高中数学-函数单调性(苏教版)

区间叫做y= f(x)的单调区间。
四、数学应用
例１：下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以 及在每一个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减 函数。
解：函数y=f(x) 的单调 区间有[-5,-2),[2,1),[1,3),[3,5],其中 y=f(x)在区间 [-5,-2), [1,3)上是减函 数,在区间 [-2,1), [3,5]上是增函 数。
在区间（－∞,+ ∞ ）内,
o x
函数y＝2x+1图象在该区间 内呈逐渐上升趋势
问题1：观察下列函数的图象,指出图 象变化的趋势.
在区间（－∞,1 ）内, 函数y＝（x－1）2－1 图象在该区间内呈逐 渐下降趋势.
在区间（1 ,+∞ ）内,
函数y＝（x－1）2－1 图象在该区 间内呈逐 渐上升趋势.
课后作业 课本P37
2、4、5.
再见！
问题1：观察下列函数的图象,指出图 象变化的趋势.
在区间（0 ,+∞ ）内,
函数y＝ 1 图象在
x
该区间内呈逐 渐下降 趋势.
三、建构数学
函数的这种性质称为函数的单调性.
问题3：如何用数学语言来准确地描述 函数的单调性呢？
例如,在区间（1, + ∞ ）上当x的值增 大时,函数y的值也增大的事实应当 如何表述？
1
在（－∞,0）Ｕ（ 0 ,+∞）
xБайду номын сангаас
上是单调减函数？
例3.观察下列函数的图象,并指出它们是否为定义 域上的增函数：
能不能不通过观察函数的图象就能知道 函数的单调性呢？
在不太好画出函数的图象时如何判断 函数的单调性呢？
函数y＝1/x2(x＞0)的是单调增函数,还 是单调减函数呢？
例4 证明函数 f (x) 2x 1在区间
（ ， ）上是增函数。
证明： 设x1, x 2是区间(,)内任意
两个实数，且 x1 x 2 。（条件）
f (x1) f (x 2 ) (2x1 1) (2x 2 1) 2(x 1 x 2 )
x1 x2, x1 x2 0
f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1 ) f (x 2 ) （论证结果） 则函数f (x) 2x 1在区间(,)
证明：设 2 x1 x2 4 ,
f(x1 ) f(x2 )
( x1
1x61 )( x2
16) x2
( x1
x2
)
1 6 ( x2 x1 x2
x1
)
( x1
x2 ) ( x1 x1 x2
x2
16)
2 x1 x2 4 , x1 x2 0 ,
4 x1x2 16 ,即x1x2 - 16 0
函数的单调性
一、问题情境
第2.1.1小结开头的第三个问题： 下图是某市一天24小时内的气温 图.
一问题情境
二、学生活动
问题： 1.说出气 温在哪些 时间段内
是升高的.
2.怎样用数学语言刻画“随着时 间的增大气温逐步提高”这一特 征？
问题1：观察下列函数的图象,指出图 象变化的趋势.
y
fx = 2x+1
y
如果对于属于定义域I内某个区间上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 <x2时, 都有f(x1) > f(x2) ,那么就说f(x)在这个 区间上是减函数。
o如x果1 函数x2y=xf(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么
就说函数y= f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个
能不能由于x=1时,y=3；x=2 时,y=5,就说随着x的增大,函数值y也 随着增大？
函数的单调性
2. 定义 y
一般地,对于函数 y = f(x)的定义域为I
如果对于属于定义域I内某个区间上的
y=f(x)
f(x1) f(x2) o x1 x2 x
任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 <x2 时,都有f(x1)<f(x2) ,那么就说f(x)在这 个区间上是增函数。
本节课主要学习了函数单调性的概念、判断 函数在某个区间上的单调性的方法以及函数 单调性的一些简单运用.
判断函数单调区间的常用方法：
方法一：观察函数的图象。
方法二：分析函数值y随自变量x大小的变化情 况。
方法三：利用函数单调性的定义。
用函数单调性定义判定或证明函 数单调性的一般步骤：
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差,并将差f(x1)－ f(x2) 化简变 形成最简形式（有时也通过作商 比较f(x1)与 f(x2) 的大小）. 3.判断f(x1)－ f(x2)符号. 4.得出结论.
是增函数。（结论）
用函数单调性定义判定或证明函 数单调性的一般步骤：
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差（作商）并将差f(x1)－ f(x2) 化简变形成最简形式. 3.判断符号. 4.得出结论.
例5 试判断函数
f(
x )
x
16 x
在区间[
2 , 4 ]上的单调性
所以实数a的取值范围是： 0 a 2
例7 求函数
f
(x
)
x
16 x
( x [ 2 ,4 ] )
的 最 大 值、最小值？
解：由例5知
f(
x
)
x
16 x
在
[ 2 ,4 ]
上
单
调递减,
f(x)在[2,4]上最大值为f()2 10 ;
最小值为f（4）＝8.
巩固练习： 课本P37 练习 3
五、回顾小结
例2 作出下列函数的图象,并写出函数的
单调区间： （1）y=－x2＋2
；
（2）y= 1
x
（1）函数y=－x2＋2在（－∞,0）上是单调增函数, 在（ 0 ,+∞）上是单调增函数减函数.
1 （2）函数y= x 在（－∞,0）上是单调减函数,
在（ 0 ,+∞）上也是单调减函数.
提问：能不能说,函数y=
3 4≥
3 4>0
所以f(a2-a+1) ≤ f( 3) 4
例7 已知函数f(x)在（-1,3）上是减函数, 且 f(2a-1) - f(a+1) >0,求实数 a 的范围。
解：由函数f(x)在（-1,1）上是减函数得：
2a-1<a+1 ①
-1<
2a-1<3
②
-1<a+1<3 ③
解得： 0 a 2
f(x1 ) f(x2 ) 0 ,即f(x1 ) f(x2 ),
f(
x
)
x
16 x
在
[2
,4
]
上单调
递
减
。
巩固练习： 课本P37 练习 1、 5、6、8.
例6
已知函数f(x)在（0,+ ）上是减函数,
求f(a2-a+1) 与f( 3 )的大小
4
解：因为f(x)在（0,+ ）是减函数
因为a2-a+1=（a- 1 )2+ 2