【掌控中考】2016中考数学压轴题突破
2016年中考数学压轴题70题精选(含答案及解析)
2016年中考数学压轴题70题精选（含答案）【001】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC 于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。
【003】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。
若关于x 的一元二次方程0)(2)(2=+++-a m bx x a m 有两个相等的实数根。
（1）判断△ABM 的形状，并说明理由。
（2）当顶点M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。
（3）若平行于x 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，以CD 为直径的圆恰好与x 轴相切，求该圆的圆心坐标。
【004】一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．（2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．)【005】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S 与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．【006】如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ． （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重合），经过AB E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由； （4）当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．【007】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S？若存在，求点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【008】如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．【009】如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．【010】如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点， 且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在【011】如图，二次函数的图象经过点D(0，39x 轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【012】如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．（第26【013】如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)； （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）． ①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
2016年中考数学复习备考压轴试题.doc
2016年中考数学复习备考压轴试题临近中考许多考生一头扎进一套套的综合训练题中希望熟能生巧，结果却收效甚微。
对于很多学生来说，中考最后的复习冲刺，用对了方法就像一碗良药，让学生的成绩更上一层楼，但是，如果方法有误，反而适得其反，像一大碗苦水，无法下咽，耗费时间却没有进步。
下面，教育小编为各位考生准备了2016年中考数学复习备考压轴试题。
1.(2013年福建漳州)用下列一种多边形不能铺满地面的是()A.正方形B.正十边形C.正六边形D.等边三角形2.(2013年湖南长沙)下列多边形中，内角和与外角和相等的是()A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形3.(2013年海南)如图439，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是()A.BO=DOB.CD=ABC.BAD=BCDD.AC=BD图439图4310图4311图4312图4313 4.(2013年黑龙江哈尔滨)如图4310，在?ABCD中，AD=2AB，CE 平分BCD，并交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为()A.4B.3C.52D.25.若以A(-0.5,0)，B(2,0)，C(0,1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2013年山东烟台)如图4311，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为____________.7.(2013年江西)如图4312，?ABCD与?DCFE的周长相等，且BAD=60，F=110，则DAE的度数为__________.8.(2013年福建泉州)如图4313，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH 的形状一定是__________.9.(2012年四川德阳)已知一个多边形的内角和是外角和的32，则这个多边形的边数是________.10.(2013年四川南充)如图4314，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F.求证：OE=OF.11.(2013年福建漳州)如图4315，在?ABCD中，E，F是对角线BD 上两点，且BE=DF.(1)图中共有______对全等三角形;(2)请写出其中一对全等三角形：________≌__________，并加以证明.B级中等题12.(2013年广东广州)如图4316，已知四边形ABCD是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180得到△ABD.(1)利用尺规作出△ABD(要求保留作图痕迹，不写作法);(2)设DA与BC交于点E，求证：△BAE≌△DCE.13.(2012年辽宁沈阳)如图4317，在?ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.(1)求证：△AEM≌△CFN;(2)求证：四边形BMDN是平行四边形.C级拔尖题14.(1)如图4318(1)，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF.(2)如图4318(2)，将?ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.求证：EI=FG.1.B2.A3.D4.B5.C6.157.258.平行四边形9.510.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，AB∥CD.OAE=OCF.∵AOE=COF，△OAE≌△OCF(ASA).OE=OF.11.解：(1)3(2)①△ABE≌△CDF.证明：在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，ABE=CDF.又∵BE=DF，△ABE≌△CDF(SAS).②△ADE≌△CBF.证明：在?ABCD中，AD∥BC，AD=BC，ADE=CBF，∵BE=DF，BD-BE=BD-DF，即DE=BF.△ADE≌△CBF(SAS).③△ABD≌△CDB.证明：在?ABCD中，AB=CD，AD=BC，又∵BD=DB，△ABD≌△CDB(SSS).(任选其中一对进行证明即可)12.解：(1)略(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，BAD=C，由折叠性质，可得A=A，AB=AB，设AD与BC交于点E，A=C，AB=CD，在△BAE和△DCE中，A=C，BEA=DEC，BA=DC，△BAE≌△DCE(AAS).13.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，DAB=BCD.EAM=FCN.又∵AD∥BC，E=F.又∵AE=CF，△AEM≌△CFN(ASA).(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，AB=CD.又由(1)，得AM=CN，BM=DN.又∵BM∥DN四边形BMDN是平行四边形.14.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，OA=OC.1=2.又∵3=4，△AOE≌△COF(ASA).AE=CF.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，A=C，B=D.由(1)，得AE=CF.由折叠的性质，得AE=A1E，A1=A，B1=B，A1E=CF，A1=C，B1=D.又∵1=2，3=4.∵5=3，4=6，5=6.在△A1IE与△CGF中，A1=C，5=6，A1E=CF，△A1IE≌△CGF(AAS).EI=FG.希望带来的这篇2016年中考数学复习备考压轴试题，可以帮助更好的迎接即将到来的考试!更多相关内容请关注教育官网中考数学栏目。
2016中考数学压轴题解析版
上所述，满足条件的点 P 的坐标为（﹣8，﹣15） 、 （2 ，﹣ ） 、 （10，﹣39） ．
．此时点 P 的坐标为（2 ，﹣ ） ． ，即 m 2﹣7m﹣30=0．
解得 m= ﹣3（舍去）或 m=10 ，此时点 P 的坐标为（10，﹣39） ．
6、十套模拟二：
8、山东模拟二：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A （3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛 物线于点M，设点P的横坐标为t． 2 y x 3 y x 2x 3 （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． （2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面 积． （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四 边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（3） 存在点 P ， 使得以点 P、 A、 N 为顶点的三角形与△MAO 相似． 设P （m， ） ．
在 Rt△MAO 中，AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限．
①设点 P 在第二象限时，∵点 P 不可能在直线 MN 上，∴只能 PN=3NM， ∴ ，即 m 2+11m+24=0．解得 m=﹣3（舍去）或 m=﹣8．又﹣3
2
∴AO=1，OC=3， OB=3，P Ｍ= x 2 x 3 ，PN ＝x． ∴S 四边形 ABPC= S AOC + S POB + S POC
2
y M O N
C
第 25 题图 2(备用)
1 1 1 = AO·OC + OB·PM+ OC ·PN 2 2 2 1 1 1 2 = ×1×3+ ×3×( x 2 x 3 )+ ×3×x 2 2 2 3 2 9 = x x6 2 2 3 3 2 75 = (x ) . ………………………8 分 2 2 8
2016年中考数学压轴题及解析分类汇编
中考数学压轴题及解析分类汇编问题中考数学压轴：等腰三角形问题中考数学压轴：直角三角形问题问题中考数学压轴：梯形问题中考数学压轴：面积问题2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1、直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么BQ ==． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况： ①当3BQ BA =3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ =．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=，cos 1∠=①当3BQ BA=时，BQ = 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -． 例2、 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m与n的数量关系；（2）当tan∠A＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP相似，求点P的坐标．图1思路点拨1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．3．如果△AEO与△EFP相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数kyx=的图像上，所以4,2.m kn k=⎧⎨=⎩整理，得n＝2m．（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝12，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．已知△BDE的面积为2，所以11(1)2222BD EH m⋅=+⨯=．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)．因为点D（4，1）在反比例函数kyx=的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为4yx =．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当EA EF AO FP ==．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF ==．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x =-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3、如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4例4、 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A =，即28=．解得'B C =AC =ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D ==，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B D AC B C ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 、 如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,图1思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6 、 如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图思路点拨1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF 也是等腰三角形．2．用含有x 的式子表示BD 、DE 、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点E 的位置不同，DE 、MN 表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题． 满分解答（1）如图2，作BH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，cosA ＝310AH AB =，所以AH ＝32＝12AC ．所以BH 垂直平分AC ，△ABC 为等腰三角形，AB ＝CB ＝5． 因为DE //BC ，所以AB AC DB EC =，即53y x=．于是得到53y x =，（0x >）． （2）如图3，图4，因为DE //BC ，所以DE AE BC AC =，MN AN BC AC =，即|3|53DE x -=，1|3|253x MN -=．因此5|3|3x DE -=，圆心距5|6|6x MN -=．图2 图3 图4在⊙M 中，115226M r BD y x ===，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展:第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况． 满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b )|-=2|t 22|OA t tb ==．即22b t t t -=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）．②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1、如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12 PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．图6 图7例2 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x = 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8A P R A C P P O RC O R A S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7． 在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cos=⋅∠来求解．AP AQ A2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3． 在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MPQN MN=，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到． 2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长． 3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56．如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADNFA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
2016中考数学考前名师指导：压轴题解题策略详解_名师指点
2016中考数学考前名师指导：压轴题解题策略详解_名师指点不论从事何种工作，如果要想做出高效、实效，务必先从自身的工作计划开始。
有了计划，才不致于使自己思想迷茫、头脑空洞，不知从哪里着手开展工作。
下文为您准备了2016中考数学考前名师指导的内容：1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。
因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。
例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。
3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
4、综合多个知识点，运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。
中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。
因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。
5、分题得分中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第(1)小题较易，第(2)小题中等，第(3)小题偏难，在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到，第(2)小题的分数要力争拿到，第(3)小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。
2016中考数学压轴题
目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题例2 2012年苏州市中考第29题例3 2012年黄冈市中考第25题例4 2010年义乌市中考第24题例5 2009年临沂市中考第26题例6 2008年苏州市中考第29题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题例2 2012年扬州市中考第27题例3 2012年临沂市中考第26题例4 2011年湖州市中考第24题例5 2011年盐城市中考第28题例6 2010年南通市中考第27题例7 2009年江西省中考第25题1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题例2 2012年广州市中考第24题例3 2012年杭州市中考第22题例4 2011年浙江省中考第23题例5 2010年北京市中考第24题例6 2009年嘉兴市中考第24题例7 2008年河南省中考第23题1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题例2 2012年福州市中考第21题例3 2012年烟台市中考第26题例4 2011年上海市中考第24题例5 2011年江西省中考第24题例6 2010年山西省中考第26题例7 2009年江西省中考第24题1.5 因动点产生的梯形问题例1 2012年上海市松江中考模拟第24题例2 2012年衢州市中考第24题例4 2011年义乌市中考第24题例5 2010年杭州市中考第24题例7 2009年广州市中考第25题1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题例2 2012年菏泽市中考第21题例3 2012年河南省中考第23题例4 2011年南通市中考第28题例5 2010年广州市中考第25题例6 2010年扬州市中考第28题例7 2009年兰州市中考第29题1.7 因动点产生的相切问题例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题例2 2012年河北省中考第25题例3 2012年无锡市中考第28题1.8 因动点产生的线段和差问题例1 2013年天津市中考第25题例2 2012年滨州市中考第24题例3 2012年山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2013年宁波市中考第26题例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题例3 2012年连云港市中考第26题例4 2010年上海市中考第25题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例1 2013年菏泽市中考第21题例2 2012年广东省中考第22题例3 2012年河北省中考第26题例4 2011年淮安市中考第28题例5 2011年山西省中考第26题例6 2011年重庆市中考第26题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2013年南京市中考第26题例2 2013年南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题例2 2013年江西省中考第24题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位臵。
2016中考数学压轴题专项训练有答案
2016中考数学压轴题专项训练有答案2016中考压轴题专项训练训练目标1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
考查要点常考类型举例题型特征解题方法问题背景研究求坐标或函数解析式，求角度或线段长已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。
模型套路调用求面积、周长的函数关系式，并求最值速度已知，所求关系式和运动时间相关①分段：动点转折分段、图形碰撞分段；②利用动点路程表达线段长；③设计方案表达关系式。
坐标系下，所求关系式和坐标相关①利用坐标及横平竖直线段长；②分类：根据线段表达不同分类；③设计方案表达面积或周长。
求线段和（差）的最值有定点（线）、不变量或不变关系利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及分类讨论点的存在性点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10①抓定量，找特征；②确定分类；.③根据几何特征或函数特征建等式。
图形的存在性特殊三角形、特殊四边形的存在性①分析动点、定点或不变关系（如平行）；②根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。
三角形相似、全等的存在性①找定点，分析目标三角形边角关系；②根据判定、对应关系确定分类；③根据几何特征建等式求解。
答题规范动作1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。
2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。
2016中考压轴题解析
中考数学压轴题解题技巧数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。
以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。
对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。
三是运用转化的数学的思想。
由已知向未知，由复杂向简单的转换。
中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。
2016年中考数学压轴题及解析分类汇编
2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么BQ ==．Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -． 图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°．在Rt △BGH 中，sin 1∠=，cos 1∠=．①当3BQ BA=时，BQ = 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -． 例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x =的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x =． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =，1b =． 因此直线AB 的函数解析式为112y x =+． 图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当EA EF AO FP==．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF ==．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）． 考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似． 图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S-=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =． 图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ． 图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A=，即28=．解得'B C =AC =形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D ==，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）． ②如图4，当''A B B D A C B C ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）． 图3 图4 考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D 可以在射线BA 上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF 也是等腰三角形． 2．用含有x 的式子表示BD 、DE 、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点E 的位置不同，DE 、MN 表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意． 4．第（3）题按照DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，cosA ＝310AH AB =，所以AH ＝32＝12AC ．所以BH 垂直平分AC ，△ABC 为等腰三角形，AB ＝CB ＝5． 因为DE //BC ，所以AB AC DB EC =，即53y x=．于是得到53y x =，（0x >）． （2）如图3，图4，因为DE //BC ，所以DE AE BC AC =，MN AN BC AC =，即|3|53DE x -=，1|3|253x MN -=．因此5|3|3x DE -=，圆心距5|6|6x MN -=．图2 图3 图4在⊙M 中，115226M r BD y x ===，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =． 图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式． 图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22b t t t -=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548． 图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ． 图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23O B O A =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R 由B 向O 运动，从图像中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ ，可以体验到，P 在OC 上时，只存在AP ＝AQ 的情况；P 在CA 上时，有三个时刻，△APQ 是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3如图1，在直角坐标平面内有点A (6, 0)，B (0, 8)，C (－4, 0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向作匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ∶NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=． 图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况． ②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=． 图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些． 例4如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ 图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E 在BC 上运动，观察y 随x 变化的函数图像，可以体验到，y 是x 的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E 是BC 的中点时，y 取得最大值．双击按钮“m ＝8”，拖动E 到BC 的中点，可以体验到，点F 是AB 的四等分点．拖动点A 可以改变m 的值，再拖动图像中标签为“y 随x ” 的点到射线y ＝x 上，从图形中可以看到，此时△DCE ≌△EBF ．思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）． 图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长．3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1．由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DN FA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ． （3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
2016年中考数学压轴题及分类汇编解读
2016中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一) 例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=cos 1∠=①当3BQ BA=时，BQ =．在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x=的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ． （2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D（4，1）在反比例函数kyx=的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为4yx =．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=，1 b=．因此直线AB的函数解析式为112y x=+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当EA EFAO FP=时，2552FP=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF=时，2525=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12yx=-，直线AB为172y x=-．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．图52016中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G 在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x=-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上． （1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B′(6，0)，可得A B′＝45．如图2，由AM//CN，可得''''B N B CB M B A=，即2845=．解得'5B C=．所以35AC=．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①如图3，当''AB B CAC B D=时，535=，解得'3B D=．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B DAC B C=时，355=，解得5'3B D=．此时OD＝133，点D的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△PAM 与△OAC 相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=． 因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=．例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310 AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4 在⊙M中，115226Mr BD y x===，在⊙N中，1122Nr CE x==．①当两圆外切时，5162x x+5|6|6x-=．解得3013x=或者10x=-．如图5，符合题意的解为3013x=，此时5(3)15313xDE-==．②当两圆内切时，5162x x-5|6|6x-=．当x＜6时，解得307x=，如图6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xDE-==；当x＞6时，解得10x=，如图7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xDE-==．图5 图6 图7 （3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =． ②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =．第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =．如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQA AP ∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．2016中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 例3如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP 与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3． 在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3． (2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EBCE BF=，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+，那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2016中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长． 3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x 代入1613652++-=xx y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADNFA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此11613652-=++-x x x 。
2016年中考数学压轴题精选及详解
2016年中考数学压轴题精选解析Word 版中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为等腰三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为腰时，分两类讨论：①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。
②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。
利用圆的一般方程列出A (或B )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为直角三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。
2016中考数学 专题突破二 选择压轴题型作业手册
选择压轴题型动点函数图象和立体图形的展开折叠是初中数学和高中数学的重要接轨点之一，是北京中考选择压轴题的热点，近年来立体图形的展开与折叠只在2010年出现，更多的是考查动点函数图象．1．[2015·北京] 一个寻宝游戏的寻宝通道如图Z2－1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为( )图Z2－1A ．A →O →B B ．B →A →C C ．B →O →CD ．C →B →O2．[2014·北京] 已知点A 为某封闭图形边界上的一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P 运动的时间为x ，线段AP 的长为y ，表示y 与x 的函数关系的图象大致如图Z2－2所示，则该封闭图形可能是图Z2－3中的( )图Z2－2图Z2－33．[2013·北京] 如图Z2－4，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是图Z2－5中的( )图Z2－4图Z2－54．[2012·北京] 小翔在如图Z2－6①所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒，他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程，设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与教练的距离为y(单位：米)，表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示，则这个固定位置可能是图①中的( )图Z2－6A．点M B．点N C．点P D．点Q5．[2011·北京] 如图Z2－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，D是AB边上的一个动点(不与点A，B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD＝x，CE ＝y，则图Z2－8的图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )图Z2－7图Z2－86．[2010·北京] 美术课上，老师要求同学们将图Z2－9所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，图Z2－10中的四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是( )图Z2－9图Z2－10一、动点生成函数图象1．[2015·海淀二模] 如图Z2－11所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处(点O与点P不重合)利用仪器测量了∠POQ的大小．设蜜蜂飞行时间为x，∠POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是图Z2－12中的( )图Z2－11图Z2－122．[2015·东城一模] 如图Z2－13①，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C＝∠EDF ＝90°，点A与点D重合，点E在AB上，AB＝4，DE＝2.如图②，△ABC保持不动，△DEF 沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD＝x，△DEF与△ABC 重叠部分的面积为S，则S关于x的函数图象大致是图Z2－14中的( )图Z2－13图Z2－143．[2015·西城一模] 如图Z2－15，过半径为6的⊙O上一点A作⊙O的切线l，P为⊙O 上的一个动点，作PH⊥l于点H，连接P A.如果PA＝x，AH＝y，那么图Z2－16的图象中，能大致表示y与x的函数关系的是( )图Z2－15图Z2－164．[2014·西城一模] 如图Z2－17，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为顶点任作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P，Q，连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是图Z2－18中的( )图Z2－17图Z2－185．[2015·朝阳二模] 如图Z2－19，矩形ABCD中，E为AD的中点，点F为BC上的动点(不与B，C重合)．连接EF，以EF为直径的圆分别交BE，CE于点G，H.设BF的长度为x，弦FG与FH的长度和为y，则图Z2－20中的图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象大致是( )图Z2－19图Z2－20二、由函数图象判断运动情况6．[2015·海淀一模] 小明在书上看到了一个实验：一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象，如图Z2－21所示．小明选择的物体可能是( )图Z2－21图Z2－227．[2015·燕山一模] 李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y(单位：米)与时间t(单位：分)的函数关系的图象大致如图Z2－23所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用P点表示李阿姨家的位置)( )图Z2－23图Z2－248．[2014·海淀二模] 如图Z2－25①，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB 垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图②所示，那么微型记录仪可能位于图①中的( )图Z2－25A．点M B．点N C．点P D．点Q9．[2015·海淀二模] 如图Z2－26①，在矩形ABCD中，AB<BC，AC，BD交于点O.点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于点F.设AE＝x，图①中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则这条线段可能是图①中的( )图Z2－26A．线段EF B．线段DEC．线段CE D．线段BE10．[2014·房山一模] 如图Z2－27①，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝2BD，点P是AO 上一个动点，过点P作AC的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP＝x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则菱形的周长为( )图Z2－27A．2 B．2 3 C．4 D．2 5三、几何体的折叠与展开11．[2008·北京] 已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图Z2－28所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是( )图Z2－28图Z2－2912．[2014·西城二模] 图Z2－30表示一个正方体的展开图，图Z2－31中的四个正方体中只有一个符合要求，那么这个正方体是( )图Z2－3013．[2014·门头沟二模] 如图Z2－32，把此图形折叠起来，它会变为图Z2－33中的哪个立体图形( )图Z2－32图Z2－3314．[2012·密云一模] 在正方体的表面上画有如图Z2－34①中所示的粗线，图②是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中，画法正确的是( )图Z2－34图Z2－3515．[2013·西城二模] 如图Z2－36，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是( )图Z2－36图Z2－371.C [解析] A 项，从点到点随增大一直减小，故A 不符合题意；B 项，从B 点到A 点y 随x 增大先减小再增大，从A 到C 点y 随x 的增大先减小再增大，在A 点y 最大，故B 不符合题意；C 项，从B 点到O 点y 随x 增大先减小再增大，从O 点到C 点y 随x 的增大先减小再增大，在B ，C 点y 最大，故C 符合题意；D 项，从C 点到M 点y 随x 的增大而减小，一直到y 为0，从M 点到B 点y 随x 的增大而增大，明显与图象不符，故D 不符合题意．2．A [解析] 根据等边三角形、菱形、正方形、圆的性质，分析得到y 随x 的增大而的变化的关系，然后选择答案即可．A 项，等边三角形，点P 在开始与结束的两边上匀速变化，在点A 的对边上时，y 先变速减小，再变速增加，符合题中图象；B 项，菱形，点P 在开始与结束的两边上匀速变化，在另两边上时，y 都是先变速减小，再变速增加，题中图象不符合；C 项，正方形，点P 在开始与结束的两边上匀速变化，在另两边上，y 先变速增加至点P 到∠A 的对角顶点，再变速减小至另一个顶点，题干图象不符合；D 项，圆，AP 的长度，先变速增加至AP 为直径，然后再变速减小至点P 回到A 时为0，题中图象不符合．3．A [解析] 作OC ⊥AP ，根据垂径定理得AC ＝12AP ＝12x ，再根据勾股定理可计算出OC ＝124－x 2，然后根据三角形面积公式得到y ＝14x ·4－x 2(0≤x ≤2)，再根据解析式对四个图形进行判断．4．D [解析] 分别假设这个位置在点M ，N ，P ，Q ，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．A 项，假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B 项，假设这个位置在点N ，则从A 到C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C 项，假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误；D 项，经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确．故选D.5．B [解析] 本题需先根据题意，求出BC ，AC 的长，再分别计算出当x ＝0和x ＝2时y 的值，即可求得y 与x 的函数图象． ∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2， ∴BC ＝1，AC ＝3，∴当x ＝0时，y 的值是3，当x ＝1时，y 的值是2 33，∵当x ＝2时CD 的垂线与CA 平行，虽然x 不能取到2，但y 应该是无穷大， ∴y 与x 的函数关系图象大致是B. 6．B一、动点生成函数图象1．D [解析] 先分析∠POQ 的增减情况，再确定∠POQ 增大的过程用的时间要大于∠POQ 减小的过程用的时间即可得到答案．∵蜜蜂按照箭头所示的方向沿P →A →B →P →C →D →P 的路径匀速飞行， ∴∠POQ 的度数是由0°先增大再减小到0°再增大再减小到0°，当直线OQ 与圆相切时∠POQ 最大，角度增大的过程中蜜蜂所经过的路程圆的优弧长大于角度减小的过程中蜜蜂所经过的路程，∵蜜蜂按照着箭头所示的方向沿P →A →B →P →C →D →P 的路径匀速飞行， ∴∠POQ 增大的过程用的时间要大于∠POQ 减小的过程用的时间． 2．B3．C [解析] 如图，当PH 与圆O 相切时，∵四边形OAHP 是正方形，∴AH ＝6，PA ＝6 2， 当点P 在圆O 上运动时，y 与x 之间的关系既不是一次函数也不是二次函数，并且在x ＝6 2时，函数取得最大值6，因为6＜6 2＜12， 故选C.4．D [解析] 解法一：应用特殊元素法和排除法求解． ①当点P 与点O 重合时，x ＝0，y ＝2.故可排除C 选项； ②当点Q 与点O 重合时，y ＝3.故可排除A 选项； ③当x ＝2，即AP ⊥x 轴时，∵AH ⊥PQ ， ∴AH ＜AQ ＝2，即y ＜2.故可排除B 选项． 故选D.解法二：常规解法，如图， 设Q (0，q )．∵∠BAQ ＋∠QAC ＝∠CAP ＋∠QAC ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠CAP .又∠ABQ ＝∠ACP ， ∴△ABQ ∽△ACP . ∴AB AC ＝BQ CP.①若x ≥2，则23＝3－qx －2，化简可得，q ＝13－2x3.∵S △APQ ＝12(2＋x )×3－12(3－q )×2－12x ×q ，S △APQ ＝12×x 2＋q 2×y ，则12(2＋x )×3－12(3－q )×2－12x ×q ＝12×x 2＋q 2×y ， 整理，得y x 2＋q 2＝(3－q )x ＋2q ， 则y9x 2＋4x 2－52x ＋1699＝2x 2－8x ＋263，所以y 13（x 2－4x ＋13）＝2(x 2－4x ＋13)，y ＝213x 2－4x ＋13＝2 1313（x －2）2＋9， ∴当x ＝2时，y 有最小值． ②若0＜x ＜2，则23＝q －32－x ，化简可得，q ＝13－2x3.同理：y ＝213x 2－4x ＋13＝2 1313 （x －2）2＋9，则在0＜x ＜2范围内，y 随x 增大而减小．综上所述，只有D 选项符合题意． 故选D.5．D [解析] 如图，作EM ⊥BC 于点M ，∵点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点， ∴BE ＝CE ，∠EBM ＝∠ECM ， ∴点M 是BC 的中点，设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝2b ， 则BM ＝CM ＝b ，EM ＝a ， ∴BE ＝CE ＝a 2＋b 2，∴sin ∠EBM ＝sin ∠ECM ＝a a 2＋b 2.∵EF 是⊙O 的直径，∴∠BGF ＝∠CHF ＝90°.∵BF ＝x ，∴CF ＝2b －x ， ∴FG ＝BF ·sin ∠EBM ＝ax a 2＋b 2， FH ＝CF ·sin ∠ECM ＝a （2b －x ）a 2＋b 2， ∴FG ＋FH ＝2ab a 2＋b2. ∵ab 为定值，∴FG ＋FH ＝2ab a 2＋b 2为定值． 故选D.二、由函数图象判断运动情况6．B [解析] 由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降， 由结尾可知A ，C 错误，由中间不变可知，D 错误．故选B.7．D [解析] 由函数图象的变化趋势，得路程变远，路程不变，路程变近，故D 符合题意．故选D.8．D [解析] 由图可知，A 项，甲虫与点M 的距离选逐渐增大，至点B 时最大，然后逐渐变小再变大，与图②不符合；B 项，甲虫与点N 的距离从A 到O 逐渐变小，从O 到B 逐渐变大，从B 到ON 与半圆的交点逐渐变小，然后至点A 逐渐变大，且甲虫在点A ，B 与点N 的距离相等，与图②不符合．C 项，甲虫与点P 的距离从点A 至点B 减小，从点B 至OP 与半圆的交点减小，然后增大直至到点A ，与图②不符合；D 项，甲虫与点Q 的距离，从点A 到点Q 与AB 的垂线的垂足减小，再至点B 增大，从点B 到OP 与半圆的交点减小，然后至点A 一直增大，与图②符合．故选D.9．B [解析] A 选项，线段EF 的长度随着x 的增大先变小再变大，并且是一个轴对称的函数图象；B 选项，线段DE 的长随着x 的增大先变小再变大，最小值在DE ⊥AC 时取得；C 选项，线段CE 的长随着x 的增大而减小到0；D 选项，线段BE 的长随着x 的增大先变小再变大，最小值在BE ⊥AC 时取得．10．D [解析] 根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，AC ＝2AO ，从而得到AO ＝BD ，设AO ＝a ，然后证明△AMN 和△ABD 相似，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出MN ，然后根据三角形的面积列出y 与x 的函数解析式，再根据二次函数的最值问题求出a ，从而得出AO ，BO 的长，再利用勾股定理列式求出AB ，再根据菱形的周长公式求解即可．三、几何体的折叠与展开11．D [解析] 此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意知蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的路程最短，就用到“两点间线段最短”．12．B [解析] 根据相邻面、对面的关系，可得答案．空白面的两个邻面是斜线面，故选B.13．B [解析] 根据相邻面、对面的关系，可得答案．有圆的面的邻面是有线段的面，线段的端点不在有圆的面上，故选B.14．A [解析] 本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证正方体的表面展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．可把A，B，C，D选项折叠，能够复原图①的只有A.故选A.15．D [解析] 由平面图形的折叠及立方体图形的表面展开图的特点解题．选项A，B，C折叠后都不符合题意，只有选项D折叠后符合．故选D.。
2016中考数学压轴题汇编及答案
2016年中考数学压轴题汇编（1）一．解答题（共30小题）1．(2016•模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4,0），B（0，﹣4)，C(2，0）三点．(1）求抛物线的解析式；(2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标．2．（2015•）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A(，）和B(4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1)求抛物线的解析式;（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在,请说明理由；(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．3．(2015•）如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A（0，4），B（1，0)，C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．(1）求抛物线的解析式和对称轴；（2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由；(3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2015•）如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上,且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．5．（2015• )如图，⊙E的圆心E(3,0），半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．(1)求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；(3)动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．6．（2015•荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1)求OE的长及经过O,D，C三点抛物线的解析式;(2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使M，N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．7．（2015•盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2,当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；(3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在,请说明理由．8．（2015•益阳）已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′．（1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．9．（2015•徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0）,以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点,连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E,已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1)∠OBA=°．（2）求抛物线的函数表达式．（3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时，相应的点P有且只有3个?10．（2015•乌鲁木齐）抛物线y=x2﹣x+2与x轴交于A，B两点(OA＜OB），与y轴交于点C．(1）求点A，B，C的坐标;（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间为t秒(0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示)，当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在,请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;（2)小球的落点是A，求点A的坐标;（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积;（4）在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合）,△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M 的坐标．12．（2015•天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c(b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．13．(2015•常德）如图,曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=(x2﹣2x﹣3）(x≤3)曲线y2与曲线y1关于直线x=3对称．（1)求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；（2)过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标;（3)设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2015•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0)，C（0，3）两点，与x轴交于点B．(1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．15．（2015•凉山州）如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．（1）求m的值．(2）求A、B两点的坐标．（3)点P（a，b）(﹣3＜a＜1）是抛物线上一点,当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．16．（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0）和点B与y轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式;（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形?若存在．请求出点P的坐标)；(3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大，试求出最大面积．17．（2015•资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点．（1)如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3）如图2，设B(m．n)（m＜0）,过点E（0．﹣1)的直线l∥x轴，BR⊥l于R,CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．18．（2015•苏州)如图,已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点(点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC（1）∠ABC的度数为;（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）;(3)在坐标轴上是否存在着点Q(与原点O不重合）,使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．19．（2015•临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．(1）求过A，B,C三点的抛物线的解析式;（2）P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标;②若点P的横坐标为t(﹣1＜t＜1），当t为何值时,四边形PBQC面积最大？并说明理由．20．（2015•巴中）如图,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0)的图象与x轴交于A（﹣2，0)、C(8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；(2）如图1，连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P(m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0,n＜0），连结PB，PD,BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．21．（2015•黔东南州)如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b．（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围;(3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在，求出P的坐标；若不存在,说明理由．22．（2015•孝感）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C,直线y=x+4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式;(2）在AC上方的抛物线上有一动点P．①如图1,当点P运动到某位置时,以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P 的坐标；②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8,求k的值．23．（2015•眉山)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点,且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ,垂足为Q．问：是否存在P点,使∠QPO=∠BCO？若存在,请求出P点的坐标;若不存在，请说明理由．24．（2015•桂林）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8,0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：;（2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少? （3）当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．25．(2015•遂宁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2，0），B（4,0），C（0，3）三点．(1）求该抛物线的解析式;（2）在y轴上是否存在点M,使△ACM为等腰三角形?若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在,请说明理由;(3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合）,过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．26．（2015•重庆)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1)求直线AD的解析式;(2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值;（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点,以A,M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．27．（2015•兰州)已知二次函数y=ax2的图象经过点（2，1）．（1）求二次函数y=ax2的解析式；（2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(x1、y1）、B（x2、y2)两点．①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；②试判断当m≠时(图②），△AOB的形状，并证明；（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明)28．（2015•丹东）如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C 坐标为（8,0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;（2)判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标; （4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标．29．（2015•潍坊）如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1，0），C(x2，0)，且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E(t，0）过点E作平行于y 轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．(1）求抛物线的解析式；（2)当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值;（3）当t＞2时，是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．30．（2015•珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l:y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．（1)求证：△ABD∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD;（3)P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ,在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．2015年中考数学压轴题汇编（1）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题)1．(2016•贵阳模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；(2）若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时,表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．【解答】解：(1）设此抛物线的函数解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0)，将A（﹣4，0)，B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得:解得,所以此函数解析式为：y=；（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上,∴M点的坐标为:（m,），∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB=×4×(﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m)﹣×4×4=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m，=﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．答：m=﹣2时S有最大值S=4．(3）设P（x，x2+x﹣4)．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB,且PQ=OB,∴Q的横坐标等于P的横坐标,又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q（x，﹣x）．由PQ=OB,得|﹣x﹣（x2+x﹣4)｜=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合,OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4,代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）．由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2,2﹣2)或（﹣2﹣2，2+2）或（4,﹣4）．【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．2．（2015•枣庄)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由；(3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B(4,m)在直线y=x+2上,可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同,有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1)∵B（4，m）在直线y=x+2上,∴m=4+2=6，∴B(4,6），∵A（，)、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴,解得,∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2)设动点P的坐标为（n,n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6)，∴PC=（n+2）﹣(2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣)2+,∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i)若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知,PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1,过点A（,)作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b,则：，解得,∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为:y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=(与点A重合，舍去)∴C（3，0）,即点C、M点重合．当x=3时,y=x+2=5，∴P1（3，5)；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2,∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2,作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上,且C（,）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3,5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2015•酒泉)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0)，C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴;（2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小?若存在，请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；(3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）抛物线经过点A(0，4），B（1，0），C（5，0）,可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5)，代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；(2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N(t，t2﹣t+4)（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)（x﹣5），把点A（0,4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）(x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3)2﹣，∴抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0,4)，抛物线的对称轴是x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′(6,4），B（1，0）代入得,解得，∴y=x﹣，∵点P的横坐标为3，∴y=×3﹣=，∴P（3,）．（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5)，如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D,由点A（0,4)和点C（5，0)可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4,则G（t，﹣t+4),此时:NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4)=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG•OC=×（﹣t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N(，﹣3）．【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．4．(2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0)和点B，交y轴于点C（0,3）．（1)求抛物线的函数表达式;（2)若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1)把点A、C的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值; （2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标;（3)先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3,再设Q点坐标为（x,x+3)，则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：(1）把A（﹣3，0），C（0,3）代入y=﹣x2+bx+c，得:，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴×3×｜﹣x2﹣2x+3｜=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：(﹣1,4）或（﹣1+2，﹣4）或(﹣1﹣2,﹣4)；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0）,C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为(x，x+3），(﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=(﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3)=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+,∴当x=﹣时,QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中,解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．5．(2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0）,半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方），与x 轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由;（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】(1）连接AE，由已知得:AE=CE=5,OE=3,利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长,从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2)求出点D的坐标为（﹣，0)，根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．（3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M(m，m+4）,P （m,﹣m2+m﹣4)，得到PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+,根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=,从而得到最小距离．【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得:AE=CE=5，OE=3，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，∵OC⊥AB,∴由垂径定理得,OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4),B（0，﹣4），C(8,0）,∵抛物线的定点为C，∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2,将点B的坐标代入上解析的式,得64a=﹣4,故a=﹣，∴y=﹣（x﹣8）2，∴y=﹣x2+x﹣4为所求抛物线的解析式，（2）在直线l的解析式y=x+4中,令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，∴点D的坐标为（﹣，0）,当x=0时，y=4,∴点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵=，=,∴=，∵∠AOE=∠DOA=90°,∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°,因此，直线l与⊙E相切与A．(3）如图2,过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q,过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M(m，m+4），P（m，﹣m2+m﹣4），则PM=m+4﹣(﹣m2+m﹣4)=m2﹣m+8=(m﹣2）2+，当m=2时，PM取得最小值，此时，P（2，﹣)，对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，又∠PQM=90°,∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值,PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=，∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣）时,点P到直线l的距离最小，其最小距离为．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定和性质、二次函数的最值等知识，在解答（3)时要注意点P、点M坐标的设法，以便利用二次函数的最值求解．6．（2015•荆门）如图,在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B 恰好落在边OA上的点E处，分别以OC,OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O,D，C三点抛物线的解析式；(2）一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒,当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1)中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N,使M,N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标;若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE 中，由勾股定理可求得m的值,可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2)用t表示出CP、BP的长,可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；(3）可设出N点坐标,分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标,再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，∴在Rt△COE中，OE===3,设AD=m，则DE=BD=4﹣m，∵OE=3,∴AE=5﹣3=2，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2,解得m=，∴D（﹣，﹣5），∵C（﹣4，0），O(0，0），∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4），∴﹣5=﹣a(﹣+4）,解得a=，∴抛物线解析式为y=x(x+4）=x2+x;（2）∵CP=2t,∴BP=5﹣2t，在Rt△DBP和Rt△DEQ中,，∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL)，∴BP=EQ，∴5﹣2t=t，∴t=;（3）∵抛物线的对称为直线x=﹣2，∴设N（﹣2,n)，又由题意可知C（﹣4,0），E（0，﹣3），设M（m，y），①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，∵EN，CM互相平分，∴=﹣1,解得m=2,又M点在抛物线上,∴y=×22+×2=16，∴M（2,16）；②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=﹣3，∵EN，CM互相平分，∴=﹣3,解得m=﹣6,又∵M点在抛物线上，∴y=×（﹣6）2+×(﹣6）=16，∴M（﹣6，16）；③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2,16）或（﹣6,16）或(﹣2，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在(2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键,在（3)中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2016中考数学压轴题如何攻克
2016中考数学压轴题如何攻克对中考数学卷，压轴题是考生最怕的，以为它一定很难，不敢碰它。
其实，对历年中考的压轴题作一番分析，就会发现，其实也不是很难。
这样，就能减轻做压轴题的心理压力，从中找到应对的办法。
压轴题难度有约定：历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。
第(1)题容易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。
近十年来，最后小题的得分率在0.3以下的情况，只是偶尔发生，但一旦发生，就会引起各方关注。
控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识，起点低，坡度缓，尾巴略翘已成为上海数学试卷设计的一大特色，以往上海卷的压轴题大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。
由此可见，压轴题也并不可怕。
压轴题一般都是代数与几何的综合题，很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识。
如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。
方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式，如去年中考的第25(3)题，就是根据已知的几何条件列出代数方程而得解的，这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。
动态几何问题中有一种新题型，如北京市去年的压轴题，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。
在这类动态几何问题中，锐角三角比作为几何计算的一种工具，它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。
总之，压轴题有多种综合的方式，不要老是盯着某种方式，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。
分析结构理清关系：解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是平列的，还是递进的，这一点非常重要。
如去年第25题的(1)、(2)、(3)三个小题是平列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，(1)的结论与(2)的解题无关，(2)的结论与(3)的解题无关，整个大题由这三个小题拼装而成。