北师大版高中数学高一必修1 函数的表示法 学案

2.2.2函数的表示法学习目标1．掌握函数常用的三种表示法．(重点)2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点．3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)情景导入1．复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2．阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3．分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4．引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5．根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．一、自主学习[基础·初探]教材整理1函数的表示法阅读教材P28～P29“例2”以上内容，完成下列问题．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是()【解析】刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.【答案】 A教材整理2分段函数阅读教材P29“例2”～P31，完成下列问题．在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的图像一定是连续不断的曲线．()(2)函数的解析式是唯一的．()(3)分段函数是由多个函数组成的．()(4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×二、合作探究探究一：函数图像的作法[小组合作型]作出下列函数的图像．(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．【精彩点拨】(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响．【尝试解答】(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分；(2)∵0≤x ＜3，∴这个函数的图像是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x ＜3之间的一段曲线，且y ＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝3时，y ＝3，如图②所示．1．图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像来作图．2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点．[再练一题]1．作出下列函数的图像． (1)y ＝x2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，1，x ≥1.【解】 (1)函数y ＝x2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}是由⎝⎛⎭⎫1，32，(2,2)，⎝⎛⎭⎫3，52，(4,3)，⎝⎛⎭⎫5，72五个孤立的点构成，如图：(2)函数的图像如图：探究二：求函数解析式求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (3)已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．【精彩点拨】 (1)可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，再根据题设列方程组，求待定系数k ，b . (2)在“x ＋2x ”中凑出“x ＋1”或将“x ＋1”整体换元来求解． (3)将f ⎝⎛⎭⎫1x ，f (x )看成未知数，通过解方程组求f (x )． 【尝试解答】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4，解得k ＝3，b ＝1或k ＝－3，b ＝－2. ∴f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二(换元法)：令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x 取1x 的值， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．函数解析式的求法：(1)待定系数法：①设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)；反比例函数解析式设为f (x )＝kx (k ≠0)；二次函数解析式可根据条件设为a.一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．b.顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)．c.双根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．②把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． ③解方程或方程组，得到待定系数的值． ④将所求待定系数的值代回原式． (2)换元法：已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求F (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝e (t )，将x ＝e (t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得F (x )的解析式．如本例(2)的法二．(3)配凑法：此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x 代替“自变量”，即得所求函数解析式．如本例(2)的法一．(4)消元法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[再练一题]2．求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝－1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋2，求f (x )；(3)已知af (x )＋f (－x )＝bx ，其中a ≠±1，求f (x )． 【解】 (1)法一：(换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得f (t )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1.∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．法二：(配凑法)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝－1，∴c ＝－1.∵f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －ax 2－bx －c ＝2ax ＋a ＋b ＝2x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴a ＝1，b ＝1，c ＝－1， ∴f (x )＝x 2＋x －1.(3)在原式中以－x 替换x ，得 af (－x )＋f (x )＝－bx ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧af (x )＋f (－x )＝bx ，af (－x )＋f (x )＝－bx ，消去f (－x )，得f (x )＝bx a －1.故f (x )的解析式为f (x )＝ba －1x .探究三：分段函数 [探究共研型]探究 1 画出函数y ＝|x |的图像，并求f (－3)，f (3)，f (－1)，f (1)的值．【提示】 由绝对值的概念，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.所以，图像y ＝|x |的图像为过原点且平分第一、第二象限的两条射线，如图所示．其中f (－3)＝3，f (3)＝3，f (－1)＝1，f (1)＝1.探究 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤0，x 2， x ＞0，若f (a )＝4，则实数a 等于多少？【提示】 当a ≤0时，f (a )＝－a . ∵f (a )＝4，∴－a ＝4，∴a ＝－4. 当a ＞0时，f (a )＝a 2.∵f (a )＝4，∴a 2＝4，∴a ＝2，或a ＝－2(舍去)． 综上a ＝－4或2.探究 3 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表． 信函质量(m )/g 0＜m ≤20 20＜m ≤40 40＜m ≤60 60＜m ≤80 80＜m ≤100邮资(M )/元1.202.403.604.806.00【提示】 邮资是信函质量的函数，函数图像如图．函数的解析式为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.20，0＜m ≤20，2.40，20＜m ≤40，3.60，40＜m ≤60，4.80，60＜m ≤80，6.00，80＜m ≤100.如图2-2-2所示，从边长为2a 的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常数t .试把铁盒的容积V 表示为x 的函数，并求出其定义域．图2-2-2【精彩点拨】 可由题意将长方体底面正方形的边长和高度表示出来，但要注意定义域x 不但受解析式的影响，还受t 的限制．【尝试解答】 依题意知，长方体铁盒高为x ，底面正方形的边长为(2a －2x )，则V ＝(2a －2x )2·x ＝4x (a －x )2.∵⎩⎨⎧0＜x ＜a ，x2a －2x ≤t ，∴⎩⎨⎧0＜x ＜a ，0＜x ≤2at1＋2t ，∵a －2at 1＋2t ＝a1＋2t ＞0，∴0＜x ≤2at1＋2t.∴铁盒容积V ＝4x (a －x )2，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫0＜x ≤2at 1＋2t .此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x 和函数y ，然后利用题干条件用x 表示y ，最后写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．[再练一题]3．某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图2-2-3，用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．图2-2-3【解】 速度是时间的函数，解析式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋t ， t ∈[0，5)，3t ， t ∈[5，10)，30， t ∈[10，20)，－3t ＋90， t ∈[20，30].由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v(9)＝3×9＝27(cm/s). 三、课堂检测1. 如图，函数y ＝|x ＋1|的图像是( )【解析】 y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1.【答案】 A2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x ，x ＞1，则f [f (3)]等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 【解析】 ∵f (3)＝23，∴f [f (3)]＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 【答案】 D3. 已知函数f (x )由下表给出：x 1 2 3 4 f (x )－3－2－1则f (3)＝________.【解析】 由数表可知f (3)＝－1. 【答案】 －13. 已知f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1，则f (x )＝________.【解析】 因为f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1＝(x 2－1)2＋(x 2－1)＋1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1(x ≥－1)．【答案】 x 2＋x ＋1(x ≥－1)4. 如图2-2-4，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎡⎦⎤1f (3)的值等于________.图2-2-4【解析】 由函数f (x )图像，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎡⎦⎤1f (3)＝f (1)＝2.【答案】 25. 已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图像；高中数学-打印版精心校对 (2)写出函数的定义域和值域．【解】 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．所以已知函数可写成分段函数形式：y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1(x ≤－2)，3(－2＜x ≤1)，2x ＋1(x ＞1).在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图像，如图所示，即为所求函数的图像．(2)根据函数的图像可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)．四、 课堂小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。