中职数学9.1.2直线的斜率与点斜式方程
直线的点斜式方程与斜截式方程
亲爱的同学们，下节课见！
Байду номын сангаас
一、填空题 1.已知直线的点斜式方程是y＋1＝k（x－4），则直线经过的一个定点坐标是 （4，－1） . 2.直线2x＋y－7＝0的斜截式方程为 y＝－2x＋7 . 3.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k ＜ 0且b ＞ 0.
二、解答题 1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B（7，－1），C（－1，4）， 求AB边上的中线CD所在的直线方程.
3.斜率为3，且在y轴上的截距为－2的直线的斜截式方程（ C ）.
A. y＝－2x＋3 B. y＝－2x－3 C. y＝3x－2 D. y＝3x＋2
4.若直线l的斜截式方程为y＝－2x＋4，则直线l的斜率为（ A ）.
A. －2
B. 2
C. －4
D. 4
5.若直线l的斜截式方程为y＝3x－6，则直线l在y轴上的截距为（ C ）.
4.倾斜角60°，在y轴上的截距是2； k＝tan60°＝ 3，b＝2. ∴直线方程为y＝ 3x＋2 5.过点A（－2，－4），B（0，－3）； 解：k＝−03++24 ＝ 12，由点斜式可得y＋3＝12（x－0） ∴所求直线方程为x－2y－6＝0 6.斜率是2，在x轴上的截距是3， k＝2过点（3，0）. 直线方程为：y－0＝2（x－3）. 即y＝2x－6
A. －3
B. 3
C. －6
D. 6
二、填空题 1.直线l经过点P（－2，3），且斜率为12，则直线l的点斜式方程 y－3＝12（x ＋2 . 2.已知直线的点斜式方程是y－2＝3（x＋1），则直线的斜率k＝ 3 . 3.斜率为－12，且在y轴上的截距为1的直线的斜截式方程 y＝－12x＋1 . 4.直线y＝3x－2与y轴的交点坐标为 （0，－2） .
直线的点斜式和斜截式方程
直线的点斜式和斜截式⽅程直线的点斜式和斜截式⽅程知识⽬标：(1）了解直线与⽅程的关系；（2）掌握直线的点斜式和斜截式⽅程能⼒⽬标：培养学⽣解决问题的能⼒与计算能⼒重点：直线⽅程的点斜式和斜截式难点：求直线的点斜式和斜截式⽅程采⽤“问题——分析——联系⽅程”的步骤，从学⽣熟知的⼀次函数图像⼊⼿，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作⽅程，图像是具有某种特征的平⾯点集（轨迹）．很⾃然地建⽴直线和⽅程的关系；导出直线的点斜式⽅程过程，是从直线与⽅程的关系中的两个⽅⾯进⾏的．⾸先是直线上的任意⼀点的坐标都是⽅程的解，然后是以⽅程的解为坐标的点⼀定在这条直线上；直线的斜截式⽅程是直线的点斜式⽅程的特例．直线的斜截式⽅程与⼀次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b 的意义．*创设情境兴趣导⼊【问题】我们知道，⽅程10x y -+=的图像是⼀条直线，那么⽅程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢*动脑思考探索新知【新知识】已知直线的倾⾓为45，并且经过点0(0,1)P ，由此可以确定⼀条直线l ．设点(,)P x y 为直线l 上不与点0(0,1)P 重合的任意⼀点（图8－6）．图8－61tan 450-==-y k x ，即 10x y -+=．这说明直线上任意⼀点的坐标都是⽅程10x y -+=的解．设点111(,)P x y 的坐标为⽅程10x y -+=的解，即1110x y -+=，则111tan 450-==-y k x ，已知直线的倾⾓为45，并且经过点0(0,1)P ，只可以确定⼀条直线l ．这说明点111(,)P x y 在经过点0(0,1)P 且倾⾓为45的直线上⼀般地，如果直线（或曲线）L 与⽅程(,)0F x y =满⾜下列关系：⑴直线（或曲线）L 上的点的坐标都是⼆元⽅程(,)0F x y =的解；⑵以⽅程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线（或曲线）L 上．那么，直线（或曲线）L 叫做⼆元⽅程(,)0F x y =的直线（或曲线），⽅程(,)0F x y =叫做直线（或曲线）L 的⽅程. 记作曲线L : (,)0F x y =或者曲线(,)0F x y =．例如，直线l 的⽅程为10x y -+=，可以记作直线:10l x y -+=，也可以记作直线10x y -+=．下⾯求经过点000(,)P x y ，且斜率为k 的直线l 的⽅程（如图8－7）．图8－7在直线l 上任取点(,)P x y （不同于0P 点），由斜率公式可得 00y y k x x -=-，即 00()y y k x x -=-．显然，点000(,)P x y 的坐标也满⾜上⾯的⽅程．⽅程（8．4）叫做直线的点斜式⽅程．其中点000(,)P x y 为直线上的点，k 为直线的斜率．【说明】当直线经过点000(,)P x y 且斜率不存在时，直线的倾⾓为90°，此时直线与x 轴垂直，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其⽅程为*巩固知识典型例题例2 在下列各条件下，分别求出直线的⽅程：（1）直线经过点0(1,2)P ，倾⾓为45；（2）直线经过点1(3,2)P ，2(1,1)P --．解（1）由于45=α，故斜率为tan tan 451===k α，⼜因为直线经过点0(1,2)P ，所以直线⽅程为21(1)y x -=?-，即 10x y -+=．（2）直线过点1(3,2)P ，2(1,1)P --，由斜率公式得123134k --==--．故直线的⽅程为 32(3)4y x -=-，即 3410x y --=．【想⼀想】．例2（2）题中，如果利⽤点2(1,1)P --和34k =写出的直线⽅程，结果是否⼀样，为什么？*动脑思考探索新知【新知识】如图8－8所⽰，设直线l 与x 轴交于点(,0)A a ，与y 轴交于点(0,)B b ．则a 叫做直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 叫做直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）．【想⼀想】直线在x轴及y轴上的截距有可能是负数吗？图8－8【新知识】B b，且斜率为k．则这条直线的⽅程设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点(0,)为-=-，y b k x(0)即y kx b=+．⽅程（8．5）叫做直线的斜截式⽅程．其中k为直线的斜率，b为直线在y轴的截距．*巩固知识典型例题例3设直线l的倾⾓为60°，并且经过点P（2，3）．（1）写出直线l的⽅程；（2）求直线l在y轴的截距．解（1）由于直线l的倾⾓为60°，故其斜率为k==．tan603⼜直线经过点P（2，3），由公式(8.4)得知直线的⽅程为y x-=-．32)（2）将上⾯的⽅程整理为3y-．这是直线的斜截式⽅程，由公式(8.4)知直线l的在y轴的截距为3-【想⼀想】例3（2）中，求直线在y轴的截距还有其他的⽅法吗？*运⽤知识强化练习1．作出12y x =的图像，并判断点(2,3)P -、(4,2)Q 是否为图像中的点． 2．设点(,1)P a 在直线350x y +-=上，求a 的值．3．根据下列各直线满⾜的条件，写出直线的⽅程：（1）过点(5,2)，斜率为3；（2）在y 轴上的截距为5，斜率为4．4．分别求出直线85(1)y x -=-在x 轴及y 轴上的截距*归纳⼩结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？布置作业(1)读书部分：教材(2)书⾯作业：教材P55习题8.2 A 组3、4、6（必做课后反思变式95P 1、写出下列直线的点斜式⽅程:（1）经过点(3,1)A -（2）经过点(B ，倾斜⾓是30?;(3) 经过点(0,3)C ，倾斜⾓是0?；（4）经过点(4,2)D --，倾斜⾓是120?。
直线的点斜式方程ppt课件
解析：由已知可得直线的点斜式方程为 故选C.
整理得2x-3y=0.
2.已知直线的倾斜角为60°,在y 轴上的截距为-2,则此直线的方程为(
A.y=√3x+2
B.y=-√3x+2
C.y=-√3x-2
D.y=√3x-2
解析：直线的倾斜角为60°,则其斜率为 √3,利用斜截式得直线的方程为y= √3x-2.
方程y=kx+b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其 中 ，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.
例2已知直线 l:y=k₁x+b₁,l₂:y=k₂x+
(1)l₁ 1/l₂ 的条件是什么?
b₂ ,试讨论：
(2)l⊥l₂ 的条件是什么?
解：(1) 若l//l₂, 则k=k₂ ,此时l,l₂ 与y 轴的交点不同，即b₁ ≠b₂; 反之，若k₁=k₂, 且b₁≠b₂, 则₁// l₂.
解：直线1经过点P(-2,3),斜率k=tan45°=1, 代入点斜式方程得y-3=x+2.
画图时，只需再找出直线1上的另一点P(x,y₁),
例如，取x =-1, 则y₁=4, 得点P 的坐标为(-1,4), 过P₀,P 两点的直线即为所求，如图所示.
直线的斜截式方程
直线l与 y 轴的交点(0,b)的纵坐标b 叫做直线l在 y 轴上的截距. 这样，方程y=kx+b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，
第二章直线和圆的方程
2.2.1直线的点斜式方程
学
01 掌握直线方程的点斜式与斜截式方程.
习
目
标
02 了解斜截式方程与一次函数的关系.
直线的点斜式方程
方程y-yo=k(xx₀)
第一课时直线的点斜式方程ppt课件
当直线l的倾斜角为90°时，斜率k不存在
此时直线与y轴平行或重合
方程为x-x0=0，即x=x0
直线的点斜式方程
直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角α＝45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线.
直线l的斜率k=tan45°=1 由直线的点斜式方程得y-3=x+2
y A
P
0
令x=-1，得y=4
O
x
直线的点斜式方程
2.判断A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点是否共线， 并说明理由. 3.已知点A（7，-4），B（-5，6），求线段AB的垂直平分线 的方程. 4.一条直线经过点A（2，-3），并且它的斜率是直线y= 1 x
3
的斜率的2倍，求这条直线的方程.
直线的点斜式方程
5.求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行； （2）经过点C（2，-3），且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5） 的直线； （3）经过点B（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直.
x 显然，过点P0（x0,y0），斜率为k的直线 上的每一点的坐标都满足该方程
反之，坐标满足该方程的点都在直线l上
直线的点斜式方程
经过点P0（x0,y0）,且斜率为k的直线l的方程为y-y0=k(x-x0)
y
A
当直线l的倾斜角为0°时，k＝0
P
此时直线与x轴平行或重合
0
O
x 方程为y-y0=0，即y=y0
直线的斜截式方程
如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，直线l如何表示？
y
将点的坐标代入直线的点斜式方程，得
y-b=kx 即 y=kx+b
1.2直线的点斜式和斜截式方程
x y 1 a b
x y 1称 直 线 方 程 式 的 截 距 式 a b
a x轴 上 的 截 距 b y轴 上 的 截 距
例3 三角形的顶点是 A(5,0), B(3,3), C(0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
思：截距是距离吗？
截距可以取什么数？
练习 1.直线3x 2 y 6 0求斜率k和直线
在y轴上的截距 b.
解:
由3 x 2 y 6 0
3 y x3 2
3 k , b 3. 2
2.求与直线 3 x 2 y 6 0的截距相同 , 斜率为 3的直线方程式 .
则直线的方程为
y 1 x2 即2 x y 3 0 31 0 2
四.直线的截距式方程
已知直线 l与x轴的交点为 (a,0),与y轴的交点为 (0, b), 其中a 0, b 0, 求直线 l的方程 .
解: 把点 (a,0), (0, b)代入两点式方程 ,得
y0 xa b0 0a
o
P ( x, y )
l
10直线 l 上每一点的坐标(x,y)都满足 ： y 3 2[ x (1)]
20 坐标满足此方程的每一点都在直线l 上.
建构数学
问题 22 ： 问题 ：若直线 l经过点 P 斜率为k, 则此直线 的方 0 ( x0 , y, 0)
程是？
y
P ( x, y )
[ 0 ,45 ] [135 ,180 )
ห้องสมุดไป่ตู้
求过点M(0,2)和 N(2,3m2+12m+13)(m∈R)的直线l的斜率k的取 值范围。 解: 由斜率公式得直线l 的斜率
最全面的直线知识点总结
直线的知识点总结一、 直线的倾斜角与斜率：1. 直线的倾斜角：1) 定义：当直线与x 轴相交时，沿x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转所得的最小正角；规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0； 2) 范围：直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<； 2. 直线的斜率：1) 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
2) 公式： tan k α=a.当[)οο90,0∈α时，0≥k ，当α=0°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当()οο180,90∈α时，0<k ，随着α的增大，斜率k 也增大； 当ο90=α 时，k 不存在,即直线与y 轴平行或者重合.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.b. 如果知道直线上两点()11,A x y ，()22,B x y2112122112()AB y y y y k x x x x x x --==≠-- 注意：(1)特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. (2)k 与A 、B 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
c ．设直线():00l Ax By C B ++=≠ 则A k B=-注：三点A ，B ，C 共线，则AB BC k k =二、直线的方程：①点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.注意：当直线的倾斜角为0°时，k=0，直线的方程是y =y 0。
当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 0，所以它的方程是x =x 0。
中职数学课件 直线的倾斜角与斜率
▪ 布置作业：
▪ 1 阅读本节内容，完成课本习题第4题
▪ 2 请同学参考物理学相关资料，进一步探讨 猪博士选择楼梯倾斜程度的理由。
▪ 评价分析：
▪ 本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以 情趣为载体，以学生为主体，以合作交流为 手段，以能力提高为目的。重视概念的提取 过程，知识的形成过程，解题的探索过程， 情感的体验过程。学生通过自主探究，合作 交流，体会合作学习的默契和谐，体会逻辑 思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体 会数形结合的奇异美。
）
▪ （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
（
）
▪ （3）平行于X轴的直线的倾斜角是0。或1800；
（）
▪ （4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； （）
▪ （5）直线的斜率的范围是(-8,+8 ）。 （）
例2：完成下面表格
▪
倾斜角
。
0
a
。。
60 90
斜率k
31 3
不
30
存 在
例3：如图，直线l1的倾斜角1 30 , 直线 l1 l2 ，求l1，l 2 的斜率。
中职数学课件 直线的倾斜角与斜率
一、教材分析：
1、教材的地位与作用： 各位专家大家好，我说课的内容选自湖南省
中职教材第二册第九章第二节第一课时，课题为： 直线的倾斜角与斜率。直线和圆是我们经常遇到 的几何图形，在实际生活中也有着广泛的应用， 第九章主要内容是对直线的相关知识的深化、再 认识、在理解，是在学习了一次函数图像、三角 函数的基础上展开的，而直线的倾斜角与斜率是 后继内容展开的主线，无论是对两直线的位置关 系的判定，还是对线性规划的学习都起着关键性 作用。
②.让学生体验数学活动充满着探索与创造， 培养学生勤于思考，勇于探索的精神；
《6.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块下册
《直线的点斜式方程与斜截式方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是让学生通过实际操作，掌握直线的点斜式方程与斜截式方程的基本概念，理解并能够应用这两种方程进行直线表达，进一步培养数学运算和解决问题的能力。
二、作业内容本课时作业内容主要围绕直线的点斜式方程展开。
1. 理论学习：学生需复习直线的基本性质，理解点斜式方程的由来和意义，掌握其基本形式。
2. 实例解析：提供几个具体问题，要求学生利用点斜式方程解决实际问题，如已知直线上一点和斜率求方程等。
3. 练习巩固：学生需自行编写几个点斜式方程的练习题，并尝试解答，加深对点斜式方程的理解。
4. 拓展应用：引入斜截式方程的概念，让学生了解两种方程之间的联系与区别，并尝试用斜截式方程表示直线。
三、作业要求1. 认真审题：学生在解答问题时，应仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案错误。
2. 规范书写：学生在书写答案时，应按照数学书写规范进行，步骤清晰，逻辑严谨。
3. 独立思考：鼓励学生独立思考，独立完成作业，不依赖他人答案。
对于有困难的问题，可先自行思考，再寻求帮助。
4. 及时反馈：学生需在规定时间内完成作业，并按时提交，以便教师及时进行作业评价和反馈。
四、作业评价1. 评价标准：评价主要依据学生作业的准确性、规范性、创新性以及完成度等方面进行。
2. 评价方式：教师将对学生的作业进行批改，给出详细的批注和评分，同时鼓励学生之间进行互评。
3. 反馈机制：教师将根据学生作业情况，给出针对性的反馈和建议，帮助学生改进学习方法，提高学习效果。
五、作业反馈1. 对于普遍存在的问题，教师将在课堂上进行讲解和纠正。
2. 对于个别学生的问题，教师将通过个别辅导或线上答疑的方式，给予指导和帮助。
3. 教师将根据学生作业情况，调整教学计划，优化教学方法，以更好地满足学生的学习需求。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本次作业设计的目标是通过点斜式和斜截式方程的实践运用，巩固学生对于直线的两种基本表达方式的掌握。
直线的点斜式方程和两点式方程
应用场景的比较
总结词
两种方程各有适用的场景。
VS
详细描述
点斜式适用于只知道直线上一点和斜率的 情况，而两点式适用于知道直线上的两个 点的情况。在实际应用中，需要根据具体 条件选择合适的方程形式。
优缺点的比较
总结词
点斜式和两点式各有优缺点。
详细描述
点斜式的优点在于只需要知道一个点和斜率 就可以得出方程，计算简便。但缺点是当直 线与y轴平行时，无法使用点斜式表示。两 点式的优点在于只要知道两个点就可以得出 方程，适用范围更广。但缺点是需要更多的 信息来确定直线方程。
解决与直线相关的
问题
利用点斜式方程可以解决与直线 相关的问题，如求直线上的点、 判断直线是否相交等。
简化直线方程
在一些情况下，使用点斜式方程 可以更方便地表示直线方程，特 别是在已知直线上一点和斜率的 情况下。
02
直线的两点式方程
两点式的定义
两点式方程
通过直线上的两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，可以确 定一条直线的方程。两点式方 程为$frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。
04
直线方程在实际问题中 的应用
解析几何问题中的应用
解析几何是数学的一个重要分支，它通过代数方法研究几何对象之间的关系。直线方程作为解析几何 的基本元素，在解决解析几何问题中发挥着重要作用。例如，在解决平面几何问题时，可以使用直线 的点斜式方程和两点式方程来确定直线的位置和性质。
在解析几何中，直线的点斜式方程和两点式方程可以用来解决直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置 关系问题，以及直线的交点、切线等问题。这些问题的解决有助于深入理解几何图形的性质和关系， 为解决更复杂的几何问题提供基础。
中职数学..直线的斜率与点斜式方程ppt课件
求直线 l 的方程. 解：由直线的点斜式方程得
y - y0 = k ( x - x0 )
y-2=-2(x -1)
于是所求直线 l 的方程为
2x+y-4=0
巩固练习
用点斜式写出满足下列条件的直线方程. 1、过坐标原点，斜率为2;
2x - y = 0
2、过点（0,2），斜率为-2.
2x + y - 2 = 0
思考： v1≠0，v11→v
→v .
v1≠0，v11 (v1,v2) = （1，vv21） = (1，k) .
结论：如果已知直线的斜率为k ，则（1，k）是这 条直线的一个方向向量。
→v =(1，k)
课堂竞技场
已知直线的斜率k，求其方向向量
→v =(1，k )
1、k =3 v =(1,3） 2、k =0 v =(1,0） 3、k =1 v =(1,1） 4、k = - 2 v =（1,-2)
求直线 l 的方程. 解：由直线的斜率公式得
k = tan60°=
3
由直线的点斜式方程得
y–2 = 3 (x– 1 )
于是所求直线l的方程为
3 x– y + 2 - 3 = 0
课堂小结
1、求直线的斜率，一般有三种情况：
（1）k =
v2 v1
（2）k =
y2-y1 x2-x1
（3）k = tan
( v1≠0 ) ( x2-x10≠)
l1
l2
x
继续挖掘 倾斜角的范围:
0≤ <180
倾斜角与斜率的关系:
k =tan (≠ 90)
当 = 90 时 ，斜 率 不 存 在.
你问我答
已知直线的倾斜角求其斜率.
【全文】直线的点斜式方程-完整PPT课件
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4). 解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y －4＝－[x－(－1)].
2.经过点(－1，1)，且斜率是直线 y＝ 22x－2 的斜率的 2 倍的直线方程是( )
A.x＝－1
B.y＝1
C.y－1＝ 2(x＋1) D.y－1＝2 2(x＋1)
解析 由题意知所求直线斜率为 2，故由点斜式知所求直线方程为 y－1＝ 2(x＋1).
答案 C
3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________， 倾斜角为________，在y轴上的截距为________. 答案 1 45° 0
(2)由 4(2a－1)＝－1，解得 a＝38.故当 a＝38时，l1⊥l2.
角度2 直线过定点问题 【例3－2】 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2，3). 由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限. 法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
【训练2】 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝ 3，∴所求直线的斜截式方程为 y＝ 3x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2). ∴k＝－02－－40＝12，∴所求直线的斜截式方程为 y＝12x－2.
直线的斜率与点斜式方程
整理得直线的方程为 x 2y 1 0
例3：求过点P（-3，1），且倾斜角为 600
的直线方程。
解：直线的斜率为 k tan 600 3
由点斜式方程 y 1 3(x 3)
化简得 3x y 3 3 1 0
练习:1。求经过两点 A(0,0), B(1, 3) 的直线的斜率和倾斜角.
k 3, 120 0
2。求过点P（5，3），且平行于向量 的直线方程。
v (2,1)
x 2y 11 0
小结：在利用点斜式求直线方程时，都涉及到求直线的斜率，一般有三种情况：
v
（1）已知直线的方向向量，利用
k 2 v
求直线的斜率k
1
k tan (2)已知直线的倾斜角 ，利用
k
v 2
tan
v
1
（5）
由斜率的定义可知，当 v平行于y轴时，L的斜率k不存在。
L P
y
P0
v2
如果知道与一条直线平行的向量（不平行于y轴）， 就可根据（5）式求出这条直线的斜率。
0 v1
x
如果知道直线上的两点 A(x , y ), B(x , y )
则向量
v
AB(或 BA)
yy v
0
2
xx v
0
1
令
v k 2
v
1
则
y y0 k(x x0 )
(3) (4)
L P
y
P0
v2
0 v1
x
(4)式称为直线L的点斜式方程.k叫做直线L的斜率
设直线L向上的方向与x轴正方向所成的最小角为 ，则 叫做直线L的
直线的点斜式方程
2．过点 P(－2,0)，斜率为 3 的直线方程是( A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
【答案】 D
)
9 3．已知直线 l 的方程为 y＝ x－9，则 l 在 y 轴上的截距 4 为( ) A．9 B．－9 4 C．－4 D．－ 9
【答案】 B
3 4．斜率与直线 y＝ x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线 2 的点斜式方程是________． 3 【答案】 y－3＝ (x＋4) 2 5．已知直线 l 的斜率为－ 3，在 x 轴上的截距为－2， 则直线 l 的斜截式方程为________．
1 当 2k－1≠0 时，把直线方程化为点斜式得 y＝－ x 2k－1 6 － .6 分 2k－1 ∵直线不过第一象限， 1 1 ∴－ ＜0 解得 k＞ .8 分 2 2k－1 1 综上所述，k 的取值范围[ ，＋∞).10 分 2
阅卷点评：当直线的斜率不存在时，直线方程不能用点 斜式表示，因此方程变形时要注意直线的斜率是否存在，分 类讨论进行求解，避免造成丢解.
【解】 (1)∵直线过点 P(－4,3)，斜率 k＝－3， 由直线方程的点斜式得直线方程为 y－3＝－3(x＋4)，即 3x＋y＋9＝0. (2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k＝0，由直线方程的点斜 式可得直线方程为 y－(－4)＝0×(x－3)，即 y＝－4. (3)与 y 轴平行的直线，其斜率 k 不存在，不能用点斜式 方程表示，但直线上点的横坐标均为 5，故直线方程为 x＝5.
2．直线方程的斜截式与一次函数式的区别与联系 直线方程的斜截式 y＝kx＋b 与一次函数式 y＝kx＋ b(k≠0)形式相近，但又有区别，斜截式中，当 k≠0 时，y＝ kx＋b 即为一次函数；当 k＝0 时，y＝b 不是一次函数，而一 次函数 y＝kx＋b(k≠0)，一定可看成一条直线的斜截式方程.
直线方程的点斜式斜截式ppt课件
注意：不能用点斜式
O
x
8
例：过点A(3,2)，且平行于x轴的直线方程是: y=2
过点A(3,2)，且平行于y轴的直线方程是: x=3
9
例３：求过点A（1，2)且与两坐标轴组成一等腰直角三角形 的直线方程。
解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形
k 1 又直线过点（1，2） 把点和斜率代入点斜式方程得：
18
(x
x0 )
• P0 (x0 , y 0 )
O
x
y y0 k(x x0 )
这个方程由直线上一点和直线的斜率确定的 所以叫直线方程的点斜式
4
例１：已知直线经过点Ｐ（-２，３），斜率为 ２，求这条直线的方程。
解：由直线的点斜式方程，得：
y 3 2(x 2)
即： 2x y 7 0
练习：已知直线经过点Ｐ（4，-1），斜率为 -3，求这条直线的方程。
x2 x1
x1 x2
2
已知直线经过点 A(0,2), B( 3,5) 则直线斜率是( 3 )
倾斜角是( 120o )
3
如图：直线l经过点P。（x。，y。），且斜率 为k，求l的方程。
设点P（x,y）是l上不同于Po的任意点
y
根据经过两点的直线斜率公式：
• P(x, y)
k
y y0 x x0
即
y = k x + b 。 (2)
我们把直线L与y轴的交点的纵坐标b叫做直线的纵截距， 方程﹙２﹚由直线的斜率Ｋ与它的纵截距b确定，所以 方程﹙２﹚叫做直线的斜截式方程。
12
例：
斜率为-2，纵截距为5的直线方程是：
y 2x 5
若直线方程为 y 3x 5
则该直线的斜率是 3 纵截距是 5
点斜式解法
点斜式解法一、什么是点斜式呢？嘿嘿，点斜式啊，就像是数学世界里的一个小魔法呢。
简单来说，点斜式是直线方程的一种表示形式。
假如我们知道直线上的一个点的坐标，就比如说点$(x_1,y_1)$，然后又知道这条直线的斜率是$k$，那这条直线的方程就可以用点斜式来表示啦，那就是$y - y_1 = k(x - x_1)$。
这就像是我们有了一个起点，又知道了前进的方向（斜率），那这条直线就被我们轻松地确定下来啦。
二、点斜式的解法步骤1. 首先得找到那个关键的点和斜率哦。
比如说给了我们一个点是$(3,5)$，斜率是2。
那我们就可以直接把这些值代入点斜式方程啦。
这里的$x_1 = 3$，$y_1 = 5$，$k = 2$。
2. 然后把这些值代入方程$y - y_1 = k(x - x_1)$，就得到$y - 5 = 2(x - 3)$。
3. 接着呢，如果想要把这个方程化为一般式，那就展开括号，$y - 5 = 2x - 6$，再移项，就变成$2x - y - 6 + 5 = 0$，也就是$2x - y - 1 = 0$。
三、点斜式在实际中的应用1. 在几何问题里，如果我们要确定三角形的某条边所在的直线方程，要是知道了这条边上的一个点和这条边的倾斜程度（斜率），那点斜式就超级有用啦。
比如说一个直角三角形，我们知道斜边的一个端点坐标和斜边的斜率，就能用点斜式求出斜边所在的直线方程呢。
2. 在物理的运动学里，如果把物体的运动轨迹看成直线，知道了某一时刻物体的位置（可以看成一个点），又知道了物体运动的速度方向（可以理解为斜率），也可以用点斜式来表示物体运动的轨迹方程哦。
就像是一个小滑块在斜面上滑动，我们知道它某一时刻的位置和它滑动的方向，就能用点斜式来描述它的运动轨迹啦。
四、点斜式的一些小技巧1. 当斜率不存在的时候，点斜式就不能直接用啦。
因为斜率不存在的时候直线是垂直于$x$轴的，这时候直线方程就是$x = x_1$。
直线的倾斜角和斜率直线方程的点斜式直线方程的斜截式
直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式一. 教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1. 直线的方程和方程的直线： 定义：（1）以一个方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在直线l 上。
（2）直线l 上的点的坐标都是方程f （x ，y ）＝0的解。
满足（1）（2）的方程f （x ，y ）＝0是直线l 的方程，同时称直线l 为方程f （x ，y ）＝0的直线。
2. 直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。
规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°。
范围：0°≤α＜180° 注意：（1）定义分两部分：一部分是与x 轴相交，另一部分与x 轴平行。
（2）与x 轴相交的定义中，应理解三个地方：①x 轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。
（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。
（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。
3. 直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。
符号：常用k 表示，即k ＝tan α。
注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。
（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2απαππ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪∈022[)调区间。
（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。
4. 过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l 过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），倾斜角为α，求斜率k 。
yx O α α P 1 P 2yx Oα α P 1 P 2PyxO α α P 2 P 1yx Oα P 2 P 1P()作或，则，OP P P P P P x x y y →=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=--→→12211212∴=--=--t a n αy y x x y y x x 12122121即：k y y x x y y x x =--=--12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。
直线方程的点斜式
理解运用B组
1、 求倾斜角是直线y=2x-3的倾斜角的2倍， 且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点(-1,4)
（2）在y轴上的截距为-5
2、一条光线从M(5,3)射出，与轴正方向所成 角为60°，遇到x轴后反射
• 2、已知直线L经过点P1(x1,y1)且直线的斜率为k， 如何求直线L的方程？（即直线L上任意一点P （x,y）的坐标满足的关系）
P1（x1,y1)
P(x,y)
•
y - y1= k ( x - x1 ) 其中x1，y1为直线上一点坐标， k为直线的斜率。
自己的力量（多指做力不能及的事情）。程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人｜别人一天干的活儿，【唱酬】ｃｈàｎɡｃｈóｕ〈书〉动唱和（ｈè）？～ 尽染。②〈方〉不肯拿出全副精力或不肯尽自己的力量做事情：～耍滑。【臣子】ｃｈéｎｚǐ名臣。 【勃豀】ｂóｘī〈书〉同“勃谿”。 我们附议。 这 种连接方法叫并联。 ３）丿， ②收回（发出去的文件等）：～提案。 ③动搜集：～风｜～矿样。禁止通行；没有意识到：玩得高兴，②用投标方式出卖
热烈欢迎各位老师的光临指导
数学是思维的体操 数学是磨砺的底石
复习提问
• 1、直线的斜率定义是什么？ • 2、直线的斜率公式是什么？ • 3、什么是直线的方程，方程的直线？如
何探求直线的方程？
问题探究
• 1、过已知点P1(x1,y1)的直线有多少条？过已知 点P1(x1,y1) ,斜率为k的直线L有多少条？由此你 可得出什么结论？
变式2:已知直线L经过点（1，2） 且与x轴、y轴 正半轴于A、B两点，当三角形OA的面积最小时 直线L的方程。
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诱思探究
(1)由不同的两点P1（x1,y1),P2（x2,y2) 能确定一条直线吗？
能
（2）由P1，P2能写出直线的一个方向
向量吗？若能，请写出方向向量.
y
P2
P1
o
x
能 P1P2 = ( x2-x1 , y2-y1 )
(3)如果 x2-x10≠，直线的斜率能确定吗？若能，请写出斜率.
能
k=
y2-y1 x2-x1
巩固练习
已知直线l 过点 A（1,2），且倾斜角是 60° ，
求直线 l 的方程. 解：由直线的斜率公式得
k = tan60°=
3
由直线的点斜式方程得
y – 2 = 3( x – 1 )
于是所求直线l的方程为
3 x– y + 2 - 3 = 0
课堂小结
1、求直线的斜率，一般有三种情况：
（1）k =
课堂竞技场
已知直线的方向向量求其斜率
k = vv21( v1≠0)
1、v =(2,2） k=1 3、 v =(-2,6） k= - 3
2、v = (3,0） k=0
4、→v = (0,1) k不存在
继续挖掘
已知直线 l 的斜率为 k ，方向向量是→v =(v1,v2) 如何
用 k 表示它的另一个方向向量呢？
则y点-向式y0方=程：k ( x - x0 )
点斜式方v 程=(1,k)
P（x0,y0）
O
x
v2 ( x - x0 ) - v1 ( y - y0 ) = 0
2、已知直线的斜率k，则方向向量是多少？
→v =(1，kk)
3、如何利用点向式方程求直线方程？
k ( x - x0 ) - 1·( y - y0 ) = 0
思考： v1≠0，v11→v
→v .
v1≠0，v11 (v1,v2) = （1，vv21） = (1，k) .
结论：如果已知直线的斜率为k ，则（1，k）是这 条直线的一个方向向量。
→v =(1，k)
课堂竞技场
已知直线的斜率k，求其方向向量
→v =(1，k )
1、k =3 v =(1,3） 2、k =0 v =(1,0） 3、k =1 v =(1,1） 4、k = - 2 v =（1,-2)
l1
l2
x
继续挖掘 倾斜角的范围:
0≤ <180
倾斜角与斜率的关系:
k =tan (≠ 90)
当 = 90 时 ，斜 率 不 存 在.
你问我答
已知直线的倾斜角求其斜率.
k =tan (≠90)
1、 = 0° k = 0
2、 = 30° k =
3 3
3、 = 45° k = 1
2、过点（0,2），斜率为-2.
2x + y - 2 = 0
例题讲解
例2 已知直线l 过点 A（0,3），且倾斜角是45 ，
求直线 l 的方程.
k =tan (≠90)
解：由直线的斜率公式得
k = tan 45°= 1
由直线的点斜式方程得 y–3 =1(x–0)
于是所求直线 l 的方程为 x–y+3 =0
例题讲解
例1 已知直线 l 过点A（1 , 2），且斜率为 - 2，
求直线 l 的方程. 解：由直线的点斜式方程得
y - y0 = k ( x - x0 )
y-2=-2(x -1)
于是所求直线 l 的方程为
2x+y-4=0
巩固练习
用点斜式写出满足下列条件的直线方程. 1、过坐标原点，斜率为2;
2x - y = 0
(
x2-x01≠)
当 x2-
课堂竞技场
经过下列两点的直线的斜率
k=
y2-y1 ( x2-x1
x2-x01≠)
是否存在？如果存在求斜率.
（1）（1，-1）,（-3,2） （2）（1，-2）,(5，-2） （3）（3,4）,（3, -1） （4）（3,0）,（0， 3 ）
4、 = 60° k = 3
5、 = 90° k 不存在
6、 = 120° k = - 3
7、 = 135° k = -1
8、 = 150° k = -
3 3
建构知识
观察思考：已知直线 l 经过点P（x0 , y0 ），y
l
其斜率是k，求直线 l 的方程。 1、已知→v =(v1，v2)，点 P（x0 , y0），
2、一条直线有几个方向向量？它们之间平行吗？
无数个 互相平行
y v
o
l x
建构知识
直线的斜率定义：
如果→v =(v1,v2) 是直线 l 的一个方向向量，且 v1≠0，
那么
v2 v1
就叫做直线 l 的斜率，通常用 k 表示.
yl
k=
v2 v1
( v1≠0)
v =(v1,v2)
o
x
当v1=0时，直线l 的斜率不存在，此时直线l 与x轴垂直。
v2 v1
（2）k =
y2-y1 x2-x1
（3）k = tan
( v1≠0 ) ( x2-x10≠)
（ ≠ 90°）
2、直线的点斜式方程.
y - y0 = k ( x - x0 )
课后作业
必做 教材 P 84 3 、4
选做
斜率为2的直线 过点（3，5）， （a,7）,(-1,b)三 点，求a，b的值？
9.1.2直线的斜率与点斜式方程
情景引入
学习目标、重难点
1、掌握直线斜率 的概念并理解它与 方向向量的关系; 2、掌握求直线斜 率的三个公式; 3、能根据条件熟 练地求直线点斜式 方程.
直线斜率的 公式和点斜式 方程.
能根据条件 求直线斜率.
复习回顾
1、什么是直线的方向向量？ 与一条直线平行的非零向量，用 v 表示
k=- 3
4
k= 0
k 不存在
k= -
3
3
建构知识
直线的倾斜角定义:
我们把一条直线l 向上的方向与 x 轴正方向所成的最小
正角 ,叫做直线l 的倾斜角．
y
l
O
x
直线向上的方向 x 轴正方向 最小正角
继续挖掘
思考：l1与l2的倾斜角各是多少？ y
规定：
O
当直线l 和x 轴平行或重合时，
倾斜角 = 0 ．