最大似然估计(MLE)和最大后验概率(MAP)
r 估计分布参数-概述说明以及解释
r 估计分布参数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在统计学中，估计分布参数是一种常见的问题。
参数估计是指根据样本数据来推断总体分布的参数值。
通过对样本数据进行分析和计算，我们可以获得关于总体分布参数的估计值，这样就能够更好地理解总体的特征和性质。
参数估计在许多实际应用中都起着至关重要的作用。
例如，在工程领域中，我们可能需要估计某种材料的强度分布参数，以便设计更安全的结构。
在医学领域中，我们可能需要估计某种药物的剂量分布参数，以找到最有效的治疗方案。
在金融领域中，我们可能需要估计某种资产的收益率分布参数，以进行风险管理和投资决策。
在估计分布参数的过程中，我们通常会使用最大似然估计或贝叶斯估计等方法。
最大似然估计是一种常用的频率派方法，通过寻找使观测数据出现的概率最大的参数值来进行估计。
而贝叶斯估计则是一种基于贝叶斯理论的方法，通过引入先验分布和后验分布，结合观测数据来进行参数估计。
此外，估计分布参数还广泛应用于假设检验、置信区间估计以及模型选择等统计推断问题中。
通过对分布参数的估计，我们可以对总体进行推断，并进行有效的决策和预测。
本文将详细介绍估计分布参数的背景、方法和应用，并对估计结果进行总结和分析。
通过深入理解估计分布参数的相关理论和实践技巧，我们可以更好地应用统计学方法解决实际问题，提高数据分析的准确性和可靠性。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：文章结构部分的内容主要介绍了整篇文章的组织结构，以及各个章节的内容安排。
首先，在本文的文章结构部分，将会从引言、正文和结论三个方面来展开叙述。
引言部分是文章开头的部分，主要是对整篇文章的概述，简要介绍估计分布参数的背景、意义以及研究的目的。
引言的目的是引起读者的兴趣，使其了解文章的主要内容和研究意义。
接下来是正文部分，正文是论文的主要内容，也是对估计分布参数的方法和应用进行详细论述的地方。
在正文的第一个章节，将会介绍估计分布参数的背景，包括分布参数的概念和定义，以及为什么需要对分布参数进行估计。
马尔可夫网络的参数估计方法(十)
马尔可夫网络的参数估计方法马尔可夫网络是一种描述随机过程的数学工具，它可以用来建模时间序列数据、自然语言处理等领域。
在实际应用中，我们通常需要对马尔可夫网络的参数进行估计，以便更准确地模拟和预测系统的行为。
在本文中，我们将讨论一些常见的马尔可夫网络参数估计方法，并对它们的优缺点进行比较。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）最大似然估计是一种常见的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计参数值。
对于马尔可夫链模型来说，我们可以通过观测数据的转移概率来估计状态转移矩阵。
具体来说，对于一个马尔可夫链模型，我们可以定义观测数据的似然函数为所有状态转移的联合概率，然后通过最大化这个似然函数来估计状态转移矩阵的参数值。
虽然最大似然估计是一种直观简单的估计方法，但是它也存在一些缺点。
首先，当观测数据较少时，似然函数可能存在多个局部最优解，使得估计结果不够稳定。
其次，当模型的参数维度较高时，最大似然估计可能会导致过拟合，从而影响模型的泛化能力。
2. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计理论的参数估计方法，它通过引入先验概率分布来对参数进行估计。
对于马尔可夫链模型来说，我们可以通过引入状态转移概率的先验分布来对状态转移矩阵进行估计。
具体来说，我们可以选择一个合适的先验分布，然后通过观测数据来更新参数的后验分布，最终得到参数的估计值。
贝叶斯估计的优点在于它可以有效地利用先验信息，从而提高参数估计的稳定性和泛化能力。
另外，贝叶斯估计还可以提供参数估计的不确定性信息，这对于模型的评估和选择非常有帮助。
然而，贝叶斯估计也存在一些问题，比如选择合适的先验分布可能会影响参数估计的结果，而且计算复杂度较高。
3. 最大后验概率估计（Maximum a posteriori Estimation, MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，它通过最大化后验概率来估计参数值。
【转载】最大似然估计的理解
【转载】最⼤似然估计的理解最⼤似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最⼤后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常⽤的两种参数估计⽅法，如果不理解这两种⽅法的思路，很容易弄混它们。
下⽂将详细说明MLE和MAP的思路与区别。
但别急，我们先从概率和统计的区别讲起。
概率和统计是⼀个东西吗？概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。
概率研究的问题是，已知⼀个模型和参数，怎么去预测这个模型产⽣的结果的特性（例如均值，⽅差，协⽅差等等）。
举个例⼦，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养⽅式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪⼤概能有多肥，⾁质怎么样（预测结果）。
统计研究的问题则相反。
统计是，有⼀堆数据，要利⽤这堆数据去预测模型和参数。
仍以猪为例。
现在我买到了⼀堆⾁，通过观察和判断，我确定这是猪⾁（这就确定了模型。
在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像⾼斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进⼀步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑⼭猪还是⽹易猪，等等（推测模型参数）。
⼀句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。
统计是已知数据，推模型和参数。
显然，本⽂解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。
它们都是⽤来推测参数的⽅法。
为什么会存在着两种不同⽅法呢？这需要理解贝叶斯思想。
我们来看看贝叶斯公式。
贝叶斯公式到底在说什么？学习机器学习和模式识别的⼈⼀定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)：P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B) 【式1】贝叶斯公式看起来很简单，⽆⾮是倒了倒条件概率和联合概率的公式。
把B展开，可以写成：P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|∼A)P(∼A)P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|∼A)P(∼A) 【式2】（∼A∼A表⽰”⾮A”）这个式⼦就很有意思了。
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
语音降噪处理技术的研究
语音降噪处理技术的研究语音降噪处理技术的研究引言：随着科技的不断发展和人们对通信质量的要求不断提高，语音降噪处理技术成为了当前研究的热点之一。
语音降噪处理技术旨在降低语音信号中的噪声干扰，提高语音的清晰度和可懂性。
本文将探讨语音降噪处理技术的研究现状、方法和应用。
一、研究现状1. 传统语音降噪处理方法传统的语音降噪处理方法主要基于统计模型和滤波技术。
其中，统计模型方法主要有高斯混合模型 (GMM) 和隐马尔科夫模型(HMM) 等，它们通过对语音信号中的噪声进行建模，然后使用最大后验概率 (MAP) 或最大似然估计 (MLE) 等方法进行降噪。
滤波技术则是通过设计滤波器来消除语音信号中的噪声，常见的滤波器包括陷波滤波器、带通滤波器和自适应滤波器等。
2. 基于机器学习的语音降噪处理方法近年来，随着机器学习技术的飞速发展，越来越多的研究者开始应用机器学习方法来进行语音降噪处理。
其中最为常见的方法包括主成分分析 (PCA)、独立成分分析 (ICA)、支持向量机(SVM) 和深度学习等。
这些方法通过从大量的训练数据中学习语音信号的特征，然后利用这些特征进行降噪处理，取得了较好的效果。
二、方法1. 频域方法频域方法是一种常用的语音降噪处理方法。
其基本思想是将语音信号从时域转换到频域，然后通过对频域信号进行滤波来降低噪声干扰。
常见的频域方法包括快速傅里叶变换 (FFT)、小波变换和自适应滤波等。
2. 时域方法时域方法是另一种常用的语音降噪处理方法。
其基本思想是利用时域的相关性和自相关性等特征来进行降噪处理。
常见的时域方法包括自相关函数法、线性预测法和短时能量法等。
三、应用语音降噪处理技术广泛应用于各种语音通信系统中，如手机通话、会议系统、语音识别系统等。
在手机通话中，语音降噪处理技术能有效提高语音的清晰度，降低通话质量受噪声影响的程度；在会议系统中，语音降噪处理技术能够从复杂的环境中过滤出语音信号，使会议讨论更为高效；在语音识别系统中，语音降噪处理技术能够提高语音的信噪比，减少识别错误的发生。
最大似然估计和最大后验概率
最⼤似然估计和最⼤后验概率1⼀、介绍 极⼤似然估计和贝叶斯估计分别代表了频率派和贝叶斯派的观点。
频率派认为，参数是客观存在的，只是未知⽽矣。
因此，频率派最关⼼极⼤似然函数，只要参数求出来了，给定⾃变量X，Y也就固定了，极⼤似然估计如下所⽰: D表⽰训练数据集，是模型参数 相反的，贝叶斯派认为参数也是随机的，和⼀般随机变量没有本质区别，正是因为参数不能固定，当给定⼀个输⼊x后，我们不能⽤⼀个确定的y表⽰输出结果，必须⽤⼀个概率的⽅式表达出来，所以贝叶斯学派的预测值是⼀个期望值，如下所⽰： 其中x表⽰输⼊，y表⽰输出，D表⽰训练数据集，是模型参数 该公式称为全贝叶斯预测。
现在的问题是如何求（后验概率），根据贝叶斯公式我们有： 可惜的是，上⾯的后验概率通常是很难计算的，因为要对所有的参数进⾏积分，不能找到⼀个典型的闭合解（解析解）。
在这种情况下，我们采⽤了⼀种近似的⽅法求后验概率，这就是最⼤后验概率。
最⼤后验概率和极⼤似然估计很像，只是多了⼀项先验分布，它体现了贝叶斯认为参数也是随机变量的观点，在实际运算中通常通过超参数给出先验分布。
从以上可以看出，⼀⽅⾯，极⼤似然估计和最⼤后验概率都是参数的点估计。
在频率学派中，参数固定了，预测值也就固定了。
最⼤后验概率是贝叶斯学派的⼀种近似⼿段，因为完全贝叶斯估计不⼀定可⾏。
另⼀⽅⾯，最⼤后验概率可以看作是对先验和MLE的⼀种折衷，如果数据量⾜够⼤，最⼤后验概率和最⼤似然估计趋向于⼀致，如果数据为0,最⼤后验仅由先验决定。
⼆、例⼦ 最⼤似然估计 最⼤似然估计（maximum likelihood estimation，简称MLE）很容易理解，在⽣活⽣活中其实也经常⽤到，看下⾯⼀个例⼦： ⼀个箱⼦中有⽩球和⿊球共1000个，但是我们并不知道⽩球和⿊球各多少个（当然这⾥不允许把箱⼦⾥的球倒出来逐个数），此时我们就可以⽤抽样的⽅法去估计箱⼦⾥⿊⽩两种球的分布。
假设我们抽了100次，得到的结果是70次⿊球和30次⽩球，那么我们很⾃然的可以估计箱⼦⾥⾯有700个⿊球，300个⽩球。
传输网络的广播信号传输中的信道估计考核试卷
17.在实际通信系统中，信道估计通常会受到哪些非理想因素的影响？()
A.硬件限制
B.信号同步误差
C.信道时变
D.所有上述因素
18.以下哪个不是信道估计中的基本步骤？()
A.训练序列设计
B.信道模型建立
C.信号检测
D.参数估计
19.在多用户MIMO系统中，以下哪种方法可以用于进行有效的信道估计？()
12.信道估计中，哪种算法可以减少计算复杂度？()
A.最大后验概率（MAP）
B.最小均方误差（MMSE）
C.迭代最小二乘（ILS）
D.线性最小二乘（LSE）
13.哪种技术用于减少多径效应对信道估计的影响？()
A.分集技术
B.均衡技术
C.编码技术
D.调制技术
14.在广播信号传输中，以下哪个参数通常不是信道估计的直接输入？()
B.空分复用
C.时分复用
D.正交频分复用（OFDM）
14.以下哪些条件有利于进行准确的信道估计？（）
A.高信噪比
B.稳定的信道
C.充足的训练序列
D.简单的信号处理算法
15.以下哪些技术可以用于信道估计中的信号同步？（）
A.循环前缀
B.循环后缀
C.导频符号
D.时间交织
16.在哪些建立广播信号传输模型时，需要考虑的因素？（）
6.在高速移动环境中，信道估计的挑战性会降的性能。（）
8.信号同步对于信道估计来说不是必要的。（）
9.信道估计的复杂度与所采用的算法无关。（）
10.在多用户MIMO系统中，用户之间的协作可以改善信道估计性能。（）
五、主观题（本题共4小题，每题10分，共40分）
A.边带子载波
mle概率论
mle概率论
MLE (最大似然估计) 是一种通过寻找使给定数据集的观察到的概率最大化的参数值来进行参数估计的方法。
MLE 在概率论和统计学中被广泛应用。
具体来说，在给定一定数量的观察到的数据样本的情况下，MLE 通过选择使得这些观察到的数据样本的概率最大化的参数值来估计真实参数的值。
它假设观察到的数据样本来自于一个已知的概率分布，并且该分布具有一些未知参数。
MLE 的目标是根据观察到的数据样本，找到使这些数据样本的概率最大化的参数值。
MLE 的计算过程通常涉及计算似然函数，即给定数据样本的观察概率。
然后，通过最大化似然函数，即找到使似然函数最大化的参数值。
这通常涉及到使用优化算法来找到最大值。
MLE 在统计学中被广泛应用，例如在回归分析、时间序列分析、机器学习等领域。
它具有很多良好的性质，包括一致性、渐近正态性和渐近有效性等。
总而言之，MLE 是一种通过最大化观察到的数据样本的概率来进行参数估计的方法，被广泛用于概率论和统计学中。
它是一种强大的工具，可以用于解决各种问题。
mle准则
mle准则MLE准则：最大似然估计最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一种常用的参数估计方法，在统计学和机器学习领域中得到广泛应用。
该方法通过观测数据来估计模型参数，使得观测数据出现的概率最大化。
在本文中，我们将详细介绍MLE的原理、应用以及一些相关的注意事项。
一、MLE的原理MLE的核心思想是选择使得观测数据出现的概率最大的参数值作为估计值。
假设有一组独立同分布的观测数据，我们需要估计一个参数θ，使得给定θ的条件下，观测数据出现的概率最大。
具体来说，假设我们有一个概率分布函数P(x|θ)，其中x表示观测数据，θ表示参数。
我们的目标是找到一个θ值，使得给定θ时，观测数据出现的概率P(x|θ)最大。
这可以表示为一个优化问题，即求解使得P(x|θ)最大的θ值。
在实际应用中，我们通常使用对数似然函数来简化计算。
对数似然函数是将似然函数取对数得到的函数，它与似然函数在参数估计上是等价的，但计算更加方便。
通过对对数似然函数求导，我们可以得到MLE的估计值。
二、MLE的应用MLE在统计学和机器学习中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1.参数估计：MLE可以用来估计概率分布的参数。
例如，在高斯混合模型中，我们可以使用MLE来估计每个高斯分布的均值和方差。
2.分类器训练：在监督学习中，MLE可以用来训练分类器模型。
例如，在朴素贝叶斯分类器中，我们可以使用MLE来估计每个类别的先验概率和条件概率。
3.参数比较：MLE可以用来比较不同模型的参数。
通过比较不同模型的MLE估计值，我们可以选择最优的模型。
4.假设检验：MLE可以用来进行假设检验。
例如，在二项分布中，我们可以使用MLE来估计参数p，并进行假设检验判断p是否等于某个给定值。
三、MLE的注意事项在使用MLE进行参数估计时，需要注意以下几点。
1.数据独立性：MLE假设观测数据是独立同分布的。
如果观测数据不满足独立性假设，MLE的估计结果可能不准确。
详解最大似角估计,最大后验概率估计和贝叶斯公式
详解最大似角估计,最大后验概率估计和贝叶斯公式在统计学中，估计是一项非常重要的任务，从样本数据中估计出总体的特征是估计的主要目的。
在此过程中，最大似角估计、最大后验概率估计和贝叶斯公式这三种方法被广泛地应用于不同的场景。
本文将详细阐述这三种方法的原理和应用。
最大似角估计（maximum likelihood estimation, MLE）是一种在参数估计中被广泛使用的方法，它基于一个假设：样本是独立同分布的。
在此基础上，MLE的目标是寻找一个最大化似然函数的参数值，这个值被认为是最有可能产生观测数据的参数值。
似然函数是指在给定参数下，样本数据出现的概率密度函数。
MLE通常用于连续参数的估计，比如正态分布的均值和方差等。
举个例子，假设有一个有10个数据点的样本，且这个样本服从正态分布，MLE的目的是找到一个均值和方差，使得这个样本的似然函数最大化。
即，找到使得如下公式的值最大的μ和σ^2：∏^10 i=1f(x_i | μ, σ^2) = (2πσ^2)^(-n/2) * exp[ - ∑^10 i=1(x_i-μ)^2 / 2σ^2 ]其中，n为样本数据点的数量，f(x_i | μ, σ^2)为正态分布的概率密度函数。
最大后验概率估计（maximum a posteriori estimation, MAP）是贝叶斯统计推断的一种形式，它通过估计某一事实或参数的似然性及在此基础上的先验信息来获取后验概率密度函数，以便进行决策。
与MLE不同，MAP 还考虑了给定参数下样本数据的可能性，即先验概率。
MAP 的目标是在给定观测数据的前提下，找到一个使得后验概率最大的参数值。
MAP常常用于分类问题中，比如垃圾邮件分类。
理解MAP最简单的方法之一是，如果我们知道某个事件A发生的条件下，事件B发生的可能性，那么我们就可以预测事件B的概率。
这个问题可以使用贝叶斯定理得到，即：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)是指事件A发生的先验概率；P(B)是指事件B发生的先验概率。
先验概率、后验概率与似然估计
先验概率、后验概率与似然估计本文假设大家都知道什么叫条件概率了（P(A|B)表示在B事件发生的情况下，A事件发生的概率）。
先验概率和后验概率教科书上的解释总是太绕了。
其实举个例子大家就明白这两个东西了。
假设我们出门堵车的可能因素有两个（就是假设而已，别当真）：车辆太多和交通事故。
堵车的概率就是先验概率。
那么如果我们出门之前我们听到新闻说今天路上出了个交通事故，那么我们想算一下堵车的概率，这个就叫做条件概率。
也就是P(堵车|交通事故)。
这是有因求果。
如果我们已经出了门，然后遇到了堵车，那么我们想算一下堵车时由交通事故引起的概率有多大，那这个就叫做后验概率（也是条件概率，但是通常习惯这么说）。
也就是P(交通事故|堵车)。
这是有果求因。
下面的定义摘自百度百科：先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现.后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因".那么这两个概念有什么用呢？最大似然估计我们来看一个例子。
有一天，有个病人到医院看病。
他告诉医生说自己头痛，然后医生根据自己的经验判断出他是感冒了，然后给他开了些药回去吃。
有人肯定要问了，这个例子看起来跟我们要讲的最大似然估计有啥关系啊。
关系可大了，事实上医生在不知不觉中就用到了最大似然估计（虽然有点牵强，但大家就勉为其难地接受吧^_^）。
怎么说呢？大家知道，头痛的原因有很多种啊，比如感冒，中风，脑溢血...（脑残>_<这个我可不知道会不会头痛，还有那些看到难题就头痛的病人也不在讨论范围啊！）。
那么医生凭什么说那个病人就是感冒呢？哦，医生说这是我从医多年的经验啊。
咱们从概率的角度来研究一下这个问题。
其实医生的大脑是这么工作的，他计算了一下P(感冒|头痛)（头痛由感冒引起的概率，下面类似）P(中风|头痛)P(脑溢血|头痛)...然后这个计算机大脑发现，P(感冒|头痛)是最大的，因此就认为呢，病人是感冒了。
最大后验概率(map)方法
最大后验概率(map)方法Maximum a posteriori probability (MAP) methods are commonly used in statistics and machine learning to estimate the most probable value of a parameter given some observed data. In Chinese, 最大后验概率 (MAP)方法通常用于统计和机器学习领域，用于估计在给定一些观察数据的情况下，参数的最可能值。
MAP estimation is widely used in various applications such as image processing, signal processing, and natural language processing. It aims to find the parameter value that maximizes the posterior probability of the parameter given the observed data. In Chinese, MAP估计在各种应用中被广泛使用，如图像处理、信号处理和自然语言处理。
它的目标是找到在给定观察数据的情况下，使参数的后验概率最大化的参数值。
To understand MAP estimation, it is essential to have a basic knowledge of probability theory. It involves the calculation of the prior probability, likelihood function, and posterior probability. In Chinese, 要了解MAP估计，有必要对概率论有基本的了解。
最大似然估计和最大后验估计（转）
最⼤似然估计和最⼤后验估计（转）本⽂主要介绍三类参数估计⽅法-最⼤似然估计MLE、最⼤后验概率估计MAP及贝叶斯估计。
个⼈认为：三个参数估计的⽅法可以总结为如下：我们知道贝叶斯公式是这样写的：然后就可以通过这个公式来求解最⼤似然估计MLE、最⼤后验估计MAP和贝叶斯估计了。
最⼤似然估计：实际上是求了红线框起来的部分。
认为参数是固定的最⼤后验估计：，实际上是去求了红线框起来的部分。
⽐最⼤似然估计多了⼀个参数的概率，即我们认为参数也是有概率的。
贝叶斯估计：，求全部，此时不直接估计参数的值，⽽是允许参数服从⼀定概率分布。
即也要求出p(x)来。
贝叶斯及贝叶斯派思考问题的固定模式先验分布 + 样本信息后验分布上述思考模式意味着，新观察到的样本信息将修正⼈们以前对事物的认知。
换⾔之，在得到新的样本信息之前，⼈们对的认知是先验分布，在得到新的样本信息后，⼈们对的认知为。
⼀. 频率学派与贝叶斯学派的区别 在查找“极⼤似然估计”有关知识点的时候，经常会碰到“频率学派”和“贝叶斯学派”这两个虽故事深厚，但是对于我们实际使⽤参数估计法并没有什么暖⽤的词，然⽽随着这两个词的曝光增多，它犹如⼀个没有解决的问题⼀样，潜伏在脑海深处，于是就在⽹上搜了⼀些结果，加⼯处理总结于此处。
知乎上的回答[1]： 简单地说，频率学派与贝叶斯学派探讨「不确定性」这件事时的出发点与⽴⾜点不同。
频率学派从「⾃然」⾓度出发，试图直接为「事件」本⾝建模，即事件A在独⽴重复试验中发⽣的频率趋于极限p，那么这个极限就是该事件的概率。
举例⽽⾔，想要计算抛掷⼀枚硬币时正⾯朝上的概率，我们需要不断地抛掷硬币，当抛掷次数趋向⽆穷时正⾯朝上的频率即为正⾯朝上的概率。
贝叶斯学派并不从试图刻画「事件」本⾝，⽽从「观察者」⾓度出发。
贝叶斯学派并不试图说「事件本⾝是随机的」，或者「世界的本体带有某种随机性」，⽽只是从「观察者知识不完备」这⼀出发点开始，构造⼀套在贝叶斯概率论的框架下可以对不确定知识做出推断的⽅法。
EM算法
EM算法很碰巧，时隔一年了。
面对经典的EM算法，我有了新的认识。
经常有人谈到它就是"鸡生蛋，蛋生鸡"的解法，这个很通俗，但是只了解到这一层，是远不够的……EM算法的全名是Expectation Maximization，中文名叫期望最大化算法。
它是一个在含有隐变量的模型中常用的算法，在最大似然估计（MLE）和最大后验估计（MAP）中常用。
在GMM、HMM、PCFG、IBM 5个对齐模型以及K-Means 聚类方法中均有它的影子。
下面会以MLE估计来介绍它，随后给出其两种证明方法，最后以实际模型中的应用为例，以期达到融会贯通的目的。
1. EM因什么而存在？定义：观测变量X，针对X所获得的n个观测样本为() (数学上为了计算方便，一般认为它们之间满足独立同分布(independent and identically distributed, i.i.d)分布)，随机变量Z，是与观测变量对应的隐含变量，在所取n 个样本中对应的取值为() (同样认为它们满足i.i.d分布)。
参数变量为模型的一系列参数(注意，k的大小与n的大小没有关系)。
因为我们在MLE估计中来讨论EM算法，所以这里，不是随机变量，而是普通的变量。
依照最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)，形式化定义为：(1)在某些问题中由于存在隐含的随机变量Z，故由边缘分布的概念知道有：(2)(2)式在很多时候是intractable(可以回顾HMM和PCFG中的情形)。
这时需要另辟蹊径，而EM正是解决这类问题的有力武器。
1.1问题诠释*** 为什么会有隐含变量？存在隐含变量，是EM不同于一般的MLE问题的本质。
隐含变量，可能是模型中真正存在的(如HMM，PCFG中的参数求解)，也可能是为了求解方便而引入的。
2. EM收敛到最大似然的2种证明以最大似然为目标函数，EM能收敛吗？下面我们将给出两种证明。
检测-简单假设检验
乘性噪声也会导致信号幅度发生变化。
承接
3. 卷积噪声
s(t ) sin(wt )
n(t )
x(t ) s(t ) * n(t )
卷积噪声不仅会导致信号幅度的变化，还会导致相位的变化。
承接
A C
B D
E G
F
Which one?
H
承接
检 测
Detection
估 计
Estimation
检测信号的存在与否
H1
：为男生
：为女生
H0
P( x | 男生) P( x | 女生)
P (女生) P (男生)
简单假设检验
P( x | H0 )
P( x | H1 )
x
判决域0
判决域1
简单假设检验
四种判决情况： 0为真，判决0成立 1为真，判决1成立 0为真，判决1成立 1为真，判决0成立
P( x | H0 )
P( x | H1 )
假设检验：
H0
H1
P( H i | x)
最大后验概率准则
i 1, 2 , 3, 4 ,m
max
判决 H i 成立
最大似然准则
对先验概率一无所知
Hm
P( x | H i )
i 1, 2 , 3, 4 ,m
Байду номын сангаас
max
判决 H i 成立
简单假设检验——小结
还记得哪些概念和公式
#(*&!~%^%&^
简单假设检验
奈曼-皮尔逊准则
P( x | H1 ) P( x | H 0 )
H0
H1
P( x | H
贝叶斯分类器（2）极大似然估计、MLE与MAP
贝叶斯分类器（2）极⼤似然估计、MLE与MAP根据上⼀篇，我们对贝叶斯分类器所要解决的问题、问题的求解⽅法做了概述，将贝叶斯分类问题转化成了求解P(x|c)的问题，并提出了第⼀个求解⽅法：极⼤似然估计，也对似然的概念做了⼀定的理解，在本篇中，我们来介绍极⼤似然估计的原理、使⽤⽅法及其与最⼤后验估计MAP的区别。
1 极⼤似然估计1.1 极⼤似然估计的步骤我们已经知道，似然即参数的似然，表⽰给定样本下，参数θ为真值的可能性，所以，极⼤似然估计就是以最⼤化参数的似然值的⽅法来估计参数的真值的算法。
极⼤似然函数估计值的⼀般步骤：1. 假设概率服从某种确定的概率分布（或者分布已知）；2. 写出似然函数：L(θ1,θ2,...,θn,|x1,x2,...x n)；3. 对似然函数取对数，并整理；4. 求导数；5. 解似然⽅程，得到极⼤似然的参数；对于⼀批样本，共有M个属性值和N个类别，那么x就是⼀个M维向量，要求得P(x|c)，其实就是要求P([x1,x2,...x m]|c i),i=1,2,...,N，因为对不同的类别c，类条件概率P(x|c)应该是不同的分布，所以应该有N个不同的分布假设和似然函数。
我们按极⼤似然估计的步骤来看看怎样计算P(x|c)1. 假设分布：假设P(x|c)具有确定的形式并且被参数向量θ_c唯⼀确定,则我们的任务就是利⽤训练集D估计参数θ_c。
我们将假设的P(x|c)分布记为P(x;θ_c)；2. 似然函数，取对数：D_c表⽰训练集D中第c类样本组成的集合，假设这些样本是独⽴同分布的，则参数θ_c对于数据集D_c的似然函数是:L(θ_c|D_c)=\prod_{x\in D_c} P(x;θ_c)取对数得到对数似然函数，连乘转换为累加，求导之类的计算更加⽅便：LL(θ_c|D_c)=\sum_{x\in D_c} log(P(x;θ_c))3. 求导数：当似然函数取得极⼤值时，⾃变量θ_c的导数应该为0，所以可以得到针对参数向量θ_c中每个参数θ_i求偏导之后的⽅程组：\begin{cases} & \frac{\partial L(\theta_c|D_c)}{\partial \theta_1}=0 \\ & ... \\ & \frac{\partial L(\theta_c|D_c)}{\partial \theta_i}=0 \end{cases}4. 解似然⽅程：求解⽅程组得到参数向量θ_c，确定P(x|c)所假设的分布，根据x的取值[x_1,x_2,...x_m]得到其概率。
最大似然准则和最大后验概率准则
最大似然准则和最大后验概率准则最大似然准则（Maximum Likelyhood Estimation, MLE）和最大后验概率准则（Maximum A Posteriori, MAP）都是统计学中常用的参数估计方法。
它们在机器学习和数据分析等领域有广泛的应用。
本文将详细介绍这两个准则的基本理论和应用场景，并对它们的优缺点进行分析。
一、最大似然准则（MLE）最大似然准则是一种通过观测数据来估计概率分布参数的方法。
它的核心思想是在给定数据的前提下，选择能使观测到的数据出现概率最大的参数值。
最大似然准则假设观测数据是独立同分布的，并且各个数据点的出现是相互独立的。
基于这个假设，最大似然准则的数学表达式为：θ_MLE = argmax P(x|θ)其中，θ是待估计的参数，x是观测到的数据。
最大似然准则的解就是使得给定数据x的条件下，概率分布P(x|θ)取得最大值的参数θ。
最大似然准则的应用非常广泛，例如在统计分布拟合、参数估计、回归分析、分类器训练等问题中都有应用。
以统计分布拟合为例，我们可以通过最大似然估计来估计数据服从的概率分布的参数。
在回归分析中，我们可以使用最大似然估计来估计线性回归模型的参数。
最大似然准则的优点是易于理解和计算，并且有较好的渐近性质。
然而，最大似然准则也存在一些问题。
首先，最大似然估计的结果不一定是无偏的。
其次，最大似然估计的结果可能会出现过拟合的问题。
此外，当数据量较小时，最大似然估计可能会导致参数估计的不稳定性。
二、最大后验概率准则（MAP）最大后验概率准则是一种引入先验知识的参数估计方法。
它假设待估计的参数符合一个先验分布，通过贝叶斯公式将先验分布与似然函数结合起来，计算出后验概率分布。
最大后验概率准则的数学表达式为：θ_MAP = argmax P(θ|x) = argmax P(x|θ) P(θ)/P(x)其中，θ_MAP是后验概率分布最大的参数值，P(θ)是先验分布，P(x|θ)是似然函数，P(x)是归一化因子。
python 参数估计
python 参数估计
Python是一种强大的编程语言，可用于估计参数以解决各种统计问题。
参数估计是指根据样本数据来推断总体参数。
通常，参数估计的目标是找到最佳点估计，该点估计可以提供最接近真实值的估计。
以下是Python中进行参数估计的一些常见方法：
1. 极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）：可以使用Scipy库中的一个函数来计算MLE。
MLE的基本思想是选择使得给定数据出现概率最大的参数值。
2. 最小二乘法（Least Squares，LS）：可以使用Numpy和Scipy库中的函数来执行最小二乘估计。
最小二乘法的目标是找到可以使误差平方和最小的回归线。
3. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：可使用PyMC3等库进行贝叶斯估计。
贝叶斯估计的目标是通过计算后验概率密度函数（Posterior Distribution），得到参数估计的最大后验概率估计（Maximum a Posteriori Estimation，MAP）。
以上是Python中的一些参数估计方法，但并不是全部。
具体使用哪种方法，需要根据应用场景和数据特点进行选择。
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最大似然估计：
最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。
简单而言，假设我们要统计全国人口的身高，首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差未知。
我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。
最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。
下面我们具体描述一下最大似然估计：
首先，假设为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型，遵循我们上述的独立同分布假设。
参数为θ的模型f产生上述采样可表示为
回到上面的“模型已定，参数未知”的说法，此时，我们已知的为，未知为θ，故似然定义为:
在实际应用中常用的是两边取对数，得到公式如下：
其中称为对数似然，而称为平均对数似然。
而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然，即：
举个别人博客中的例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。
我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。
现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。
这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。
假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人马上就有答案了：70%。
而其后的理论支撑是什么呢？
我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。
因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。
这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。
题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，这里Data是所有的数据，M是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为p。
如果第一抽样的结果记为x1，第二抽样的结果记为x2... 那么Data = (x1,x2,…,x100)。
这样，
P(Data | M)
= P(x1,x2,…,x100|M)
= P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)
= p^70(1-p)^30.
那么p在取什么值的时候，P(Data |M)的值最大呢？将p^70(1-p)^30对p求导，并其等于零。
70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。
解方程可以得到p=0.7。
在边界点p=0,1，P(Data|M)=0。
所以当p=0.7时，P(Data|M)的值最大。
这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。
假如我们有一组连续变量的采样值（x1,x2,…,xn），我们知道这组数据服从正态分布，标准差已知。
请问这个正态分布的期望值为多少时，产生这个已有数据的概率最大？
P(Data | M) = ？
根据公式
可
得:
对μ求导可得
,则最大似然估计的结果为μ=(x1+x2+…+xn)/n
由上可知最大似然估计的一般求解过程：
（1）写出似然函数；
（2）对似然函数取对数，并整理；
（3）求导数；
（4）解似然方程
注意：最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。
而未考虑该模型本身的概率。
这点与贝叶斯估计区别。
贝叶斯估计方法将在以后的博文中描述
本文参考
/wiki/Maximum_likelihood
/html/y2010/1520.html
樱桃25% + 柠檬75%
柠檬100%
如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干，那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？
我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。
假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的)，则似然函数可以写作
由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。
我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子5。
这里便是最大似然估计的结果。
上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼干的问题。
假设拿到袋子1或5的机率都是0.1，拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的机率是0.4，那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了。
我们根据公式
写出我们的MAP函数。
根据题意的描述可知，p的取值分别为0,25%，50%，75%，1，g的取值分别为0.1，0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。
上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设为独立同分布的
，μ有一个先验的概率分布为。
那么我们想根据来找到μ的最大后验概率。
根据前面的描述，写出MAP函数为：
此时我们在两边取对数可知。
所求上式的最大值可以等同于求
的最小值。
求导可得所求的μ为
以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。
在MAP中我们应注意的是：
MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布，或者说。
MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的，即该概率为一个固定值。