小学数学运算定律和简便计算
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小学数学运算定律 和简便计算
一、加法运算定律：
• （1）加法交换律：两个加数交换位置，和 不变。用字母表示：a+b=b+a • （2）加法结合律：三个数相加，先把前两 个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 用字母表示:(a+b)+c=a+(b+c)
二、乘法运算定律：
• （1）乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。 用字母表示：a×b=b×a • （2）乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或 者先乘后两个数，积不变。用字母表示： • (a×b)×c=a×(b×c) • （3）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可 以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母 表示： • (a+b)×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c
四、
4×147×25=
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是乘法算式，因此想能不能运用乘法的 交换律和结合率， • 2、看到25，就先找有没有4，题目中有4， 因此把25和4凑成整百，得100，因此把它 们两个结合，运用乘法结合率， • 3、因为4和25不连在一起，因此先交换两 个因数的位置，把147和25互相交换位置， 因为要先算4×25两个数的积，要加括号。
三、
9×8×125=9×（8×125）
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是乘法算式，因此想能不能运用乘法的 交换律和结合率， • 2、看到125，就先找有没有8，题目中有8， 因此把125和8凑成整千，得1000，因此把 它们两个结合，运用乘法结合率， • 3、因为8和125在后面连在一起，因此先算 后两个数的积，要加括号。
三估，就是估测计算结果。
• 即加强心算（估算）过程教学，培养计算能力， 增强计算的正确率。
• 如计算“18 ×101”，当学生进行简算 后，可以指导学生通过心算进行验证。 心算过程：100个18是1800，加上 1个 18是18，结果等于1818。所以当学生 得出18×101=18×100×1=1800时就 可以马上知道在简算过程中出现了问 题。
六、
95×102
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、102接近整百数，这也是乘法算式，考虑能不 能运用乘法的交换率、结合率或者分配率，因为 95和102交换位置后，还是算他们的积，不简单， 所以乘法交换率不用。 • 2、又因为是两个数相乘，使用乘法结合率不简单， 所以也不用乘法结合率，如果考虑95写成两个数 的乘积，能写成5×19，把算式变成5×19×102， 越变越麻烦了。 • 3、考虑使用乘法分配率，需要把其中一个数写成 两个数的和，可以把95写成（90+5），或者把 102写成（100+2），只能写其中一个数，所以把 102写成（100+2）比较简单。 • 4、运用乘法分配率，95×102=95×（100+2） =95×100+95×2=9500+190=9690、
四、运算定律与简便计算的整理和复习
加法
名称
交换律 结合律
乘法
名称
交换律
字母表示
a+b=b+a
字母表示
a×b=b×a (a×b)×c=a×(b×c) （a+b)×c=a×c+b×c
(a+b)+c=a+(b+c) 结合律 分配率
减法简算
a-b-c=a-(b+c)
除法简算
a÷b÷c=a÷(b×c)
小小法官（判断对错）
九、
17×23—23×4—23×3
• 想： 先观察数的特点和运算的特点，
• 1、这是乘法减法算式，考虑能不能运用乘 法分配率， • 2、因为有共同的因数23，而且17；4；3也 很特殊，可以想成是三个乘法ຫໍສະໝຸດ Baidu式相减， • 17×23—23×4—23×3=（17-4-3） ×23=10×23=230
八、
二变，就是变换运算方式。
计算时要突破算式原来的运算顺序，根据运 算定律、性质重组运算顺序，使简算特征从 隐性变为显性，从而让计算过程化繁为简、 变难为易。 如：计算“125×32×25”这道题时，看到125 就应想到它与8相乘得1000，看到25马上就想 到它与4相乘得100，因此，将32看成是8与4 的积，这样这道题实际就是 (125×8)×(4×25)，学生一看很快就得出结 果就是1000×100= 100000。
典型习题讲解：
一、 69＋53＋47
想：先观察数的特点和运算的特点。 1、是加法算式，因此想能不能运用 加法的交换律和结合率， 2、有53和47，口算得100，凑成整 百，因此把它们两个结合，运用加法 结合率。 3、因为53和47在后面连在一起，因 此先算后两个数的和，要加括号。
二 、43+55+57+45 =（43+
三、简便计算
• （1）连减的简便计算：一个数连续减去两个数， 可以用这个数减去两个减数的和。（注意这种方 法的逆向运算） a-b-c=a-(b+c) • （2）连除的简便计算：一个数连续除以两个数， 可以用这个数除以两个除数的积 • a÷b÷c=a÷(b×c) • （3）加减法、乘加、乘除法的灵活应用 • a-b+c=a+c-b • a÷b×c=a×c ÷b
• （1）25 х 102 =25 х 100 + 2 ( ) • （2）132-（32 + 47）= 132 – 32 + 47 ( ) • （3）350 ÷ 5 х 2 = 350÷( 5 х 2 ) ( ) • （4）68 х 99 + 68 = 68 х 100 ( )
典型错误分析
错误一：对运算定律混淆不清
五、
56×28+44×28=
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、有乘法算式，又有加法，因此想能不能 运用乘法分配率， • 2、看到56是因数，，就先找有没有另一个 因数44，题目中有44，因此把56和44凑成 整百，得100，因此把它们两个结合，运用 乘法分配率， • 3、因为28是共同的因数，因此写因数的时 候只写一个28，因为要先算44+56这两个数 的和，所以要加括号。
• 这些错误的发生，说明了学生对乘法结合律和 乘法分配律这两条运算定律产生了混淆。这是
错误二：对运算性质理解不深
• • • • • • • 如：168－56－36＝168－（56－36）＝I48 （应该减去两个数的和） 174-（74-38）=174-74-38=62 （应该减去74，再加上38） 356-（56+98）=356-56+98=398 （应该减去56，再减去98） 这种错误主要原因是学生对“一个数减去两个数 的和”与“一个数减去两个数的差”运算性质理 解不清。
• • • • • 如：18×101=18×100×1=1800 （101变成了100×1，所以错误。） 125×48=125×（40+8）=125×40+8=5008 （应该8与125再相乘） 125×48=125×（40+8） =125×40×125×8=5000000 • （40+8）中的加号“+”看乘了乘号“×”， 25×64×125=25×（60+4） ×125=25×60+4×125=2000 • （60+4）的括号直接去掉了，把原来的连乘变成了 乘法加法。
七、
25×24
• 想： 先观察数的特点和运算的特点，
• 1、25是特殊数，这也是乘法算式，考虑能不能运用乘法的交 换率、结合率或者分配率，因为25和24交换位置后，还是算他 们的积，不简单，所以乘法交换率不用。 • 2、又因为是两个数相乘，没法直接使用乘法结合率。因为有 25这个特殊数，考虑能不能找到4，如果考虑24写成两个数的 乘积，能写成4×6，把算式变成25×4×6，就可以使用乘法结 合率了。25×24=25×（4×6）=（25×4）×6=100×6=600 • 3、考虑使用乘法分配率，需要把其中一个数写成两个数的和， 可以把24写成（20+5），或者把25写成（20+5），只能写其 中一个数，所以把24写成（20+4）比较简单。 • 4、运用乘法分配率，25×24=25×（20+4） =25×20+25×4=500+100=600. • 5、比较运用乘法结合率和乘法分配率，这道题用乘法结合率 更简单。
又如：“1345-125-875”可以利用减法的性 质将原题变为“1345-（125+875）”括 号里面的结果刚好是1000，因此13451000就得到345。 又如：“1500÷25÷4”利用除法的性质使 原题变为15800÷（25×4）得 1500÷100最后结果得15。使整个计算 过程口算化。
掌握简便运算的解题技巧
• 归纳为三步曲：一找 二变三估。
一找，就是找题目的特征。 • 做题前要求学生先由总体到部 分，由运算符号到参加运算的 数的特点进行全面观察。结合 学过的有关知识，寻找简便运 算的方法。让学生明白要把一 个数分成两个数的和、差、积， 以达到简算的目的。
• 如：18×101之类的题目，其题目 的特征就是一个数乘以接近整百、 整千的数，就可以指导学生将算式 转化成一个数乘以整百整千数与多 余数的和或差，然后再利用乘法分 配律进行计算。有些题目，简便运 算的步骤隐藏在运算过程中，因此， 每完成一步运算都要认真观察，从 中发现简算条件，进行简便运算。
十一、
1345-125-875
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是连减算式，因此想能不能运用减法的运算性 质（一个数连续减去两个数，可以用这个数减去 两个减数的和）。 • 2、有减数125和875；口算125+875=1000，都凑 成整百，因此把它们两个先相加，运用减法运算 性质， • 3、原题变为“1345-（125+875）”括号里面的 结果刚好是1000，因此1345-1000就得到345。
45×101-45
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、这是乘法减法算式，考虑能不能运用乘法 分配率，因为有共同的因数45，而且101也很 特殊，接近100，可以想成是两个乘法算式相 减， • 2、 45这个特殊数，考虑写出两个数的乘积， 写成45×1，把算式变成45×101-45×1，就 可以使用乘法分配率了。45×10145=45×101-45×1=45×（101-1） =45×100=4500
十、125×32×25，
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是乘法算式，因此想能不能运用乘法的交换律和结合 率， • 2、看到25，就先找有没有4；看到125，就先找有没有8。 • 3、题目中没有4和8，但是有32，想32能不能变成4或8与 一个数的乘积，因此把32写成“8×4”，再把25和4它们两 个结合，把125和8相结合，运用乘法结合率， • 4、本题里面全部是乘法，因此运用乘法的结合律，不能 出现“+”，错误理解为乘法分配率，这样这道题实际就是 (125×8)×(4×25)，学生一看很快就得出结果就是 1000×100= 100000。 125×32×25=125×（8×4） ×25=(125×8)×(4×25)= 1000×100= 100000。
错误三：对特殊数字判别不明
38×55+18×45=38×（55+45）=3800 如： （前面的因数是38，后面的因数是18） 56×28×44×28=28×（56+44）=2800 （这是四个数连乘，变成了乘加） 25×4÷25×4=1 （把后面的除数25变成了因数了，改变了原来数的性 质） 这种错误的发生，除了学生不懂乘法分配律的因素 外，主要受乘以整百、整千数的简便计算方法的影响。 学生做题时没有先分析式题结构，只是看到两个数相加 正好凑成100，于是便错误使用乘法分配律。
）+（55+ ）
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是加法算式，因此想能不能运用加法的交换律 和结合率。 • 2、有43和57；还有55和45，口算43+57=100； 55+45=100，都凑成整百，因此把它们两个结合， 运用加法结合率。 • 3、因为43和57不连在一起，要交换位置，55和 57互相交换位置，因为要先算前两个数的和，同 时也可以算后两个数的和，因此要把前面两个数 和后面两个数都加括号。
十二、
1500÷25÷4
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是连除算式，因此想能不能运用除法的 运算性质（一个数连续除以两个数，可以 用这个数除以两个数的积）。 • 2、有除数25和4；口算25×4=100，都凑 成整百，因此把它们两个先相乘，运用除 法运算性质使原题变为1500÷（25×4）得 1500÷100最后结果得15。使整个计算过 程口算化。
一、加法运算定律：
• （1）加法交换律：两个加数交换位置，和 不变。用字母表示：a+b=b+a • （2）加法结合律：三个数相加，先把前两 个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 用字母表示:(a+b)+c=a+(b+c)
二、乘法运算定律：
• （1）乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。 用字母表示：a×b=b×a • （2）乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或 者先乘后两个数，积不变。用字母表示： • (a×b)×c=a×(b×c) • （3）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可 以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母 表示： • (a+b)×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c
四、
4×147×25=
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是乘法算式，因此想能不能运用乘法的 交换律和结合率， • 2、看到25，就先找有没有4，题目中有4， 因此把25和4凑成整百，得100，因此把它 们两个结合，运用乘法结合率， • 3、因为4和25不连在一起，因此先交换两 个因数的位置，把147和25互相交换位置， 因为要先算4×25两个数的积，要加括号。
三、
9×8×125=9×（8×125）
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是乘法算式，因此想能不能运用乘法的 交换律和结合率， • 2、看到125，就先找有没有8，题目中有8， 因此把125和8凑成整千，得1000，因此把 它们两个结合，运用乘法结合率， • 3、因为8和125在后面连在一起，因此先算 后两个数的积，要加括号。
三估，就是估测计算结果。
• 即加强心算（估算）过程教学，培养计算能力， 增强计算的正确率。
• 如计算“18 ×101”，当学生进行简算 后，可以指导学生通过心算进行验证。 心算过程：100个18是1800，加上 1个 18是18，结果等于1818。所以当学生 得出18×101=18×100×1=1800时就 可以马上知道在简算过程中出现了问 题。
六、
95×102
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、102接近整百数，这也是乘法算式，考虑能不 能运用乘法的交换率、结合率或者分配率，因为 95和102交换位置后，还是算他们的积，不简单， 所以乘法交换率不用。 • 2、又因为是两个数相乘，使用乘法结合率不简单， 所以也不用乘法结合率，如果考虑95写成两个数 的乘积，能写成5×19，把算式变成5×19×102， 越变越麻烦了。 • 3、考虑使用乘法分配率，需要把其中一个数写成 两个数的和，可以把95写成（90+5），或者把 102写成（100+2），只能写其中一个数，所以把 102写成（100+2）比较简单。 • 4、运用乘法分配率，95×102=95×（100+2） =95×100+95×2=9500+190=9690、
四、运算定律与简便计算的整理和复习
加法
名称
交换律 结合律
乘法
名称
交换律
字母表示
a+b=b+a
字母表示
a×b=b×a (a×b)×c=a×(b×c) （a+b)×c=a×c+b×c
(a+b)+c=a+(b+c) 结合律 分配率
减法简算
a-b-c=a-(b+c)
除法简算
a÷b÷c=a÷(b×c)
小小法官（判断对错）
九、
17×23—23×4—23×3
• 想： 先观察数的特点和运算的特点，
• 1、这是乘法减法算式，考虑能不能运用乘 法分配率， • 2、因为有共同的因数23，而且17；4；3也 很特殊，可以想成是三个乘法ຫໍສະໝຸດ Baidu式相减， • 17×23—23×4—23×3=（17-4-3） ×23=10×23=230
八、
二变，就是变换运算方式。
计算时要突破算式原来的运算顺序，根据运 算定律、性质重组运算顺序，使简算特征从 隐性变为显性，从而让计算过程化繁为简、 变难为易。 如：计算“125×32×25”这道题时，看到125 就应想到它与8相乘得1000，看到25马上就想 到它与4相乘得100，因此，将32看成是8与4 的积，这样这道题实际就是 (125×8)×(4×25)，学生一看很快就得出结 果就是1000×100= 100000。
典型习题讲解：
一、 69＋53＋47
想：先观察数的特点和运算的特点。 1、是加法算式，因此想能不能运用 加法的交换律和结合率， 2、有53和47，口算得100，凑成整 百，因此把它们两个结合，运用加法 结合率。 3、因为53和47在后面连在一起，因 此先算后两个数的和，要加括号。
二 、43+55+57+45 =（43+
三、简便计算
• （1）连减的简便计算：一个数连续减去两个数， 可以用这个数减去两个减数的和。（注意这种方 法的逆向运算） a-b-c=a-(b+c) • （2）连除的简便计算：一个数连续除以两个数， 可以用这个数除以两个除数的积 • a÷b÷c=a÷(b×c) • （3）加减法、乘加、乘除法的灵活应用 • a-b+c=a+c-b • a÷b×c=a×c ÷b
• （1）25 х 102 =25 х 100 + 2 ( ) • （2）132-（32 + 47）= 132 – 32 + 47 ( ) • （3）350 ÷ 5 х 2 = 350÷( 5 х 2 ) ( ) • （4）68 х 99 + 68 = 68 х 100 ( )
典型错误分析
错误一：对运算定律混淆不清
五、
56×28+44×28=
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、有乘法算式，又有加法，因此想能不能 运用乘法分配率， • 2、看到56是因数，，就先找有没有另一个 因数44，题目中有44，因此把56和44凑成 整百，得100，因此把它们两个结合，运用 乘法分配率， • 3、因为28是共同的因数，因此写因数的时 候只写一个28，因为要先算44+56这两个数 的和，所以要加括号。
• 这些错误的发生，说明了学生对乘法结合律和 乘法分配律这两条运算定律产生了混淆。这是
错误二：对运算性质理解不深
• • • • • • • 如：168－56－36＝168－（56－36）＝I48 （应该减去两个数的和） 174-（74-38）=174-74-38=62 （应该减去74，再加上38） 356-（56+98）=356-56+98=398 （应该减去56，再减去98） 这种错误主要原因是学生对“一个数减去两个数 的和”与“一个数减去两个数的差”运算性质理 解不清。
• • • • • 如：18×101=18×100×1=1800 （101变成了100×1，所以错误。） 125×48=125×（40+8）=125×40+8=5008 （应该8与125再相乘） 125×48=125×（40+8） =125×40×125×8=5000000 • （40+8）中的加号“+”看乘了乘号“×”， 25×64×125=25×（60+4） ×125=25×60+4×125=2000 • （60+4）的括号直接去掉了，把原来的连乘变成了 乘法加法。
七、
25×24
• 想： 先观察数的特点和运算的特点，
• 1、25是特殊数，这也是乘法算式，考虑能不能运用乘法的交 换率、结合率或者分配率，因为25和24交换位置后，还是算他 们的积，不简单，所以乘法交换率不用。 • 2、又因为是两个数相乘，没法直接使用乘法结合率。因为有 25这个特殊数，考虑能不能找到4，如果考虑24写成两个数的 乘积，能写成4×6，把算式变成25×4×6，就可以使用乘法结 合率了。25×24=25×（4×6）=（25×4）×6=100×6=600 • 3、考虑使用乘法分配率，需要把其中一个数写成两个数的和， 可以把24写成（20+5），或者把25写成（20+5），只能写其 中一个数，所以把24写成（20+4）比较简单。 • 4、运用乘法分配率，25×24=25×（20+4） =25×20+25×4=500+100=600. • 5、比较运用乘法结合率和乘法分配率，这道题用乘法结合率 更简单。
又如：“1345-125-875”可以利用减法的性 质将原题变为“1345-（125+875）”括 号里面的结果刚好是1000，因此13451000就得到345。 又如：“1500÷25÷4”利用除法的性质使 原题变为15800÷（25×4）得 1500÷100最后结果得15。使整个计算 过程口算化。
掌握简便运算的解题技巧
• 归纳为三步曲：一找 二变三估。
一找，就是找题目的特征。 • 做题前要求学生先由总体到部 分，由运算符号到参加运算的 数的特点进行全面观察。结合 学过的有关知识，寻找简便运 算的方法。让学生明白要把一 个数分成两个数的和、差、积， 以达到简算的目的。
• 如：18×101之类的题目，其题目 的特征就是一个数乘以接近整百、 整千的数，就可以指导学生将算式 转化成一个数乘以整百整千数与多 余数的和或差，然后再利用乘法分 配律进行计算。有些题目，简便运 算的步骤隐藏在运算过程中，因此， 每完成一步运算都要认真观察，从 中发现简算条件，进行简便运算。
十一、
1345-125-875
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是连减算式，因此想能不能运用减法的运算性 质（一个数连续减去两个数，可以用这个数减去 两个减数的和）。 • 2、有减数125和875；口算125+875=1000，都凑 成整百，因此把它们两个先相加，运用减法运算 性质， • 3、原题变为“1345-（125+875）”括号里面的 结果刚好是1000，因此1345-1000就得到345。
45×101-45
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、这是乘法减法算式，考虑能不能运用乘法 分配率，因为有共同的因数45，而且101也很 特殊，接近100，可以想成是两个乘法算式相 减， • 2、 45这个特殊数，考虑写出两个数的乘积， 写成45×1，把算式变成45×101-45×1，就 可以使用乘法分配率了。45×10145=45×101-45×1=45×（101-1） =45×100=4500
十、125×32×25，
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是乘法算式，因此想能不能运用乘法的交换律和结合 率， • 2、看到25，就先找有没有4；看到125，就先找有没有8。 • 3、题目中没有4和8，但是有32，想32能不能变成4或8与 一个数的乘积，因此把32写成“8×4”，再把25和4它们两 个结合，把125和8相结合，运用乘法结合率， • 4、本题里面全部是乘法，因此运用乘法的结合律，不能 出现“+”，错误理解为乘法分配率，这样这道题实际就是 (125×8)×(4×25)，学生一看很快就得出结果就是 1000×100= 100000。 125×32×25=125×（8×4） ×25=(125×8)×(4×25)= 1000×100= 100000。
错误三：对特殊数字判别不明
38×55+18×45=38×（55+45）=3800 如： （前面的因数是38，后面的因数是18） 56×28×44×28=28×（56+44）=2800 （这是四个数连乘，变成了乘加） 25×4÷25×4=1 （把后面的除数25变成了因数了，改变了原来数的性 质） 这种错误的发生，除了学生不懂乘法分配律的因素 外，主要受乘以整百、整千数的简便计算方法的影响。 学生做题时没有先分析式题结构，只是看到两个数相加 正好凑成100，于是便错误使用乘法分配律。
）+（55+ ）
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是加法算式，因此想能不能运用加法的交换律 和结合率。 • 2、有43和57；还有55和45，口算43+57=100； 55+45=100，都凑成整百，因此把它们两个结合， 运用加法结合率。 • 3、因为43和57不连在一起，要交换位置，55和 57互相交换位置，因为要先算前两个数的和，同 时也可以算后两个数的和，因此要把前面两个数 和后面两个数都加括号。
十二、
1500÷25÷4
• 想：先观察数的特点和运算的特点，
• 1、是连除算式，因此想能不能运用除法的 运算性质（一个数连续除以两个数，可以 用这个数除以两个数的积）。 • 2、有除数25和4；口算25×4=100，都凑 成整百，因此把它们两个先相乘，运用除 法运算性质使原题变为1500÷（25×4）得 1500÷100最后结果得15。使整个计算过 程口算化。