第九讲：显式动力学问题

第九讲
王慎平
显式非线性动态分析
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显式动力学方法
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显式动力学过程概述
• 显式动力学求解器与隐式求解器，比如ABAQUS/Standard，是互为补充的。 从用户的角度出发，隐式与显式方法显著的区别为： 显式方法需要小的时间增量。 • 只与模型的最高自然频率相关。 • 与载荷类型和载荷持续时间无关。 • 一般的，增量步的数量级为10,000到1,000,000个增量，但是每个增 量步内的计算费用相对较小。
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显式动力学过程概述
• 应力波的传播 应力波传播的例子说明了显式 动力学方法的求解过程：没 有迭代，或求解线性方程组。 考虑应力波沿着三个杆单元传 播问题。在时间增加的过程 中，研究杆的状态。 • 质量被集中到节点。
杆的初始构型，自由端有一个集中力P
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显式动力学过程概述
u1 = &&
−u & P & & ⇒ u1 = u1dt ⇒ ε el1 = 1 ⇒ dε el1 = ε el1dt & && l M1
∫
∫
⇒ ε el1 = ε 0 + dε el1 ⇒ σ el1 = Eε el1
第一个增量步结束时的构型
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显式动力学过程概述
P − Fel1 && & & && ⇒ u1 = u1old + u1dt u1 = M1
∫
& ε el1 =
&& u2 =
Fel1 & && ⇒ u 2 = u 2 dt M2
∫
u 2 − u1 & & & ⇒ dε el1 = ε el1dt l ⇒ ε el1 = ε1 + dε el1
∫
⇒ σ el1 = Eε el1
第二个增量步开始时杆的构型
第三个增量步开始时杆的构型
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显式时间积分
ABAQUS/Explicit应用中心差分方法对运动方程进行显示的时间积分，应用一个 增量步的动力学条件计算下一个增量步的动力学条件。在增量步开始时，程序 求解动力学平衡方程，表示为用节点质量矩阵M乘以节点加速度等于节点的合 力（在所施加的外力P与单元内力I之间的差值）：
&& Mu = P - I
在当前增量步开始时（t时刻），计算加速度为：
&& u |(t ) = (M ) −1 ⋅ ( P − I ) |(t )
由于显式算法总是采用一个对角的、或者集中的质量矩阵，所以求解加速度并 不复杂，不必同时求解联立方程。任何节点的加速度是完全取决于节点质量和 作用在节点上的合力，使得节点计算的成本非常低。
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对加速度在时间上进行积分采用中心差分方法，在计算速度的变化时假定加速度为 常数。应用这个速度的变化值加上前一个增量步中点的速度来确定当前增量步中点 的速度： ( ∆t | +∆t | )
& u|
速度对时间的积分并加上在增量步开始时的位移以确定增量步结束时的位移：
∆t (t + ) 2
& =u|
∆t (t − ) 2
+
( t +∆t )
(t )
2
∆t ) 2
&& u |( t )
& u |( t +∆t ) = u |(t ) +∆t |( t +∆t ) u |
(t +
这样，在增量步开始时提供了满足动力学平衡条件的加速度。得到了加速度，在时 间上“显式地”前推速度和位移。所谓“显式”是指在增量步结束时的状态仅依赖于该 增量步开始时的位移、速度和加速度。这种方法精确地积分常值的加速度。为了使 该方法产生精确的结果，时间增量必须相当小，这样在增量步中加速度几乎为常数。 由于时间增量步必须很小，一个典型的分析需要成千上万个增量步。幸运的是，因 为不必同时求解联立方程组，所以每一个增量步的计算成本很低。大部分的计算成 本消耗在单元的计算上，以此确定作用在节点上的单元内力。单元的计算包括确定 单元应变和应用材料本构关系（单元刚度）确定单元应力，从而进一步地计算内力。
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显式动力学求解过程总结： 1. 节点计算 a. 动力学平衡方程
&& u (t ) = (M ) −1 ⋅ ( P(t ) − I ( t ) )
b. 对时间显式积分
& u
(t +
∆t ) 2
& =u
(t −
∆t ) 2
+
(∆t(t +∆t ) + ∆t(t ) ) 2
(t + ∆t ) 2
&& ut
& u (t +∆t ) = u (t ) + ∆t(t +∆t ) u
2. 单元计算 & a. 根据应变速率 ε ，计算单元应变增量 dε b. 根据本构关系计算应力 σ
σ (t +∆t ) = f (σ ( t ) , d ε )
c. 集成节点内力 I( t +∆t ) 3. 设置时间 t 为 t + ∆t ，返回到步骤1。
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