高中数学-函数单调性(苏教版)
高中数学《函数的单调性》教案
《函数的单调性》说课稿各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。
今天我的说课题目是函数的单调性。
首先我们来进行教材分析。
一、教材分析本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：1、知识目标：（1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。
（2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
三、教学重点、难点1、重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
高中数学第2章函数2.2.1分数指数幂第1课时函数的单调性课件苏教版必修1
知识点一 单调增函数与单调减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意 两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，那么就说y＝f(x) 在区间I上是单调增(减)函数，I称为y＝f(x)的单调增(减)区间.
知识点二 单调性与单调区间
解析答案
12345
4.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围 是__m_＞__3___. 解析 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)， 所以2m>－m＋9，即m>3.
解析答案
1 5.函数y＝x|x－1|的单调递增区间是_(_－__∞__，_2_]_，__[_1_，__＋__∞__) .
fa－fb 解析 由 a－b >0 知，当 a>b 时，f(a)>f(b)；
当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数.
解析答案
2.函数y＝x2－6x的减区间是_(_－__∞__，__3_] __. 解析 y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3].
12345
答案
(2)若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的 减区间能写成D1∪D2吗？ 答 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞) 上也递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 求函数的单调区间 例1 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
解析
－1≤a≤1， 由题意得－1≤2－3a≤1，
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性（一）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).Ⅱ.讲授新课［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y 轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢?［生］随着x的增加，y的值在增加［师］怎样用数学语言来表示呢?［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y ＝x2在[0，＋∞)上是增函数.下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的?[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).［师］何以见得?[生甲]越往左，图象上的点越高.［师］生甲所谈对不对呢?［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢?[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)那么同学们考虑一下，在y 轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢?怎样用数学语言表示呢?［生］在y 轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x 的增加，y 的值在减小，用数学语言表示是：设x 1、x 2∈（－∞，0）得y 1＝f （x 1），y 2＝f （x 2）当x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2）［师］好，这时我们说y ＝x 2在（－∞，0）上是减函数.一般地，设函数f （x ）的定义域为Ⅰ：如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1 C)如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f (x )在这个区间上是减函数.如果函数y ＝f （x ）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a .设x 1、x 2∈给定区间，且x 1＜x 2b .计算f （x 1）－f （x 2）至最简b .判断上述差的符号d .下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)Ⅲ.例题分析［例1］(课本P 34例1，与学生一块看，一起分析作答)［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明［例2］证明函数f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数.证明：设任意x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝（3x 1＋2）－（3x 2＋2）＝3（x 1－x 2）由x 1＜x 2得x 1－x 2＜0∴f （x 1）－f （x 2)＜0 即f （x 1）＜f （x 2）∴f （x ）＝3x ＋2在R 上是增函数［例3］证明函数f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数. 证明：设任意x 1、x 2∈（0，＋∞）且x 1＜x 2则f （x 1）－f （x 2）＝1x 1 －1x 2 ＝x 2－x 1x 1 x 2由x 1，x 2∈（0，＋∞）得x 1x 2＞0又x 1＜x 2 得x 2－x 1＞0∴f （x 1）－f （x 2）＞0 即f （x 1）＞f （x 2）∴f （x ）＝1x在（0，＋∞）上是减函数 注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.Ⅳ.课堂练习课本P 37练习1，2，5，6，7Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明. Ⅵ.课后作业课本P 43习题 1~4函数的单调性（二）教学目标：使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.教学重点：函数单调性的判断和证明.教学难点：函数单调性的判断和证明.教学过程：［例1］已知函数f （x ）在其定义域M 内为减函数，且f （x ）＞0，则g （x ）＝1＋2f （x ）在M 内为增函数。
苏教版 高中数学选择性必修第一册 单调性 课件1
D.c<a<b
方法归纳：利用条件作出函数草图。
命题点 解函数不等式
例
(1)已知函数f(x)＝
1 3
－x log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则
a的取值范围是___(_0_,_1.)
(2)已知函数f(x)＝ xln3，x＋x≤10，，x>若0，f(2 － x2)>f(x) ，
则实数x的取值范围是__(_－__2_,_1_) .
减区间为( )
A．
－∞，3 4
B．
－∞，1 2
C．
3，＋∞ 4
D．(1，＋∞)
答案 B
5.3.1 单调性
y
5 4
•
3
2
1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6
•
思考：当时间x逐渐增大时，对应的 函数值y有什么变化趋势？如何用数 学语言来描述？
函数值随自变量
x
的增大而增大(减小)
的性质叫做函数的单
调性.
观察函数 f (x) x2 图象的变化规律：
1.在y轴左侧，从左到右函数图象下__降_（上升/
总结
利用定义证明函数单调性的步骤 1.取值：设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1<x2. 2.作差变形：作差 fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化 等手段，转化为易判断正负的式子. 3.定号：确定 fx1－fx2的符号. 4.结论：根据 fx1－fx2的符号及定义判断单调性.
思考 5：函数 y＝1x在定义域上是减函数吗？ 不是．y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说 y＝1x
在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
例 1 用定义证明：函数 f(x)＝x＋1x在(－1,0)上是减函数．
第5章-5.3-函数的单调性高中数学必修第一册苏教版
是(-1.5，-1.5),所以当 = 1.5时,函数 = 取得最大值,即 = 1.5;当 = −1.5时,
函数 = 取得最小值,即 = −1.5.根据函数单调性的几何意义,图象从左到右
上升的部分对应的区间是增区间,从左到右下降的部分对应的区间是减区间，因此,函
C.−1
2
D.1
+ − 1在[3, +∞)上单调递增，且 在[3, +∞)上的
最小值为1，所以 3 = 1，即 = −2.
+ 3, < 1,
5
（2）函数 = ቊ
的最大值为___.
− + 6, ≥ 1
【解析】当 < 1时，函数 = + 3单调递增，且有 < 4，无最大值;当 ≥ 1时，
（2）求证当 ∈ 时，恒有 > 0;
【解析】由题意知当 > 0时，0 < < 1.
当 = 0时， 0 = 1 > 0,
当 < 0时，− > 0,∴ 0 < − < 1.
∵ + −
∴ =
1
−
= − ,∴ − = 1.
2
1
2 + 1
2
+（大于0的途径→
3 2
配方） 1 ].（3.变形.）
4
∵ 1 < 2 ,∴ 2 − 1 > 0,而
若 2 +
2
1
2 1
2
1
2 + 1
2
+
3 2
4 1
≥ 0,
3
4
+ 12 = 0,
函数的单调性课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）
至少有一个交点.
高中数学
示例
必修第一册
配套江苏版教材
1 + 2 +
＝
1 + 2 +
则f（x1）-f（x2）＝
1+
−
1 +
- 1+
−
2 +
＝
− −
− 2 −1
＝
1 + 2 +
1 + 2 +
.
∵ a>b>0，x2>x1>-b，∴ a-b>0，x2-x1>0，x2+b>0，x1+b>0，
∴ f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.
（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
综 上 ， f （ x ）
−1, < 0,
综上，函数y＝f （x）在（0， ］上是减函数，在［ ，+∞）上是增函数.
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
【方法总结】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.
【苏教版】函数精讲教案3.函数的单调性
第二讲 函数的单调性一．课标要求1．结合具体函数，了解单调性的含义；三．要点精讲2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
高中数学《函数的单调性 》说课逐字稿
高中数学《函数的单调性》说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《函数的单调性》。
新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。
今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材本节课选自苏教版高中数学必修一2.2.1的内容，主要讲解的内容是函数的单调性。
学生在初中阶段，通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识。
在高中阶段，用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果，有利于培养学生的理性思维，为后续函数的学习作准备，也为利用导数研究单调性的相关知识奠定了基础。
二、说学情接下来谈谈学生的实际情况。
新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。
本阶段的学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
因此教师在教学过程中要给学生留置充分的思考时间和空间。
此外教师要注重在学生的已有认知基础上，建构知识。
三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：(一)知识与技能理解函数的单调性和单调函数的意义，会判断和证明简单函数的单调性。
(二)过程与方法在探究学习的过程中，体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
(三)情感、态度与价值观激发探求数学知识的欲望，凸显主观能动性，提高学习兴趣。
四、说教学重难点我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。
而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。
那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。
教学难点是：函数单调性概念(数学符号语言)的认知，应用定义证明单调性的代数推理论证。
五、说教法和学法现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。
苏教版高一数学函数的单调性1课件
巩固
你能找出气温图中的单调区间吗? 你能找出气温图中的单调区间吗?
单调增区间： 单调增区间： [4，14] 单调减区间： 单调减区间： [0，4] ，[14，24]
写出下列函数的单调区间? 例1 写出下列函数的单调区间
y
x= 1 2
y
y
O
x
O
x
O
x
f (x) = - 2x + 2
:当a>0时,f(x)在(-∞,-b/2a]上为单调减函数 时 在 上为单调减函数
f(x)在[-b/2a, +∞)上为单调增函数 在 上为单调增函数 当a<0时,f(x)在(-∞,-b/2a]上为单调增函数 时 在 上为单调增函数 f(x)在[-b/2a, +∞)上为单调减函数 在 上为单调减函数
k f ( x) = x
பைடு நூலகம்
2、单调性、单调区间 、单调性、
若函数y＝ 在区间I上是单调增函数或单调减函数 若函数 ＝f(x)在区间 上是单调增函数或单调减函数， 在区间 上是单调增函数或单调减函数， 那么就说函数y＝ 在区间I上具有单调性 上具有单调性． 那么就说函数 ＝f(x) 在区间 上具有单调性．单调增区间 和单调减区间统称为单调区间．
问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“ 问题2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大 气温逐渐升高”这一特征？ 气温逐渐升高”这一特征？
定义
1、单调增函数与单调减函数 、
一般地，设函数 的定义域为A，区间I 一般地，设函数y ＝ f(x) 的定义域为 ，区间 Í A． ． 任意 如果对于区间I 内的任意两个值x 区间I 如果对于区间 内的任意两个值x1、x2，当x11＜x22时，都 区间 当x ＜x 时，都 )，那么就说y＝f(x)在区间 上是单调增函数， 在区间I上是单调增函数 有f(x1)＜f(x2)，那么就说 ＜ 在区间 上是单调增函数， I称为 ＝f(x)的单调增区间． 称为y＝ 的单调增区间． 称为 的单调增区间 如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有 如果对于区间I内的任意两个值 f(x1)＞f(x2)，那么就说 ＝f(x)在区间 上是单调减函数， 在区间I上是单调减函数 ＞ ，那么就说y＝ 在区间 上是单调减函数， I称为 ＝f(x)的单调减区间． 称为y＝ 的单调减区间 的单调减区间． 称为
函数的单调性案例分析
猜商品的价格
求方程的解的问题可以转化为求函数的零点的问题. 零点一定在函数值异号的两个自变量的值之间，它 就是方程的解．再根据精确度的要求，逐步缩小区 间就行了．
方程解的问题 找函数零点的问题
怎样逼近
缩小区间 怎样缩小区间 用二分法来缩小
感谢各位专家和同行！
问题5： 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA, 在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用 数学符号语言来刻画呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果 对于区间I内的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
我认为这节课如果结合多媒体教学，让学生结 合多个函数的图象观察奇、偶函数的图象的对称性 效果会更好些。
用二分法求方程的近似解
引导学生去探究发现“逼近”这个重要的数学思 想． 引导学生去探索缩小区间的“方法”．
逼近思想应该让学生去探索． 前一节课已经研究了函数零点的概念，研究了函 数零点附近两侧的函数值异号的特性，这两者就 构成了思考这节课问题的基础，就能成为这节课 要学习的知识的生长点．因而，这节课的教学就 应该建立在这个生长点上．
案例分析
南京市金陵中学 凌惠明
函数的单调性
《函数的单调性》是苏教版高中数学必修一第 二章第2.1.3节的内容，共2课时，我讲的是第一课 时中一些教学内容的处理方法．
情境的创设
在一杯温水中，加入适量的糖，随着糖的不
断加入，杯中的糖水就越来越甜． 问题1：
在这一现象中，有定量也有变量，哪些是定 量，哪些是变量？
感受生活中的对称之美
用对称的观点看函数图象
y
函数的单调性苏教版
单调函数的奇偶性可以 通过函数的定义域和函 数值的性质来判断。
03
函数的单调性应用
利用单调性求函数的最值
单调性定义
函数在某区间内单调递增或递减，即对于该区间内任意两 点x1, x2，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)（递增）；当x1<x2 时，f(x1)>f(x2)（递减）。
单调性求最值
利用单调性，可以找到函数的最大值或最小值。例如，对 于递增函数，其最大值出现在区间的左端点；对于递减函 数，其最小值出现在区间的左端点。
举例
解不等式f(x)=x^2-2x>0。由于 f(x)=(x-1)^2-1在区间(-∞,1)上 递减，在区间(1,+∞)上递增， 所以解集为(-∞,0)∪(2,+∞)。
利用单调性研究函数的零点
80%
单调性与零点
利用函数的单调性，可以研究函 数的零点个数、位置以及性质。
100%
研究零点方法
根据函数单调性，判断函数在某 区间内的符号变化情况，从而确 定零点的个数和位置。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调 性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函 数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图 像是上升的，则函数单调递增；如果图像是下降的 ，则函数单调递减。
02
函数的单调性性质
单调函数的连续性
单调函数在其定义域内是连续的，即函数在定义域 内的每一点都满足连续的条件。
单调函数在定义域内的每一点都有左右极限，且极 限值相等。
单调函数在定义域内的每一点都有定义，且函数值 在定义域内是唯一的。
2.1.3函数的简单性质——单调性(第一课时)
苏教版高中数学教材必修1
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质 10 T(C°) 8 6 4 2 O −2 2 4 6
创设情境
8 10 12 14 16 18 20 22 24 t(时刻) (时刻)
如图，气温 是关于时间 的函数，记为T＝ ． 是关于时间t的函数 如图，气温T是关于时间 的函数，记为 ＝f(t)． （1）怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况？ ）怎样描述这一天内气温随时间变化而变化的情况？ （2）怎样用数学语言来刻画上述时间段内“随着时间 ）怎样用数学语言来刻画上述时间段内“ 的增加，气温逐渐升高或是下降”这一特征？ 的增加，气温逐渐升高或是下降”这一特征？ （3）在区间上，气温是否随时间增加而增大？ ）在区间上，气温是否随时间增加而增大？
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质
例题讲解
1 求证： 在区间(－ ， 例2 求证：函数 f(x)＝－ －1在区间 －∞，0) ＝－ 在区间 x 上是单调增函数． 上是单调增函数．
证明：任取 证明：任取x1＜x2＜0，则 ， f(x2)－f(x1)＝(－ － ＝－
1 1 －1)－(－ －1) －－ x2 x1 1 x2－x1 1 ＝ － ＝ ． x1 x1x2 x2
＋ ＞ ， x1 x2 0，
所以f(x － 在定义域上是减函数． 所以 2)－f(x1)＜0，所以 ＜ ，所以f(x)在定义域上是减函数． 在定义域上是减函数
苏教版高中数学教材必修1 第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1.3 函数的简单性质
课堂训练
1 课后探究：求函数f(x)＝x+ 的单调区间． 课后探究：求函数 ＝ （x>0)的单调区间． 的单调区间 x
函数的单调性教案苏教版必修
函数的单调性教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。
2. 掌握利用函数单调性解决实际问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与性质2. 常见函数的单调性3. 利用函数单调性解决问题三、教学重点与难点：1. 重点：函数单调性的概念及判断方法，利用函数单调性解决问题。
2. 难点：函数单调性的证明，复杂函数单调性的判断。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义、性质及判断方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的函数单调性。
3. 运用数形结合法，直观展示函数单调性。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如购物时的折扣问题，引导学生思考函数单调性的意义。
2. 讲解：讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，引导学生理解并掌握。
3. 案例分析：分析实际问题中的函数单调性，如物体运动过程中的速度与时间的关系。
4. 练习：让学生自主探究常见函数的单调性，如正弦函数、余弦函数等。
5. 巩固：通过课后习题，巩固所学知识，提高学生的数学运算能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固函数单调性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：检查学生对常见函数单调性的判断和应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况及运用能力。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，调整教学方法和节奏，以便更好地传授知识。
2. 针对学生的疑难问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握函数单调性。
3. 结合学生的实际应用情况，丰富教学案例，提高学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生探究函数单调性与导数的关系。
2. 探讨函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
3. 推荐相关阅读材料，引导学生深入研究函数单调性。
《函数的单调性》优秀教案
课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“随的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。
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一、问题情境
第2.1.1小结开头的第三个问题： 下图是某市一天24小时内的气温 图.
一问题情境
二、学生活动
问题： 1.说出气 温在哪些 时间段内
是升高的.
2.怎样用数学语言刻画“随着时 间的增大气温逐步提高”这一特 征？
问题1：观察下列函数的图象,指出图 象变化的趋势.
y
fx = 2x+1
f(x1 ) f(x2 ) 0 ,即f(x1 ) f(x2 ),
f(
x
)
x
16 x
在
[2
,4
]
上单调
递
减
。
巩固练习： 课本P37 练习 1、 5、6、8.
例6
已知函数f(x)在（0,+ ）上是减函数,
求f(a2-a+1) 与f( 3 )的大小
4
解：因为f(x)在（0,+ ）是减函数
因为a2-a+1=（a- 1 )2+ 2
是增函数。（结论）
用函数单调性定义判定或证明函 数单调性的一般步骤：
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差（作商）并将差f(x1)－ f(x2) 化简变形成最简形式. 3.判断符号. 4.得出结论.
例5 试判断函数
f(
x )
x
16 x
在区间[
2 , 4 ]上的单调性
能不能由于x=1时,y=3；x=2 时,y=5,就说随着x的增大,函数值y也 随着增大？
函数的单调性
2. 定义 y
一般地,对于函数 y = f(x)的定义域为I
如果对于属于定义域I内某个区间上的
y=f(x)
f(x1) f(x2) o x1 x2 x
任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 <x2 时,都有f(x1)<f(x2) ,那么就说f(x)在这 个区间上是增函数。
问题1：观察下列函数的图象,指出图 象变化的趋势.
在区间（0 ,+∞ ）内,
函数y＝ 1 图象在
x
该区间内呈逐 渐下降 趋势.
三、建构数学
函数的这种性质称为函数的单调性.
问题3：如何用数学语言来准确地描述 函数的单调性呢？
例如,在区间（1, + ∞ ）上当x的值增 大时,函数y的值也增大的事实应当 如何表述？
在区间（－∞,+ ∞ ）内,
o x
函数y＝2x+1图象在该区间 内呈逐渐上升趋势
问题1：观察下列函数的图象,指出图 象变化的趋势.
在区间（－∞,1 ）内, 函数y＝（x－1）2－1 图象在该区间内呈逐 渐下降趋势.
在区间（1 ,+∞ ）内,
函数y＝（x－1）2－1 图象在该区 间内呈逐 渐上升趋势.
（ ， ）上是增函数。
证明： 设x1, x 2是区间(,)内任意
两个实数，且 x1 x 2 。（条件）
f (x1) f (x 2 ) (2x1 1) (2x 2 1) 2(x 1 x 2 )
x1 x2, x1 x2 0
f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1 ) f (x 2 ) （论证结果） 则函数f (x) 2x 1在区间(,)
y
如果对于属于定义域I内某个区间上的
y=f(x) f(x1) f(x2)
任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 <x2时, 都有f(x1) > f(x2) ,那么就说f(x)在这个 区间上是减函数。
o如x果1 函数x2y=xf(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么
就说函数y= f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个
课后作业 课本P37
2、4、5.
再见！
所以实数a的取值范围是： 0 a 2
例7 求函数
f
(x
)
x
16 x
( x [ 2 ,4 ] )
的 最 大 值、最小值？
解：由例5知
f(
x
)
x
16 x
在
[ 2 ,4 ]
上
单
调递减,
f(x)在[2,4]上最大值为f()2 10 ;
最小值为f（4）＝8.
巩固练习： 课本P37 练习 3
五、回顾小结
本节课主要学习了函数单调性的概念、判断 函数在某个区间上的单调性的方法以及函数 单调性的一些简单运用.
判断函数单调区间的常用方法：
方法一：观察函数的图象。
方法二：分析函数值y随自变量x大小的变化情 况。
方法三：利用函数单调性的定义。
用函数单调性定义判定或证明函 数单调性的一般步骤：
1. 在这个区间上任取两个自变 量 x1、x2, 且x1< x2 . 2.作差,并将差f(x1)－ f(x2) 化简变 形成最简形式（有时也通过作商 比较f(x1)与 f(x2) 的大小）. 3.判断f(x1)－ f(x2)符号. 4.得出结论.
3 4≥
3 4>0
所以f(a2-a+1) ≤ f( 3) 4
例7 已知函数f(x)在（-1,3）上是减函数, 且 f(2a-1) - f(a+1) >0,求实数 a 的范围。
解：由函数f(x)在（-1,1）上是减函数得：
2a-1<a+1 ①
-1<
2a-1<3
②
-1<a+1<3 ③
解得： 0 a 2
例2 作出下列函数的图象,并写出函数的
单调区间： （1）y=－x2＋2
；
（2）y= 1
x
（1）函数y=－x2＋2在（－∞,0）上是单调增函数, 在（ 0 ,+∞）上是单调增函数减函数.
1 （2）函数y= x 在（－∞,0）上是单调减函数,
在（ 0 ,+∞）上也是单调减函数.
提问：能不能说,函数y=
区间叫做y= f(x)的单调区间。
四、数学应用
例１：下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以 及在每一个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减 函数。
解：函数y=f(x) 的单调 区间有[-5,-2),[2,1),[1,3),[3,5],其中 y=f(x)在区间 [-5,-2), [1,3)上是减函 数,在区间 [-2,1), [3,5]上是增函 数。
1
在（－∞,0）Ｕ（ 0 ,+∞）
x
上是单调减函数？
例3.观察下列函数的图象,并指出它们是否为定义 域上的增函数：
能不能不通过观察函数的图象就能知道 函数的单调性呢？
在不太好画出函数的图象时如何判断 函数的单调性呢？
函数y＝1/x2(x＞0)的是单调增函数,还 是单调减函数呢？
例4 证明函数 f (x) 2x 1在区间
证明：设 2 x1 x2 4 ,
f(x1 ) f(x2 )
( x1
1x61 )( x2
16) x2
( x1
x2
)
1 6 ( x2 x1 x2
x1
)
( x1
x2 ) ( x1 x1 x2
x2
16)
2 x1 x2 4 , x1 x2 0 ,
4 x1x2 16 ,即x1x2 - 16 0