 、b 、c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由.（1）a ＝6.5，b ＝7.5，c ＝4；（2）a ＝11，b ＝60，c ＝61； （3）a ＝38，b ＝2，c ＝310；BCA第5题图图3ABCD（4）a ＝433，b ＝2，c ＝414；19、如图3，AD=7，AB ＝25，BC ＝10，DC ＝26，DB ＝24，求四边形ABCD 的面积.19、如图4，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9. (1)求DC 的长. (2)求AB 的长.(3)求证: △ABC 是直角三角形.20、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC ，∠DAB=30°，求BC 的长．CABD 图4CABD图。
勾股定理及逆定理的应用练习
ABA1 B 1DC D1 C 12 1 4勾股（逆）定理的应用姓名 学号一、选择题（每题3分，共9分）（ ）1．直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为．A ．6cmB ．8.5cmC ．3013cmD ．6013cm（ ）2．有四个三角形：（1）△ABC 的三边之比为3：4：5；（2）△A ′B ′C ′的三边之比为5：12：13； （3）△A ′B ′C ′的三个内角之比为1：2：3； （4）△CDE 的三个内角之比为1：1：2．其中是直角三角形的有．A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（2）（3）（4）（ ）3.下面四组数中是勾股数的一组是A ．6，7，8B ．5，8，13C ．1.5，2，2.5D ．5，12，13二、填空：（每空4分，共44分）1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5dm ，3dm 和1dm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是 （第1题） 2.如图，有一圆柱形油罐，现要从油罐底部的一点A 环绕油罐建梯子，并且要正好建到A 点正上方的油罐顶部的B 点，已知油罐高AB=5米，油罐底部周长为12米，那么梯子最短要 米。
（第2题） （第3题）3. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为4. 如图，边长为5的正方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着正方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（第4题） （第5题）（第6题）5.如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=15km，BC=9km，AC=12km．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB，为了实现村村通公路，现在要从C村修一条笔直公路CD直达AB．已知公路的造价为10000元/km，求修这条公路的最低造价是6．如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），最短路线长为7.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为____ ______．8.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要__________元．(第8题) （第9题） (第11题)9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，请你判断这个零件符合要求吗？•为什么？【9分】2.如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC•落在AB上，求DC的长．【9分】3.．观察下列图形，回答问题：【9分】问题（1）：若图①中的△DEF 为直角三角形，正方形P 的面积为9，正方形Q 的面积为15，则正方形M 的面积为问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆面积321,,S S S 之间的关系是问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边长分别为3和4，以直角三角形三边为直径作三个半圆，请你利用上面结论求出阴影部分的面积．4.如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA•垂直AB 于A ，CB 垂直AB 于B ，已知AD=15km ，BC=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站建在距A 站多少千米处？【10分】5.某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？【10分】。
勾股定理及其逆定理 (习题及答案)
勾股定理及其逆定理（习题）例题示范例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m处，这棵树折断之前有多高？解：如图，由题意得，AC=3，BC=4，∠ACB=90°在Rt△ABC中，∠ACB=90°由勾股定理，得AC2+BC2=AB2∴32+42=AB2∴AB=5∴AB+AC=5+3=8答：这棵树折断之前高8m．例2：如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°．证明：如图在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12∵52+122=132∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°．巩固练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC的长为________．2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km，乙往南走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为___________．3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S l+S2>S3B．S l+S2<S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S32第3题图第4题图4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若其中最大正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2．5.如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并利用这个图形证明勾股定理；（2）假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的图形的示意图，并利用该图形证明勾股定理．6.以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（）A ．1.5，2，2.5B ．9，12，15C ．7，24，25D ．1，1，27.已知三条线段的长是：①5k ，12k ，13k （k >0）；②111345，，；③32，42，52；④11，60，61；⑤22()12()()1m n m n m n +-+++，，（m ，n 为正整数）．其中能构成直角三角形的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 边上，若AB =4，AE =2，DF =1，则图中的直角三角形共有____个．9.如图，求出下列直角三角形中未知边的长度：b=_______，c=________．10.下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．11.如图，一架长25米的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端与墙根之间的距离为7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上滑动了几米？12.在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，求AC的长．13.在△ABC 中，点D 是线段BC 上的一点，已知AB =15，AD =12，AC =13，BD =9．求BC 的长．思考小结1.赵爽弦图和毕达哥拉斯弦图都是由四个全等的__________三角形拼成的，但是在拼的过程中有区别，赵爽弦图的弦在____（填“内”或“外”），毕达哥拉斯弦图的弦在____（填“内”或“外”），请你画出对应的弦图．赵爽弦图毕达哥拉斯弦图2.我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）____（填“是”或“不是”）一组勾股数；一般地，如果a，b，c（a b c<<）是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k 是正整数）是一组勾股数吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．解：ak，bk，ck（k是正整数）______一组勾股数，理由如下：∵a，b，c是一组勾股数∴___________________∵k≠0∴k2a2+k2b2______k2c2∴(ak)2+(bk)2_____(ck)2∵k为正整数∴ak，bk，ck也是________∴ak，bk，ck（k是正整数）_______一组勾股数【参考答案】巩固练习1.152.13km3.C4.495.略6.D7.B8.49.12，2610.（1）逆命题为两直线平行，同旁内角互补．逆命题成立．（2）逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是直角．逆命题不成立．（3）逆命题为对应边相等的两个三角形是全等三角形．逆命题成立．（4）逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．逆命题不成立．11.（1）24米（2）8米12.AC的长为1013.BC的长为14思考小结1.直角，外，内图略2.是，是，222+=，=，=，正整数，是a b c。
初中数学勾股定理及逆定理练习题(附答案)
初中数学勾股定理及逆定理练习题一、解答题1.如图所示的一块地,4,3,13,12,AD m CD m AB m BC m ====求这块地的面积.2.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A ，B ，C 为格点(1)判断ABC 的形状，并说明理由.(2)求BC 边上的高.3.如图,在Rt ABC 中90,7cm C BC ∠=︒=.动点P 在线段AC 上从点C 出发,沿CA 方向运动;动点Q 在线段BC 上同时从点B 出发,沿BC 方向运动.如果点,P Q 的运动速度均为1cm /s ,那么运动几秒时,它们相距5cm4.如图,在ABC ∆中,45ABC ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E ,BE 与CD 交于点F .(1)求证:ACD FBD ∆≅∆(2)若5,1AB AD ==,求BF 的长5.如图，将长方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE .(1)求证:AE AF CE CF===；(2)设AE a=，请写出一个a b c，，三者之间的数量关系式.=，DC c=，ED b6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE△，延长△沿AE对折至AFEEF交BC于点G，连接AG.(1)求证:ABG AFG△△；≅(2)求BG的长.7.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜂蜜，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.8.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点3E AE=，，1+EB=，在AC上有一点P，使EP BP 最短，求EP BP+的最短长度.9.如图，四边形ABCD 是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网，经过测量得知:90B ∠=︒，24m AB =，7m BC =，15m CD =，20m AD =.(1)判断D ∠是不是直角，并说明理由；(2)求四边形ABCD 需要铺的草坪网的面积.10.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数百千米的范围内形成极端气旋，有极强的破坏力如图，有一台风中心由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点,A B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，且500km AB =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域.(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h ，台风影响该海港持续的时间有多长？11.如图，每个小正方形的边长是1.(1)求ABC △的周长.(2)画出BC 边上的高，并求出ABC △的面积.(3)画出AB 边上的高，并求出高.12.如图，在ABC △中，20AB =，12AC =，16BC =，把ABC △折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)面积.13.已知ABC △的三边分别为a b c ,,，且4a b +=，1ab =，c =ABC △的形状. 14.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海某城市A 正南方向240km 的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25km ，风力就会减弱一级该台风中心现正以20km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，如图，且台风中心的风力不变若城市所受风力到达或超过4级，则称受到台风影响(提示:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)(1)城市A 是否会受到台风影响？请说明理由(2)若城市A 会受到台风影响，那么台风影响该城市的时间有多长？(3)若城市A 会受到台风影响，那么该城市受到台风影响的最大风力为几级？15.如图，在长方形纸片ABCD 中，3cm AB =，9cm AD =，将此长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，求ABE △的面积.16.如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D'处，BC交AD'于点BC=，求阴影部分的面积.，，8cm6cmE AB=17.如图，点D是ABC△，且4△内一点，把ABD△绕点B顺时针旋转60°得到CBEAD=，CD=.3BD=，5(1)判断DEC△的形状，并说明理由.(2)求ADB∠的度数.18.在一次意外事故中，有一根高为16m的电线杆在A处断裂，如图，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8m远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离.19.如图，在等腰直角三角形ABC中，90∠=︒，点D为AC边的中点，过点D作DE DFABC⊥，CF=，求EF的长.交AB于点E，交BC于点F，若4AE=，320.八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．你能将旗杆的高度求出来吗？21.如图,已知一高层住宅发生火灾,消防车立即赶到距大厦8米处(车尾到大厦墙面),升起云梯到火灾窗口,已知云梯长17米,云梯底部距地面2 米,问发生火灾的住户窗口距地面多高?22.已知a,b,c,为△ABC 的三边长,且满足a 2 +b 2+c 2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC 的形状.23.如图所示,在长方形ABCD 中, 8AB =,4BC =,将长方形沿AC 折叠,使点D 落在点D '处,求重叠部分AFC ∆的面积.24.如图,一个梯子AB 长25米,顶端A 靠在墙AC 上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为15米,梯子滑动后停在DE 的位置上,测得BD 长为5米,求梯子顶端A 下落了多少米?25.美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法,如图,他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形,请你利用此图形验证勾股定理.参考答案1.答案：解:连接AC∵90,4,3, 5.ADC AD CD AC ∠=︒==∴=由13,12AB BC ==可得222,AC BC AB ABC +=∴△是直角三角形∴30S ABC =△6,S ACD =△30624-=所以这块土地的面积为224m解析：2.答案：(1)结论：ABC 是直角三角形.理由：2222222221865,2313,6452BC AC AB =+==+==+=，222AC AB BC ∴+=， ∴ABC 是直角三角形.(2)设BC 边上的高为则有1122AC AB BC h ⋅⋅=⋅⋅， 13,AC AB BC ===.解析： 90,2ADB AD BD h ︒∠==∴ 3.答案：设运动x 秒时，它们相距5cm ，则()7cm,cm CQ x CP x =-= 根据题意得：()22275x x =+-解得123,4x x ==答：运动3秒或4秒时，它们相距5cm解析：4.答案：(1)证明：45,ABC CD AB ︒∠=⊥90CDB CDA ∴∠=∠=︒CDB ∴∆为等腰直角三角形BD CD ∴=BE AC ⊥90CEF FDB ∴∠=∠=︒又CFE BFD ∠=∠ACD FBD ∴∠=∠在ACD ∆和FBD ∆中，90ACD FBD BD CDCDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩︒ ()ACD FBD ASA ∴∆≅∆(2)ACD FBD ∆≅∆ 1AD FD ∴==又5AB =4BD ∴=∴在Rt BDF ∆中，BF === 解析：5.答案：(1)证明:由题意知，AF CF =，AE CE =，AFE CFE ∠=∠. 在长方形ABCD 中，//AD BC ，AEF CFE ∴∠=∠， AFE AEF ∴∠=∠，AE AF EC CF ∴===.(2)由题意知，AE EC a ==，ED b =，DC c =， 由90D ∠=︒知，222ED DC CE += ，即222b c a +=. 解析：6.答案：(1)证明:在正方形ABCD 中，AD AB =，90D B ∠=∠=︒. 将ADE △沿AE 对折至AFE △，AD AF ∴=，DE EF =，90D AFE ∠=∠=︒.AB AF ∴=，90B AFG ∠=∠=︒.又AG AG =，()Rt Rt HL ABG AFG ∴≅△△.(2)ABG AFG ≅△△，BG FG ∴=.设()0BG FG x x ==>，则6GC x =-， E 为CD 的中点，3CE DE EF ∴===，3EG x ∴=+. 在Rt CEG △中，()()222363x x +-=+，解得2x =，2BG ∴=. 解析：7.答案：分为三种情况:(1)如图①，连接EC .在Rt EBC △中，12820cm EB =+=，13015cm 2BC =⨯=，由勾股定理得25cm EC =(2)如图②，连接EC .同理可得25cm CE >.(3)如图③，连接EC .同理可得25cm CE >. 综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.解析：8.答案：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP .此时EP BP +最短.易知BD AC ⊥，且BO OD =，BP PD ∴=，则BP EP ED +=.3AE =，134AD AB ==+=，∴在Rt ADE △中，由勾股定理得222234255ED =+==， EP BP ∴+的最短长度为5.解析：9.答案：(1)D ∠是直角，理由如下:如图，连接AC ，90B ∠=︒，24m AB =，7m BC =，222AC AB BC ∴=+22247625=+=，()25m AC ∴=. 又15m CD =，20m AD =，222152025+=即222DC AD AC +=，ACD ∴△是直角三角形，且D ∠是直角. (2)ABC ADC ABCD S S S =+四边形△△()211234m 22AB BC AD DC =⋅+⋅=. 故四边形ABCD 需要铺的草坪网的面积为2234m . 解析：10.答案：(1)海港C 受台风影响.理由如下:如答图，过点C 作CD AB ⊥.300km AC =，400km BC =，500km AB =.222AC BC AB ∴+=，ABC ∴△是直角三角形，AC BC CD AB ∴⋅=⋅，300400500CD ∴⨯=⨯，()300400240km 500CD ⨯∴==.以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域， ∴海港C 受台风影响(2)当250km EC =，250km FC =时，台风正好影响C 港口. 70km ED EC ==，140km EF ∴=.台风的速度为20km/h ，∴受台风影响的时间为()140207h ÷=，答:台风影响该海港持续的时间为7h.解析：11.答案：(1)AB AC =，2BC =，故ABC △的周长为2(2)作图略，ABC △的面积12442=⨯⨯=.(3)作图略，AB 边上的高42=⨯÷解析：12.答案：设CD x =在ABC △中，20AB =，12AC =，16BC =，222AC BC AB ∴+=，90ACB ∴∠=︒.把ABC △折叠，使AB 落在直线AC 上，BD B D '∴=16x =-，B C AB AC '=-20128=-=.在Rt DCB '△中，90DCB '∠=︒，222CD B C DB ''∴+=，()222816x x ∴+=-，解得6x =.∴重叠部分(阴影部分)的面积为1612363⨯⨯=. 解析：13.答案：ABC △是直角三角形理由如下22a b +()22a b ab =+-242114=-⨯=，2214c ==，222a b c ∴+=，ABC ∴△是直角三角形. 解析：14.答案：(1)城市A 会受到台风影响理由如下:如图，过点A 作AD BC ⊥于点D .在Rt ADB △中，30ABD ∠=︒，240km AB =，()11240120km 22AD AB ∴==⨯=.由题意知，距台风中心在()()12425200km -⨯=以内时，会受到台风影响.120200<，∴城市A 会受到台风影响..(2)设台风中心移至E 处时，城市A 开始受到台风影响，台风中心移至F 处时，城市A 脱离台风影响，连接AE AF ,，则200km AE AF ==.由勾股定理，得222DE AE AD =-222200120160=-=，160km DE ∴=.同理可得160km DF =.∴城市A 受台风影响的时间为()160216h 20⨯=. (3)当台风中心位于D 处时，对城市A 的影响最大.120km AD =，∴台风从D 处到A 处，其风力将减弱12025 4.8÷=(级)，A ∴处的风力为12 4.87.2-=(级)，∴该城市受到台风影响的最大风力为7.2级解析：15.答案：设cm BE x =，由折叠的性质知cm DE BE x ==，则()9cm AE AD DE x =-=-.在Rt ABE △中，由勾股定理，得222BE AE AB =+，即()22293x x =-+，解得5x =.5cm DE BE ∴==， ()9954cm AE x ∴=-=-=.12ABE S AB AE ∴=⋅△()21346cm 2=⨯⨯=. 解析：16.答案：由折叠的性质，可知D D '∠=∠，CD CD '=.又CD AB =，D B ∠=∠，CD AB '∴=，B D '∠=∠在ABE △和CD E '△中， AEB CED B D AB CD '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，ABE CD E '∴≅△△，AE CE ∴=.设cm AE CE x ==，则()8cm BE x =-在Rt ABE △中，222AB BE AE +=即()22268x x +-=，254x ∴=，25cm 4CE AE ==. 12S CE AB ∴=⋅阴影()2125756cm 244=⨯⨯=. 解析：17.答案：(1)DEC △是直角三角形理由如下: ABD △绕点B 顺时针旋转60°得到CBE △，CBE ABD ∴≅△△，3BE BD ∴==，4CE AD ==又60DBE ∠=︒，BDE ∴△是等边三角形，3DE BD ∴==.又5CD =，222234DE CE ∴+=+22255CD ===，DEC ∴△是直角三角形(2)由(1)得90DEC ∠=︒，BDE △是等边三角形，60BED ∴∠=︒，BEC DEC BED ∴∠=∠+∠9060150=︒+︒=︒.ABD CBE ≅△△，150ADB BEC ∴∠=∠=︒.解析：18.答案：在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒.设m AB x =，则()16m AC x =-由勾股定理，得222AB BC AC +=，即()222816x x +=-，解得6x =.故电线杆断裂处A 到地面的距离为6m.解析：19.答案：连接BD .在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 边的中点，BD AC ∴⊥，BD CD AD ==，45ABD ∠=︒，45C ∠=︒，ABD C ∴∠=∠. 又DE DF ⊥，BD AC ⊥，EDB BDF FDC BDF ∴∠+∠=∠+∠，EDB FDC ∴∠=∠，在EDB △与FDC △中，EBD C BD CD EDB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()...EDB FDC A S A ∴≅△△，3BE CF ∴==，7AB ∴=，则7BC =，4BF ∴=.在Rt EBF △中，222EF BE BF =+223425=+=，5EF ∴=.解析：20.答案：解：能将旗杆的长度求出来理由如下：设旗杆的长度为x 米，根据勾股定理得：2225(1)x x +=+解得：12x =答：旗杆的高度为12米.解析：21.答案：设窗口距地面高为(2)x +米,根据勾股定理有222178x =-,∴15x =,则217x +=,所以窗口距地面高17米.解析：22.答案：△ABC 是直角三角形解析：∵a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,∴a 2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,即(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5,∵32+42=52,∴△ABC 是直角三角形23.答案：在长方形ABCD 中,∵//AB CD ,∴BAC DCA ∠=∠.又由折叠的性质可得DCA FCA ∠=∠,∴BAC FCA ∠=∠,∴AF CF =.设AF x =,则8BF AB AF x =-=-.在Rt BCF ∆中, 4BC =,8BF x =-,CF x =,90B ∠=︒,∴()22248x x +-=.解得5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆=⋅=⨯⨯=. 解析：24.答案：5米解析：在RT ABC ∆中,根据勾股定理得: 20AC =米,由于梯子的长度不变,在RT CDE ∆中,根据勾股定理,求出CE ,从而即可得出答案.在Rt ABC ∆中, 25AB =米, 15BC =米, 故20AC ===米,在Rt ECD ∆中, 25AB DE ==米, ()15520CD =+=米, 故15EC ==米,故20155AE AC CE =-=-=米.答:梯子顶端A 下落了5米.考点:勾股定理的应用25.答案： 因为 ()()22211222S a b a ab b =+=++梯形, 又因为S 梯形221111(2)2222ab ba c ab c =++=+ 所以22211(2)(2)22a ab b ab c ++=+得c2=a2+b2.解析：试题分析:此等腰梯形的面积有三部分组成,利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理.考点:勾股定理的证明.。
(完整版)勾股定理及其逆定理复习典型例题
勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2） 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。
（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，根据题意得： （3x ）2+（4x ）2=202 化简得x 2=16； ∴直角三角形的面积=21×3x ×4x =6x 2=96注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。
解：如图，等边△ABC ，作AD ⊥BC 于D 则：BD=21BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） ∴BD=1在直角三角形ABD 中AB 2=AD 2+BD 2，即：AD 2=AB 2－BD 2=4－1=3 ∴AD=3 S △ABC =21BC·AD=3 ABCD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a ，则其面积为43a 例3、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。
勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
1.三角形ABC的两边分别为5和12，另一边c为奇数，并且a+b+c是3的倍数。
求c的值和三角形的类型。
2.三角形中两条较短的边为a+b和a-b（a>b），求第三条边使得三角形为直角三角形。
3.已知三角形ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²+50=2(m-1)余m+1，求三角形的类型。
4.已知三角形ABC中，BC=6，BC边上的高为7，求AC 边上的高。
5.已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），求三角形的类型和理由。
6.已知一个三角形的三边分别为7cm，24cm，25cm，求三角形的面积。
7.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。
8.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。
9.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是多少？
10.已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，
AD=13，求四边形的面积。
11.已知三角形ABC中，AC=17，AD=8，CD=15，
AB=10，求三角形的类型和面积。
12.已知三角形ABC中，AB=17cm，BC=30cm，求三角形的类型和面积。
13.判断一个机器零件是否符合要求。
14.已知四边形ABCD中，∠B=90，BC上的中线
AD=8cm，判断三角形ABC的类型和理由。
15.为了庆祝红宝石婚，XXX和XXX举办了一场数学竞赛，其中包括了勾股定理的逆定理的专题训练。
专题1.2 勾股定理的逆定理【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题1.2 勾股定理的逆定理【八大题型】【北师大版】【题型1 判断三边能否构成直角三角形】 (1)【题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 (2)【题型3 在网格中判断直角三角形】 (2)【题型4 勾股数的探究】 (3)【题型5 利用勾股定理的逆定理证明】 (5)【题型6 利用勾股定理的逆定理求解】 (5)【题型7 勾股逆定理的应用】 (6)【题型8 勾股定理及其逆定理的综合】 (7)【知识点 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．【题型1 判断三边能否构成直角三角形】【例1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）由线段a 、b 、c 组成的三角形是直角三角形的是（ ）A ．a =5,b =3,c =3B ．a =13,b =15,c =14C ．a =6,b =4,c =5D ．a =7,b =24,c =25【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且满足(a +b )(a−b )=c 2，则这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定【变式1-2】（2023春·八年级单元测试）如图，以△ABC 的两边BC 、AC 分别向外作正方形，它们的面积分别是S 1，S 2，若S 1=2，S 2=3，AB 2=5，则△ABC 的形状是________三角形．【变式1-3】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）有四种说法：①三个内角之比为5:6:1；②三边形长分③三边之长为9、40、41；④三边之比为1.5∶2∶3．其中是直角三角形的有___________（填序号）．【题型2图形上与已知两点构成直角三角形的点】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C 到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有______个．【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C 也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）点A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（）A．4B．2C．1D．0【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上，在图中画ΔABC（点C在小正方形的顶点上），使ΔABC为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）【题型3在网格中判断直角三角形】【例3】（2023春·北京西城·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC 的三个顶点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，那么AD的长为（）A．2.5B．3C．D【变式3-1】（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为_________．【变式3-2】（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求四边形ABCD的面积与周长；(2)求证：∠BCD=90°．【变式3-3】（2023春·八年级单元测试）如图所示的是2×5的正方形网格，点A，B，P都在网格点上，则∠APB=________．【题型4勾股数的探究】【例4】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数．如(3,4,5)就是一组勾股数．(1)请你再写出两组勾股数：（___________），（___________）；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2−1，z=n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．【变式4-1】（2023春·四川达州·八年级校考期中）以下列各组数据中的三个数，其中是勾股数的是（）A．B．6，8，10C．D．2，3，4【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且m>n）：m23344…n11212…a22+1232+1232+2242+1242+22…b4612816…c22−1232−1232−2242−1242−22…(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：a=______，b=______，c=______．(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．【变式4-3】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．【题型5利用勾股定理的逆定理证明】【例5】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD=1，CD=2，AD=4．求证：∠ACB=90°．【变式5-1】（2023·江苏·八年级假期作业）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a=n2−1,b=2n,c=n2+1，判断△ABC的形状，证明你的结论．【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断．【变式5-3】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中线，点E在AD的延长线上，且AD=ED=12．(1)求证：△CDE≌△BDA；(2)证明：CE⊥AE；(3)求△ABC的面积．【题型6利用勾股定理的逆定理求解】【例6】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，则△BDE的周长为（）A．3B．4C．5D．6【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的长．【变式6-2】（2023春·河南开封·八年级统考期末）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足(a+2b−11)2+|2a−b−2|=10c−25−c2，请你判断△ABC的形状，并求出其周长与面积．【变式6-3】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）已知在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，点E为边AC 上的动点，点F为边AB上的动点，则FE+EB的最小值是_________．【题型7勾股逆定理的应用】【例7】（2023春·广东广州·八年级统考期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC=20km，停靠站A、B之间的距离为AB=25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．(1)请判断△ABC的形状？(2)求修建的公路CD的长．【变式7-1】（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，△ABC区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与点A，B的距离分别为600m和800m，又AB=1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．(1)求△ABC的面积．(2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？【变式7-2】（2023春·广西桂林·八年级统考期中）一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC＝15米，AD＝13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？【变式7-3】（2023春·八年级课时练习）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是______．【题型8勾股定理及其逆定理的综合】【例8】（2023春·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，D是△ABC内一点，连接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．则图中阴影部分的面积为________．【变式8-1】（2023春·江西赣州·八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上AB，求证：∠FEC=90°．的一点，且AF=14【变式8-2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上．经测量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC长12米．(1)求△ABD的面积；(2)求小路DE的长．【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC 在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为(2，0)，点E为OC的中点，连接BD、BE、ED．(2)判断△BED的形状，并证明你的结论．。
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勾股定理及其逆定理专题练习
（一）几何法证明勾股定理.
1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理.
（二）勾股定理的应用.
一、勾股定理的简单计算：
1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________.
3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．
二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米.
2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ．
3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ．
b c c a a b D C
A E B
4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米.
5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________．
三、勾股定理与图形变换：
1、如图，已知ABC ∆中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长.
2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ∆的面积.
3、现有一长方形纸片ABCD，在剪纸过程中需要折叠，如图所示，将ADE
∆沿AE 折叠，且使AD落在长方形内，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB,10
8
=
BC,求EC的长.
=
四、表面路径最短问题：
1、如图，一圆柱形油罐底面圆的周长是24 m，高为6 m，一只壁虎从距底面1 m的A处爬行到C处去捕食，壁虎在油罐的侧面爬行，它爬行的最短路线长为多少？
2、如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？
（三）勾股定理的逆定理的应用.
1、三角形的三边长为c b a ,,若()01692612522
=+-+-+-c c b a ，则A B C ∆的形状是（ ）
A 、以a 为斜边的直角三角形
B 、以b 为斜边的直角三角形
C 、以c 为斜边的直角三角形
D 、不是直角三角形
2、测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个花坛的面积是 .
（四）定理及逆定理的综合应用：
1、如图，在A B C ∆中，D 为BC 边上的点，已知13=AB ,12=AD ,15=AC ,5=BD ，则ADC ∆的面积为___________.
2、如图， 90121334=∠====B DC AD BC AB ，，，，,则四边形ABCD 的面积是__________.。