数值积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
第七章数值积分
x2
x4
h h ( f 0 4 f1 f 2 ) ( f 2 4 f3 f 4 ) 3 3 h ( f 0 4 f1 2 f 2 4 f3 f 4 ) 3
2019/4/8 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
例7.3
1
可见，依然是布尔公式的结果最接近真实值
x3
x0
3h 3h5 (4) f ( x)dx ( f 0 3 f1 3 f 2 f3 ) f ( ) 8 80
布尔公式的精度为n=5，如果f∈C6[a,b]，则
2019/4/8
x4
x0
2h 8h7 (6) f ( x)dx (7 f 0华南师范大学数学科学学院 32 f1 12 f 2 32 f3 谢骊玲 7 f4 ) f ( ) 45 945
1
0
f ( x)dx
2(1/ 4) 1 1 3 (7 f (0) 32 f ( ) 12 f ( ) 32 f ( ) 7 f (1)) 45 4 2 4 1 (7(1.00000) 32(1.65534) 12(1.55152) 32(1.06666) 7(0.72159)) 1.30859 90
x1
x0
h h3 (2) f ( x)dx ( f 0 f1 ) f ( ) 2 12
辛普森公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则
x2
x0
h h5 (4) f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) f ( ) 3 90
辛普森3/8公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则
且具有性质 a f ( x)dx Q[ f ] E[ f ] 的公式为数值积分 或面积公式。项 E[ f ] 称为积分的截断误差，值
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
数值积分
数值积分
四边形单元
四边形单元与一维单元类似，按经验公式计算，4 节点、8节点、12节点单元的Gauss积分阶次应该分 别选1.5、2.5、3.5。因此，有
a）4节点单元可以取减缩积分方案n=1或正常积分 方案n=2；
b）8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分 方案n=3；
c）12节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
数值积分
P( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) ( j )
j 1 n
b
a
P( )d 0
i
(i 0,1, , n 1)
上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
i 1 n j 1
n
n
H i H j F ( j ,i )
i 1 j 1
n
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
I
1 1 n
1 n
1
1 1 n
F ( , , )d d d
H i H j H m F ( m , j , i )
i 1 j 1 m 1
① 矩阵相乘的秩规则
如果几Байду номын сангаас矩阵相乘
B UAV
数值分析6-数值积分
代数精度
如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式
定义
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
精确成立，但对于某一次数为 m+1 的多项式不精确成
立，则称该求积公式的代数精度为 m 次。
第二章 数值积分
数值积分引言
计算定积分
I[ f ]
b
f ( x) dx
a
微积分基本公式：ab f ( x)dx F (b) F (a)
但是在许多实际计算问题中
(1) f (x) 表达式较复杂，原函数难求！甚至有时不能用初 等函数表示。如 f ( x) sin x , f ( x) ex2
如何求解求积公式
思考题
如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个？ 有2n+2个
能够达到的代数精度是多少？ 2n+1个
此时的方程为非线性方程
插值型求积公式
基本思想
由已知的n+1个点以及在这n+1个点上的函数值， 作拉格朗日插值，得到pn(x)
则
b
b
bn
a f ( x )dx a pn ( x )dx a
a
6
2
辛甫生 公式
一般求积公式
更一般地，可以用 f (x) 在 [a, b] 上的一些离散点
上的值加权平均作为 f () 的近似值，从而构造出
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
求积节点
k 0
求积系数
机械求积法：求积系数仅仅与结点xk的选取有关，而不 依赖于被积函数f(x)的具体形式
第四章 数值积分
第四章 数值积分定积分的产生是有它重要的应用背景。
例如要计算由数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =所围成的平面图形的面积；计算极限230lim nn i i n→∞=∑，这些问题都与定积分有关。
在数学分析或高等数学中已讲过计算定积分的一些方法，这些方法其最主要的理论基础就是被积函数的原函数存在。
但在实际应用和科学计算过程中，有些定积分的被积函数的原函数不存在或原函数比较复杂或不易求出，这时牛顿-莱布尼茨公式就不好用了。
例如定积分10sin x dx x ⎰，⎰ 等其被积函数的原函数不存在。
再例如由数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =所围成的平面图形的面积不能精确的表示成定积分，但可以近似的表示为数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =对应的某个函数的定积分。
对这类问题可以用数值积分的方法来讨论和解决。
数值积分的应用是较广泛的，尤其在一些实际问题的研究和解决中数值积分法起到了重要的作用，见文献[17，20]。
4.1 数值积分初步所谓数值积分就是用函数值的线性组合近似函数的积分值。
就是说，如果函数()f x 在区间[,]a b 上的函数值()i f x (0,1,2,,)i n =已知，则构造一个数值公式0()ni i i A f x =∑，以此来近似()b af x dx ⎰，即()b af x dx ⎰()ni i i A f x =≈∑ （4.1）构造数值公式（4.1）的主要方法是利用插值法，即对()f x 构造一个插值多项式()p x ，用该插值多项式()p x 的积分近似()b af x dx ⎰，即()b af x dx ⎰()bap x dx ≈⎰ （4.2）1 梯形公式若函数()f x 在区间[,]a b 上的函数值(),()f a f b 已知，那么可以做出过点(,()),(,())a f a b f b 的线性插值1()()()x b x ap x f a f b a b b a--=+-- 在区间[,]a b 上用1()p x 代替()f x 得()b af x dx ⎰1()(()())b baax b x ap x dx f a f b dx a b b a--≈=+--⎰⎰ =(()())2b af a f b -+ （4.3） 公式（4.3）称为梯形公式，记为(()())2b aT f a f b -=+。
数值积分 正交积分
数值积分正交积分数值积分（Numerical integration）是一种用数值方法计算定积分的技术。
它在实际应用中广泛使用，尤其是对于无法通过解析方法得到闭式解的复杂函数或无限区间的积分。
数值积分方法有多种，其中一种常见的方法是基于插值的方法，如梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
这些方法将函数曲线近似为更简单的几何图形，然后对这些几何图形进行数值计算以近似求解积分值。
正交积分（Orthogonal integration）是一种特殊的数值积分方法，它利用正交多项式的性质来进行积分计算。
正交多项式是一组满足特定正交关系的多项式，例如勒让德多项式、切比雪夫多项式和拉盖尔多项式等。
通过将被积函数与正交多项式进行内积运算，可以将积分转化为正交多项式系数的线性组合，从而简化计算过程。
正交积分具有高精度和数值稳定性的优点，因此在科学计算和工程领域得到广泛应用。
它常用于求解含有正交多项式的函数积分、拟合数据、解微分方程等问题。
总之，数值积分是一种通过数值计算逼近定积分的方法，而正交积分则是利用正交多项式的特性进行积分计算的一种特殊数值积分方法。
数值积分方法基于离散化的思想，将定积分问题转化为对一组离散点上函数值的求和或加权平均。
以下是两种常见的数值积分方法：1. 梯形法则（Trapezoidal rule）：梯形法则将被积函数在积分区间上近似为一系列线段构成的梯形，然后计算这些梯形面积之和。
它的基本思想是通过线性插值来逼近原函数，并计算相邻线段之间的面积。
梯形法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + f(b)) / 2]2. 辛普森法则（Simpson's rule）：辛普森法则将被积函数在积分区间上近似为一系列抛物线，通过将每个小区间分成偶数个子区间，并利用抛物线曲线来逼近函数。
它的基本思想是使用二次多项式插值，并计算相邻子区间之间的面积。
辛普森法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)) / 6]对于正交积分，我们使用正交多项式的特性来简化计算。
第7章 数值积分
第七章 高斯数值积分法对于等参单元推导载荷列阵和刚度矩阵时，需计算如下形式的积分：其中被积函数一般比较复杂，甚至得不到显式。
因此，通常采用数值积分代替函数积分，即在单元内部选取某些点，先计算被积函数在这些点的函数值，然后用这些系数（称为加权系数，简称权）乘上这些函数值，再求总和作为近似积分值。
在有限元法中通常采用精度较高的高斯数值求积分法。
首先介绍一维高斯求积公式式中，()k f ξ是被积函数f 在积分点k ξ处的函数值；k w 是加权系数；n 是所选积分点的数目。
例如取一个积分点01=ξ（此时即1=n ），该点的函数值为1f （如图4.9 (a))，并取加权系数21=w ，则积分这是一种最简单的计算方法，只有当函数()ξf f =是一条直线时，即()ξf f =线之下是一个梯形才是精确的，若()ξf f =是任意曲线，则此计算结果是相当粗糙的。
为了改善精度，在11+≤≤-ξ范围内，取两个对称点1ξ，2ξ其函数值分别为()1ξf 和()2ξf 如图7.1（b ），但是横坐标1ξ、2ξ以及相应的权1w 和1w 需要确定。
为此设()ξf 为三次式，即则而由高斯求积公式于是由式（c ）和（d ）两式得即为了在3210,,,c c c c 取任意数值时式（d ）都是精确的，因此上式两边对应的系数必须相等，则有因此解得实根值得说明的是，上面确定的两个积分点的高斯求积公式（d ）对于被积函数是四次以下（不包括四次）的多项式是完全精确的，否则是近似的表达式。
另外，如图7.1（b ）所示，用两个矩形面积来表示函数()ξf 在区间[—1，十1]与轴ξ所围的面积，这就是式（d ）的几何意义。
图7.1 被积函数f 在积分点处的数值以相同的方法可以处理由3个函数值所组成的近似积分，如图7.1（c ）。
对不同的积分点数可确定相应的积分点坐标和加权系数，由此构成高斯积分表，见表7.1。
下面讨论二维、三维的高斯求积公式，对于二重积分可先对ξ积分，而把η视为常量，此时引入一维的高斯求积公式，则有再对η积分有将式（e ）代入式（f ），则可得二维的高斯求积公式用相同的方法可以导得三维的高斯求积公式在实际计算中，为了保证计算精度，并且不过分增加计算工作量，高斯积分中的积分点数n 通常可根据等参单元的节点数来选取，对于讨论的平面8节点等参单元和空间20节点等参单元都可以取3=n 。
第五章数值积分
误差 -0.0057 0.00003 0.000003
0
则要求h<0.006
（2）、复化抛物线公式:
则要求h<0.15 （3）、逐次分半抛物线公式计算:
5.5加速收敛技巧与Romberg求积 1.加速收敛技巧—Richadson外推法：
真值F*，近似值F，考虑真值与h无关，而F是与h有关的函数，记为F1(h)， 它的截断误差估计式记为:
4.例3：P114用复化梯形公式、复化抛物线公式和n=6的牛顿-科茨公 式计算积分：
下表给出sinx在7个点的值, 计算结果与精确值比较
计算结果与真值比较:
计算方法 复化梯形公式 复化抛物线公式 牛顿-科茨公式(n=3)
真值
若要具有5位有效数字，则: （1）、复化梯形公式:
结果 0.99429 1.00003 1.000003
两边取对数并整理得:
所以只要1/h=68即可，也即把区间[0，1]等分为68份就可: 用复化抛物线求积公式计算，由式（5.16）有:
两边取对数并整理得:
所以只要1/h=3即可，也即把区间[0，1] 6等分就可:
5.4 逐次分半法 1.问题所在：结合上节误差估计式以复化梯形公式为例
区间n等分时截断误差:
第五章 数值积分
区间[a,b]上的黎曼可积函数f(x)的积分：
b
a f (x)dx
有两种可能：（1）f(x)原函数无法用初等函数表示出来。 （2）f(x)用表格形式给出
考虑积分数学上描述：如图
5.1 求积公式
利用前面插值多项式P(x)逼近逼近被积函数f(x)，并对P(x)求积代替原积分
即：
b
b
a f (x)dx a P(x)dx
数值积分法
数值积分法
数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。
数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。
数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。
数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。
定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。
梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。
不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。
Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。
高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。
Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。
因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。
熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。
数值积分
a
lk ( x)dx Aj lk ( x j ),
j 0
注意到, lk(xj) = ij , 上式右端实际上等于 Ak , 因而,
Ak lk ( x)dx.
a
b
即, (6.1) 是插值型求积公式.
推论 n+1个节点的插值型求积公式中的求积系数 Ak 满足
n k 0
Ak b a.
a k 0
b
n
(6.1)
式中 {x0,x1, , xn} 叫求积节点, 它们满足 a x0 x1 xn b ,
Ak 叫做求积系数， 它与被积函数无关. 用求积公式 (6.1)
计算积分近似值 In， 任务是确定节点与求积系数 Ak .
二、截断误差 (余项)
Rkn I I n f ( x)dx Ak f ( xk )
b
sin x x dx, a
b
e
a
b
x2
dx,
必须使用数值的方法去计算这些积分.
矩形公式 依积分中值定理知, 有 [a, b] , 使
a
b
f ( x)dx (b a) f ( )
曲边梯形的面积 等于矩形的面积!
故, 只要对平均高度 f ( ) 给出一种算法, 可得积分值的一 种算法.
插值型求积系数为 Ak lk ( x)dx, 对它做积分变换
a
b
x a th, 则有
(b a)Ck( n ) lk ( x)dx
a
b
b
a j 0, j k
n
x xj xk x j
数值积分
b f(x)d x b L (x)d x b a [ f (a) 4 f ( a b ) f (b)] S a a 2 6 2
称为抛物线求积公式或Simpson公式. 几何意义:用抛物线围成的曲边梯形的面积代替围成的 曲边梯形面积
Newton-Cotes公式
将区间[a,b]n等分，其分点为xi=a+ih ， i=0,1,2,,n ， h=(b-a)/n，以这n+1个等距分点 为插值基点,作n次值多项式
n
称为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）系数.
当n=1时， Newton-Cotes公式(2)为梯形求积公 式
b
a
ba f ( x)dx [ f (a ) f (b )] T 2
当n=２时， Ne
b
a
ba ab f ( x)dx f (a ) 4 f 2 f (b ) S 6
xk 1 f(x)d x xk 1 xk [ f ( x ) f ( x )] x k k 1 2 k
则
a f(x)d x
b
n1 k 0
xk 1 f(x)d x n1 xk 1 xk [ f ( x ) f ( x )] x k k 1 k 0 2 k
Ln ( x)
b a
n i0
f ( xi )li ( x)
n b a i i0
f ( x)dx 求积系数
( l ( x)dx) f ( xi )
b Ai a li ( x)dx, (i 0,1,2,, n)
Newton-Cotes系数
作变量替换x=a+th，于是
数值计算数值积分
数值计算数值积分
数值积分是求解定积分的一种数值方法，它通过将定积分区间分割为若干小区间，在每个小区间上选用一个代表点，然后通过求出每个小区间上的面积之和来逼近定积分的值。
常见数值积分方法
矩形法
矩形法是一种最基本的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，然后在每个小区间的左端点、右端点或中点上求出函数的函数值，最后将这些函数值相加乘以区间长度，即为定积分逼近值。
梯形法
梯形法比矩形法在逼近定积分时更加精确，它将每一小块区间都近似看作平行四边形，通过求出每个小区间上的梯形面积之和来逼近定积分值。
辛普森法
辛普森法是一种更高精度的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，在每个小区间的两端和中点处分别求出函数的函数值，然后按照一定的公式将这些函数值组合起来求解定积分近似值。
总结
数值积分方法在数学、工程学等领域应用广泛，本文介绍了数值积分的三种常见方法，分别是矩形法、梯形法和辛普森法。
实际应用中可以根据不同的场景选择使用不同的数值积分方法，以更加准确地达到目标求解效果。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总数值积分是一种用计算机逼近求解定积分的方法，它通过将区间划分为多个小区间，并在每个小区间上进行数值计算，最后将结果相加以得到整个区间上的定积分近似值。
在实际应用中，常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
下面将详细介绍这几种方法，并对它们进行比较汇总。
1.梯形法则是一种基本的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一条梯形，并用该梯形的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，梯形法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx≈ (b-a)[f(a) + f(b)]/2梯形法则的优点是简单易懂、计算速度较快，但它的缺点是精度较低，特别是当被积函数曲线较为陡峭时。
2.辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它的原理是将每个小区间视为一个二次曲线，并用该曲线下的面积来近似表示该小区间的积分值。
具体而言，对于求解区间[a,b]上的定积分，辛普森法则的计算公式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)]/6辛普森法则的优点是精度较高，特别是对于曲线比较平滑的函数，它能给出较为准确的积分近似值。
然而，辛普森法则的计算量较大，因为它需要在每个小区间上计算3个点的函数值。
3.复化求积法是一种综合性的数值积分方法，它基于划分区间的思想，将整个求积区间划分为多个小区间，并在每个小区间上采用其中一种数值积分方法来进行计算。
具体而言，复化求积法可以采用梯形法则或辛普森法则来进行计算。
它的计算公式如下：∫[a,b]f(x)dx ≈ ∑[i=0,n-1] (b-a)/n * [f(a + i(b-a)/n) +f(a + (i+1)(b-a)/n)]/2复化求积法的优点是能够灵活地根据被积函数的特点选择合适的数值积分方法，从而提高求积的准确性。
但它的计算量较大，尤其在需要高精度的情况下，需要划分较多的小区间。
数值积分概述
解 因为 求 积 公式 2h f (x) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) 有
A1 , A0, A1, 3 个未知数，设求积公式对于 f (x) 1, x, x2 均准确成立，有
A1 A0 A1 4h hA1 hA1 0 h2 A1 h2 A1 (16 / 3)h3
0 l0 (x)dx
3 0
(x 1)(x (0 1)(0
2)(x 3) 2)(0 3)
dx
3 8
，
A1
A2
9 8
,
A3
3 8
（2）解关于 Ak 的线性方程组，将 f (x) 1, x, x2 , x3 代入 A0 A1 A2 A3 3 ， A1 2 A2 3A3 9 / 2 ， A1 4 A2 9 A3 9 ，
hf
(2h) ，其代数精度至少为
2
次。
将 f (x) x3 ，代入求积公式，左边= 81 h4 ，右边=18h4 ，
4
左边≠右边。求积公式只有 2 次代数精度。
例 在区间 [h, h] 上取节点,0,,确定 及求积系数，构造
代数精度尽可能高的求积公式，并确定其代数精度。
h
解 设求积公式为 f (x) d x Af () Bf (0) Cf ( ) ，因有 h
数 Ak , k 0,1, 代数精度。
,n
使求积公式 ab
f
( x)dx
n
Ak
f
(xk ) 至少有
n
次的
k 0
证明此时 Ak , k 0,1, , n 有唯一解即可。
证
令 f (x) 1, x, x2, , xn
ab
f
( x)dx
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论一、引言数值积分方法是一种计算函数曲线下面积的方法。
在实际应用中，很多函数的积分无法通过解析方法求得，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
本文将讨论数值积分的基本概念、常用方法和应用场景。
二、基本概念1. 积分积分是微积分学中的一个重要概念，其定义为：对于给定函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分为：∫(b,a)f(x)dx2. 数值积分数值积分是指通过数值计算来近似计算定积分的过程。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值计算来近似求解。
三、常用方法1. 矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取一个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值乘以该小区间长度得到矩形面积，并将所有矩形面积相加即可得到近似结果。
2. 梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取两个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值求平均值，再乘以该小区间长度得到梯形面积，并将所有梯形面积相加即可得到近似结果。
3. 辛普森法辛普森法是一种比梯形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取三个点作为代表点，然后通过插值公式计算出一个二次函数，并对该二次函数进行积分得到近似结果。
四、应用场景1. 科学计算在科学计算中，很多问题需要求解函数的定积分。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
2. 金融领域在金融领域中，很多问题需要对某些数据进行统计和分析。
而这些数据通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
3. 工程领域在工程领域中，很多问题需要对某些物理量进行计算和预测。
而这些物理量通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
五、总结数值积分方法是一种重要的数值计算方法，它可以用来近似计算函数曲线下面积。
数值分析-第六章-数值积分
k 0
而对应的误差为
b
b f (n1) ( )
I In
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
a (n 1)! wn1(x)dx
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：b Nhomakorabean
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
们的Gauss积分阶次应该分别选0.5、1.5、2.5。
数值积分
三角形单元和四面体单元的积分点位置、权函数和 误差量级分别列于下表。
数值积分
Gauss积分 一维Gauss积分
在Gauss积分方案中，积分点ξi不是等间距分布的， 通过适当选择ξi，使n个积分点的数值积分达到2n-1 阶的精度，也就是说如果F(ξ)是2n-1次多项式，积 分结果将是精确的。以较少的积分点得到较高的 积分精度是Gauss积分的优点。
n
n
I Hi H j F ( j ,i )
i 1
j 1
nn
Hi H j F ( j ,i )
i1 j1
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
111
I
F ( ,, )ddd
1 1 1
nnn
Hi H j Hm F (m , j , i )
i1 j1 m1
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
数值积分
这些单元在数值积分时，同样会象一维单元一样， 出现零能模式或闭锁现象。为了避免这些现象发生， 同样采用选择Gauss积分方案和减缩积分加阻尼矩 阵的方法进行刚度矩阵的数值积分。
对于4节点单元来说，在单元面内减缩积分是1×1 个积分点，正常积分是2×2个积分点，两者相差4 倍，因此减缩Gauss积分方案和减缩积分加阻尼矩 阵的方法对于4节点单元来说改善的效果不大。
数值积分
六面体单元
六面体单元与四边形单元相似。
a) 8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分方 案n=3。
b) 20节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
8节点单元也可以类似4节点四边形单元采用单点积 分(0,0)加稳定化矩阵的积分方案。这种方法计算单 刚的效率比较高，可以降低有限元计算时间。
C3[F(c, c, d) F(c, d, c) F(d, c, c)]
数值积分
四面体单元的Hammer积分表示为
1 0
1 L1 0
1L1 L2 0
F
(L1,
L2
,
L3 ,
L4
)dL3dL2dL1
1111
A1F ( 4
,
4
,
4
,
) 4
B4[F (a, b, b, b)
F (b, a,b,b) F (b,b, a,b) F (b,b,b, a)]
按经验公式计算： 2节点线单元：m=0，n=0.5 3节点线单元：m=2，n=1.5 4节点线单元：m=4，n=2.5
实际应用计算： 2节点线单元只能取Gauss积分点n=1 3节点线单元可以取n=1或n=2 4节点线单元可以取n=2或n=3
数值积分
在有限元法中，把3节点单元取n=1以及4节点 单元取n=2的积分方案称为减缩积分，而3节点 单元取n=2以及4节点单元取n=3的积分方案称 为正常积分。
数值积分
三角形单元
按经验公式计算，3节点三角形单元的积分阶次 n=0.5，实际计算时只能取n=1。这样就造成计算 结果偏硬，有时会产生闭锁现象，实际有限元计 算时也证明了这一点。
三角形高阶单元的积分阶次是比较精确的。例如， 6节点三角形单元的积分阶次应该取n=1.5，在单 元面内应该是3个积分点，这与“三角形单元的数 值积分”表中所给出的积分点数正好相符。但是， 这并不意味着单元的精度就比较高，因为单元的 精度是由插值多项式本身决定的。
B UAV
则B矩阵的秩
秩B min（秩U，秩A，秩V）
即B矩阵的秩一定小于等于U、A、V矩阵中秩最小者。
数值积分
② 矩阵相加的秩规则 如果几个矩阵相加
C AB
则C矩阵的秩
秩C 秩A＋秩B
则C矩阵的秩一定小于等于A和B矩阵秩的和。
数值积分
单元采用Gauss减缩积分方案时，就会造成系数矩阵 秩的不足，产生零能模式，即使单元发生变形，应 变能仍为零。这种应变能为零不同于刚体运动。此 时就要注意检查K的非奇异性条件是否得到保证。
数值积分
刚度矩阵K是非奇异的
求解已经约束处理后的有限元平衡方程KU=F时，要 求方程组存在惟一解，就必须保证系数矩阵的逆K-1 存在。系数矩阵K非奇异的条件是满秩的，即
K 0
如果K是N阶方阵，则要求它的秩为N。因此，数值 积分应该保证K是满秩的，否则将使求解失败。
数值积分
关于矩阵的秩，有以下两个基本规则。 ① 矩阵相乘的秩规则 如果几个矩式 ( )
在 i (i 1, 2,L , n) 有 (i ) F (i )
b
( )d
近似
b
F ( )d
a
a
i 为积分点或取样点
数值积分
常用的数值积分方法
Hammer积分
Gauss积分 特点：积分点不是等间距分布的，通过 适当选择积分点，能以较少的积分点得到 较高的积分精度
数值积分
4节点四边形单元：在单元刚度矩阵积
分中，被积函数中包含 1, ,, 2, 2,
项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元， 通常采用2×2×2阶高斯积分。
数值积分
数值积分的阶次选择 求解单元平衡方程时，绝大多数情况要采用 数值积分方法，如何选择数值积分的阶次将 直接影响计算精度和计算量。如果积分阶次 选择不当，有时甚至会导致计算失败
K的非奇性的必要条件为
M nd N
式中，M为系统的单元数，N为系统的自由度数，n 为Gauss积分点数，d为应变分量数，二维问题d=3， 轴对称问题d=4，三维问题d=6。
vdetJdd 0
数值积分
则单元刚度矩阵k为
k k0 ks
k0 1 1 BT (0, 0)DeB(0, 0)detJdd 1 1
ks
1 3
1 1
1 1
B,T
(0,
0)
De
B,
(0,
0)detJd
d
1 1
1 1
B,T
(0,
0)De
B,
(0,
0)detJd
d
式中，k0是4节点四边形的减缩积分单刚，ks称为k0的 稳定化单元刚度矩阵。
实际数值结果表明，有时减缩积分方案会带来 很大的计算误差，产生零能模式。
正常积分方案有时计算结果也会偏小，产生闭 锁现象。
数值积分
造成这些现象的原因有很多，例如，单元形 状、单元相对大小、单元受力状况、分析问 题的类型等等。为了避免零能模式和闭锁现 象的发生，一般采用减缩积分加阻尼矩阵方 法。采用减缩积分方案时，对每个节点施加 一个柔性弹簧，通过弹簧的阻尼增加刚度矩 阵的稳定性，阻止零能模式的发生。但是弹 簧的刚性系数越大，计算误差就越大，因此 弹簧系数的选择也有一定的困难。
数值积分
Hammer积分
在三角形单元和四面体单元中，自然坐标是面积坐 标和体积坐标。采用这些坐标建立的单元形函数， 其单元刚度矩阵的一般形式为
二维
I
1 0
1 0
L1
F
(
L1
,
L2
,
L3
)dL2dL1
三维
I
1 0
1L1 0
1L2 0
L1
F
(L1,
L2
,
L3,
L4
)dL3dL2dL1
数值积分
数值积分
针对4节点减缩积分特点，提出了稳定化矩阵积分 方案。这种方法的基本思想是，在自然坐标系
ξη 中，单元应变ε在点(0,0)泰勒展开，并去掉
二阶小项，即
(,) [B(0,0) B, (0,0) B, (0,0)]ue
将上式代入单元平衡方程式kue=f
数值积分
考虑到
vdetJdd 0 vdetJdd 0
n
P( ) ( 1)( 2) ( n ) ( j ) j 1 b i P( )d 0 (i 0,1,, n 1) a 上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
b
n
( )d
a
Hi F (i )
i 1
式中Hi称为积分的权系数，简称为权，Hi的表达式为
Hi
b a
li(
n1)
(
)d
数值积分
将积分点坐标和权系数分别修改为
a
2
b
a
2
b
i
,
ba 2 Hi
则可将积分区间规则化为（-1，1）。
数值积分
在规则化区间（-1，1）中，一阶和二阶Gauss积分 的积分点坐标和权系数分别为
一阶 ：
i 0.0 , Hi 2.0
二阶 ： i 1/ 3 , Hi 1.0
数值积分
选择积分阶次的原则主要依据以下两点：
积分精度 积分阶次n与被积分多项式的阶次m有直接 关系。一般来说，有限元应用的经验公式
n 1 (m 1) 2
积分项有两个应变矩阵B相乘，因此m一定是 偶数，则积分阶数n等于0.5、1.5、2.5、……
数值积分
常用单元的积分阶次选择
一维单元
一般都采用正规自然坐标系法得到的形函数