近世代数10套试题
近世代数基础测验卷
近世代数测验题一、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。
2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；10、任意一个群都同一个 同构。
二、证明题（24）1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n=。
2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。
3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。
二、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。
2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。
参考答案：一、填空题1、满足结合律； 满足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都满足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈Q ab ∈∴Ha Ka H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述，H 也是G 的子群。
近世代数试题库
近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A=（）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，6，7}C 、{2，3}D 、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（）A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案：A4、关于陪集的命题中正确的是（）设H 是G 的子群，那么A 、对于,,bH aH 有bHaH或bHaHB 、以上都对答案：D5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a →10a??a A 则 f 是从A 到B 的（）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（）A 、有限 B、无限C 、为零D 、为1答案：A7、整环（域）的特征为（）A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案：D8、若S 是半群,则( ) A 、任意,,,S cb a 都有a(bc)=(ab)c B 、任意,,S b a 都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（）A 、1,6 B 、2,3C 、1,2 D 、3,6答案：B10、偶数环的单位元个数为（）A 、0个 B 、1个C 、2个 D 、无数个答案：A 11、设n A A A ,,,21和D 都是非空集合，而f 是n A A A 21到D 的一个映射，那么（）A 、集合D A A A n ,,,,21中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21的次序不能调换；C 、n A A A 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元n a a a ,,,21的象可以不唯一。
答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（）A 、在整数集Z 上，ab ba ba ；B 、在有理数集Q 上，ab b a ；C 、在正实数集R 上，b a b a ln ；D 、在集合0nZ n 上，b a ba 。
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*)中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合,＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ，b}C 、 a*b=a+2bD 、a ＊b=｜a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14),3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。
2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。
5、A={1。
2.3} B=｛2。
5。
6｝ 那么A ∩B=—-｛2}—--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题一、单项选择题((本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
多选或未选均无分。
1、设G G 有有6个元素的循环群，个元素的循环群，a a 是生成元，则G 的子集（的子集（ ）是子群。
）是子群。
A 、{}aB B、、{}e a ,C C、、{}3,a eD D、、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（、下面的代数系统（G G ，*）中，（ ）不是群）不是群）不是群A 、G 为整数集合，为整数集合，**为加法为加法B B B、、G 为偶数集合，为偶数集合，**为加法为加法C 、G 为有理数集合，为有理数集合，**为加法为加法D D D、、G 为有理数集合，为有理数集合，**为乘法为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（上，下列哪种运算是可结合的？（ ）） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C a*b=max{a,b} C、、 a*b=a+2b D a*b=a+2b D、、a*b=|a-b|4、设1s 、2s 、3s 是三个置换，是三个置换，其中其中1s =（1212））（2323））（1313）），2s =（2424））（1414）），3s =（13241324）），则3s =（ ））A 、12sB B、、1s 2sC C、、22sD D、、2s 1s5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（个或以上元的半群，它（ ））。
A 、不可能是群、不可能是群 B 、不一定是群、不一定是群 C 、一定是群、一定是群 D 、 是交换群是交换群二、二、填空题填空题填空题((本大题共10小题，小题，每空每空3分，分，共共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个、凯莱定理说：任一个子群都同一个------------------------------同构。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。
近世代数练习题(附答案)
《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元， 则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则 （ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、 对称律 、 推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个 不变 子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律 、 推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中 单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个 理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个 域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想 （1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为 【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是 零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的 相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是 唯一分解 环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为 素 数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想 （7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个 相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是 群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个 理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解： 因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律： 若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律： 若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。
近世代数期末考试试题库
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。
9、一个除环的中心是一个-域———--。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。
近世代数期末考试题库完整
世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R（实数集），如果A至UB的映射中：x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（d）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A“T0」＞；B=42},则有BMA=。
2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想，那么。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）［写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。
(精选)近世代数练习题题库
§ 1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么 A 同 B = {x x = A 且x = B}。
( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f - 1 。
( )1.4 如果Q 是 A 到 A 的一一映射,则Q [Q (a)]=a 。
( )1.5 集合 A 到 B 的可逆映射一定是 A 到 B 的双射。
( )1.6 设A 、 B 、 D 都是非空集合，则 A 根 B 到D 的每个映射都叫作二元运算。
( )1.7 在整数集 Z 上， 定义“o ”：a o b=ab(a,b∈Z)，则“ o ”是 Z 的一个二元运算。
( )1.8 整数的整除关系是 Z 的一个等价关系。
( )2 填空题：2.1 若 A={0,1} , 则 A A= __________________________________ 。
2.2 设 A = {1， 2}， B = {a ， b}， 则 A×B =_________________ 。
2.3 设={1,2,3} B={a,b}, 则 A 根 B=_______。
2.4 设 A={1,2}, 则 A A=_____________________ 。
2.5 设集合 A = {- 1,0,1}； B = {1,2} ，则有 B 根 A = 。
2.6 如果 f 是A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f - 1 [f(a)] = 。
2.7 设 A = { a 1, a 2 ,…a 8 }， 则 A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设 A 、B 是集合， | A | ＝ | B |＝3， 则共可定义 个从 A 到 B 的映射， 其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设 A 是 n 元集， B 是 m 元集，那么 A 到 B 的映射共有____________个.2.10 设 A={a,b,c}，则 A 到 A 的一一映射共有__________个.2.11 设 A={a,b,c,d,e}，则 A 的一一变换共有______个.2.12 集 合 A 的 元 间 的 关 系~ 叫 做 等 价 关 系， 如 果 ~ 适 合 下 列 三 个 条 件： _____________________________________________ 。
近世代数期末考试试卷与答案
近世代数期末考试试卷与答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。
A、aB、 a , e33 C、 e, a D、 e, a , a2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群A、G为整数集合， * 为加法B、G为偶数集合， * 为加法C、G为有理数集合， * 为加法D、G为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（）A、2 B 、12 D 、2112C 、25、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。
4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=----- 。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----a 0 , a1 , , a n使得na 0 a 1 a n0 。
8、a是代数系统( A ,0 )的元素，对任何x A 均成立 x a x ，则称a 为---------。
近世代数期末考试试卷及答案
近世代数期末考试试卷及答案1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）.A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构.2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构.5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------.7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------.9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------.10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集.2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b.2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b.近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、6阶有限群的任何子群一定不是（）.A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群.A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）.A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A 、(1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的.2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------.3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5、环Z 8的零因子有 -----------------------.6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------.8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ.1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性. 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e .近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题.1、C ；2、D ；3、B ；4、C ；5、D ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I 或S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ可知σ为奇置换，τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ2、解：设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(21A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=.若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一.3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）.2、证明在F 里)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab有意义，作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有-Q 显然是R 的一个商域 证毕. 近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}2、答：（E，•）不是群，因为（E，•）中无单位元.3、解方法一、辗转相除法.列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群<G，*>的幺元.令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解.若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x.所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解.2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类.若m ︱a–b也记为a≡b(m).当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法.用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种.2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环.S1+S2不一定是子环.在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ，证毕.2、证 必要性：将b 代入即可得.充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1.。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。
（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
近世代数期末考试试题和答案解析
近世代数期末考试试题和答案解析一、单项选择题（本大题共5小题，每小题 3 分，共15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。
A、a B 、a,e C 、e,a3D 、e,a,a32、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群A、G为整数集合，* 为加法 B 、G为偶数集合，* 为加法C、G为有理数集合，* 为加法 D 、G为有理数集合，* 为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3 =1324），则3=（）22A、2 1 B 、 1 2 C 、2 2 D 、 2 15、任意一个具有2 个或以上元的半群，它（）。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----- 同构。
2、一个有单位元的无零因子称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于 -- 。
4、a 的阶若是一个有限整数n，那么G与-- 同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B= 。
6、若映射既是单射又是满射，则称为------------ 。
7、叫做域 F 的一个代数元，如果存在 F 的a0,a1, ,a n使得a0 a1a n n 08、a是代数系统（ A,0）的元素，对任何x A均成立x a x，则称a为--- 。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、------ 。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P 是---- 。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。
（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G,＊）中,( )不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，＊为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ )A 、a ＊b=a —bB 、a*b=max{a ，b ｝C 、 a ＊b=a+2bD 、a*b=|a —b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=（12)（23）（13），2σ=（24)（14）,3σ=（1324)，则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个—--——-————同构。
2、一个有单位元的无零因子--—-—称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于——--—-.4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与——————-同构。
5、A=｛1.2.3｝ B=｛2。
5.6｝ 那么A ∩B=—-———。
6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为---—————-——---—--.7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的—-—--n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为——-----—-.9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、——————---。
近 世 代 数 其 中 试 题
近 世 代 数 期 中 试 题一、判断题：（10分）1．有左单位元的群一定有右单位元。
（ ）2．任何群中消去律都成立。
（ ）3．方程b ya b ax ==,在群G 中有同一个解。
（ ）4．一个群中元的阶一定整除群的阶。
（ ）5．一个群的商群的阶一定不会大于这个群的阶。
（ ）6．任何阶的交换群都是存在的。
（ ）7．交换群的子群都是不变子群。
（ ）8．无限阶的循环群都是同构的。
（ ）9．若群中元a 有：e a m =，则a 的阶大于等于m 。
（ ）10．一个集合A 的所有的变换作成一个变换群。
（ ）二、填空题：（24分）1．群G 的子群{}e H =的陪集为 ，H 在G 中的指数为 ；子群G H =的陪集为 ，H 在G 中的指数为 。
2．3S 中由()(){}3,2,1,2,1=S 生成的子群是 。
3．整数集合中决定模7的剩余类的等价关系是 。
4．有限子集作成子群的充要条件是 。
5．设φ是集合A 到A 的满射，若S 是S 的象，则S S 的逆象。
6．阶是素数p 的群G 有 个子群。
7．两个有限阶的循环群G 与G 同态的充要条件是 。
8．交换群G 的中心是 。
9．将下面的置换写成循环置换的乘积 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛214635654321= 。
三、简答题：（共26分）1．两个群同态有哪些性质被保持?（5分）2．一个群与且仅与它的商群同态的理由。
（4分）3．给出1-4阶群的运算图表。
（17分）四、证明题：（共20分）1．循环群一定是交换群。
（4分）2．一个群的中心是它的不变子群。
（6分）3．实数集R 上的可以写成0,,:,≠∈+→a R b a b ax x b a 、τ形式的变换作成一个变换群。
（10分）五、求解：（共20分）1．求模8的剩余类加群的所有子群及非平凡子群的陪集。
2．设{}{}1,1,,,1,1-=--=B i i A 中的代数运算""∙是普通的数的乘法，证明：1、()∙,A 与()∙,B 同态； 2、求同态满射的核。
近世代数习题与答案
一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。
(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。
(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。
(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内）1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。
2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当 。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。
三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）1、设G 是群，∅≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。
( )3、商环6Z Z 是一个域。
（ ）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。
（ ）5、任意群都同构于一个变换群。
（ ）四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。
近世代数期末考试试卷
近世代数模拟试题一一、单项选择题1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x→x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的(C)A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ，a,b ∈G 都有解，这个解乘法来说是(B) A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(C) A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(D)A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换群。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是1a。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么-----S R S I ==或者----。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
(1653)(247)(123)(48)(57)στ==σ为奇置换，τ为偶置换)27)(24)(16)(15)(13(=σ)57)(48)(12)(13(=τ3、设集合{0,1,2,,1,}(1)m M m m m =⋯>⋯-，定义m M 中运算“m +”为a+b=(a+b)(modm ),则(m M ，m +)是不是群，为什么？答：(m M ，m +)不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分三、解答题（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。
N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。
3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
《近世代数》试卷2（时间120分钟）一、填空题（共20分）1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［10］＋［5］＝，［10］·［5］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
4. 在5次对称群S5中，（12）（145）＝，（4521）－1＝，（354）的阶为。
5. 整环Z中的单位有。
6. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。
2. （）一个阶是13的群只有两个子群。
3. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
4. （）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。
5. （）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。
6. （）存在特征是2003的无零因子环。
7. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8. （）模21的剩余类环Z21是域。
9. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
10. （）除环只有零理想和单位理想。
三、解答题（共30分）1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。
试问：H是否是G的子群？为什么？3. 在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。
四、证明题（共30分）1.设I1={4k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：（1）I1,I2都是整数环Z的理想。
（2）I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。
2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明：A＝｛a | a ∈R且f（a）∈A｝是R的理想。
3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。
《近世代数》试卷3（时间120分钟）一、填空题（共20分）1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2. 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
3. 在4次对称群S4中，（24）（231）＝，（4321）－1＝，（132）的阶为。
4. 整环Z中的单位有。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）一个阶是11的群只有两个子群。
2. （）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。
3. （）素数阶群都是交换群。
4. （）循环群的商群是循环群。
5. （）模27的剩余类环Z27是域。
6. （）存在特征是2004的无零因子环。
7. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8. （）域是主理想整环。
9. （）域只有零理想和单位理想。
10. （）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。
三、解答题（共30分）1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。
四、证明题（共30分）1.设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：（1）I1,I2都是整数环Z的理想。
（2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。
2. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。
证明：G1= {x|x∈G且φ（x）∈H1}是G 的子群。
3. 设环（R，＋，·，0，1）是整环。
证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
《近世代数》试卷4（时间120分钟）一、填空题（共20分，每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是。
3. 在剩余类环Z18中，［8］＋［12］＝，［6］·［7］＝。
4. 环Z6的全部零因子是。
5. 在多项式环Z17［x］中，（［6］x＋［7］）17＝。
6. 在模7的剩余类环Z7中，方程x2＝1的所有根是。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）交换群的子群是不变子群。
2. （）一个阶是11的群只有两个子群。
3. （）无零因子环的特征不可能是2004。
4. （）有单位元且满足消去律的半群是群。
5. （）模21的剩余类环Z21是域。
6. （）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
7. （）若R是主理想整环，则一元多项式环R［x］是主理想整环。
8. （）除环只有零理想和单位理想。
9. （）欧氏环是唯一分解整环。
10. （）无零因子环的同态象无零因子。
三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H 是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。
3. 在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。
四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）1. 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。
2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。
3. 证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
《近世代数》试卷5（时间120分钟）一、填空题（共20分，每空2分）1. 在对称群S4中，（134）（12）＝，（2143）－1＝。
2. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。
3. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模6的剩余环Z6中，方程x2＝1的所有根为。
5. 环Z10的所有零因子是。
6. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环群。
2. （）若H1、H2都是群G的子群，则H1∪H2也是群G的子群。
3. （）交换群的子群是不变子群。
4. （）一个阶是11的群只有两个子群。
5. （）模15的剩余类环Z15是域。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
10. （）域是主理想整环。
三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）1. 设H＝｛（1），（13）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H 是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模18的剩余类环Z18的所有理想。
3. 在整数环Z中，求由2004，125生成的理想（2004，125）。
四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）1. 设～是整数集Z上的模6同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。
2. 设H1和H2分别是群（G， ，e）的子群，并且| H1 |＝m，| H2 | ＝n，m、n有限，（m，n）＝1，试证：H1∩H2＝｛e｝。
3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。
《近世代数》试卷6一、填空题（每空2分，共20分） 1、设有集合A 和B ，|A|=3,|B|=2,则共可定义____个从A 到B 的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。
2、设G =)(a 是10阶循环群，则G 的非平凡子群的个数为_________.3、在5次对称群5S 中，_____,)135)(12(=)5132(的阶是_______)43125(______,1=-。