2012集训队讲座-动态规划

最大子串和
题目大意： 给出一个整数串a，a[i]表示其中的第i个整数，
a[i]有正有负，求其中一个连续子串，使得该子串 的和最大。
状态表示： f[i]表示以第i个整数结尾的子串所能得到的最
大和。 状态转移方程：
f[i]=max{f[i-1]+a[i] , a[i]}
最长上升子序列
题目大意： 给出一个整数串a，a[i]表示其中的第i个整数，
f[i.left][1]+f[i.right][0] }
双串匹配模型
双串匹配模型往往关心两个串的公共模本，两个串 的相似程度，两个串通过怎样的删除和变换能达到 一致等等。
例题：
最长公共子序列（LCS）
最长公共子序列
题目大意：
给定两个串S1和S2，求两个串的最长公共子 序列。
状态表示：
f[i][j]表示第一个串的前i项和第二个串的前j项 的最长公共子序列的长度。
最长上升子序列
状态表示： f[i]表示以第i个数为结尾的子序列的最大长度。
状态转移方程： f[i]=max{f[j]+1,f[i]}(0<=j<i && a[j]<a[i])
矩阵连乘
题目大意： 给出一个矩Hale Waihona Puke Baidu的连乘序列，由于矩阵乘法具有
结合性，所以希望找出一种计算顺序，使得计算时 进行的乘法操作最少。
致的分类：
线性（一维/串、环）模型 双（多）串匹配模型 树状模型 基于数值的模型 基于状态压缩的模型 其它
线性模型
一个序列、一串数字或者是一个字符串等等 对于“环”，我们可以将其展开形成“非环”，通
常可以待操作的串复制一遍接在后面，形成双倍长 度的串来表示原先的环。 例题：
最大子串和 最长上升子序列（LIS） 矩阵连乘
的求其中最长的一个子序列，使得该子序列是递增 的。
子序列的定义： 设a的长度为n，对于一个长度为m（m<=n） 的串b，对于任意i(0<i<m-1)有0<b[i]<n，且 b[i]<b[i+1]。 则a[b[0]],a[b[1]],……,a[b[m]]，是a的一个子序 列。简单来说子序列就是元素可不连续的子串。
f[i][j]表示第i个矩阵到第j个矩阵按一定的次序 相乘，最后得到一个矩阵所需要的最少乘法次数。
矩阵连乘
状态转移方程： 枚举分割点k，将区间[i,j]分割为[i,k]和[k+1,j]两
个部分，即两个子问题，当两个部分分别以最优方 式得到两个矩阵后，再将这两个矩阵相乘。
f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1]} (i<=k<j)
假设给定矩阵为A,B,C,它们的规模分别为x×y， y×z，z×t，则：
计算(AB)C需要x×y×z+x×z×t次乘法； 计算A(BC)需要x×y×t+y×z×t次乘法。
矩阵连乘
状态表示： 由于矩阵A×B能相乘，必定A的列数等于B的
行数，故用长度为n+1的整数序列p表示n个矩阵， 第i个矩阵的规模为p[i]×p[i+1]。
动态规划的基本概念
动态规划用于解决多阶段决策过程的最优化问题。 将问题划分为若干个相互联系的阶段，每个阶段有
一定的状态，并且可以通过一定的决策达到下一阶 段的某个状态。 一般来说，决策的过程通过状态转移方程来体现。
动态规划的基本概念
最优子结构性质 对于一个最优化策略问题，不论过去状态和决
每个节点可以被染成红色、绿色或蓝色。并且，一 个节点与其子节点的颜色必须不同，如果该节点有 两个子节点，那么这两个子节点的颜色也必须不相 同。给定一棵二叉树的二叉树序列，请求出这棵树 中最多和最少有多少个点能够被染成绿色。
三色二叉树
状态表示： 由于本题的问题背景既是建立在一棵二叉树上，
所以我们就先通过输入的二叉树序列建立一棵二叉 树。再以树的结点来表示状态，由于本题还要记录 结点的颜色信息，所以给结点再增加一维用作表示 颜色，但是由于本题所求的目标只和绿色有关，所 以红色和蓝色本质上是一样的，直接用非绿色表示。 那么：
策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的 诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化 策略问题的子问题总是最优的。 无后效性
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某 个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接 影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。
动态规划的模型分类
其实，动态规划没有固定的模型或分类可言！ 以下只是根据以往的竞赛试题的一些相似性进行大
状态转移方程：
f[i-1][j-1]+1
, S1[i]==S2[j]
f[i][j]= max{f[i-1][j],f[i][j-1]} , S1[i]!=S2[j]
树状模型
问题的模型具有树形结构，那么它就有天然的适用 于划分的子结构：子树。
无论是有根树还是无根树，我们总是把树建立起来， 然后以r为根来考虑问题和书写程序。
例题：
三色二叉树（FOJ 1022） 洞穴照明（FOJ 2083）
三色二叉树
题目大意： 一棵二叉树可以按照如下规则表示成一个由0、
1、2组成的字符序列，我们称之为“二叉树序列S”：
例如，下图所表示的二叉树可以用二叉树序列 S=21200110来表示。
三色二叉树
题目大意： 你的任务是要对一棵二叉树的节点进行染色。
动态规划
2012年7月9日
引言
动态规划（dynamic programming）是在上个世纪 50年代提出的一种用于多阶段决策的方法。它是运 筹学的一个分支。
动态规划因其高效性被广泛应用在管理、调度和最 优化决策中。
根据现有资料，从上个世纪90年代初开始，信息学 竞赛就出现了使用动态规划思想来解决题目的先例， 并自此长盛不衰。
f[i][0]表示结点i染了绿色的情况下，以i为根的 子树所能得到的最多绿色结点的数量。
f[i][1]表示结点i没染绿色的情况下的最多数量。
三色二叉树
状态转移方程： 当结点i被染成绿色后，其左右儿子都不能染成
绿色，而当结点i被染成非绿色后，其左右儿子中 可有一个被染成绿色，那么：
f[i][0]=f[i.left][1]+f[i.right][1]+1; f[i][1]=max{ f[i.left][0]+f[i.right][1] ,