2017七年级寒假讲义汇总(尖子)
(完整)七年级寒假衔接班讲义第一讲(2)
七年级寒假衔接班讲义第一讲（一）相交线邻补角：一条边公共，另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
注意：邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。
对顶角：有公共的顶点，两边互为反向延长线。
具有这种位置关系的角，互为对顶角。
注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交,而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。
两直线相交，有4对邻补角；2对对顶角对顶角的性质：对顶角相等垂线两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
注意：①两条直线相交所成的四个角相等；②两条直线相交，有一组邻补角相等；③两条直线相交，对顶角互补.都可以判断这两条直线互相垂直垂线的性质：性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。
垂线的性质：性质2垂线段最短.画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A、A、A……在I上，连接PA、PA、PA……，POL I ,垂足为0,用叠合法或度量法比较PO PA、PA、PA……的长短，可知垂线段P0最短。
点到直线的距离：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如上图，P0就是点P到直线I的距离＜注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值, 是一个数量，所以不能画距离, 只能量距离。
垂线的画法：画已知线段或射线的垂线：（1 ）垂足在线段或射线上；（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上例1.判断正误（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）•（2）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.（）（3） 有一条公共边的两个角是邻补角.（）•（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角.（）.（5） 对顶角的角平分线在同一直线上.（）•（6）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角. （）练习1.如图所示，下列说法不正确的是（） A.点B 到AC 的垂线段是线段AB; B. C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段； D.例2•点P 为直线m 外一点，点A,B,C 为直线m 上三点，PA=4cm,PB=5cm,PC=2crfi,点P 到直线m 的距离为（） A.4cm B.2cm C.练习2.如图，线段 ______ 的长度表示点D 到直线BC 的距离，线段 ______ 的长度表示点B例3.直线AB CD 相交于点0,⑴如果/ AOC # BOD=1O0那么/ A0D= _____ :⑵如果/ B0C 比/ A0C 勺2倍大30°，那么 / A0C=点C 到AB 的垂线段是线段AC 线段BD 是点B 到AD 的垂线段小于2cm D. 不大于2cm到直线CD 的距离，线段 _____ 的长度表示点A B 之间的距离 练习1图 练习2图 例3图 练习3图练习3.直线AB CD EF相交于点0,⑴/ B0E勺邻补角是⑵/ D0A勺对顶角是___________ ⑶如果/ A0C=5°那么/ B0D= ________ ，/ C0B=例4.按要求画图：（1 ）如图，过A点作CDLMN过A点作PQLEF于B.课堂能力提高训练:1. 如图所示,AD 丄BD,BCL CD,AB=a, BC=b,贝U BD 的范围是（3. 如图，ACL BC 于点C, CD!AB 于点D, DEL BC 于点E ,能表示点到直线（或线段）的距 离的线段有（）条.距离.EF,B（A. 大于aB. 小于bC. 大于a 或小于b2.如图，BCL AC , A.AC v mAD 丄CD AB=m CD=n 则AC 的长的取值范围是（B.AC > nC.n < AC X mD.nv AC X mM （练习4 （1如图，过A 点作BC 边所在直线的垂线•4图b ）（图垂足是D,并量出A 点到BC 边的⑵如图，已r大于b 且小于a D.A.3B.4C.7D.84. 若直线a与直线b相交于点A,则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是（）.5. 回答下列问题:(1) 三条直线AB CD EF 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)？几对邻补角？ (2) 四条直线AB CD EF 、GF 两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)？几对邻补角？ ⑶m 条直线a i 、a ?、a 3, , a 什i , a m 相交于点O,则图中一共有几对对顶角(平角除外)？ 几对邻补角？4 [Vco一c\F6. 从点O 引出四条射线 OA OB OC OD 且AOL BO, COL DQ 试探索/ AOC 与Z BOD 的数量关系.(二)同位角、内错角、同旁内角“三线八角”两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示 (1) 同位角：可以发现Z 1与Z 5都处于直线I 的同一侧， 直线a,b 的同一方，这样位置的一对角就是同位角。
北师版七年级下数学预习寒假班希望杯讲义尖子训练
初一数学寒假教材目录(尖子训练营)第一节 整式的指数运算(一)【知识要点】1．幂的有关概念一般地，几个相同因数相乘，即n aa a a a ⋅⋅⋅⋅个可以记作n a ．“na ”读作:a 的n 次方或a 的n 次幂，乘方的结果叫做幂. 其中,a 叫做底数，n 叫做指数． 2．同底数幂的乘法法则: mm aa a a a =⋅⋅⋅个 n n aa a a aa =⋅⋅个，所以有 ()m nm n m an am n aa a a a a a a a a a a a a a ++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=个个个．即m n m na a a+⋅=（m 、n 都是正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3．幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即()m n m n a a ⋅=（m,n 为正整数）积的乘方法则: 积的乘方等于各个因式的乘方之积，即()m m m ab a b =⋅（m 为正整数）【典型例题】例1. 计算（1）815210101010⋅⋅⋅ （2）425610100010101010⋅+⋅-⋅（3）62a a - （4）62)(a a -例2. 计算下列各式（1）23()()m n n m -⋅- （2）21()()n n x y x y ++⋅--（n 为正整数）例3.（1）已知32=x ，求32+x 的值（2）已知2510,510==+b a a ，求b10的值例4. 计算下列各式（1）m m m x x x 5233)()(⋅⋅+ （2）[]3342)(b a a -⋅-例5. 试比较5554443333,4,5的大小* 例6. 已知23,26,218a b c ===试问c b a ,,之间关系如何？【初试锋芒】1．35a a a ∙∙= 2．235()a a ∙= 3．若34na=，则6n a =4．若5,2n n a b ==则32()n a b = 5．n 为奇数，则22()()n n a a -+-= 6．2003200331()(1)43-∙=7．nx -与()n x -的正确关系为（ ） A ．相等 B ．互为相反数C ．当n 为奇数时，它们互为相反数，当n 为偶数时它们相等D ．当n 为奇数时，它们相等，当n 为偶数时，它们相反 8．1001012(2)+-所得结果是（ ）A ．1002B ．1002-C ．－2D ．2 9．如果单项式42a b x y --与3a b x y +是同类项，则它们的积为（ ）A ．64x yB ．32x y -C ．3283x y - D ．64x y -10．若5544332,3,4a b c ===则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＜b ＜c 11. 把计算结果写成幂的形式（1）822154⋅⋅ （2）12525.52⋅⋅ （3）926416⋅⋅12. 已知2=ma 5=n a ，求n m a +的值.13. 计算（1）22)()(a a a -⋅-⋅ （2）121121(1)n n n n x x x x n +--+⋅-⋅为大于的正整数14. 求下列各式中的x . （1）107a a a x =⋅ （2）10m m m x x =⋅（3）123++=x x a a （4）1671)43(-=x* 15．已知：37,314,328a b c ===试确定a,b,c 之间的关系.【大展身手】1．22()()x y y x -∙-= 2．若2(3)21636x x +-=则x= 3．若()m n mn x x -=-成立则（ ）A ．m ,n 均为奇数；B ．m ,n 均为偶数C ．m 为奇数，n 为偶数D ．不论m 为奇数还是偶数，n 为奇数 4．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-=则m+n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．－3* 5．若a －b =2，a －c =12,则代数式29()3()4b c b c ---+的值为（ ）A ．32- B ．0 C ．32 D ．96．若21(3)202a b -+-=，求4b aa b +7. 求下列各式中的m 值 （1）1542+=⋅⋅m a a a a（2）1732222.4=⋅m m8．计算312()()()()nn y x x y x y y x +--+--9. 计算：235()()()m n n m n m -⋅-⋅-10. 已知2,2,x y a b ==求)22(2y x y x +⋅+的值.11．比较706与3535的大小* 12．计算(2)(2)(2)n n -+-∙-（n 为正整数）* 13．3,4m n a a ==求32m n a +的值为多少？第二节 整式的指数运算（二）【知识要点】1．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.即 mnm na a a-÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数且m ＞n ）2．零指数：任何一个不为零的数的0次幂都等于1.即01(0)a a =≠ 3．负整数指数幂：任何不等于零的数的－P （P 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数. 即 1pp aa-=（a ≠0，P 是正整数） 【典型例题】例1. 计算（1）63x x ÷ （2）62(2)(2)x x ÷-（3）43(3)(3)ax ax -÷- （4）21()m x x +÷-（5）22152525m mm -⋅÷ （6）()()()()7632x y y x x y x y -÷-+--÷+例2. 计算 320110()(5)1230π-+⨯-+-例3. 若26,42m n ==，求2222m n -+的值.例4. 比较大小181010152323⋅⋅与【初试锋芒】1．729()x x ÷= 2．212-= 3．若02(5)2(26)x x ----有意义，那么x 的取值范围是 4．如果0a ≠，p 是正整数，那么下列各式中错误的是（ ） A ．1pp aa -= B ．1pp a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．p p a a -=-D ．1()p p a a --= 5．化简2333333++∙∙-n nn 等于（ ） A ．89B ．13n +-C ．1139n +-D ．13n -6．若3220m n -+=求321010m n÷的值.7．已知：53,254,m n ==求4215m n --的值.8．化简2124223316452852n n n nnn n +-+++⋅⋅∙⋅9．比较181023⨯与101523⨯的大小【大展身手】1．22102222--∙∙∙= 2．若1327x =则x =3．若02(3)2(36)x x ----有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＜2 C ．x ≠3或x ≠2 D ．x ≠3且x ≠2 4．如果2xn m mm +÷=那么x 的值为（ ）A ．n ＋3B ．n +2C ．n +1D ．3－n 5．若(1)1aa -= 求a6．若P =999999，Q =990119，证明：P =Q第三节 整式的乘法【知识要点】1．单项式与单项式相乘：把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2．单项式与多项式相乘：根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 3．多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【典型例题】例1 计算（1）34323(2)a b ab c ⋅- （2）232216()()3a b x y ab y x -⋅-⋅-例2 计算（1）232(3)(21)x x x -+- （2）243(142)2x x x x --+-例3 计算 (2)(53)x y a b --例4 若2(3)(4)mx x x -+的积中不含2x 项，求m 的值.例5 计算121231231()()()n n n n a a a a a a a a a a ---+++++++-+++12()n a a a ++例6 若单项式246()()m n x y xy z y z ⋅⋅乘积是单项式58p x y z ，求m+n+p 的值.【初试锋芒】1．计算2(6)2a b ab -⋅=2．23422635x y x yz ⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 3．若12212611()()m n m n a b a b a b ++-⋅⋅=则m +n 的值为 4．化简：2232(3)(23)3(25)x x x x x x ---+--=5．已知21m m +=，则324m m m +-+=6．解方程2(3)2(3)8x x x x -+-=-得（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．4x =D ．4x =- 7．如果M 、N 分别是关于x 的7次多项式和5次多项式，则M ·N （ ） A ．一定是12次多项式 B ．一定是35次多项式 C ．大于12次的多项式 D ．无法确定积的次数 8．若(2)(1)x a x -+-的结果不含x 的一次项，则（ ） A ．1a = B ．1a =- C ．2a = D ．2a =- 9．2(1)(21)x x ax +++的结果中2x 项的系数为－2，则a 等于（ ） A ．－2 B ．1 C ．－4 D ．以上都不对10．计算223212()5()4()k kx y x y x y +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⋅+⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦11．在22()(231)x ax b x x ++--的积中，3x 的系数是－5，2x 的系数是－6，求,a b 的值.12．求证：对于任何自然数n ，代数式(5)(3)(2)n n n n +--⋅+的值都能被6整除.【大展身手】1．M 是关于x 的三次式，N 是关于x 的五次式，则下列结论正确的是（ ） A ．M +N 是八次式 B ．N －M 是二次式 C ．MN 是八次式 D ．MN 是十五次式2．化简23332(3)7(41)x x x x x ⎡⎤--+⎣⎦等于（ ）A ．4397x x +B ．6953277287x x x x ---C ．5243177x x x -+D ．64487x x + 3．计算322322(1)(3)(4)x y x y xy xy ++⋅-⋅-4．计算：11111111()(1)(1)(23200322002220032++++++-++++11)32002++5．如果22(8)(3)x px x x q ++-+的结果中不含2x 和3x 项，试求p ,q 的值.第四节 平方差公式【知识要点】如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形． 1．请表示图中阴影部分的面积．2．小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？3．两图阴影部分的面积相等吗？(1) 22b a -；(2) 长b a +，宽b a -，面积()()b a b a -+； (3) 相等 ()()22b a b a b a -=-+即 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.【典型例题】例1．用平方差公式计算（1）（2x+5）(2x-5) (2) (x+ab)(x-ab)(3) (-3a-b)(-3a+b) (4) (-2(5) (2x+3)(3-2x) (6) (-y-x)(-x+y)图1图2(7)(-x+1)(-x-1) (8))21)(41)(21(2++-x x x* (9)(a-b+c)(-a+b+c) * (10)(－x-y+z)(-x+y+z)例2．观察下列格式你会发现什么规律？ 1× 3= 3 而 3=22-1 3× 5= 15而 15=42-1 5× 7= 35而 35=62-1 …11×13=143而143=122-1 …将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来 并用你得到的规律对下列式子进行简算（1）102×98 （2）119×121 （3）32311⨯例3. 计算2222210099989721-+-++-例4.求证：22(7)(5)n n +--能被24整除【初试锋芒】1． 用平方差公式计算下列各式 (1)( (2)(3a-bc)(-bc-3a)(3) (4)((5) （6）24(21)(21)(41)(161)x x xx -+++2.下面计算正确的是（ ） A.(x+3)(x-3)=x 2-9 B.(2x+3)(2x-3)=2x 2-9 C.(2x+3)(x-3)=2x 2-9 D.(5ab+1)(5ab-1)=25a 2b 2-13.(-3x+4)(-3x-4)等于（ ） A.(3x)2- 4B. 42-(3x)2C.- (3x)2-4D.(-4)2-(3x)24.若M(3x-y 2)=y 4-9x 2,那么代数式M 应是（ ） A.-(3x+y 2)B.- y 2+3xC.3x+ y 2D.3x- y26.(x-1)(x+1)(x 2+1)-(x 4+1)的值是（ ） A.-2x 2B.0C.-2D.-17.已知x 2-y 2=4,那么（x-y ）2(x+y)2的结果是（ ） A.4B.8C.16D.328.设正方形的面积为S 平方厘米，长方形的面积为S 2平方厘米，如果长方形的长比正方形的边长多3厘米，宽比正方形的边长少3厘米，则S 1与S 2的关系是（ ） A ．S 1=S 2 B ．S 1=S 2+9 C ．S 1=S 2－9 D ．无法确定9.简算：（1）1001×999 （2）32123113（3）2001×1999-20002（4）1.02×0.9810.化简求值：(y+3x)(3x-y)-(3y-x)(3y+x),其中x=-2,y=3.11.解方程：(2x+3)(-2x+3)+9x=x(3-4x)【大展身手】1． 运用平方差公式计算： (1)（ (2) (2x+3)(2x-3)(3) (5ab+1)(5ab-1) (4) (-3x+4)(-3x-4)2. 运用平方差公式计算（1）403×397 （2） 3.01 2.99⨯（3）12008200620072+⨯ （4） 9910110001⨯⨯第五节 完全平方公式（一）【知识要点】1．完全平方公式 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b2特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，仅有一个符号不同；右边都是二次三项式，其中第一项与第三项是公式左边二项式中的一项的平方；中间一项是二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同. 注意：公式中的a 、b 可以是数,也可以是单项式或多项式. 2．完全平方公式的变形及推广：（1）()()[]()222b a b a b a +=+-=--；()()[]()222b a b a b a -=--=+-；（2）()()22a b b a -=+-；()()[]22c b a c b a +-=--；（3）()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；()()ab b a b a 422-+=-【典型例题】例1. 用完全平方公式计算(1)（3a+b ）2(2) (-x+3y)2(3) (x-3y)2 (4) (5x-3y)2(5) 22)121(-x (6) (x+)2例2. 利用完全平方公式计算（1）1022（2） 1972（3） 9952（4）452例3. 计算(看谁的方法更快更好！)(1)(2x-3y)2(2x+3y)2(2) (x-y)(x+y)(x 2-y 2)* (3) (a-2b+3c)(a-3c-2b) * (4) (a+b+c)2例4．若2226100x x y y ++-+=，试求x ，y 的值.例5．已知：3,1a b ab +==，求 ①22a b + ②2()a b - ③22ab a b + ④11a b + ⑤b a a b+【初试锋芒】1．要使4x 2+mx+成为一个两数的和的完全平方式，则（ ） A.m=-2 B.m=2 C.m=1 D.m=-1 2.若x 2+ax=(x+)2+b ，则a,b 的值是（ ）A.a=1,b=B.a=1,b=-C.a=2,b=D.a=0,b=- 3.要使(a-b)2+M=(a+b)2成立，代数式M 应是（ ）A.2abB.-2abC.-4abD. 4ab 4.若x 2+y 2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则P ，Q 分别为（ ）A.P=2xy,Q=-2xyB. P=-2xy,Q=2xyC. P=2xy,Q=2xyD. P=-2xy,Q=2xy5.若m ≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,其中错误的有（ ）A.1个B. 2个C.3个D.4个 6.如果a+=3,则a 2+=( )A.5B.7C.9D.11 7.若x+y=3,x-y=1,则xy=8．（2a+3b ）2=4a 2+ +9b 2(a+ )2=a 2+ + (a+b)2- =a 2+b 2(a-b)2=(a+b)24ab9．已知：224250a b a b ++-+=则a ba b+-= * 10．15,a a +=则4221a a a ++=11. 已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a 2+b 2和ab 的值. 12．已知x+y=4，xy=－12求下列各代数式的值.（1）22x y + （2）22x y xy + （3）2()x y - （4）y xx y+【大展身手】1． 计算： （1） (-a-2b)2（2） (x+2y)2 （3） -(5x-2y)2 （4） (2x-3y)(2x-3y)2．如果2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±123．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于（ ）A ．8B ．4C ．±4D ．±84．已知则014642222=+-+-++z y x z y x z y x ++的值为5. 计算：（1）5012（2）99.82(3) 9926. 利用完全平方公式计算： 221.23450.76552.4690.7655++⨯7. 已知a+b=3,ab=-12,求下列各式的值: (1) a 2+b 2(2) a 2-ab+b 2(3) (a-b)2第六节 整式的检测一、判断题（每题1分，共10分）1．22223a a a a ⋅⋅= （ ）2．()()22mmmn m mn x yx y -=- （ ）3. 112n n n a a a -+⋅= （ ）4．()()437333-⋅-=- （ ）5．4444()a a a a -⋅÷-= （ ）6. ()()44mm b b -=- （ ）7．()()()22mmx y y x x y +--=-（ ）8. ()224)4(4b a b a b a -=-- （ ）9.xy xy xy 91)31)(13(-=-+ ( ) 10.n n n a a a a 2)2(22+=+ ( ) 二、填空题（每空1分，共14分） 1．在下列各式中填上适当的式子或数字: （1）(2=mnb()=m ()2= n 2)；（2）()(n m x + nm x 33)+=；（3）(5⋅x n x +=6)； （4）(35)(c a - 22)925c a =- 2．()()34x y x y +--= ；3．()()3223a a -+-= ；4．若()3511,m aa a =则m = ;5．()()=+-332x x ;6．()()=++-222323y x y x ;7．)(12(--x 241)x -=； 8．()+-2y x 22y xy x ++=;9．()=++=+-p px x x ,16422 三、选择题（每题2分，共20分）1．44a b ⋅等于（ ） A 、()22a b +B 、16abC 、4abD 、16a b +2．下列计算结果等于5a 的是（ ）A 、()()32a a -⋅- B 、()()38a a -÷- C 、()23a a ⋅-D 、()611a a -÷3．()()20032002125.08-⨯-的结果是（ ）A 、81 B 、81-C 、8D 、－84．下列计算：①1023x x x =+ ②126632y y y =⋅ ③()[]()853b a b a +=+④()()[]()()555y x y x y x y x -+=-+，其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．若)1)(2(-+-x a x 结果中不含x 的一次项，则（ ） A ．1=aB ．1-=aC ．2=aD ．2-=a6．若B Ax x x x ++=+-2)7)(6(，则（ ） A ．A=1，B=42B ．A=－1，B=－42C ．A=－1，B=42D ．A=1，B=－427．()()[]2y x y x -+等于（ ）A ．4224)(2y y x x ++-B ．44y x - C ．42242y y x x +-D ． 2222y x -8．若P n m n m +-=+22)53()53(成立，则P 等于（ ） A ．15mn B ．30mnC ．60mnD ．120mn9．如果12,7==+ab b a ，那么22b ab a +-值为（ ） A 、－11B 、13C 、37D 、6110．式子2242x xy y ---的最大值是（ ）A ．4B ．0C ．2D ．不存在四、计算题（每题4分，共16分） 1．a 5·a n +a 3·a 2+n –a ·a4+n +a 2·a3+n 2．[（-32）8×（23）8]73.99101⨯4.)2)((4)2(2y x y x y x +---五、解方程(每题5分，共10分)1．()()()()1573-+=-+x x x x 2．414141412=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x六、解答题（30分） 1．若41,4=-=y x ，求()2122+⋅⋅n n y x x 的值，n 为自然数.(5分)2．若0352=-+y x ，求yx 324⋅的值.(6分)3．若54,32-=+=x B x A ，求AB 2，其中2-=x (5分)4．①若25,152-==-xy y x ，求1422-+y x 的值；(5分) ②若53=-y x ，求x xy x 532--的值. (3分)5．计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----.(6分)第七节三线八角【知识要点】一、互余、互补的概念及性质1．定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补.如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余.2．性质：（1）同角或等角的补角相等（2）同角或等角的余角相等二、邻补角、对顶角1．两条直线相交成四个角.其中相邻的两个角是邻补角，其中不相邻的两个角是对顶角.2．对顶角相等三、同位角、内错角，同旁内角的概念如图所示，直线AB,CD被直线EF所截，形成八个角1.同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角. 如图中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.2．内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角.如图中的∠4与∠6，∠3与∠5是内错角.3．同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.如∠4与∠5，∠3与∠6是同旁内角.【典型例题】例1（1）一个角的余角比它的补角的13还少20°，求这个角.23 418567A BCDEF（2） 如图1，已知AOB 是一直线，OC 是∠AOB 的平分线，∠DOE 是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？分别写出3对.例2 如图所示，已知直线1,2,34l l l l 和相交于一点O ，请问有多少对对顶角？例3 如图所示，已知AB ∥CD ，分别找出同位角，内错角和同旁内角各5对.ABO CE 1 2 3 4图（1）DO1l2l3l4lABC DE【初试锋芒】1．如右图所示，∠1和∠2是直线___ ___和直线___ __ 被直线_______所截得的同位角。
2017年七年级寒假尖子班第1讲
第01讲 数与形的巧算【知识方法扫描】【经典例题解析】1、运算律巧用例1.已知：201320132013201420142014+⨯-⨯=a ，201420142014201520152015+⨯-⨯=b ，201520152015201620162016+⨯-⨯=c 求abc 的值。
【变式训练】 已知2-ab 与1-b 互为相反数，求代数式.)1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab2、新定义巧算例1.符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：()()()(),...34,23,12,01-=-=-==f f f f（1）,...551,441,331,221=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f 利用上述规律计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20171...51413121f f f f f -()()()()2017...321f f f f ----【变式训练】已知一列数,,...,,321n a a a a ,其中12312111,...,11,11,1--=-=-=-=n n a a a a a a a ， 求2017321...a a a a ++++的值3、图形巧解题例1.如图，依次用4321,,,a a a a 表示图中①②③④中的三角形个数，那么8,321==a a 413,15a a ==_________；如果按照此规律继续画图，那么9a 与8a 的关系是+=89a a ______。
【变式训练】康托尔集：1883年，康托尔构造的一个“分形”，称作康托尔集。
从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之一而达到第二阶段。
无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称作康托尔集。
北师大版七年级数学寒假讲义(尖子班)
第一讲 整式的乘方一.同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.例题：1．已知n 是大于1的自然数，则（﹣c ）n ﹣1•（﹣c ）n+1等于（ ）A ．B ．﹣2ncC ．﹣c 2nD ．c 2n同步练习：1.（﹣p ）2•（﹣p ）3= ．2．规定a*b=2a ×2b ，求：（1）求2*3； （2）若2*（x+1）=16，求x 的值．3．阅读材料：n 个相同的因数a 相乘，可记为a n ，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n =b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log 24= ，log 216= ，log 264= ；（2）根据（1）中的计算结果，写出log 24，log 216，log 264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N= （a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．二．幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则： ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.积的乘方法则：()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()nn n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例题：1．图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008； ②（）11×（﹣）13×（）12．（2）若2•4n•16n=219，求n的值．同步练习：1.计算：x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．2．已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．3．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）= ，（5，1）= ，（2，）= ．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n，4n）=（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）三．单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.例题：1．若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．2．计算（1）. a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）. （﹣3x2y）2•（﹣xyz）•xz2．同步练习：1．已知x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（y m）6﹣（x2y）3m•y m的值．2.计算：2x 3（x 3）2﹣（3x 3）3+5x 2•x 7四．单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.例题：1．计算：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）同步练习：1．计算：．2．若ab 2=﹣1，求﹣ab （a 2b 5﹣ab 3﹣2b ）的值．五．多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()++=+++.a b m n am an bm bn要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2++=+++.x a x b x a b x ab例题：1．探究应用：（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）= ；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）= ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）C．（3+n）（9﹣3n+n2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）同步练习：1．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值2．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3、x2项．求m+n的值．3．根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可以用图（1）表示（1）根据图（2），写出一个多项式乘以多项式的等式；（2）从A，B两题中任选一题作答：A．请画出一个几何图形，表示（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母；B．请画出一个几何图形，表示（x﹣p）（x﹣q）=x2﹣（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母．综合考查：1．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．2.计算:（1）.用简便算法计算：（﹣9）3×（﹣）3×（）3．(2)．解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x=1﹣x2．第二讲 乘法公式一．平方差公式平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 例题：1.若a 2﹣b 2=，a+b=，则a ﹣b 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．1D ．22．3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．8同步练习：1．化简（m 2+1）（m+1）（m ﹣1）﹣（m 4+1）的值是（ ）A ．﹣2m 2B ．0C ．﹣2D ．﹣12．计算下列各题：（1）（a ﹣2b ）2﹣（2a+b ）（b ﹣2a ）﹣4a （a ﹣b ）两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 例题：1．已知x+y=5，xy=6，则x 2+y 2的值是（ ）A ．1B ．13C ．17D ．252．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a 2﹣ab+b 2=（ ）A ．29B ．37C ．21D ．33同步练习：1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b ）64的展开式中第三项的系数为（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．20192．若x ，y 满足x 2+y 2=，xy=﹣，求下列各式的值．（1）（x+y ）2 （2）x 4+y 4 （3）x 3+y 3两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 例题：1．已知a ﹣=5，则a 2+的值是 ．2．当4x 2+2（k ﹣3）x+25是一个完全平方式，则k 的值是 ．同步练习：1．若4次3项式m 4+4m 2+A 是一个完全平方式，则A=2．已知4x 2+8（n+1）x+16n 是一个关于x 的完全平方式，则常数n 的值为 ．综合考查：1. 计算：（2x+3y ）2﹣（4x ﹣9y ）（4x+9y ）+（3x ﹣2y ）2．2. 已知x+y=6，xy=5，求下列各式的值：（1）（2）（x ﹣y ）2 （3）x 2+y 2．3. 若二次三项式x 2+（2m ﹣1）x+4是一个完全平方式，则m 的值是多少？第三讲相交线及三线八角一．对顶角和邻补角对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.例题：1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.同步练习：1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=70°，则∠COE的度数是（）A．110°B．120°C．135°D．145°2．如图，两条直线相交于点O，若射线OC平分平角∠AOB，∠1=56°，则∠2等于（）A．44°B．56°C．45°D．34°3．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOE的度数是（）A．90°B．150°C．180°D．不能确定4．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=5：2，则∠AOF等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°二．垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.例题：1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.（1）写出图中与∠1互为余角的角；（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．同步练习：1．如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，（1）与∠1互为补角的角是_ ___；（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有___________．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．三．三线八角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.例题：1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？同步练习：1．如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，点E在BC的延长线上，则下列两个角是同位角的是（）A．∠BAC和∠ACD B．∠D和∠BAD C．∠ACB和∠ACD D．∠B和∠DCE3．如图，按各组角的位置判断，下列结论：①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④综合考查：1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．9.如图所示：（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？（2）与∠C是内错角的有哪些角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？第四讲平行线一．平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.例题：1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？同步练习：1．下列说法正确的是（）A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两个相等的角是对顶角C．互补的两个角一定是邻补角D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短2．下列说法中不正确的有（）①两条不相交的直线叫做平行线；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个二．平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.例题：1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？解：BE∥DF．∵AB⊥BC，∴∠ABC=____°，即∠3+∠4=____°．又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴____=____．理由是：_________．∴BE∥DF．理由是：_____________．同步练习：1．如图，条件（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；2．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4：③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）3．如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°．其中能得到AB∥CD的是____（填写编号）．三．平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.例题：1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．同步练习：1.如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（）A．∠A=∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F=180°C．∠A﹣∠E+∠C+∠F=90°D．∠A+∠E+∠C+∠F=360°2．如图，已知AB∥DE，∠ABC=50°，∠CDE=150°，则∠BCD的值为（）A．20°B．50°C．40°D．30°3．如图，已知直线AB∥CD，若∠C=118，∠A=26°，则∠E的度数为（）A．70°B．82°C．92°D．102°四．平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.两直线平行⇔同旁内角互补.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.例题：1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．理由：∵DE∥AB（已知），∴∠A=∠CED（___________________________），又∵∠BFD=∠CED（已知），∴∠A=∠BFD（___________________），∴DF∥AE（___________________________）∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．同步练习：1.已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠AEF﹣∠1=∠2，则在图中相等的角共有（）A．5对B．6对C．7对D．8对2．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：①EF∥CD；②∠B+∠BDG=180°；③若∠1=∠2，则∠1=∠BEF；④若∠ADG=∠B，则∠DGC+∠ACB=180°，其中说法正确的是（）A．①②B．③④C．①②③D．①③④3．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN= °．4．填写理由：如图所示∵DF∥AC（已知），∴∠D+∠DBC=180°．（）∵∠C=∠D（已知），∴∠C+ =180°．（）∴DB∥EC（）∴∠D=∠CEF．（）五．命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例题：1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：条件：__________________________．结论：___________________________．（2）证明你所构建的是真命题．同步练习：1．下列命题中，为真命题的是（）A．同位角相等B．若a＞b，则﹣2a＞﹣2bC．若a2=b2，则a=b D．对顶角相等2．命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若，则x＞﹣2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若3x＞﹣6，则x＜﹣2综合考查：1．下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．2．下列结论正确的是（）A．同位角相等B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行3．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．4．如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为．5．如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．6．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．第五讲函数一．常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.注意：字母可以表示数，但不一定是变量.例题：1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？当堂练习：1．下列说法中正确的是（）A．用图象表示变量之间关系时，用水平方向上的点表示自变量B．用图象表示变量之间关系时，用纵轴上的点表示因变量C．用图象表示变量之间关系时，用竖直方向上的点表示自变量D．用图象表示变量之间关系时，用横轴上的点表示因变量2．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（）A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．y是自变量，x是因变量C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量D．x是自变量，y是因变量二．函数的相关概念1. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.2. 函数值：在一个函数中，如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值.3. 解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.4. 函数自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.例题：1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，_______________是因变量．2.下列四个图象中，y是关于x的函数的是____________.3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？①y=2x；②y=2x2；③y2=2x；④y=2|x|；⑤|y|=2x．同步练习：1.求下列函数自变量x的取值范围．（1）y=﹣x2﹣5x+6；（2）y=√4x −3；（3）y=√7−x 4+5x．2.著名的狄利克雷（DcicHer ）函数是这样定义的：y={1，x 是有理数0，x 是无理数. （1）这个函数的自变量与因变量分别是什么？（2）这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？（3）请分别写出当x ═1，√2，6.4，3.1415时的函数值．3．如图所示能表示y 是x 的函数是（ ） A ． B ．C ．D ． 4．函数y=，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1B ．x ≥1 且 x ≠﹣2C ．x ≥1D ．x ≠﹣2 5．函数y=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣3B ．x ≠﹣3C ．x ≥﹣3D ．x ＞﹣3且x ≠0三．函数的表示方法①函数的表示方法——图象法1. 函数图象对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.注：①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；②函数图象上点的坐标满足函数解析式.2. 画函数图象的步骤：①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；②描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点）；③连线（按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来）.3. 用图象法表示函数的优缺点优点：直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.缺点：由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.例题：1.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？同步练习：1.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是在这一过程中，王亮同学离家的距离s（千米）与离家的时间t（分）之间的关系，请根据图象解答下列问题：（1）体育馆离家的距离为________千米，书店离家的距离为________千米；王亮同学在书店待了________分钟．（2）分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度．②函数的表示方法——列表法列表法的优缺点：优点：可以直接找到函数值.缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.例题：1.父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？③函数的表示方法——解析式法解析式法表示函数的优缺点优点：简单准确的反应两个变量之间的关系.缺点：不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.例题：1.将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．（1）根据图，将表格补充完整．（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的函数解析式.（3）你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗？为什么？。
寒假竞赛讲义1(七年级)
第二章 实数一、有理数性质：（1）顺序性：即对于任意两个有理数n m ,，在n m <，n m =，n m >三种关系中，有且只有一种关系是成立的.（2）封闭性：即任意两个有理数的和，差，积，商（除数不为0）仍然为有理数. （3）稠密性：任意两个有理数之间，仍然存在着一个有理数.（4）有理数可以写成有限小数或无限循环小数的形式，形式上可以与分数互化.常用的有理数的运算方法与技巧：1、凑成整数法. 将一些数凑成整一、整十等数.2、裂项相消法. 将一些数列为分数差，然后相消.如：b a ab b a 11+=+, a b ab b a 11-=-，()11111+-=+n n n n 等. 3、以符代数法. 将一些数记作某个字母，达到化繁为简的目的.4、巧用公式法. 将一些数的运算利用乘法公式等.如：()()b a b a b a -+=-22，()2222b a b ab a ±=+±，()()2233b ab a b a b a +-+=+，()()2233b ab a b a b a ++-=-等.5、利用运算率. 将一些数改变运算顺序，使某些计算简便. 例1、设y x ,都是有理数,且满足04231321=--⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππy x ,则=-y x ___________例2、设a 是一个无理数，且b a ,满足01=+--b a ab ，则b 是一个( ) A ．小于0的有理数 B.大于0的有理数 C.小于0的无理数 D.大于0的无理数二、相反数与倒数的概念（1）0=+b a ，则a 与b 互为相反数. 相反数等于本身的只有0.（2）1=ab ，则a 与b 互为倒数. 倒数等于本身的有±1.相反数，倒数都是指两个数之间的关系.三、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线——数轴.数轴上的点和全体实数是一一对应的，且右边的点对应的数总比左边的点对应的数大（正方向向右）. 数轴可用来化简代数式，比较有理数的大小，求解含有绝对值的方程、不等式及函数等数学问题.四、绝对值定义：在数轴上，表示一个数a 的点与原点之间的距离就叫做数a 的绝对值. 一个数的绝对值越大，则这个数表示的点到原点的距离就越大. 一般地，a x -表示x 所对应的点与a 所对应的点之间的距离. 性质：（1）0≥a ，由于绝对值表示的是距离，所以任何实数的绝对值都是非负数. （2）a a a a -≥≥,. （3）若b a =，则b a ,相等或互为相反数.（4）222a a a== （5）b a b a ⋅=⋅，()0≠=b bab a （6）y x y x y x +≤+≤- y x y x y x +≤-≤- 例3、求21-++=x x y 的最小值.例4、已知函数9619--+++-=a x x a x y ，其中a 为常数，且9619<<a ，当自变量x 的取值范围为96≤≤x a 时，求y 的最大值.五、平方根与立方根平方根：如果()02≥=a a x ，那么x 叫做a 的平方根（二次方根）.记作a x ±=.其中a 叫做a 的算术平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.立方根：如果()为一切实数a a x =3，那么x 叫做a 的立方根（三次方根）.记作3a x =. 正数有一个正的立方根，零的立方根是零，负数有一个负的立方根.性质：()()02≥=a a a ，()()⎩⎨⎧<-≥==.0,0,2a a a a a a ， ()0,0≥≥=b a b a ab ，()0,0>≥=b a bab a算术平方根的性质：（1）算术平方根与被开方数均为非负数（即非负性）； 即0,0≥≥a a（2）任何非负数都有惟一的算术根（存在性与惟一性）.六、非负数非负数：正数或零． 非负整数：即自然数．常见的非负数：实数的绝对值， 0≥x 实数的偶次幂， 04≥m 实数的算术根．0≥a （其中0≥a ）性质：（１）最小的非负数为０，没有最大的非负数； （２）有限个非负数的和仍然为非负数；（３）若干个非负数的和为０，则每个非负数都等于０．例：如果()()()02222=-+-+-c c b b a ，则()()()02,0,0222=-=-=-c c b b a ．例5、设b a ,分别表示273+的整数部分和小数部分，求()ab a 712++的值.例6、已知5252552-=-=-=c b a ，，，则c b a ，，的大小关系是__________例7、356356++-的值是（ ）1.A 14.B 57.+C 57.-D例8、一个数的两个平方根是22b a +和1364+-b a ，求这个数.跟踪练习：1、=02 ，4的算术平方根是 。
人教版七年级数学寒假高分班讲义
⑤ 16 .
⑵ 求下列各式的值：
① 25 ；
② 0.01 ；
③ 169 ；
2
④ 2 ；
⑤ 62 ；
⑥
16a4 ⑶ 解关于 x 的方程：
① 4x2 49 ； ② 3x2 108 0 ；③ 25 x 12 36
⑷ 比较下列各数大小：
① 2 ___ 3
② 2 ___ 3
③ 140 ___12
2
3
中，无理数有_________个. ⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：
① 6 ；② 3.14 ；③1 3 2 ；④ 3 2
⑷ 已知 x 是 4 的平方根， 3 y 2 ， 25 z ，求 x 2 y z 的值.
能力提升
实数与数轴的一一对应关系 【例7】 ⑴如图所示，在点 A 和点 B 之间表示整数的点共有_________个.
5 的平方根可表示为 5
用符号表示为“ a ”．
总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方
根.
算术平方根的概念：
4 的平方根是 2 ，其中 2 叫做 4 的算
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ， 术平方根. 即 x2 a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术
平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方 运算互为逆运算.
a (a 0)
a 2 a a ≥ 0, a2 | a | 0 a 0 a (a 0)
夯实基础
对新概念的理解能力
【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：
① 49 ； 64
② 0.0001；
③5；
④ 32 ；
夯实基础
对新概念的运用能力
初一数学寒假衔接讲义
初一寒假讲义目录第1讲同底数幂的乘法第2讲幂、积、商的乘方第3讲整式的乘法第4讲平方差公式及其应用第5讲完全平方公式及其应用第6讲乘法公式综合应用第7讲整式的除法第8讲半期复习与测试第9讲平行线与相交线第10讲平行线与相交线第11讲期末复习第12讲期末测试第1讲 同底数幂的乘法一、新知探索1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即nm nmaa a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．注意：① 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅ (m ，n ，p 都是正整数)． ② 此性质可以逆用：n m nm a a a⋅=+说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：（－a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧-);(),(为奇数为偶数n a n a n n （b －a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧---).()(),()(为奇数为偶数n b a n b a nn 二、典例剖析1、顺用公式：例1、计算：（1）35aa a （2）35xx- (3) 231mm bb +⋅（4）mn p aa a ⋅⋅ （5）()()7633-⨯- （6）()()57a a a ---变形练习：（1）234aa a a （2）()()48x x x ---2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=-()()33b a a b -=--()()44b a a b -=-()()2121n n b a a b ++-=-- ()()22nnb a a b -=-例2、（1）()()()38b a b a b a --- （2）()()()21221222n n n x y y x x y +----（3）()()()48x y y x y x --- （4）()()()37x y y x y x ---3、逆用公式：例3、已知：64,65mn== ，求：6m n+的值。
七年级寒假衔接班讲义第一讲
七年级寒假连接班讲义第一讲（一）订交线角：一条公共，另一条互反向延。
拥有种关系的两个角，互角。
注意：角是角的一种特别状况，数目上互，地点上有一条公共，而互的角与地点没关。
角：有公共的点，两互反向延。
拥有种地点关系的角，互角。
注意：角形成的前提条件是两条直订交，而角不必定是两条直订交形成的；每个角的角只有一个，而每个角的角有两个。
两直订交，有4角；2角角的性：角相等垂两条直相互垂直，此中的一条直叫做另一条直的垂，它的交点叫做垂足。
注意：①两条直订交所成的四个角相等;②两条直订交,有一角相等;③两条直订交,角互.都能够判断两条直相互垂直垂的性：性1一点有且只有一条直与已知直垂直。
．．．．注意：①“有”指存在，“只有”指独一；②“一点”中的“点”在直上或在直外。
垂的性：性2垂段最短.画出PA在程中的几个地点，如，点A1、A2、A3⋯⋯在l上,接PA1、PA2、PA3⋯⋯，PO⊥l ，垂足O，用叠合法或胸怀法比PO、PA1、PA2、PA3⋯⋯的短，可知垂段PO最短。
点到直的距离：接两点的段的度叫做两点的距离，里我把直外一点到条直的垂段的度,叫做点到直的距离.如上，PO就是点P到直l的距离。
注意：点到直的距离和两点的距离一是一个正，是一个数目，因此不可以画距离，只好量距离。
垂的画法：画已知段或射的垂：（1）垂足在段或射上；（2）垂足在段的延或射的反向延上例1.判断正误(1)假如两个角相等，那么这两个角是对顶角．()．(2)假如两个角有公共极点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．()．(3)有一条公共边的两个角是邻补角．()．(4)假如两个角是邻补角，那么它们必定互为补角．()．(5)对顶角的角均分线在同向来线上．()．(6)有一条公共边和公共极点，且互为补角的两个角是邻补角．()．练习1.以下图,以下说法不正确的选项是()A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段例2.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到直线m的距离为()C.小于2cmD.不大于2cm练习2.如图，线段的长度表示点D到直线BC的距离，线段的长度表示点B 到直线CD的距离，线段的长度表示点A、B之间的距离。
北师大版七年级地理寒假讲义(尖子班)
北师大版七年级地理寒假讲义(尖子班)
北师大版七年级地理寒假讲义（尖子班）
导言
寒假是学生们放松和休息的时光，然而，对于我们这个地理尖子班的同学们来说，研究并不会停止。
本讲义旨在为同学们提供一些有关北师大版七年级地理的研究资料，帮助大家在寒假期间继续深入研究地理知识，提高自己的研究成绩。
本讲义包括以下三个主要部分：自然地理、人文地理和地图与地理技能。
自然地理
- 地理与环境
- 自然地理与人类社会的关系
- 地理环境对人类活动的影响
- 地球与地图
- 地球的构造
- 地球上的大洲和大洋
- 地球的运动
- 使用地图了解地理信息
- 气候与天气
- 气候与季节的变化
- 大气环流与气象要素- 预测天气的方法与技巧
人文地理
- 人口与城市
- 人口分布与迁移
- 城市发展与规划
- 农业与工业
- 农业与农田利用
- 工业与能源利用
- 交通与通信
- 交通方式与运输网络- 通信技术与信息传播- 地理与环境问题
- 环境保护与可持续发展- 灾害与风险管理
地图与地理技能
- 地图与地理信息
- 地图的使用与阅读
- 地理信息系统的应用
- 地理观察与研究
- 野外调查与地理实验
- 数据收集与处理
- 图化与图解
- 数据图形的制作与解读
- 图表的应用与分析
在本寒假讲义中，我们将通过学习以上内容，帮助同学们进一步加深对北师大版七年级地理的理解和掌握。
鼓励大家利用寒假的时间积极学习，并加强与老师或同学们的交流和讨论。
祝愿大家在地理学习中取得进步，度过一个充实而愉快的寒假！。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型1
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元一次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法I:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知/ 1 = / 2,贝U AB// CD （同位角相等，两直线平行）；若已知/仁/3,则AB / CD （内错角相等，两直线平行）;若已知/ 1+ / 4= 180。
，则AB // CD （同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论2 :若/ P+ / AEP+/PFC= 360°，贝U AB // CD.结论2 :若/ P= / AEP+Z CFP，贝U AB // CD.结论1 :若AB // CD，则Z P=Z AEP- Z CFP 或Z P=Z CFP-Z AEP ; 结论2 :若Z P= Z AEP- Z CFP 或Z P= Z CFP- Z AEP，贝U AB // CD.模型四“骨折”模型PA------------- —B--- 巴/-D c____点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1 :若AB // CD，则/ P=Z CFP- / AEP 或/ P=Z AEP- / CFP ; 结论2 :若/ P= / CFP- / AEP 或/ P= / AEP- / CFP，贝U AB // CD.巩固练习平行线四大模型证明(1) 已知AE // CF，求证/ P +/AEP + / PFC = 360(2) 已知/ P= / AEP+ / CFP，求证AE // CF .(3) 已知AE // CF，求证/ P= / AEP- / CFP.(4) 已知 / P= Z CFP -Z AEP ,求证AE //CF .三模块一平行线四大模型应用例1(1)如图，a // b, M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么/(1) 如图所示，AB// CD，/ E=37°,/ C= 20 °，则/ EAB的度数为(2) (七一中学2015-2016七下3月月考)如图，AB // CD，/ B=30°,Z O= / C.则/ C= _________________(2)如图，AB // CD，且/ A=25°,/C=45 °，则/ E的度数是(3)如图，已知AB// DE,(4)如图，射线AC// BD ,例2如图，已知AB // DE , BF、DF分别平分/ ABC、/ CDE，求/ C、 / F的关系.如图，已知AB // DE , / FBC = 1/ ABF , / FDC = 1/ FDE .n n(1)若n=2,直接写出/ C、/ F的关系_________________________ ;⑵若n=3,试探宄/ C、/ F的关系；(3) ______________________________________ 直接写出/ C、/ F的关系 (用含n的等式表示)BE 平分/ ABC, DE 平分/ ADC .求证：/ E= 2 ( / A+ / C).BF、DF分别平分/ ABC、/ CDE，求/ C、/ F的关系.3C如图，已知AB // CD ,如图，己知AB // DE ,例4如图，/ 3== / 1+ / 2,求证：/ A+Z B+ / C+Z D= 180AB丄BC, AE 平分Z BAD 交BC于E, AE 丄DE , Z 1+ Z 2= 90 ° , M、N分别是BA、CD的延长线上的点，Z EAM和Z EDN 的平分线相交于点F则Z F的度数为（）.A. 120 °B.135°C.145°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB // CD , Z EFA= 30 ° ,Z FGH = 90 Z GHM = __________________ .（武昌七校2015-2016七下期中）如图,练如图，直线AB // CD , Z EFG =100 ° ,Z FGH =140°，则Z AEF+ Z CHG= ______________例6已知/ B =25 °，/ BCD=45°,/ CDE =30。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型
目录Contents第1平行四大模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第2数三大体念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7第3平面直角坐系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3第4坐系与面初步⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 1第5二元—次方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 7第6含参不等式（）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 9第1页共12页平行线四大模型知识目标目标一娴熟掌握平行线四大模型的证明目标二娴熟掌握平行线四大模型的应用目标三掌握协助线的结构方法，熟习平行线四大模型的结构秋天回首平行线的判断与性质、平行线的判断依据平行线的定义，假如平面内的两条直线不订交，就能够判断这两条直线平行，可是，因为直线无穷延长，查验它们能否订交有困难，因此难以直接依据定义来判断两条直线能否平行，这就需要更简单易行的判断方法来判断两直线平行．判断方法l：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判断方法2：两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判断方法3：两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．还有平行公义推论也能证明两直线平行：平行公义推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或许内错角相等，或许同旁内角互补，能够判断两条直线平行．反过来，假如已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，获得的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数目关系，这就是平行线的性质．性质1：第2页共12页两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右边，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左边，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右边，在AB、CD外面“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.第3页共12页模型四“骨折”模型点P在EF左边，在AB、CD外面“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.稳固练习平行线四大模型证明（1）已知AE//CF,求证∠P+∠AEP+∠PFC=360°.2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P=∠CFP-∠AEP,求证AE//CF.第4页共12页模块一平行线四大模型应用1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3=．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=.(4)如图，射线AC∥BD，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=．练(1)以下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．（七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=.第5页共12页2如图，已知 AB ∥DE ，BF 、DF 分别均分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.练如图，已知 AB ∥DE ，∠FBC=1∠ABF ，∠FDC=1∠FDE. n n(1)若n=2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ；若n=3，尝试宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.3 如图，已知AB ∥CD ，BE 均分∠ABC ，DE 均分∠ADC ．求证：∠E=2(∠A+∠C).练 如图，己知 AB ∥DE ，BF 、DF 分别均分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.第6页共12页4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．练（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC，AE均分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2=90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠ EAM和∠EDN的均分线订交于点F则∠F的度数为（）．A.120°B.135°C.145°D.150°模块二平行线四大模型结构例5如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM=.练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+∠CHG=.第7页共12页6已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=l0°，求：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.如(l)，已知MA1∥NA n，探究∠A1、∠A2、⋯、∠A n，∠B1、∠B2⋯∠B n-1之的关系．如(2)，己知MA1∥NA4，探究∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之的关系．如(3)，已知MA1∥NA n，探究∠A1、∠A2、⋯、∠A n之的关系．如所示，两直AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．第8页共12页挑战压轴题（粮道街2015—2016七下期中）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．(1)若∠EFB=55°，∠EDP=30°，求∠MPD的度数；(2)当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的均分线交于Q,问：Q能否为定值？假如定值，请DPB求出定值；若不是，说明其范围；(3)当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的均分线交于Q，问Q的值足否认值，请DPB在图2中将图形增补完好并说明原因．第9页共12页第一讲 平行线四大模型（课后作业） 1.如图，AB//CD//EF, EH ⊥CD 于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH 等于().A.180°B.270°C.360°D.450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF=2∠CDE ，∠ABF=2 ∠ABE ，则∠E ：∠F=()． 3 3A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .4.如图，已知直线 AB ∥CD ，∠C=115°，∠A=25°，则∠E= ．5．如阁所示， AB ∥CD ，∠l=ll0°，∠2=120°，则∠α=. 6．以下图， AB ∥DF ，∠D=116°，∠DCB=93°，则∠B= .第10页共12页7．如图，将三角尺的直角极点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为. 8．如图，AB∥CD，EP⊥FP,已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明原因；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明原因；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.此中专业理论知识内容包含：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律知识、保安礼仪、救护知识。
七年级数学寒假班讲义
..21,,C A ADC ABC DF BE ABC ADC ∠=∠∠∠∠∠∠=∠求证：＝且、分别平分、已知：如图， 七年级数学寒假班讲义--------------平行与平移一、知识梳理（回顾所学知识，完成填空） 1．下图中，是同位角的是； 是内错角的是 ； 是同旁内角的是 ．2．直线平行的条件：（1）基本事实： ，两直线平行； （2） 定理： ，两直线平行； （3） 定理： ，两直线平行． 3．平行线的性质： （1）基本事实：两直线平行， ； （2） 定理：两直线平行， ； （3） 定理：两直线平行， ．4．在平面内， ， （2）一个图形 ． 二、典型例题证明：因为BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC （ ），所以∠1=，∠3=（ ）．（已知）， 所以∠1=∠3（ ），因为∠１=∠2（已知），所以 ∥ （ ）所以∠A +∠ =180°, ∠C +∠ =180°( )． 所以∠A ＝∠C （ ）． 三、课堂检测 1．如图，能判定EB ∥AC 的条件是（ ） A ．∠C ＝∠ABE B ．∠A ＝∠EBD C ．∠C ＝∠ABC D ．∠A ＝∠ABEABC ∠21ADC ∠21ADC ABC ∠=∠因为如何由基本事实证明后面两个定理？ 同位角、内错角一定相等吗？同旁内角一定互补嘛？描述平移，必须说清：按...方向，平移...距离画“平移”的依据和方法平行的条件与平行线性质的综合运用2．如图，直线a ∥b ，∠1＝70°，那么∠2= °．3．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝130°，则∠2＝ °．（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） 4．如图，把边长为3cm 的正方形ABCD 先向右平移1cm ，再向上平移1cm ，得到正方形 EFGH ，则阴影部分的面积为 cm ²．5．把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，可以与另一个三角形拼合成一 些不同形状的四边形．那么移动的总格数(x +y )的值最小为 ． 6．如图，点D 在AB 上，直线DG 交AF 于点E ．请从①DG ∥AC ，②AF 平分∠BAC ，③∠ADE ＝∠DEA ． 中任选两个作为条件，余下一个作为 结论，构造一个真命题，并说明理由． 已知： ， 求证： ．（填写序号） 证明：7．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在BC 上，EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）CD 与EF 平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB 的度数．四：拓展归类1.如图、直线a 、b 被c 所截，所标出的角中有哪些角是同位角？同位角一定相等吗？8765cab 4321b ac 78126543 a bc 56 4 81 23 7 ab122.三类角的位置特征、基本图形、图形结构特征如下表：3.（1）同位角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？ （2）这三类角的共同特征是什么？总结：五、范例点睛例1、如图（1），∠1和∠2是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角，∠2和∠3是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角；如图（2），∠1和∠2是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角，∠4和∠3是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角。
爱智康2017七年级尖子班寒假讲义第3讲平行线综合
平行线综合模块一与四大模型相结合知识点睛（1）燕尾型（2）犀牛角型AB∥CD，∠B+∠D=∠BED AB∥CD，∠BED=∠B-∠D（3）铅笔型（4）锄头型AB∥CD，∠B+∠D+∠BED=360°AB∥CD，∠BED=∠B-∠D平行线综合题做题原则：（1）大胆设未知数：①关系较多；②数量较小（2）找条件等量关系：①利用题目里的所有已知条件②归纳总结，引用前几问的结论③注意整体思想（3）逢拐点作平行典型例题【例1】已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC，（1）如图①，若∠A=20º，∠C=40º，则∠AEC=（2）如图②，若∠A=xº，∠C=yº，则∠AEC=（3）如图③，若∠A=a，∠C=β，则α，β，∠AEC之间有何等量关系，说明理由。
【例2】如图，∠B+∠E=∠BCE．（1）说明AB与DE位置，并予以说明；（2）作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH；（3）在前面的条件下，若P是AB上的一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，PM//QR ，PM平分∠APQ，下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变。
其中只有一个是正确的，请你做出正确并求值．能力提升【例3】已知直线，E为直线AB、CD外的一点，连接AE，EC（1）E在直线AB的上方（如图1），求证：∠AEC+∠EAB=∠ECD；（2）∠EAB和∠ECD的角平分线交于点F（如图2），求证：∠AEC=2∠AFC；（3）若E在直线AB，CD之间，在（2）的条件下，且∠AFC比AEC的32少100º，求∠AEC的度数。
巅峰冲刺【例4】（1）如图AB∥CD，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分CNG，2∠E 与∠G互余，求∠AME的大小．（2）如图，在（1）的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ//NH，当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变?若不变，求出其值；若改变，请说明你的理由．模块二平行线的动态问题知识点睛记住需分类讨论，将时间与角度相结合，列方程求解典型例题【例5】长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探明灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况。
2017寒假七年级数学辅导复习教材
初一数学寒假专题精讲教材大纲课次十节、专题九讲中考专题精讲第一讲数系（一）——有理数及其运算第二讲数与式（一）——代数式初步第三讲平面几何基本元素（一）——线段与角第四讲方程思想（一）——一元一次方程第五讲方程思想（二）——一元一次方程应用下册衔接预科第六讲代数式中的君子第七讲线与角的亲密关系第八讲图形中的王者第九讲x与y的故事第一讲中考专题精讲之数系（一）——有理数及其运算一．概念与意义1.有理数的分类2.要素缺一不可）。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。
3.相反数：（1）几何意义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；（2）代数意义：符号不同但绝对值相等的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
4.绝对值：（1）几何意义：数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；（2）代数意义：一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
5.倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
6.有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
7.有理数的运算：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方（2）有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
（3）运算律加法交换律 a b b a +=+加法结合律 ()()c b a c b a ++=++ 乘法交换律 ba ab = 乘法结合律 ()()bc a c ab =乘法对加法的分配律 ()ac ab c b a +=+ 二、教与学类型一.关于有理数的相关概念1.已知a,b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1，求2m cd mba +++的值。
1、如果,150<<p 那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（ ） A.30 B.0 C.15 D.一个与p 有关的代数式、2、两个非零有理数的和为正数，那么这两个有理数为（ ）（A ）都是正数 （B ）至少有一个为正数（C ）正数大于负数 （D ）正数大于负数的绝对值，或都为正数。
寒假第3讲 - 尖子提高
1．“守恒律”思想的渊源我们先举一个生活中的例子：正常的水表连在自来水管道中，总表的读数应该等于各分表读数的总和。
这就是守恒的观点。
若发现水表不相等了，你会怎么想？是守恒的关系不成立了吗，还是会去思考可能表坏了或者水管破裂了。
守恒的思考指导我们的生活实践，在物理学发展中也起着很重要的作用。
追寻“不变性”是科学思想的萌芽，白云苍狗，沧海桑田，看起来世界是变幻无常的。
但细心的观察者们早已察觉到，在这变化着的一切背后，存在着一种不变的秩序，也就是说，在他们看来，那些表面的变化，不过是自然界中不变的成分，遵照一定的规律重新安排的结果。
科学就是要在那万般变化的自然界里找出“不变性”,这就是各种各样的“守恒律”。
诺贝尔物理学奖获得者费曼曾说：“有一个事实，如果你愿意，也可以说是一条定律，支配着至今所知的一切自然现象。
这条定律称做能量守恒定律。
它指出某一个量，我们把它称之为能量，在自然界经历的多种多样的变化中它不变化。
那是一个最抽象的概念”。
然而，正是这个最抽象的概念，却是物理学中最重要，意义也最深远的概念之一。
理查德·费曼RichardFeynman（1918年5月11日－3.1 功知识点睛第3讲功所有的自然现象与人类任何活动都离不开能量：开动的汽车具有动能；高处的物体具有势能；交通工具燃烧汽油释放的化学能；生活中离不开的电能；绿色植物生长所需的太阳能；核电站利用原子核裂变释放的核能……可见“能量”是物理学中极为普遍的物理量，具有各种各样的形式，且各种形式的能量可以相互的转换。
能量这一概念的重要价值，还在于它转换时的守恒性。
物理学史中不止一次的发生这样的情况；在某类新现象里似乎有一部分能量消失或者凭空产生了，后来物理学家们总得以确认一种新的形式的能量，使能量守恒律得以保持。
费曼在他著名的《物理学讲义》中编造了一个故事，其大意如下：一个孩子有28块积木，这些积木完全一样，而且不可破坏。
每天早晨妈妈将这孩子和所有的积木关在一间房子里，晚上她回来后，总仔细地把积木数一遍，多少天来一直是28块。
初一寒假出门考尖子
第一讲：二元一次方程性质及代入消元1.已知方程2340x y +-=，用含x 的代数式表示y 为y =________；用含y 的代数式表示x 为：x =_______．2.如果23(26)(2)16m n m xn y -+--+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m n += . 3.若x a y b=⎧⎨=⎩是方程31x y +=的一个解，则493a b --= . 4.方程组233x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）． A ．12x y =⎧⎨=⎩，． B ．21x y =⎧⎨=⎩，． C ．11x y =⎧⎨=⎩，． D ．23x y =⎧⎨=⎩，．5.用代入消元法解下列方程组：（1）215233x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-73443231n m n m6.已知二元一次方程：（1）3；（2）；（3）3．请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解．第二讲：加减消元和应用题（出门考）4x y +=22x y -=21x y -=1. 已知,x y 满足方程组则x y -的值为________. x y +的值等于________2. 已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程23ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则22a b -＝ . 3. 用加减消元法解下列方程组：（1）1312428x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=-⎩ （2）1123213234x y x y -⎧+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩4.一项工程，甲队独做要12天完成，乙队独做要15天完成，丙队独做要20天完成.按原定计划，这项要求在7天内完成，现在甲乙两队先合作若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入了这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务.问甲乙两队合作了多少天？丙队加入后又做了多少天？5.甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300m ，若甲、乙两人同时向东走30min 后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2min 后相遇。
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模块五 平行线的判定
知识点睛
方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行
典型例题
【例 10】判断正误： （1）在同一平面内两条直线不相交就平行，平行就不相交； （2）在同一平面内，两条线段不相交，则平行； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交，垂直，平行
【例 11】下列说法中，不正确的是（ ） A.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B.过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交 C.同一平面内的两条不相交直线平行 D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
角．
③ 2 与 4 是两条直线
与
被第三条直线
所截构成的
角．
④ 3 与 4 是两条直线
与
被第三条直线
所截构成的
角．
⑤ 5 与 6 是两条直线
与
被第三条直线
所截构成的
角．
l2
3
6
45
l1
1
2 l3
图1
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【例 7】 如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1 与∠4；⑵∠2 与∠6；⑶∠5 与∠8；⑷ ∠4 与∠BCD；⑸∠3 与∠5.
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模块一 相交线
知识点睛
如图所示，直线 a 与直线 b 只有一个公共点，称直线 a 与直线 b 相交， O 为交点，其中一条 是另一条的相交线．
相交线的性质：两直线相交只有一个交点．
交点个数结论: 同一平面内的 n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得 1 n n 1 个交
2 点．（ ）
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模块二 对顶角和邻补角
知识点睛
1.邻补角
如图中， 1 和 3 ， 1 和 4 ， 2 和 3 ， 2 和 4 互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。
2.对顶角
（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也 可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图 中， 1 和 2 ， 3 和 4 是对顶角.
，∠3=
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模块三 三线八角
知识点睛
①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同 一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1 与∠5，∠2 与∠6， ∠3 与∠7，∠4 与∠8 都是同位角.
②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分 别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3 与∠5，∠4 与∠6 都是内错角
【例 8】 如下图，图中与∠1 成同位角的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
巅峰冲刺
【例 9】 用数字标出图中与∠1 是同位角的所有角．
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模块四 两条直线的位置关系
知识点睛
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这 里，我们把重合的两直线看成一条直线） 注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： 1 有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； 2 两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的 同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3 与∠6，∠4 与∠5 都是同旁 内角.
典型例题
【例 6】 如图，填空：
① 1 与 2 是两条直线
与
被第三条直线
所截构成的
角．
② 1 与 3 是两条直线
与
被第三条直线
所截构成的
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
典型例题
【例 2】 （1）下列四个命题： ①如果两个角是对顶角，则这两个角相等． ②如果两个角相等，则这两个角是对顶角．
③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．
其中正确的命题有 ( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
（2）下列说法中正确的有（ ） ①一个角的邻补角只有一个；
②一个角的补角必大于这个角；
③若两角互补，则这两个角一定是一个锐角、一个钝角；
④互余的两个角一定都是锐角。
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【例 3】 下列四个图中， 与 成邻补角的是（ ）
AA
B
C
B
C
D
目录
课程 1 平行线判定与性质…………………………………….........................4 课程 2 常用辅助线及模型…………………………………............................20 课程 3 平行线综合…………………………………………..............................28 课程 4 平方根立方根实数……………………………………..........................42 课程 5 平面直角坐标系基础与平移变换……………………………...…....57 课程 6 坐标系与面积综合…………………………………......…...............….70 课程 7 二元一次方程组的概念与解法……………………………..…………..83 课程 8 含参方程组……………………………………..…...................................94
D
【例 4】 如图所示，直线 a、b、c 两两相交， 1 23，2 65 ，求 4 的度数.
能力提升
【例 5】 （1）如图所示，直线 AB ，CD 相交于点 O ，若 1 2 70 ，则 BOD _____， 2 ____.
（2）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，若∠1：∠2=1：4，则∠1=
2 点．
典型例题
【例 1】 判断正误： ⑴两条直线相交不可能有两个交点．（ ） ⑵三条直线两两相交有三个交点（ ） ⑶在同一平面内的三条直线的交点个数可能为 0 ，1， 2 ， 3 ．（ ）
⑷ 同 一 平 面 内 的 n 条 直 线 两 两 相 交 ， 其 中 无 三 线 共 点 ， 则 可 得 1 n n 1 个 交