2015年中科大软院组合数学期末考试试卷与解析
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
中国科学技术大学期末考试试卷
一、填空题1．常用的并行算法设计的基本技术有_______ _________，___________________，_______________________，____________ ______，_____________________，_______________________等。
2．常见的并行计算模型有____________ ______，_____________________，_______________________，____________ ______等。
3．PCAM设计过程分为_________，__________，_________ 和_________四步。
4．常见的并行程序设计模型包括__ ___________，__ _____________，______________________，______________________等。
二、问答题1．请简述从上个世纪80年代至今，主流并行计算机体系结构的变化趋势。
2．基于蝶式计算原理的FFT在二维mesh连接和蝶式网络连接的处理器上均可并行实现。
（1）请问哪种实现效率较好？并给出原因。
（2）蝶式网络连接的处理器在实际的并行计算机系统并不常见，这是否会影响FFT在蝶式网络连接上的并行实现在实际中的使用？为什么？3．基本的开关技术有哪两种？各具有什么特点？三、阅读题1．阅读以下新闻报道，回答问题。
2004 年6月29日国家科技部今日在人民大会堂宣布：“863计划重点项目——曙光4000A通过鉴定验收，曙光4000A实现了对每秒10万亿次运算速度的技术和应用的双跨越，成为国内计算能力最强的商品化超级计算机”。
在今年6月22日刚刚公布的全球高性能计算机TOP500排行榜中，曙光4000A以每秒11万亿次的峰值速度和80610亿次Linpack计算值位列全球第十，这是中国超级计算机得到国际同行认可的最好成绩。
中国科学技术大学考试试卷集(二)
三、证明Hausdorff-Young不等式：f 2 Lp; 1 Ä p Ä 2; p0为p的对偶指标，则kfOkp0 Ä kf kp.
四、考虑仿射群.R2C; / WD f.b; a/ W b 2 R; a > 0g赋予运算.b1; a1/ .b2; a2/ D .b1 C a1b2; a1a2/.
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中科大2016 年复分析（H）期中试题
1、（24 分）计算下列积分。
（1）
∫ |dz|
|z|=2 z − 1
（2）
∫ dz
|z|=2 (z − 3)2(z4 − 1)
（3）
∫ +∞
ex 2
−∞ 1 + ex dx
2、（40 分）判断下列说法是否正确，说明理由。
（1）全纯函数一定有原函数；
（2）调和函数 log|z| 没有共轭调和函数；
2、（2 分）设 f (z) = z−1(1 − z)3(1 + z)−1，求 f (z) 在扩充的复平面上的所有支点，并求 f (z) 在 [0, 1] 上岸取正值的单值分支在点 z = i 的值。
3、（2 分）
叙述有界单连通区域的柯西定理，并对三角形区域给出详细证明。
4、（2 分）计算题
（1）计算留数
（4）设 f 为整函数且 Re(f ) < 0，则 f 为常数；
（5）设 f 为增长阶数有限的整函数，如果存在复数 a, b，使得对任意的 z ∈ C，都有 f (z) ̸= a，
f (z) ̸= b，则 f 为常数；
2、（20 分）计算下列积分。
（1）
∫ +∞ cosx −∞ a2 + x2 dx, where a > 0;
2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题 解析版
一，填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中圆素地个数为_______.【结果】5【思路】试题思路：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据地平均数为________.【结果】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）,则z 地模为_______.【思路】试题思路：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数地模,可知输出地结果S 为________.【结果】7【思路】试题思路：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环,输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状，大小都相同地4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同地概率为________.【结果】5.6（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -地值为______.【结果】3-【思路】试题思路：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等7.不等式224x x-<地解集为________.【结果】(1,2).-【思路】试题思路：由题意得：2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点：解指数不等式与一圆二次不等式8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β地值为_______.【结果】3【思路】试题思路：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作地底面半径为5,高为4地圆锥和底面半径为2，高为8地圆柱各一个。
中科大组合数学试卷
2011年1月13日组合数学1、有n 个正整数组成序列12:,,...,n S x x x ，求证：该序列中一定存在连续的一段 1:,...,(1)i j S x x i j n ≤<≤，使得该子序列的和能够被n 整除：|jk k i n x =∑2、写出如下等式的组合含义：1011...k k k k n n C C C C +++++=3、 A 、B 两个玩家轮流拿n 个硬币，每人每次可以拿1个或2个。
问：第一次和最后一次都是A 拿的方案书是多少？4、 求满足如下方程正的解的个数：123418x x x x +++=，其中，18i x ≤≤，*i x Z ∈5、 求（1）n 位十进制整数中不出现1或2或3的个数（2）直线x+ky=n 在第一象限与坐标轴围出的区域中覆盖的整数点的个数（在线上和坐标轴上的点也包括在内）6、 A 、B 两种球各2个放在2个盒子中，问在如下两种情况下各有杜少中放法？（1）2个盒子不同（2）2个盒子相同7、 在一条直线上放N 个k 中颜色的球，问在如下两种情况下放球的方案数：（1）颜色数最多k 种（2）颜色数恰等于k 2012-2013年第一学期一、（10分）设12100,,...,a a a 是由数字1和2组成的序列，已知从任一数开始的顺序10个数的和不超过16，即19...16,191i i i a a a i +++++≤≤≤，则存在h 和k ，k > h ，使得1...39h k a a +++=二、（12分）（1）是否存在参数为b=12,k=4,v=16,r=3的BIBD ？（2）设样品是44⨯棋盘上的16个方格，定义区组如下：对于每个给定的方格，取与其在同一行或同一列的6个方格（但不包括该方格本身）。
因此棋盘上的16个方格中的每个方格都以这种方式确定一个区组。
证明折是一个BIBD 。
三、（16分）令{1,2,...,1},2S n n =+≥，{(,,)|,,,,}T x y z x y z s x z y z =∈<<，证明：（1）21||n k T k==∑（2）11||223n n T ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、（16分）设长为n 个三元序列（即用0,1,2组成序列）中1与2的个数之和为奇数的序列个数为n a 。
组合数学考试题附答案2
组合数学试题 共 4 页 ，第 1 页电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时）课程名称 组合数学 教师 卢光辉，张先迪 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2006 年 12 月 2 日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题（每空2分，共22分）1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ；（3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
（4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。
2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式R (C ) =3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则(1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为 ；求和后的母函数为 。
(2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为 ；求和后的母函数为 。
4．（1） 将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
学 号 姓 名 学 院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………图1题……………无效…组合数学试题 共 4 页 ，第 2 页（2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。
（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25）二、（14 分） 给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。
中科大数学分析历年期末考试卷
:
(3)
2
1
大学生数学竞赛及考研：122307834
7.
15
a, b ax, −π < x < 0; bx, 0 ≤ x < π.
f (x) =
(1) (2)
f (x) f (x) (a)
Fourier Fourier
∞ ∑ (−1)n , 2 n + 1 n=0
(b)
∞ ∑ n=0
0 0
π 2 π 2
n=1 n = 1.
3.
x = sin t. ∫ 1 √ ∫ 2 2 x 1 − x dx = 2
−1
1
x
π 2
2
sin2 t cos2 t dt
1 = 2 4. ∫
0 +∞ √
∫
0
0
1 sin 2t dt = 4
2
1 (1 − cos 4t) dt = . 8 ∫ +
e dt − x
n+1
n→+∞ n
sin x dx x
n→+∞ 0
e x dx
x n
n→∞
lim
1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n
)
n→∞
lim ∫
n! n ( 5 ) 2. ∫ 1− x2 dx (x + y )dx + xdy = 0.
∞ ∑ (√ n=1
√
1
∫
x ln x dx
3.
ex xn ≤ exn , x ∈ [0, 1],
n→∞ 0
∫1 e 0 ≤ 0 ex xn dx ≤ n+1 . ∫ 1 lim ex xn dx = 0.
2015GCT真题及参考答案(数学)
2015年GCT 数学真题详细解析（数学应试专家：孙华明提供） （25小题，每小题4分，满分100分）A1．已知实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2－2x ＋4y －6z ＋14＝0，则x ＋y ＋z ＝（ ）。
A ．2 B ．3C ．4D ．5解析：非负数经典考法，100%压中，()()()22212301,2,3x y z x y z -+++-=⇒==-=，所以和为2，选D 。
B2．右图是由四张全等的直角三角形纸片与一张正方形纸片拼成的图形，已知直角三角形的两条直角边长度的和等于9厘米，则该图形的面积是（ ）平方厘米。
A ．72 B ．81 C ．90 D ．99解析:设直角三角形的边长为a 和b ，那么该图形的面积就是()22281S ab a b =+=+=，本题与核心预测200题完全相似，100%命中。
C3．若实数a ，b ，c 两两不相等，则三个数---，，---a b b c c ab c c a a b中负数的个数是（ ）。
A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：只需要取a=0,b=1,c=2，代入得负数的个数就是2个，特殊值法，押题班100%强调过。
选B 。
B4．如图，某公园有两段路AB ，BC ，AB ＝175米，BC ＝125米，要在这两段路旁设置路灯，要求在A ，B ，C 三点各设一盏，且相邻两盏路灯间的距离都是相同的整数米，则在这两段路上至少共需设置路灯（ ）盏。
A ．14 B ．13C ．12D ．11解析：只要找出175和125的最大公约数即可，就是25，典型植树问题，课堂100%压中。
至少可以植树（175+125）/25 +1=13,选C 。
A5．已知i 为虚单位21i z 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z 的实部为（ ）。
A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：复数运算，212112i i z i i +⎛⎫===- ⎪--⎝⎭，选D 、B6．如图，由单位正方形组成的4×5网格中，点A ，B ，C ，D 都是格点，若AB 与CD 相交于点P 则cos ∠BPD ＝（ ）。
中国科学技术大学数学科学学院2015(HUST版)
−
1
−
i) .
求 f 在 z0 = 1/2 处的 Taylor 级数的收敛半径.
1
3. 是否存在在开单位圆盘 U 内全纯的函数 f , 满足 | f (z)| = e|z|, ∀z ∈ U ?
面试问题
1. 什么是热传导方程? 写出它的解, 并在黑板上推算出来, 它的解有什么性质? 2. 柯西问题是什么? 3. 椭圆方程是什么? 4. 代数基本定理是什么? 在黑板上证明一下. 5. 有没有旁听量子力学的课? 6. 刘维尔定理是什么? 用刘维尔定理来证明代数基本定理. 另外一些同学的面试问题是求不定积分, 常微分方程等.
构的.
(
)
2. 设 V 为全体 2 阶对称复方阵构成的复线性空间, 设 A =
01 10
. 定义线性变换
A : V → V 使得 A(X) = AX + XA. 试求 A 的全部特征值以及相应的特征向量.
3. 考 虑 n 阶 对 称 方 阵 A, 其 元 素 由 整 数 组 成. 设 A 满 足 条 件 zAz′ > 0, 其 中 z = (z1, z2, · · · , zn) 为任意由 n 元非负整数组成的非零行向量, z′ 表示其转置. 试证明:
线性代数 (三选二)
1. 考虑实数域上的有限维线性空间 V, 以及 V 的两个线性子空间 U 和 W 满足 U ∩ W = 0.
任取 U 的补空间 U′, 即 V = U ⊕ U′. 定义投影映射 p : V → U′, p(v) = u′, 其中
v = u + u′ 使得 u ∈ U, u′ ∈ U′. 证明: 映射 p 是线性映射, 且线性空间 p(W) 与 W 是同
(1) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元非负实数组成的行向量; (2) 不等式 zAz′ ≥ 0 恒成立, 其中 z 为任意的由 n 元 (非零) 正实数组成的行向量.
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(全word可编辑版,全解全析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。
2015年上半年软件设计师考试真题(下午)
使用说明中的词语，给出图1-2中的数据存储D1〜D4的名称。
【问题3】（4分）
根据说明和图中词语，补充图1-2中缺失的数据流及其起点和终点
【问题4】（5分）
图1-2所示的数据流图中，功能（6）发送通知包含创建通知并发送给学生或老 师。请
分解图1-2中加工（6），将分解出的加工和数据流填入答题纸的对应栏内。 （注：数据流的起点和终点须使用加工的名称描述）
void accept(Library Visitor* visitor);
};
class Book:public LibraryItemInterface{private:
string m_title; //书名string m_author; //作者int m_pages; //页数
public:
（6）发送通知。根据成绩报告数据，创建通知数据并将通知发送给学生；根据成 绩单数据，创建通知数据并将通知发送给教师。
现采用结构化方法对考试系统进行分析与设计，获得如图1-1所示的上下文数据
流图和图1-2所示的0层数据流图。
图上下文敢据流圍
、/
圏1-20层毂溜流囹
【问题1】（2分）
使用说明中的词语，绘出图1-1中的实体E1〜E2的名称。
virtual void printSum()= 0;
};
class LibrarySumPrintVisitor:public LibraryVisitor{//打印总页数
private:
int sum; public:
LibrarySumPrintVisitor(); void visit(Book* p_book); void visit(Article*
2015全国II理解析.docx
2015年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学解析一、 选择题1. 解析 对于B 集合，由已知得，{}21B x x =-<<，由数轴可得{}1,0A B =-I . 故选A .评注 常规考题，比较容易.考查不等式解集和集合的交运算，注意A 集合中的元素是数，B 集合是数的范围，用数轴较直观.2. 解析 由复数的运算律将左边直接展开可得.因为24(4)i 4i a a +-=-， 所以240,44a a =-=-，解得0a =.故选B .评注 考察复数的基本运算及复数相等的概念，本题也可在等式两边乘以“i ”， 得2(2i)4a -=-快速求解.3. 解析 由柱形图可以看出，2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份是负相关关系，依题意，需选不正确的.故选D .评注 本题考查统计的基本知识，要注意读懂题意和图表，理解相关性有正相关和负相关. 4. 解析 由题意可设等比数列的公比为q ，则由13521a a a ++=得，2411121a a q a q ++=.又因为13a =，所以4260q q +-=.解得22q =或23q =-（舍去），所以()235713521242a a a a a a q ++=++=⨯=.故选B .评注 等差数列与等比数列的基本概念和性质是考查的重点.本题考查了等比数列的通项公式及一元二次方程的解法，注意最后一步要能将“357a a a ++”写成“222135a q a q a q ++”的形式，再提出“2q ”.5. 解析 由题意可得，2(2)1log 4123f -=+=+=.又由22log 12log 21>=， 故有2222212log log 121log 12log 2log 622(log 12)22226f --=====，所以有2(2)(log 12)369f f -+=+=.故选C .评注 本题是一个涉及指数、对数和分段函数的综合题，考察面很广，但运算难度不大， 需要考生熟知基本的概念、性质和运算.6. 解析 由三视图得，在正方体中，截去四面体，1111ABCD A B C D -111A A B D -如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选D .评注 三视图是新课标的增加内容，也是高考的必考知识，主要考察空间想象能力.本题在读懂题意基础上画图，然后进行体积的计算，难度不大. 7. 解析 由题意得321143AB k -==--， 27341CB k +==-，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC △为直角三角形，则外接圆的圆心为AC 的中点(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，则有2y =±，所以MN =C ．评注 直线、圆及距离是基本的命题点.该题几个知识点综合在一起考查学生应用基本知识解决问题的能力.要求中等，体现多想少算的思想.8. 解析 根据程序框图可知，在执行程序过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，到此有2a b ==，程序运行结束，输出a 的值为2，故选B ．评注 算法中的程序框图是高考必考内容，也是新课标的新增内容.在命题中，多以框图与其它知识综合，本题就是将古代数学中的“更相减损术”用程序框图来展现. 9. 解析 根据题意，可得图如右，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，则可设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOBV V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24π144πS R ==，故选C ．评注 立体几何中对球的考查是命题的热点，要求能根据题意和球的特殊性来找基本量.解答中抓住球心及半径，结合圆的特点，用球的体积及表面积来求解. 10. 解析 由已知可得，当P 点在BC 边上运动时，a 11133111326A A B D V a a -=⨯=3331566a a a -=51A C 1A即π04x 剟时，tan PA PB x +； 当P 点在CD 边上运动时，即π3π44x 剎?，π2x ≠时，PA PB +=；当π2x =时，PA PB +=；当P 点在AD 边上运动时，即3ππ4x 剎?时，tan PA PB x +=. 从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线π2x =对称，ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且轨迹非直线型，故由此知选B.评注 本题以几何图形为背景考查了函数图像的识别与作法，特别是体现了分类讨论和数形结合的思想.11. 解析 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，由2AB BM a ==，120ABM ︒∠=，则过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN △中，BN a =，MN =， 故点M的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程可得2222431,a a a b-=所以2222a b c a ==-，即有222c a =，所以ce a==D ． 评注 在圆锥曲线的考查中，双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质便可以求解.本题中要充分利用顶角为120︒的等腰三角形的性质来求解.12. 解析 由题意，设函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >. 综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ． 评注 本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明.二、 填空题13. 解析 根据向量平行的条件，因为向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()2=k λ++a b a b ，则有12,k k λ=⎧⎨=⎩，解得1212k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12λ=．评注 本题考查了平面向量平行的充要条件,内容单一，计算简单，知识也比较明确.在向量的考查中，平行与垂直、数量积是命题的热点.14. 解析 根据题意，画出可行域，如图所示，将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，当z 取到最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到点1(1,)2C 处，则z x y =+有最大值32．评注 线性规划的考查是历年考查的重点，主要体现了不等式组在生活中的应用,并融合了数形结合这一重要的数学思想方法.本题立意简单，能用通性通法直接求解，也可先求出交点，代入检验.15. 解析 由题意知，4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x 这五项，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．评注 二项式定理的考查主要体现在展开式的项及系数上.本题要注意是两项积，展开列举可求.x +2=016. 解析 根据题意，由数列的项与前n 项和关系得，11n n n a S S ++=-， 由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，由题意知，0n S ≠，则有1111n nS S +=--， 故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列， 则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 评注 数列的项与前n 项和之间存在着固定关系1n n n S S a --=.本题隐含0n S ≠，可用反证法说明.然后两边同除1n n S S +⋅即可得等差数列的形式，然后进一步求解. 三、 解答题17. 分析 （1）用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；（2）由（1）的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解.解析 （1）根据题意可得右图，由正弦定理得，1sin ,2ABD S AB AD BAD =⋅∠△ 1sin ,2ADCS AC AD CAD =⋅∠△又因为2ABD ADC S S =△△， ,BAD CAD ∠=∠ 所以得2AB AC =. 由正弦定理得sin 1sin 2B AC C AB ==. （2）由题意知，21ABD ADC S BD S DC ==△△，所以2BD DC =.又因为2DC =，所以BD =在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．故222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．即所求为BD =1AC =.评注 考查了解三角形的相关知识，应用了正弦定理和余弦定理.注意三角形面积的计算方法的应用.ACD B18. 分析（1）根据题意直接列出茎叶图，写出结论即可；（2）根据事件的互斥及独立，用列举法写出符合条件的事件个数，计算概率即可．解析 （1）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下.通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散. （2）记1A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；记2A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； 记1B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； 记2B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”.则可得1A C 与1B C 相互独立，2A C 与2B C 相互独立，1B C 与2B C 互斥， 则可得1122B A B A C C C C C =U ．所以1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由题意及所给数据可得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为1620，420，1020，820． 故可得1()A P C 16=20，2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．即C 的概率为0.48.评注 对数据的阅读、理解和分析是数学的一项重要任务.在解题中，关键在于对众多数据的理解分析，并用统计与概率的思想方法进行分析求解.19. 分析（1）根据题意要求，直接在图中作图即可；（2）空间中角的问题，若方便建立空间直角坐标系，则用空间向量法来解. 将几何问题算法化，用代数计算的方法解决几何问题. 解析 （1）根据题意，交线围成的正方形EHGF 如图（1）所示：（2）如图（2）所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是有6MH ==，所以10AH =．以D 为坐标原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图（2）所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，则(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r．设(,,)x y z =n 是平面EHGF 的法向量，则有0,0,FE HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)=n ． 又(10,4,8)AF =-u u u r，故cos ,AF AF AF⋅<>==⋅u u u r u u u r u u u r n n n 所以直线AF 与平面EHGF图（1） 图（2）评注 立体几何的命题主要是考查学生的空间观念和空间想象能力.并结合对空间关系、空间角的计算，特别是应用空间坐标和向量这一工具来进行求解，并注意与推理论证相结合. 20. 分析（1）求解斜率的有关问题时，要注意斜率是否存在，然后用斜率的求解方法及直线与圆锥曲线的关系来进行求解.（2）存在性探究问题的解答不妨设存在，然后进行计算求解.注意分类讨论思想的应用和计AB 1C 1D 1A 1BCDE FGH算的正确性.解析 （1）根据题意，因为直线不平行于坐标轴，则斜率k 必然存在，故设直线l 为y kx b=+(0,0)k b ≠≠，则11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得，2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+． 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （2）不妨设四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，且3k ≠． 由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M k k m x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．=2(3)23(9)k k mk -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形．评注 解析几何的考查的方向主要体现在对直线和圆锥曲线方程的计算上，特别是对存在性问题的探究和计算能力的考查，在方法上相对固定，计算难度比较大.21. 分析（1）先对函数进行求导，然后再应用单调性和函数的导数的关系进行求解； （2）注意构造新函数的思想及恒成立问题的解决方法，理解最值的含义. 解析（1）证明：因为()2e mxf x x mx =+-，则求导得，()'e2mxf x m x m =+-()e 12mx m x =-+.若0m …，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-„，()'0f x <；当()0,x ∈+∞时，e10mx-…，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->>，()'0f x <； 当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<<，()'0f x >.所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.（2）由（1）知，对任意的m ，()f x 在[]1,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增， 故()f x 在0x =处取得最小值.所以对于任意的[]12,1,1x x ∈-，()()12e 1f x f x --„的充要条件为()()()()10e 110e 1f f f f ⎧--⎪⎨---⎪⎩„„，即e e 1e e 1m mm m -⎧--⎪⎨+-⎪⎩-?-?①. 设函数()e e 1tg t t =--+，则()'e 1tg t =-.当0t <时，()'0g t <；当0t >时，()'0g t >. 故()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.又()10g =，()11e 2e<0g --=+-，故当[]1,1t ∈-时，()0g t „.当[]1,1m ∈-时，()()0,0,g m g m -剟,即上式①成立； 当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >>，即有e e 1m m ->-. 当1m <-<时，()0,g m ->>，即e e 1m m -+>-. 综上所述，m 的取值范围是[]1,1-.评注 函数与导数是高考的必考内容，也是高等数学在初等数学中的一个应用的体现. 导数是数学的基础，用数学分析的思想来体现数学的应用，在命题中特别重视分类讨论思想的应用.22. 分析（1）根据等腰三角形的性质可快速求解；.（2）由（1）的结论可得AD EF ⊥和ABC △及AEF △都是等边三角形，则所求四边形面积为两个三角形面积之差.解析 （1）证明：由于ABC △是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB ，AC 相切于E ，F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥． 从而//EF BC ．（2）由（1）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=︒．所以ABC △和AEF △都是等边三角形．因为AE =4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==所以1OD =．于是5AD =，3AB =． 所以四边形EBCF 的面积为221122⨯-⨯=． 评注 几何证明选讲的考查主要是有关圆与直线、圆与三角形、圆与多边形的推理与计算，解题中特别要注意特殊图形的性质.23. 分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；.（2）先确定曲线1C 的极坐标方程()0θαρρ=∈≠R,，进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα，点B的极坐标为(),αα，由此可得2sin AB αα=-π4sin 43α⎛⎫=- ⎪⎝⎭„．解析 （1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0πα<„．因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-…． 当5π6α=时，AB 取得最大值，最大值为4． 评注 考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，并能求出距离的最值.24. 分析（1）由a b c d +=+，及ab cd > ，可证明22> ，两边开>+（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析（1）证明：因为2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，> （2）证明：( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >>( ii)>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >， 于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d -<-的充要条件.评注 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题(理科)解析版
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析） 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的• 1 •复数 i 2 _i 二 A. 1 2i 【答案】A【解析】试题分析： ( )B . 1 -2i C. —1 2i D. _1_2ii (2 -i )=1 2i考点：复数运算_^x _y w 0 ,2.若 x , y 满足 x y w 1, x 》0 ,则z = x - 2y 的最大值为（A . 0 --x 1 z ，令 Z= 0 , 2 2 作直线y 2 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. （—2 , 2 ）B. （-4 , 0 ）C. （-^4，B . 1 D . 2【答案】【解析】试题分析: x ，在可行域中作平行线，得最优解 （0,1）,此时直线的截距最大， Z 取得最小值2. C 3【答案】B【解析】试题分忻：运行程序：^ = 1,_^ = 1,-^ = 0,s = 1-1 = Ojt = 1 + 1 =k = i> + 1 = 1 ■ >■ }. "> 3 ■■ 1、满足，s = —2f f = 2! x = —2j y = 2、k = 2、因天 2A3 、-4, y = O t Jc = 5因再3工3満足’输出(Tj)考点：程序框图【答案】B【解析】试题分析：因为：•，■-是两个不同的平面， m 是直线且m? :•.若“ m //「’，则平面:-、■- 二〃：，反过来若二〃 ：，m 二：；，则有m // ：,则“ m // ： ”是:-// 1 ”的必要而不充分条件考点：1.空间直线与平面的位置关系； 2.充要条件.5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）4. 设：•， 一：是两个不同的平面, A. 充分而不必要条件 m 是直线且m?、£ ." m //「■ ”是“用//「■ ”的B .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件可能相交也可能平行，不能推出A. 2 5 B . 4 5 C. 2 25 D . 5【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC丄平面ABC取AB棱的中点D,连接CD PD,有PD丄ABCD丄AB，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,1 1PD - ■■ 5, S AB^=— 2 2 = 2,, S PAB = q 2 ：：订5 = \ 5 , AC = BC =、，5，S PAC 二S PBC = 2 ' 5 1- ~2，三棱锥表面积3表=2；'5 2.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6. 设:a n ?是等差数列.下列结论中正确的是（）A.若a! a20，则a2a30 B .若a a3=0，则a a, <0C. 若o ::: a :::比，贝U a^ . a1a3 D .若Q ::: 0，贝U a^ a v n： a? - a^ - 0【答案】C【解析】试題分析:先分析四个答案支，A举一反例％ = 2., a2 = -1^勺=-4 ! + a, >0而冬+叫<0 »A错:宅E举同样反例％= 2, a2 = -13 s3 = 一4 , + a <0 ,而珂+冬>0：3错误，下电»■对匚进行研究，3 :是誓差数列，若0<坷 y 则耳> 3设公畫対右则d > 0,数仪吞项均为正，由于衬-爲可=（爲+ d）「-祜q + 2d）=吉:+迢孑+护-$ - 2辱=d1> 0,则曙> 气毎a % >石玄、选c.考点：1.等差数列通项公式；2•作差比较法7.如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式f X > log2x 1的解集是（）：x|-1 < x < 1 C. ?x|-1：：x < 1? D .、x|-1：：x < 2?A. 、x|—1：：x< 0? B【解析】"y试题分析；如图所示，把硒数尸=Log, J的團象向左平移一十单位得到y =I OS/J +1）的图象x = 1时两图象相交*不等式的解为-1 < r < 1,用集合表示解集选C考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解； 3.对图象的理解.。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析戴又发一、选择题 共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1） 下列反常积分收敛的是（ ）（A ）dx x⎰+∞21（B ）dx x x ⎰+∞2ln （C ）dx x x ⎰+∞2ln 1 （D ）dx e x x ⎰+∞2 【解析】22222331lim 3)1(lim lim --+∞→--+∞→+∞→+∞=+-=++-==⎰⎰e e e e t e dx e x dx ex t t t t t x t x ． 故选D ．（2）函数tx t x t x f 2sin 1lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→ 在),(+∞-∞内 （ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点【解析】ttx t x t tx t x t x t x f sin sin sin 1lim sin 1lim )(2⨯+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=，当0≠x 时，由e x t tx t =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→sin sin 1lim ，x ttx t =+∞→sin lim，得x e x f =)(， 故函数在),(+∞-∞内有可去间断点，故选B ．（3）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1cos )(x x xx x f α)0,0(>>βα，若)(x f '在0=x 处连续，则（ ） （A ）1>-βα （B ）10≤-<βα （C ）2>-βα （D ）20≤-<βα 【解析】显然0<x 时0)(='x f ，当0>x 时111sin 1cos)(---⋅+='ββαβαβαx xx x x x f ββαβαβαxx x x 1sin 1cos11---+=，由0,0>>βα，)(x f '在0=x 处连续，有01,01>-->-βαα， 所以1>-βα，故选A ．（4）设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示，则曲线)(x f y =的拐点个数为（ ）（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在，那么使函数2的阶导数)(x f ''为零，且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点，当2阶导数不存在时，只要在某点处的2阶导数改变符号，该点就是拐点，显然)(x f y =的拐点个数为2，故选C ． （5）设函数),(v u f 满足22),(y x xy y x f -=+，则11==∂∂v u uf 与11==∂∂v u vf 依次是（ ）（A ）21，0 （B ）0，21 （C ）21-，0 （D ）0，21-【解析】记 x y v y x u =+=, ，得v uvy v u x +=+=1,1，于是22)1()1(),(),(v uv v u v u f x y y x f +-+==+，所以222)1(2)1(2v uv v u u f +-+=∂∂，011=∂∂==v u uf ；3222232)1(2)1(2)1(2v v u v vu v u v f +++-+-=∂∂，2141214111-=+--=∂∂==v u uf，故选Ｄ．（6）设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(（ ）（A ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（B ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d（C ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d（D ）⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==，区域D 可表示为，θθ2sin 212sin 1≤≤r ，34πθπ≤≤，θrdrd dxdy =，于是 ⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ，故选Ｂ．(7)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ，若集合{}2,1=Ω，则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为（ ）（A ）Ω∉Ω∉d a , （B ）Ω∈Ω∉d a , （C ）Ω∉Ω∈d a , （D ）Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解，得3)()(<=A r A r ， 而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时，2,1==a a ，当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A 3)(<A r ，所以1=d 或2=d ．当2=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<r ，所以1=d 或2=d ．故选Ｄ．（8）设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=，则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为（ ）（A ）2322212y y y +- （B ）2322212y y y -+ （C ）2322212y y y -- （D ）2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ，由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+，得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AP P ，其中),,(321e e e P =，又因为),,(231e e e Q -=，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q ， 所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）设⎩⎨⎧+==33arctan t t y t x ，则==122t dx y d ．【解析】233t dt dy += ，211t dt dx +=， 363)1)(33(2422++=++=t t t t dx dy ，22232322)1(12)1)((12111212)(t t t t t t t t dt dx dt dx dy d dxy d +=++=++==． 所以==122t dx y d 48．（10）函数x x x f 2)(2⋅=在0=x 处的n 阶导数为=)0()(n f .【解析】因为)2ln 2(22ln 222)(22x x x x x f x x x +=⋅+⋅='，0)0(='f ；))2(ln 2ln 42(22ln )2ln 2(2)2ln 22(2)(222x x x x x x f x x x ++=+++=''，222)0(0=⋅=''=x x f ；2ln ))2(ln 2ln 42(2))2(ln 22ln 4(2)(222x x x x f x x ++++='''))2(l n )2(l n 62ln 6(2322x x x ++=，2ln 62ln 62)0(0=⋅='''=x xf ； 2ln ))2(ln )2(ln 62ln 6(2))2(ln 2)2(ln 6(2)(32232)4(x x x x f x x ++++=))2(ln ))2(ln 8)2(ln 12(24232x x x ++=，202)4()2(ln 12)2(ln 122)0(=⋅==x x f ；202)()2)(ln 1()2)(ln 1(2)0(-=--=-⋅=n x n x n n n n n f ．（11）设函数)(x f 连续，由方程⎰=2)()(x dt t xf x ϕ，若5)1(,1)1(='=ϕϕ，则=)1(f ． 【解析】由⎰⎰==22)()()(x x dt t f x dt t xf x ϕ，得)(2)()(202x f x x dt t f x x ⋅⋅+='⎰ϕ，又5)1(2)()1(1=+='⎰f dt t f ϕ，1)()1(10==⎰dt t f ϕ，所以2)1(=f ．（12）设函数)(x y y =是微分方程02=-'+''y y y 的解，且在0=x 处)(x y 取得极值3，则=)(x y ．【解析】由022=-+λλ，得2,1-==λλ，于是微分方程的特解为x x e C e C y 221-+=，由022)0(21221=-=-='-C C eC e C y xx，3)0(21=+=C C y ，得1,221==C C ，所以x x e e x y 22)(-+=．(13)若函数),(y x z z =由方程132=+++xyz e z y x 确定，则=)0,0(dz．【解析】由dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=， 方程132=+++xyz e z y x 两边对x 求导，0)31(32=+∂∂+∂∂+++yz xzxy x z e z y x ， 代入0,0==y 得310-=∂∂=x xz；方程132=+++xyz e z y x 两边对y 求导，0)32(32=+∂∂+∂∂+++xz yzxy y z e z y x ， 代入0,0==y 得32-=∂∂=y yz；所以dy dx dz3231)0,0(--=．(14)设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2-，E A A B +-=2,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式=B ．【解析】由矩阵A 的特征值为1,2,2-， 且E A A B +-=2,可知矩阵B 的特征值为1,7,3，所以21=B ．三、解答题：15～23小题，共94分。