高二数学期中模拟试卷2+参考答案
期中考试模拟卷02(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2021-2022学年度高二第一学期数学期中考试模拟卷02测试范围：第1章—第2章第I 卷（选择题）一、单选题1．若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值为（）A ．-1或3B ．1或-3C ．-1或-3D ．1或32．已知向量(2,3,0)a =- ，(0,3,4)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影数量为（）A ．B ．13C ．95D ．95-3．如图，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，设AB a = ，AD b = ，AA c '=，则下列与向量A C' 相等的表达式是（）A ．a b c-++ B ．a b c-+ C ．a b c -- D ．a b c+-r r r 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA BC =，E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，则异面直线BF 与PE 所成角的正弦值为（）A ．9B ．89C ．9D ．95．如图，点A ､B ､C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，()1,0,0OA = ，()0,2,0OB =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）A ．63B 66C ．24D 346．直线l 1:y =ax +b 与直线l 2:y =bx +a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．7．已知直线:40l x my ++=，若圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-8．设实数x ，y 满足4x y +=22222x y x y +-++）A 2B ．4C ．22D ．8二、多选题9．(多选)经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（）A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －7＝0C ．2x －y －2＝0D ．2x ＋y －10＝010．以下说法正确的是（）A ．若向量{},,a b c 可是空间的一个基底，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底.B ．空间的任意两个向量都是共面向量.C ．若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，则////l m a b ⇔.D ．若两个不同平面α，β的法向量分别是u r ，v，且()1,2,2u =- ，()2,4,4v =-- ，则αβ⊥11．(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为2C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝412．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，1AA 1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，则（）A ．11//()ADB B BC +B ．22111111()3A A D A B A B A +-= C ．111()0AC A B AD ⋅-= D ．13AC =第II 卷（非选择题）三、填空题13．直线l 过点A （1，2），且不过第四象限，则直线l 的斜率的最大值为________．14．已知平面α和平面β的法向量分别为()1,1,2a = ，(),2,3b x =-，且α⊥β，则x =________.15．在四棱锥P ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA a = ，PB b = ，PC c = ，试用基底{},,a b c 表示向量PG ＝________.16．点()2,1P --到直线l ：()()131240λx λy λ+++--=（λ为任意实数）的距离的最大值为____________．四、解答题17．已知点(1,2,0)A -和向量(3,4,12)a =-.（1）若AB a =，求点B 的坐标；（2）若x 轴上的一点C 满足,2a AC π<>=，求AC 的长.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =.（1）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值；（2）求二面角A PC B --的余弦值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA =，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，H 在线段PD 上且14DH DP =．（1）用向量AB，AD ，AP 表示向量EH ；（2）求向量EH的模长．20．过点P (1，4)作直线l ，直线l 与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为原点.（1）若△ABO 的面积为9，求直线l 的方程；（2）若△ABO 的面积为S ，求S 的最小值，并求出此时直线l 的方程.21．已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．22．已知圆22:8120C x y x +-+=，直线:20l x ay a ++=．（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||22AB =l 的方程．参考答案1．A 【分析】利用两线垂直的判定有(2)30a a --=，求解即可得a 的值.【详解】由题设，(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=，解得1a =-或3a =.当1a =-时，直线分别为20x y --=、3310x y ++=，符合题设；当3a =时，直线分别为320x y +-=、330x y -+=，符合题设.故选：A 2．D【分析】利用a b b⋅ 求得向量a 在向量b方向上的投影.【详解】依题意，向量a 在向量b方向上的投影为95a b b⋅==- ，故选：D.3．D 【分析】利用平面向量的基本定理求解.【详解】由题意：A C A A AB BC ''=++，AA AB BC =++'- ，c a b =-++ ，a b c =+- ，故选：D.4．A 【分析】如图建立空间直角坐标系，求出BF 和PE的坐标，利用空间向量夹角公式计算夹角的余弦值，再由同角三角函数基本关系即可求解.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂面ABCD ，可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，可得AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，如图分别以,,AB AD AP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则2PA =，可得()2,0,0B ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1F ，()1,2,0E ，所以()1,1,1BF =- ，()1,2,2PE =-，所以cos ,9BF PE BF PE BF PE⋅===⋅，设异面直线BF 与PE 所成的角为θ，则cos cos ,9BF PE θ=，所以sin θ故选：A.5．B 【分析】先求出平面ABC 和平面ABO 的法向量，再利用二面角公式求解即可.【详解】因为()0,0,2OC = ，()1,0,0OA = ，()0,2,0OB = ，所以()1,2,0AB =-uuu r，()1,0,2AC =- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩取()2,1,1n =又因为平面ABO 的法向量为()0,0,2OC =，所以6cos 626OC n OC n θ⋅===⨯⋅ 故选：B 6．D 【分析】根据直线方程斜截式与图像的关系进行判断即可.【详解】对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，由l 2得a >0，b >0，矛盾；故A 错误；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，由l 2得a >0，b >0，矛盾；故B 错误；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，由l 2得a <0，b >0，矛盾；故C 错误；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，由l 2得a >0，b >0.故D 正确故选：D.7．D 【分析】根据圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，可得直线l 过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.【详解】解：因为圆22:6210C x y x y ++-+=，所以圆C 的圆心坐标为()3,1-，又因为圆22:6210C x y x y ++-+=上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，所以直线l 过圆心，则340m -++=，解得1m =-.故选：D.8．C 【分析】4x y +=上的点与点()1,1-的距离，从而利用点到直线的距离公式即可求得最小距离.【详解】==4x y +=上的点与点()1,1-的距离，所以最小值为d ==.故选：C.9．AB 【分析】由题设可知直线的斜率为±1，结合直线过的点，由点斜式写出直线方程即可.【详解】由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.故选：AB 10．ABC 【分析】根据基底的定义判断AB ；根据方向向量以及法向量的性质判断CD.【详解】对于A ，向量,a b a b +- 与,a b 共面，则c 与,a b a b +-不共面且,a b a b +- 不共线，则{},,a b a b c +-也是空间的一个基底，故A 正确；对于B ，空间的任意两个向量都是共面向量，故B 正确；对于C ，由方向向量的性质得出////l m a b ⇔，故C 正确；对于D ，因为2v u =-，所以//αβ，故D 错误；故选：ABC 11．AD 【分析】根据点到直线的距离公式求得圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C 2的圆心，从而得出圆C 2的方程.【详解】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.故选：AD.12．CD 【分析】对于A ：由11B B BC B C +=，可判断；对于B ：由空间向量的线性运算得1111A A A D A B BD +-= ，从而有21BD =，2111A B = ，由此可判断；对于C ：由空间向量的数量积运算可判断；对于D ：根据空间向量的线性运算和数量积运算可判断．【详解】解：对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC B C +=，()11//B B BC A D ∴+ ，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-= ，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD = ，又2111A B = ，∴()22111111A A A D A BA B +-= ，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-= ()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅- ，由题知，1AB AD ==，1AA =1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+ 10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确；对于D ：AC AB AD =+ ，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC = ()21AB AD AA ++ 222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112=++211cos6021cos45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD ．13．2【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出.【详解】∵直线l 过点A （1，2），且不过第四象限，∴则直线的l 斜率的最大值为202.10-=-故答案为：214．4-【分析】根据法向量垂直即可求出x 的值.【详解】∵α⊥β，∴0a b ⋅=，即()112230x ⨯+⨯-+⨯=，解得4x =-.故答案为：4-.15．212333a b c-+ 【分析】由空间向量的基本定理求解即可【详解】因为BG ＝2GD ，所以23BG BD = ，又2BD BA BC PA PB PC PB a c b =+=-+-=+- ，所以()221223333PG PB BG b a c b a b c=+=++-=-+故答案为：212333a b c -+ 1613【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，得直线系恒过点()1,1A ，由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=，∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，由此可得直线系恒过点()1,1A ，P 到直线l 的最远距离为PA ，此时直线垂直于PA ，∴22max (21)(11)13d PA ==--+--13.17．（1）(2,2,12)-；（2）103.【分析】（1）根据空间向量的坐标表示即可求解.（2）设(,0,0)C x ，根据空间向量的坐标表示以及数量积即可求解.【详解】（1）因为(2,2,12)OB OA a =+=- ，所以点B 的坐标为(2,2,12)-.（2）设(,0,0)C x ，则(1,2,0)AC x =- ，0AC a ⋅= ，所以3(1)80x --+=，所以813x -=，所以6410493AC =+=.18．（1）13；（2）3.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【详解】（1）由条件可知DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系.设1DC =，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,1)PB =- ，(1,0,1)PA =-uur ，(0,1,1)PC =- ，设平面PAC 的一个法向量为111(,,)n x y z = ，则111100PA n x z PC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11x =，则(1,1,1)n = ，所以平面PAC 的一个法向量为(1,1,1)n = ，设直线PB 与平面PAC 所成角为α，所以1sin cos ,3PB n =<>= α，即所求角的正弦值为13.（2）由（1）知(1,1,1)n = ，设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z = ，则2222200PB m x y z PC m y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则(0,1,1)m = ，则平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m = ，所以cos ,3m n < ，由图形可知二面角A PC B --.19．（1）1144EH AD AP AB =+- ；（2）5||2EH = ．【分析】（1）根据空间向量关系可表示；（2）利用2211||44EH AD AP AB =+- 转化可求解.【详解】解：（1）313()()424EH EP PH EB BP PD AD AP AB AD AP =+=++=-+-+- 1331124444AD AP AB AD AP AD AP AB =-+-+-=+- （2）22221111||()()||44162EH AD AP AB AD AP AD AP AB AB =+-=+-+⋅+ ()22211||||||162AD AP AD AB AB =+-⋅+ 11125(416)22416224⎛⎫=+-⋅⋅⋅-+= ⎪⎝⎭，5||2EH ∴= ．20．（1）2x +y 6=0或8x +y 12=0；（2）8，4x +y 8=0.【分析】（1）设A (a ，0)，B (0，b )，其中a >0，b >0，则由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a +y b=1.根据已知得到,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）求出S =12×168b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解.【详解】设A (a ，0)，B (0，b )，其中a >0，b >0，则由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a +y b =1.将P (1，4)代入直线l 的方程，得1a +4b=1.(*)（1）依题意得，12ab =9，即ab =18，由(*)式得，b +4a =ab =18，从而b =184a ，∴a (184a )=18，整理得，2a 29a +9=0，解得a 1=3，a 2=32，因此直线l 的方程为3x +6y =1或32x +12y =1，整理得，2x +y 6=0或8x +y 12=0.（2）S =12ab =12ab 214a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12×168b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥12×8⎛+ ⎝=12×(8+8)=8，当且仅当b a =16a b，即a =2，b =8时取等号，因此直线l 的方程为2x +8y =1，即4x +y 8=0.21．（1）117t -<<；（2）37t =时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +->列不等式即可求解；（2）将该方程整理为圆的标准方程，利用二次函数的性质求出半径的最大值以及此时t 的值，再将t 的值代入可得半径最大的圆的方程.【详解】（1）若方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=表示圆，则()()()22244341441690t t t ++--+>整理可得：27610t t --<，解得：117t -<<；（2）由()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=可得：()()()()22222224314314169761x t y t t t t t t ⎡⎤⎡⎤-+++-=++---=-⎣⎦⎣++⎦，设圆的半径为r ，则222316761777t t t r ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭=-，所以当31,177t ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭时，2max 167r =，所以max r =此时圆的方程为2239163147497x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述：当37t =时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为：222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．（1）34a =-；（2）20x y --=或7140x y --=．【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式，即得解；（2）利用弦心距、弦长、半径的勾股关系，求出弦心距为d 即得解【详解】（1）圆C 的标准方程为22(4)4x y -+=，圆心(4,0)C ，半径为2若直线l 与圆C2=，解得34a =-（2）设圆心(4,0)C 到直线l 的距离为d ，则有222||2AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即224d +=，即d=1a =-或7a =-所以直线l 的方程为20x y --=或7140x y --=。
高二数学第二学期期中考试卷(附答案)
高二数学第二学期期中考试卷本卷满分100分,考试时间90分钟一、填空题（本大题共有11小题，每小题4分，共44分）1．直线y =－3x +1的倾斜角为 .2．过点A(1,－4),且与直线2350x y ++=垂直的直线方程为 . 3．两平行直线3450x y ++=与34250x y +-=间的距离是 ． 4．若方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,则k 的取值范围是___________.5．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且一顶点为(0，8)的双曲线的方程 是 .6．已知圆C 的方程(x-2)2+y 2=4,过原点与圆C 相交的弦的中点轨迹是__________.7．设12,F F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2AF B ∆的周长是 ．8．已知双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则c:a ＝ .9．椭圆1222=+y x 和双曲线1222=-y x 有相同的焦点，则实数n 的值是10. 等腰直角三角形的直角顶点是（4，-1），斜边在直线3x -y +2=0上，两条直角边所在的直线方程是 .11. 已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法：①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±2)；④ a =49,b =9,c =40，正确的有 .二、选择题：（本大题共4小题;每小题4分,共16分）12．直线320x y ++=与直线4210x y +-=夹角是 （ ） A.34π B. 4πC. 2arctgD. arctg 12. 3k >是方裎22131x y k k +=--表示双曲线的条件是 （ ） A.充分但不必要 B. 必要但不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.直线1y x =-上的点到圆224240x y x y ++-+=的最近距离是 （ ） A.1 B. 1+ D. 115. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F . 数列｛|P n F |｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是 ( )A 、198B 、199C 、200D 、20110三、解答题：（本大题共6小题，共40分）P 射出，被x轴反射，反射光线经过点Q(7,1)，16.（6分）已知光线从点(1,5)求入射光线所在的直线方程．21的17. (6分)已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，焦距与长轴长的比为3双曲线过点P(6，6) 求双曲线方程18. (6分)求过点(1,6)M 且与圆22230x y x ++-=相切的切线方程．19. （7分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）内引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程.20.（7分）斜率为2的直线l 被双曲线x y 22321-=截得的弦长为2515，求直线l 的方程.21.（8分）已知动点P 到直线4x =的距离等于到定点1(1,0)F 的距离的2倍， （１） 求动点P 的轨迹方程；（２） 过1(1,0)F 且斜率1k =的直线交上述轨迹于C 、D 两点，已知(2,0)A ，求ACD ∆的面积S ．高二数学参考答案1．120° 2. 3x －2y －11=0 3. 6 4．(-∞,-1)∪(4,+∞)5．1366422=-x y 6. x 2+y 2-2x=0 7．２０ ８. αsec ９. 3± １０．2x+y-7=0或x-2y-6=0 １１. ② １2. Ｂ １3.Ａ １4.Ｄ １5. C16. 解：点B 关于x 轴对称点为C(7,－1), 入射光线所在的直线为AC43-=AC k入射光线所在的直线方程为3x+4y －17=0．17.解：设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12所以所求双曲线方程为12922y x -=1 18.解：设直线的方程为y=k(x －1)+6,圆心(－1,0)到直线的距离等于半径221622=++-k k ,解得k=34切线方程为46(1)3y x -=-或10x -= 19.解：设直线与椭圆的交点为（x 1 , y 1）,（x 2 , y 2）,M(2,1)为AB 的中点故x 1+x 2= 4, y 1+y 2 = 2 ，由于点 A 、B 在椭圆上，则 x 12 + 4y 12 = 16, x 22 +4y 22 =16 两式相减得 ∴k AB =-=--2121x x y y 21244)(42121-=⨯-=++y y x x故所求直线方程为x +2y – 4 =020. 解：设直线l 的方程为y x m =+2 将y x m =+2代入23622x y -=得232622x x m -+=() 整理得101232022x mx m +++=()设直线l 与双曲线的两个交点坐标为P x y 111(,)，P x y 222(,)∴+=-=+x x m x x m 12122653102,()·由P P kx x 122121=+-得()()()[]25151225155422122212212⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-x x x x x x1255654310222=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⨯+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥m m () 解得m m 21223==±,∴所求的直线方程是y x =±22321.（１）设动点(,)P x y ，由题设知4x -=化简得动点(,)P x y 的轨迹方程是22143x y +=． （２）过1(1,0)F 且斜率1k =的直线方程为1y x =-代入椭圆方程消去y ， 得 27880x y --=．设1122(,),(,)C x y D x y ，则12127y y x x -=-==而11211122ACD S AF y y ∆=⋅-=⨯=。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试(期中)数学试卷及参考答案
深圳市龙华区2022-2023学年高二下学期第二次阶段考试（期中）数学试卷及参考答案本试卷22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的班级、姓名、考生号填写在答题卡规定的位置上。
2.答题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
)第II卷（非选择题）三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)四、解答题(本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
) 17．(10分)甲、乙、丙、丁4位志愿者被安排到A，B，C三所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教.(1)不同的安排方法共有多少种？(2)求甲乙志愿者被同时安排到同一个学校的概率.(3)求在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两位志愿者的概率.(1)根据散点图可知，可用函数模型b y a x=+拟合y (2)已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本222001005002510y y m y =-+++-.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入（注：年利润=年销售额—年投入成本）参考公式：对于一组数据()11,u v 、()22,u v 、L 、(21．（12分）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.22．（12分）已知函数()22ln f x x x x x =+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)已知()()2g x f x x x =--，若()()12g x g x =且12x x ≠，证明：1201x x <<参考答案：9．AC【分析】根据给定条件，利用分组分配的方法，列式判断AB ；利用隔板法计算判断C ；利用分类加法计数原理列式计算判断D 作答.【详解】对于A ，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，先取2本给甲，再从余下4本中取2本给乙，最后2本给丙，不同分法有222642C C C 种，A 正确；对于B ，把6本不同的书按1:2:3分成3组有123653C C C 种方法，再分给甲、乙、丙三人有33A 种方法，不同分法种数是12336533C C C A ，B 错误；对于C ，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，相当于把6本相同的书排成一排，中间形成5个间隙，。
高二数学期中考试复习题参考答案(详细版) (2)
一、单选题1．若直线220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A ．2B ．1或3C ．3D ．2或3【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行得到(5)23a a -=-⨯，排除重合情况，计算得到答案.【详解】因为直线220ax y a -++=与3(5)50x a y +-+=平行所以(5)23a a -=-⨯，解得2a =或3a =当3a =时，这两条直线重合，排除，故2a =. 故选A【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.2．已知0a >，0b >，直线1l ：(1)10a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】由12l l ⊥，可求得21a b +=，再由()2121424b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()212144222428b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==时等号成立， 所以21a b+的最小值为8.故选：C. 【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫-⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A ．1453B ．5C ．1353D ．163【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得点(2,0)B -关于直线23x y +=的对称点为(0,4)C ，结合两点间的距离公式，求得BC长，即可求解.【详解】如图所示，设点(2,0)B -关于直线23x y +=的对称点为11(,)C x y ，可得11111()12222322y x x y ⎧⋅-=-⎪+⎪⎨-⎪+⨯=⎪⎩，解得10,4C x y ==，即(0,4)C则221145(0)(40)33BC =-+-=，即“将军饮马”的最短总路程为1453.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线方程的实际应用问题，其中解答中合理转化，求得点关于直线的对称点，结合两点间的距离公式求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.4．已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3(,4),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D ．34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可． 【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交， 则A 、B 在直线的异侧或在直线上， 则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ． 【点睛】本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．5．已知圆22:230C x y x ++-=,直线():2()10l x a y a R ++-=∈,则A ．l 与C 相离 B ．l 与C 相交C ．l 与C 相切D ．以上三个选项均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求得l 恒过的定点，可判断出定点在圆内，从而得到直线与圆相交.【详解】由l 方程可知，直线l 恒过定点：()2,1-又()2,1-为圆C 内部的点 l ∴与C 相交本题正确选项：B【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是确定直线恒过的定点，根据点在圆内得到结果.6．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】 【详解】圆的圆心为原点，半径，原点到直线的距离，当时，，所以，直线与圆相交；反之，若直线与圆相交，则有，即，解得：，因此，根据充分、必要条件的概念，“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，故选A ．主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法.7．圆22:20A x y x +-=和圆22:40B x y y +-=的公切线条数是（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【答案】C 【解析】【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数． 【详解】圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0的圆心（0，2）半径为2，O 1O 213，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2+y 2﹣2x=0和圆O 2：x 2+y 2﹣4y=0的公切线条数：2． 故选C ．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系和两圆公切线的判定；在处理两圆的公切线条数时，要把问题转化为两圆位置关系的判定：当两圆相离时，两圆有四条公切线；当两圆外切时，两圆有三条公切线；当两圆相交时，两圆有两条公切线；当两圆内切时，两圆有一条公切线；当两圆内含时，两圆没有公切线.8．若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】将圆的圆心代入直线方程即可. 【详解】解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，所以直线经过圆心(1,2)-，120a -+=所以1a=，故选A ．【点睛】本题考查直线和圆的位置问题，是基础题．9．已知圆22(1)4x y -+=内一点P （2，1），则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．30x y +-= C ．30x y ++=D ．2x =【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，当过圆心且过点()2,1P 时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，即可由斜率关系求得直线的斜率，结合点斜式即可求得直线方程. 【详解】由题意可知,当过圆心且过点()2,1P 时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为()1,0C ,()2,1P ，则由两点间斜率公式可得10121CP k -==-，所以与PC 垂直的直线斜率为1k =-，则由点斜式可得过点()2,1P 的直线方程为()112y x -=-⨯-，化简可得30x y +-=，故选：B 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，最短弦与最长弦的关系，两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系，点斜式求直线方程，属于基础题.10．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=( )A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆222430x x y y +++-=可变为()()22128x y +++=，∴圆心为()1,2--，半径为 ∴圆心到直线10x y ++=的距离d ==∴3个.故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.11．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ）A ．()2234x y ++=B ．()2231x y -+=C ．()222341x y -+=D ．()222341x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，利用P 在已知的圆上可得PQ 的中点的轨迹方程. 【详解】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，因为点P 在圆221x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()222341x y ++=.故选：D. 【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程. 12．已知点A (-3，1，-4)，点A 关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(-3，-1，4)B ．(-3，-1，-4)C ．(3，1，4)D ．(3，-1，-4)【答案】A 【解析】 【分析】根据在空间直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标是横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，即可得到结果.【详解】∵在空间直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标横标不变，纵标和竖标变为原来的相反数，∵点()3,1,4A --，∴关于x 轴对称的点的坐标是()3,1,4--，故选：A. 【点睛】本题考查空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键，属于基础题.13．在四面体OABC 中，E 为OA 中点，13CF CB =，若OA a =，OB b =，OC c =则EF =（ ）A ．112233a b c -- B ．114233a b c --+ C ．121233a b c-++D ．112233a b c -++【答案】D 【解析】 【分析】运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题．【详解】解：根据题意得，12OE OA =，13CF CB =EF F OE O =-()12A OC CF O =+-1132CB OA OC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()1132OB OC OA OC ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦111332OB OC O OA C ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦111332OB OC C OA O =+--112323OA OB OC =-++OA a =，OB b =，OC c =111122332332EF OA OB OC a b c ∴=-++=-++故选：D ．【点睛】本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题．14．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA PB xPC DB =-+，则实数x 的值为（ ） A ．13 B ．13- C ．12D ．12-【答案】A 【解析】41413()36362PA PB xPC DB PB xPC PB PD PB xPC =-+=-+-=--， 又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴31126x --=， 解得 x=13， 故选A ．点睛：设P 是平面上任一点，,,A B C 是平面上的三点，PC xPA yPB =+（,,P A B 不共线），则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=，把此结论类比到空间上就是：,,PA PB PC 不共面，若PD xPA yPB zPC =++，则,,,A B C D 四点共面1x y z ⇔++=．15．下列命题正确的是（ ）A ．a b a b-<+是向量a ，b 不共线的充要条件B ．在空间四边形ABCD 中，0AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=C ．在棱长为1的正四面体ABCD 中，12AB BC ⋅=D ．设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若1233OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A ；由向量的加减和数量积的定义可判断B ； 由向量数量积的定义计算可判断C ；由四点共面的条件可判断D ． 【详解】解：由|a |﹣|b|＜|a b +|，向量a ，b可能共线，比如共线向量a ，b的模分别是2，3，故A 不正确；在空间四边形ABCD 中，AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=（AC CB +）•CD CB -•AD AC -•BD AC =•（CD BD -）CB +•（CD AD -）AC =•CB CB +•CA =0，故B 正确在棱长为1的正四面体ABCD 中，AB BC ⋅=1×1×cos120°12=-，故C 错误；设A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若1233OP OA OB OC =++，由1233++1＝2≠1，可得P ，A ，B ，C 四点不共面，故 D 错误． 故选B ． 【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．16．已知空间向量a ，b ，||1a =，||2b =，且a b -与a 垂直，则a 与b的夹角为（ ）A ．60︒ B ．30︒C ．135︒D ．45︒【答案】D 【解析】 【分析】由()0a b a ，利用数量积运算，即可得出结果.【详解】∵a b -与a 垂直，∴()0a b a ，∴2||||||cos ,a a a b a a b a b ⋅-⋅=-⋅〈〉11cos ,0a b =-〈〉=，∴2cos ,2a b 〈〉=．∵0,180a b ︒︒≤〈〉≤，∴,45a b ︒〈〉=．故选：D 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了运算求解能力，属于一般题目.17．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1BB 的中点，G 是1DD 的中点，F 是BC 上的一点且14FB BC =，则异面直线GB 与EF 所成的角为（ ）A ．B ．120C ．60D ．90【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()111111111,1,,,0,,110024242244BG EF BG EF ⎛⎫⎛⎫=--=⋅=-⨯+-⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,BG EF ∴⊥,异面直线GB 与EF 所成的角为90，故选D. 18．在正方形1111ABCD A BC D -中，棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的余弦值为（ ）A ．5B 25C 6D 30【答案】D 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出余弦值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则()2,1,0E ， ()1,0,2F ， ()1,1,2EF =--，平面11AA D D 的法向量()0,1,0n =，设直线EF与平面11AA D D 所成角为θ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，则||16sin ||||6EF n EF n θ===． 所以230cos1sin θθ=-=∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的余弦值为30故选：D ．【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．19．如图所示，平行六面体1111ABCD A BC D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60︒.求1BD 与AC 夹角的余弦值是（ ）A 3B ．66C ．217D 21【答案】B 【解析】 【分析】以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，表示出1BD 和AC ，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得． 【详解】由题意11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=． 以1,,AB AD AA 为空间向量的基底，AC AB AD =+，111BD AD AB AD AA AB =-=+-，22111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD⋅=+⋅+-=⋅+⋅-+1=，222()23AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=22221111()22BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB =+-=+++⋅-⋅-，∴1116cos ,32AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅⋅．∴1BD 与AC 夹角的余弦值为6故选：B ． 【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．二、多选题20．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是（ ）A ．132k k k <<B ．321k k k << C ．132ααα<<D ．321ααα<<【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论. 【详解】解：如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则230k k >>，10k <，故2302παα>>>，且1α为钝角，故选：AD. 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题. 21．已知直线l 过点P （2,4），在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能为（ ）A ．20x y -+= B ．60x y +-=C ．2x = D ．20x y -=【答案】BD 【解析】 【分析】当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式.当直线不过原点时，设直线的方程为 x ＋y ＋m ＝0，把P （2,4）代入直线的方程，求出m 值，可得直线方程. 【详解】解：当直线过原点时，斜率等于40220-=-，故直线的方程为2y x =，即20x y -=.当直线不过原点时，设直线的方程为0x y m ++=，把P （2,4）代入直线的方程得6m =-，故求得的直线方程为60x y +-=，综上，满足条件的直线方程为60x y +-=或20x y -=.故选：BD. 【点睛】本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想.22．已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6π B．若直线:10,m x +=则l m ⊥C．点到直线l 的距离是2 D．过与直线l 平行的直线方程是40y --=【答案】CD 【解析】 【分析】对于A．求得直线10l y -+=的斜率k 即可知直线l 的倾斜角，即可判断A 的正误；对于B．求得直线10m x +=：的斜率k ′，计算kk ′是否为﹣1，即可判断B 的正误；对于C ．利用点到直线的距离公式，求得点)到直线l 的距离d ，即可判断C 的正误；对于D．利用直线的点斜式可求得过()与直线l 平行的直线方程，即可判断D 的正误． 【详解】对于A．直线10l y -+=的斜率k ＝tanθ=l 的倾斜角是3π，故A 错误； 对于B．因为直线10m x +=：的斜率k′=kk ′＝1≠﹣1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C．点)到直线l 的距离d==2，故C正确；对于D ．过()与直线l 平行的直线方程是y ﹣2=x ﹣40y --=，故D 正确．综上所述，正确的选项为CD ． 故选：CD ． 【点睛】本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题．23．已知平面上一点M (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）A ．y =x +1B ．y =2C ．43y x =D ．y =2x +1【答案】BC 【解析】 【分析】根据切割型直线的定义，由点M (5，0)到直线距离不大于4求解. 【详解】A. 点M (5，0)到直线 y =x +1的距离为：64d ==>，故错误；B. 点M (5，0)到直线y =2的距离为：34d =<，故正确；C. 点M (5，0)到直线43yx =的距离为：454d ⨯==，故正确；D. 点M (5，0)到直线y =2x+1的距离为：25+145d ==>，故错误；故选：BC 【点睛】本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.24．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O上一动点，则P 到直线AB 1+【答案】ABD【解析】 【分析】两圆作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1O 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1O 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d==，半径1r=所以AB==C不正确；对于D，P为圆1O上一动点，圆心1O()1,0到0x y-=的距离为2d=，半径1r=，即P到直线AB距离的最大值为1+，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.25．以下四个命题表述正确的是（）A．直线()()34330m x y m m++-+=∈R恒过定点()3,3--B．已知圆22:4C x y+=，点P为直线142x y+=上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点()1,2C．曲线22120C:x y x++=与曲线222480C:x y x y m+--+=恰有三条公切线，则4m=D．圆224x y+=上存在4个点到直线:0l x y-=的距离都等于1【答案】BC【解析】【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点()3,3-，判断A错误；求出直线方程()2402ym x y-+-=，判断直线AB经过定点(1,2)，B正确；根据两圆外切，三条公切线，可得C正确；根据圆心(0,0)到直线1:0x y-的距离等于1，判断D错误.【详解】对于A，直线方程可化为(3)3430m x x y+++-=，令30x+=，则3430x y+-=，3x=-，3y=，所以直线恒过定点()3,3-，A错误；对于B，设点P的坐标为(,)m n，所以，142m n+=，以OP为直径的圆的方程为220x y mx ny+--=，两圆的方程作差得直线AB的方程为：4mx ny，消去n得，()2402ym x y-+-=，令02yx-=，240y-=，解得1x=，2y=，故直线AB经过定点(1,2)，B正确；对于C，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线22120C:x y x++=化为标准式得，22(1)1x y++=曲线222480C:x y x y m+--+=化为标准式得，22(2)(4)200x y m-+-=->所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即15=，解得4m=，C正确；对于D，因为圆心(0,0)到直线1:0x y-的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线1:0x y-=的距离等于1，D错误；故选：BC．【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中,()()2,0,4,0,A B-点12PAPPB=满足.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是（）A．C的方程为()2249x y++=B．在x轴上存在异于,A B的两定点,D E,使得12PDPE=C．当,,A B P三点不共线时,射线PO是APB∠的平分线D．在C上存在点M,使得2||MO MA=【答案】BC【解析】【分析】通过设出点P坐标，利用12PAPB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E即可判断B的正误，设出M点坐标，利用2||MO MA=与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在.【详解】设点(),P x y，则12PAPB=，化简整理得2280x y x++=，即()22416x y++=，故A错误；根据对称性可知，当()()6,0,12,0,D E--时，12PDPE=，故B正确；对于C选项，222cos=2AP PO AOAPOAP PO+-∠⋅，222cos=2BP PO BOBPOBP PO+-∠⋅,要证PO为角平分线，只需证明cos=cosAPO BPO∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BOAP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP=-，设(),P x y，则222PO x y=+，()()222222222282828AP x x y x x y x y x y-=++=++++=+，则证cos=cosAPO BPO∠∠，故C正确；对于D选项，设()00,M x y,由2||MOMA=可得220003316+160x y x++=，而点M在圆上，故满足2280x y x++=，联立解得0=2x，y无实数解，于是D错误.故答案为BC.【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.27．直线y x b=+与曲线x=b可取下列哪些值（）A．B．1-C．1 D【答案】AC【解析】【分析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-221x y +=，0x ≥，画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-交点， 则(1,1]{2}b ∈--故选：AC.【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.28．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法错误的是（ ）A ．y x -62-B ．22x y+的最大值为743+C ．y x3D ．x y +的最大值为23+【答案】CD【解析】 【分析】B 中22x y +表示(,)x y 到原点距离的平方，求出原点到圆心距离可得圆上点到原点距离的最大值的最小值，可判断B ，A ，C ，D 中均可以令对应式子m =，解得y 后代入圆方程，由判别式0∆≥可得最值．从而得到判断．本题用了几何意义求解，转化为直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离不大于半径可得结论． 【详解】 对于A ，设z y x =-，则y =x+z ，z 表示直线y =x+z 的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=32≤6262z --≤≤-，所以y x -62-，故A 说法正确；对于B ，22x y +的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2322xy +的最大值为2(23)743=+B 说法正确；对于C ，设yxk =，把y kx =代入圆方程得22(1)410k x x +-+=，则2164(1)0k ∆=-+≥，解得33k -≤yx3C 说法错误；对于D ，设m x y =+，则y x m =-+，m 表示直线y x m =-+的纵截距，当直线与圆22(2)3x y -+=32≤，解得6262m -+≤≤+，所以x y +62，故D 说法错误.故选：CD . 【点睛】本题考查命题的真假判断，实质考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离不大于半径易得解，对平方式可用几何意义：两点间距离的平方求解．29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB的中点，若2AB =，16AA = ）A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为3514C ．异面直线1A D 与1AC 70D ．//CD 平面11AB C【答案】AC 【解析】 【分析】由线面垂直的判定法则可得CD ⊥平面1AA D ，从而可证明A ；建立空间直角坐标系，求出1A D 与1AC 的方向向量，即可求出两直线所成角的余弦值，求出平面11AB C 的法向量与CD 的方向向量，从而可判断直线和平面是否平行.【详解】A:因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1ABAA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥， A 正确；以D 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(16A -，()1,0,0A -，(13,6C ,(16B ，所以(11,0,6A D =-，(11,3,6AC =，所以111111170cos ,710A D AC A D AC A D AC ⋅===⨯，所以异面直线1A D 与1AC 70B 不正确，C 正确；又因为(16AB =，(11,3,6AC =，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则11260360n AB x z n AC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即6222x z y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2,2n =--，因为()0,3,0CD =-，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选:AC.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了线面平行的判定，考查了异面直线所成角的求解，属于中档题.本题的关键是建立空间坐标系，结合向量进行求解.30．（多选题）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1BC 上的动点（不含端点），且1EC DCB C BC=．则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1BC 与1AA 所成角的正切值为32D ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】AD 【解析】 【分析】对于A ，欲证//ED 平面1ACC ，只需证明11////ED BB AA ，由1EC DCB C BC=易证，故A 项正确；对于B ，由AB 、AC、1AA 三条直线两两垂直，可知直三棱柱111ABC A B C -是一个长方体沿对角面切开得到的直三棱柱，因此原长方体的对角线1BC 是三棱柱外接球的直径，因此直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积易求，然后再判断.对于C ，由于11//AA BB ，异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC 中，1BB C ∠的正切值易求，然后判断.对于D ，由AB 、AC 、1AA 三条直线两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量和平面1BB C 的法向量的夹角，然后再判断即可. 【详解】解：在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DC B C BC=，所以11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ，所以//ED 平面1ACC ，A 项正确； 因为1223AA AC AB ===，所以3AB =， 因为AB AC⊥，所以222313BC =+=113417BC =+=易知1BC 是三棱柱外接球的直径， 所以三棱柱外接球的表面积为22174(17)17πππ=⨯=⎝⎭，所以B 项错误； 因为11//AA BB ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠．在1Rt B BC 中，12BB =，13BC =所以1113tan BC BB C BB ∠==C 项错误；二面角A EC D --即二面角1ABC B --，以A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，1(3,0,2)AB ∴=，(3,2,0)BC =-，1(3,2,2)BC =--，设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =， 则1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即3203220x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,0,3)n =-， 设平面1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则100m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m = 故二面角A EC D--4131313=⨯，所以D 项正确．故选：AD. 【点睛】综合考查直三棱柱中线线角、线面角的求法，线面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面积的求法，中档题.31．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F，使得AC AF ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，再依次讨论各选项，即可得答案. 【详解】解：如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠∴AC 与AF不垂直，A 错误.E ，F都在B ，D 上，又11//BD B D∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离 A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△ ∴112234224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查空间线面位置关系，空间几何体的体积等，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.三、填空题32．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离是_______.【答案】72【解析】 【分析】根据两直线34120x y +-=与8110ax y ++=平行，由38431112aa⨯=⨯⎧⎨⨯≠-⨯⎩ 解得a ，然后再利用平行线间的距离公式求解. 【详解】因为两直线34120x y +-=与8110ax y ++=平行，所以38431112aa⨯=⨯⎧⎨⨯≠-⨯⎩ 解得6a =， 又直线34120x y +-=可化为直线68240x y +-=，所以直线68240x y +-=与直线68110x y ++=间的距离为：72d ==，故答案为：72【点睛】本题主要考查两直线的位置关系以及两平行间的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.33．已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=不能围成三角形，则m =_____________.【答案】4或1-或16-或23【解析】 【分析】首先根据三条直线不能构成三角形，得到三条直线的位置关系，根据位置关系列式求m .【详解】若三条直线不能围成三角形，则存在两条直线平行，或是三条直线交于同一点，当12l l //时，411m =，即4m =，当13//l l 时，4123m =-，解得：16m =-， 当23//l l 时，123m m=-，不成立， 当三条直线交于同一点时，联立直线1l 和2l ，则4400x y mx y +-=⎧⎨+=⎩，解得：44x m =-，44my m =-，即交点为44,44m m m ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入直线3l ，28124044m m m --=--，即2320m m +-=，解得：1m =-或23m =， 所以4m =或16-或1-或23.故答案为：4或1-或16-或23【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，重点考查分析问题的能力，属于基础题型.34．圆C ：224210x y x y +--+=上的点到直线2140x y +-=距离的最大值为______.【答案】2【解析】 【分析】先由圆的方程，得到圆心为()2,1C ，半径为2r，求出圆心到直线的距离，再由圆的性质，即可得出结果.【详解】由224210x y x y +--+=整理得()()22214x y -+-=，即圆C 的圆心为()2,1C ，半径为2r，所以圆心()2,1C 到直线2140x y +-=的距离d ==根据圆的性质可得，圆上的点到直线2140x y +-=距离的最大值为2d r+=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查求圆上一点到定直线距离的最值，属于基础题型.35．点P （-1,1）为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为____________【答案】2x-y+3=0 【解析】根据题意，设圆()22125x y -+=的圆心为M ，则M 的坐标10（，）， 则0111(1)2MP k -==---，由11P -（， 为圆M的弦AB 的中点，则MP AB ⊥ ，则2AB k = ，则直线AB 的方程为y 121x -=+（） ，即230x y -+= ； 故答案为230x y -+=．【点睛】本题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用垂径定理分析直线AB 的斜率．36．一条光线从点()2,3-射出，经x 轴反射，其反射光线所在直线与圆()2231x y -+=相切，则反射光线所在的直线方程为____.【答案】2x =或43170x y +-=【解析】 【分析】点()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,即反射光线过点()2,3,分别讨论反射光线的斜率k 存在与不存在的情况,进而求解即可 【详解】点()2,3-关于x 轴的对称点为()2,3,（1）设反射光线的斜率为k ,则反射光线的方程为()32y k x -=-,即320kx y k -+-=,因为反射光线与圆()2231x y -+=相切,。
高二期中模拟考试二数学试题答案
32-<x 高二期中模拟考试二数学试题答案1.】C 2．A3．B4.【答案】C5.【答案】D6.C ．7．C【详解】赛制为3局2胜制，比赛没有平局，因此随机变量X 的可能值为2或3，222(2)(1)221P X p p p p ==+-=-+，A 错；222(3)(1)(1)(1)(1)(1)22P X p p p p p p p p p p p p ==-+-+-+--=-+，B 错；222215()2(221)3(22)2222(22E X p p p p p p p =-++-+=-++=--+，因为112p <<，所以5()(2,)2E X ∈，C 正确；记2222p p t -++=，5(2,2t ∈，2222()4(221)9(22)1010456E X p p p p p p t =⨯-++⨯-+=-++=-，222251()()()56()24D X E X E X t t t =-=--=--+，因为5(2,2t ∈，所以1()4D X <，D 错．8.【答案】D【解析】解：令()()g x f x x =+，()()2f x f x x =-- ，()()()f x x f x x ∴+=-+-，即()()g x g x -=，()g x ∴为R 上的偶函数；令2()()h x g x x =+，则()()h x h x -=，即()h x 为R 上的偶函数；又当0x 时，2()[()]()()210h x f x x x f x x '=+'+'='++ ，()h x ∴在[0,)+∞上单调递增；又222(21)33(1)(21)(21)21(1)(1)f x x x f x f x x x f x x +++>+⇔+++++>+++1(21)(1)x h x h x ++⇔+>+，2|21||1|320x x x x ∴+>+⇔+>，解得：0x >或，9．ABC10.【答案】ABD11.【答案】BD12.【答案】ACD解：对于A ，010()()ktf t e θθθ-=+-⋅ ，10()()()ktf t k eθθ-∴'=-⋅-⋅，10θθ> ，0k >，()0f t ∴'<，故A 正确；对于B ，180θ= ，020θ=，()2060ktf t e -∴=+⋅，由3(3)206065kf e-=+⋅=，得3453604k e -==，则6329(6)20602060()206053.7516kk f ee --=+⋅=+⋅=+⨯=，故B 错误；对于C ，(3)f '表示在3t =处，(3)f 的变化速度，(3)40f '=-< ，∴其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟4C ︒的速率下降，故C 正确；对于D ，设10()()()()ktg t f t k eθθ-='=-⋅-⋅，则210()()0ktg t k eθθ-'=-⋅⋅>，()g t ∴在定义域内单调递增，又()0f t '<，()f t ∴的下降速度随时间增加而减小，又8060604020-=-=，∴下降相同温度，用时相对增加，故D 正确．13．51614.2015．216.【答案】ln 51(,)5e解：函数()|ln |f x x =的图象如图示：当0a 时，显然，不合乎题意，当0a >时，如图示，当(0,1]x ∈时，存在一个零点，当1x >时，()ln f x x =，可得()ln g x x ax =-，((1,5])x ∈11()ax g x a x x -'=-=，若()0g x '<，可得1x a>，()g x 为减函数，若()0g x '>，可得1x a <，()g x 为增函数，此时()f x 必须在(1,5)上有两个零点，1()0(5)0(1)0g a g g ⎧>⎪⎪∴<⎨⎪<⎪⎩，解得1515n a e <<，17.【答案】解：由已知得二项式系数之和为12128n -=，所以8.n =(1)展开式通项为：8483181(.02kk k k T C x k --+==，1， (8)令8403k -=得 2.k =故常数项为8223817()216T C -==3(2)x 的项的系数为33343343424423.n n n C C C C C C C ++++++=+++= 将8n =代入得411330.C =18.解：(1)①设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P(A 3)＝2325C C ·1223C C ＝15.②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3，又P(A 2)＝22322253C C C C ＋113225C C C ·1223C C ＝12，且A 2，A 3互斥，所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2，P(X ＝0)＝7110⎛⎫-⎪⎝⎭2＝9100，P(X ＝1)＝C 21·7107110⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2150，P(X ＝2)＝710⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝49100，所以X 的分布列是X 012P9100215049100X 的数学期望E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.19.【解析】（1）把6本不同的书分给3位学生，每人2本，有222364233390C C C A A ⨯=种方法；（2）若个位是0，则有3560A =种，若个位不是0，先从2､4中选一个，再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位，中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有242496A ⨯⨯=种，故012345､､､､､这6个数字组成没有重复数字的四位偶数共6096156+=个；（3）分类计数：若1个会双语的导游都不选，则有33344C C =种，若恰选1个会双语的导游，则有()233213434236C C C C C +=种，若恰选2个会双语的导游，则有1331122343423452C C C C C CC ++=种，故不同的选择方法有4365292++=种．20.【答案】解：(1)由题意知||OC =||120AC x =-，20120()(0120)3050x xt x x-∴=+ )1200(≤≤x 12221(20)211(2)()2305050x x t x -+⨯'=-=令()0t x '=，得15x =当015x <<时，()0t x '<，当15120x <<时，()0t x '>所以()t x 在[0,15)上单调递减，在(15,120]上单调递增；即15x =时()t x 取最小值，所以当15x km =时运输时间最短.21．（1）先摸球者获胜，则游戏进行3轮或5轮3轮：白黑黑：311152310⨯⨯=，黑白黑：231154310⨯⨯=，5轮：最后一球为黑球：343525C C =，所以先摸球者获胜的概率为1123101055++=.（2）X 的所有可能取值为：0､1､2､3，328(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33223322348(1)555555555125P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，32333323257(2)555555555125P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，32212(3)555125P X ==⨯⨯=，分布列为：X123P81254812557125121258485712198()0123125125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22【答案】解：21(1)()ln 2f x x bx x =-+，则211()(0).x bx f x x b x x x-+'=-+=>令2()1x x bx ϕ=-+，若042≤-=ac b σ，即242-≤-≤ac b 时，则0≥）（x ϕ恒成立，即()0f x ' 恒成立，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增；若240b ∆=->，则2b <-或2b >，当2b <-时，函数2()1x x bx ϕ=-+的对称轴方程为12bx =<-，(0)1ϕ=，则当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ>恒成立，即()0f x '>恒成立，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2b >时，函数2()1x x bx ϕ=-+的对称轴方程为12bx =>，(0)1ϕ=，由2()10x x bx ϕ=-+=，得2b x =，∴当44(0,(,)22b b x +∈+∞ 时，()0x ϕ>，()0f x '>，当(,22b b x ∈时，()0x ϕ<，()0f x '<，()f x ∴在(0,2b，(,)2b ++∞上单调递增，在(,22b b -上单调递减．综上所述，当2b 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2b >时，()f x在(0,2b -，(,)2b +∞上单调递增，在(,22b b 上单调递减．(2)函数21()ln 2f x x x bx =+-，211()x bx f x x b x x -+'=+-=，由()0f x '=，得210x bx -+=，1x ，212()x x x <是函数()f x 的两个极值点，12x x b ∴+=，121x x =，211x x ∴=，52b ，1211152x x x b x +=+= ，12110x x x <<=，解得1102x <，222112121211221111()()ln ()()2ln ()22x f x f x x x b x x x x x x ∴-=+---=--，构造函数22111()2ln ()((0,]),22F x x x x x =--∈223321(1)()0x F x x x x x --'=--=<，()F x ∴在1(0,]2上单调递减．∴当112x =时，min 115()()2ln 228F x F ==-，故k 的最大值为152ln 2.8-补充练习：已知函数()(ln )().xxf x a x x a R e =+-∈(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)讨论函数()f x 的极值点的个数．【答案】解：(1)当1a =时，()ln (0)xxf x x x x e =+->，则1111()1(1)()x x x f x x e x e x-'=+-=-+，所以(1)0f '=，又1(1)1f e=-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为11y e=-；(2)由题意可知，111()(1)()(0)x xx x xf x a a x e x x e --'=+-=+>，记()x x g x a e =+，1()x xg x e-'=，令()0g x '>，得01x <<，令()0g x '<，得1x >，所以()g x 的增区间为(0,1)，减区间(1,)+∞，所以()g x 的最大值为1(1)g a e =+，所以1()a g x a e<+ ，①当0≥a 时，()0g x >恒成立，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，此时有且只有1个极值点，②当1a e-时，()0g x 恒成立，令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，所以()f x 有且仅有1个极值点，③当10a e-<<时，方程()0g x =有两个相异的实数根1x ，2x ，不妨设1201x x <<<，则10x x <<，()0f x '<，当11x x <<，()0f x '>，当21x x <<，()0f x '<，当2x x >，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)x 上递减，在1(,1)x 上递增，在2(1,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增，此时()f x 有3个极值点．综上可知，当0a 或1a e -时，()f x 有1个极值点；当10a e-<<时，()f x 有3个极值点．。
人教A版选修2-2高二下数学期中模拟试题参考答案.docx
梁山一中高二数学（理科）模拟测试题参考答案一．选择题DBAAD ADBCC AD 二．填空题 13.1(0,)e ，14. 18ln 2，15.(1,0)(1,)-+∞U ，16.1212lg lg lg 22x x x x ++> 三．解答题17.解：26(1)(2)2(1)(1)(1)m i z i m i i i +=+----+=2(2)3(1)2(1)i m m i i +-+--22(232)(32)m m m m i =--+-+（1）若复数z 是实数，则2320m m -+=，所以1,m =或2；（2）若复数z 是纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，所以12m =-；（3）因为复数z 对应的点位于第一、三象限的角平分线上 所以2223232m m m m --=-+，所以2m =±. 18.19.（1）证明：连结1BC 交1B C于F ，连结EF .,E F Q 分别是1,AB BC 的中点，EF ∴是1ABC ∆的中位线，1//EF AC ∴.又EF ⊂Q 平面1EB C ，1AC ⊄平面1EB C ,∴1//AC 平面1EB C（2）解：作DG AB ⊥于G ，以D 为坐标原点，1,,DG DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.60BAD ∠=︒Q ，1,3AG DG ∴==111(0,0,0),1,0),,0),(0,3,0),(0,0,3)2D A E B C B D ∴-设平面1EB C 的一个法向量为(,,)n x y z =r. 133(0,,3),(,0)22EB EC ==u u u r u u u r Q,3302502y z y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，令2y =，则1,z x =-=，2,1)n ∴=-r，又11(,3)2ED =-u u u u r Q ，∴设直线1ED 与平面1EB C 所成角为θ，则1sin cos ,70n ED θ=<>==r u u u u r∴直线1ED 与平面1EB C所成角的正弦值为70. 20.解:(1)当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时, 要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=(升).(2)当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了100x小时,设耗油量为()h x 升,依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数;当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数.∴当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值.答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.21.(1)证明：以D 为坐标原点，,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由题意得(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,0),(0,0,),(0,0,)A a B a a C a D E a S a λ.(,,0),(,,)AC a a BE a a a λ∴=-=--u u u r u u u r， 2()()00AC BE a a a a λ∴=-+⋅-+⋅=u u u r u u u rg ，AC BE ∴⊥u u u r u u u r，即对任意的(0,1]λ∈，都有AC BE ⊥.（2）解：平面ADE 的一个法向量为1(0,1,0)n =r， 设平面ACE 的一个法向量为2(,,)n x y z =r(,0,),(,,0)AE a a AC a a λ=-=-u u u r u u u rQ ，00ax az ax ay λ-+=⎧∴⎨-+=⎩，令1x =，则11,y z λ==. 21(1,1,)n λ∴=r12cos cos 60n n ∴<⋅>==︒u r u u r因为(0,1]λ∈，所以解得2λ=. 22.解:(1)22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值,∴0)1(='f 即022=-+a ax解得 1.a =(2)222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）. (3)当2a ≥时,由(2)①知,()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时,由(2)②知,()f x 在x =处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞。
高二数学第二学期期中检测试题及答案
第- 1 -页 共12页—高二数学下学期期中考试试卷(甘谷四中)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.（1）一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 （ ）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交 （2）如果a 、b 是异面直线，那么过直线a 且与b 平行的平面 （ ）A.不存在B.有且只有一个C.有两个D.有无数个 （3）已知)1,1,1(A ，)4,0,1(-B ，)3,2,2(-C ，则><→→CA AB ,的大小为 （ ）A.π61B.π65 C.π31 D.π32（4）已知ABC ∆的三个顶点)2,3,3(A ，)7,3,4(-B ，)1,5,0(C ，则边BC 上的中线长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5（5）已知点P 是两条异面直线a ，b 外一点，则过P 点且与a ，b 都平行的平面的个数为（ ）A.0B.1C.0或1D.2 （6）设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥； ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m //α，n //α，则m n //； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 （ ） A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④（7）若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为 （ ）（8）在四面体ABCD 中，已知棱AC1，则二面角 C BD A --的余弦值为 （ ）第- 2 -页 共12页A.31 B. 31- C.33 D.23（9）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为 （ ）A.83 B.38 C.43 D.34（10）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ） A.8π B.6π C.4π D.π （11）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为1111AC B D 与的交点.若,→→=a AB ,→→=b AD →→=c AA 1，则下列向量中与→DM 相等的向量是 （ ） A.→→→++-c b a 2121 B. →→→++c b a 2121C. →→→+--c b a 2121D. →→→+-c b a 2121（12）地球半径为R ，在北纬30°圈上，A 点经度为东经120°，B 点的经度为西经60°，则A 、B 两点的球面距离为 （ ）A.R 3πB.R π23 C.R π21D ．R π32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（13）空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若,a BD AC ==且AC 与BD 所成的角为60o ，则四边形EFGH 的面积是 ． （14）正方形的面积与其水平放置的直观图的面积的比为 . (15) 平行六面体1111D C B A ABCD -中，向量→AB ，→AD ，→1AA 两两夹角均为60°，且,3||,2||,1||1===→→→AA AD AB 则=→||1AC .(16) 设a ，b 是平面α外的两条直线，给出下列四个命题：得分评卷人MA C DB第- 3 -页 共12页①若b a //，α//a ，则α//b ； ②若α//a ，α//b ，则b a //；③若b a //，b 与α相交，则a 与α也相交； ④若a 与b 异面，α//a ，则α//b ．其中正确命题的序号是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）已知),2,5,1(),5,2,3(-=-=→→b a 求：.,6,,|,|→→→→→→→→⋅-+b a a b a b a a第- 4 -页 共12页（18）（本小题满分12分）在三棱锥ABC S -中， 90=∠=∠=∠ACB SAC SAB ，,2=AC ,4=BC24=SB .（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A BC S --的大小.得分评卷人SABC第- 5 -页 共12页（19）（本小题满分12分）在四面体ABCD 中，CD CB =，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， （Ⅰ）求证直线EF ∥平面ACD ；（Ⅱ）求证平面⊥EFC 平面BCD .第- 6 -页 共12页（20）（本小题满分12分）如图所示，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ，若AE ⊥PC ， E 为垂足，F 为PB 上任意一点.求证：平面AEF ⊥平面PBC .第- 7 -页 共12页（21）（本小题满分12分）已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°,PA ⊥平面ABCD ，且.2,1====BC AB AD PA(Ⅰ)求PC 的长；(Ⅱ)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小.得分评卷人PA BCD第- 8 -页 共12页（22）（本小题满分12分）如图，四棱锥中， 平面，底面为直角梯形，且，，,.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离.P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD //AB CD 90BAD ∠=2PA AD DC ===4AB =BC PC ⊥PB PAC A PBCDCBA P第- 9 -页 共12页甘谷四中2019—2019学年度第二学期期中考试高二数学评分参考一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.(1)B (2)B (3)D (4)B (5)C (6)A (7)C (8)B (9)C (10)C (11)D (12)D 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. （13）283a ； （14） （15）5； （16）③.三、解答题：(17) （本小题满分10分）解：,3852)3(||222=++-=→a ……2分),3,7,2(-=+→→b a ……4分),7,3,4(--=-→→b a ……6分),30,12,18(6-=→a ……8分.310103-=-+-=⋅→→⋅b a ……10分(18) （本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）, ,SA AB SA AC ⊥⊥且,ABAC A SA =∴⊥平面ABC .AC 为SC 在平面ABC 内的射影.又AC ⊥BC , ∴BC ⊥SC . ……6分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）BC ⊥SC ，又BC ⊥AC ，∴SCA ∠为所求二面角的平面角.又∵SB =,24BC =4,∴SC =4 . ∵AC =2 , ∴SCA ∠=60°.即二面角A BC S --大小为60°. ……12分注：也可用向量做，可按以上规则给分.(19) （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EFAD ⇒,EF ADAD ACD EF ACD EF ACD ⎫⎪⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面 ……6分第- 10 -页 共12页（II ）EF AD EF BDAD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪=⎪⎪⎭面为的中点，又BD BCD ⊂面，∴EFC D ⊥面面BC ……12分 注：也可用向量做，可按以上规则给分.(20) （本小题满分12分）证明：∵ C 是以AB 为直径的圆O 的圆周上一点， ∴ BC ⊥AC又∵ PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴ BC ⊥PA∴ BC ⊥平面PAC ……6分 又∵ AE ⊂平面PAC ∴ BC ⊥AE又∵ AE ⊥PC ，BC ∩PC=C ∴ AE ⊥平面PBC 又∵AE ⊂平面AEF∴ 平面AEF ⊥平面PBC ……12分 (21) （本小题满分12分）解：(Ⅰ)因为P A ⊥平面AC ，AB ⊥BC ,∴PB ⊥BC ,即∠PBC =90°,由勾股定理 PB =222=+AB PA .∴PC =622=+PC PB . ……6分 (Ⅱ)如图，过点C 作CE ∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为∠PCE 或它的补角. ∵CE =BD =2，且 PE =1022=+AE PA∴由余弦定理得cos PCE =632222-=⋅-+CE PC PE CE PC ∴PC 与BD 所成角的余弦值为63. ……12分(22) （本小题满分12分） 方法一：第- 11 -页 共12页（Ⅰ）证明：在直角梯形中，，， ，且取的中点，连结， 由题意可知，四边形为正方形，所以，又，所以， 则为等腰直角三角形，所以，又因为平面，且 为在平面内的射影， 平面，由三垂线定理得，……4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，，，所以平面， 是在平面内的射影，所以是与平面所成的角， ……6分 又，，，即与平面所成角的正弦为……8分 (III)由(II)可知，平面，平面，所以平面平面，过点在平面内作于，所以平面，则的长即为点到平面的距离，在直角三角形中，，，所以即点到平面 ……12分 方法2∵平面，∴以A 为原点，AD 、AB 、AP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系 ……1分 ∵，.∴ B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) ……2分 ABCD //AB CD 90BAD ∠=2AD DC ==∴90ADC ︒∠=AC =AB E CE AECD 2AE CE ==122BE AB ==12CE AB =ABC ∆AC BC ⊥PA ⊥ABCD AC PC ABCD BC ⊂ABCD BC PC ⊥BC PC ⊥BC AC ⊥PC AC C =BC ⊥PAC PC PB PAC CPB ∠PB PAC CB =22220PB PA AB =+=PB =sin 5CPB =PB PAC 5BC ⊥PAC BC ⊂PBC PBC ⊥PAC A PAC AF PC ⊥F AF ⊥PBC AF A PBC PAC 2PA =AC =PC =AF =A PBC AP ⊥ABCD 90BAD ∠=2PA AD DC ===4AB =第- 12 -页 共12页 （I ）∴∵∴, 即 ……4分 (II) ∵设面APC 法向量∴ ∴设∴∵∴即与平面 ……8分 (III)由∵设面法向量 ∴ ∴设∴∴点到平面的距离为= ∴点到平面……12分(2,2,0),(2,2,2)BC PC =-=-0BC PC =BC PC ⊥BC PC ⊥(0,0,2),(2,2,0)AP AC ==(,,)x y z =n 00AP AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 0,220z x y =⎧⎨+=⎩1,1x y =-∴=(1,1,0)=-n (0,4,2)PB =-cos ,|||PB PB PB <>=⨯n n n |PB PAC (0,4,2),(2,2,2)PB PC =-=-PBC (,,)a b c =m 00PB PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 420,2220b c a b c -=⎧⎨+-=⎩1,2,1a c b =∴==(1,1,2)=m A PBC ||AB d =m |m |3A PBC。
观一中高二数学上期中考试模拟试卷(2)(含答案)
观一中高二数学上学期期中考试模拟（2）命题人：轩老师一、单选题(共60分)1．(本题5分)已知[x]表示不超过x的最大整数，如[2.7]＝2，[－1.6]=－2，执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．31B．34C．35D．382．(本题5分)已知命题p：∃x0∃R，sin x0q：∃x∃R，x2-2x+2≥0.下列结论正确的是（）A．p∃q是真命题B．p∃q是真命题C．（¬p）∃q是假命题D．（¬p）∃（¬q）是真命题3．(本题5分)已知数列{a n}为等比数列，且a2a10=4a6，数列{b n}为等差数列，S n为等差数列{b n}的前n项和，S6=S10,a6=b7，则b9=（）A．43B．−43C．−83D．﹣44．(本题5分)下列说法正确的是（）①10111（2）＞26（8）；②用辗转相除法求得459和357的最大公约数是61；③能使y的值为3的赋值语句是y+2＝5；④用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5﹣2x3+x2﹣1在x＝2的值时，v3的值是5．A．①②B．②③C．①④D．②④5．已知下列四个命题：正确的是（）p1：∃x0>0，使得ln x0>x0−1；p2：∀x∈R，都有x2−x+1>0；p3：∃x0>0，使得ln1x0>−x0+1；p 4：∀x ∈(0,+∞)，使得(12)x>log 12x ．A ．p 2，p 4B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 36．(本题5分)某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：第x 天 1 2 3 4 5 使用人数(y )151734578421333由表中数据可得y 关于x 的回归方程为y ̂=55x 2+m ，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（ ） A ．5B ．−6C ．3D ．27．(本题5分)在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地总体均值为3，中位数为4 B ．乙地总体均值为2，总体方差大于0 C ．丙地中位数为3，众数为3D ．丁地总体均值为2，总体方差为38．(本题5分)某学校老师中，O 型血有36人、A 型血有24人、B 型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量n 可能为（ ） A ．12B ．8C ．6D ．49．(本题5分)一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4510．(本题5分)“a =1”是“对任意的正实数x ，均有x +ax ≥2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．(本题5分)如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设DF =2AF ．若在大等边三角形内任取一点P ，则该点取自小等边三角形内的概率为（ ） A ．37B ．47C ．413D ．91312．(本题5分)如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．√22D ．√32二、填空题(共20分)13．(本题5分)请把6进制数(6)32405化成8进制数：_ _(8)．14．(本题5分)已知椭圆22x a＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (,0)5a，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________． 15．(本题5分)今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.16．(本题5分) 设ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，cos (A −C )−cos B =12，延长BC 至D ，若BD =2，则ΔACD 面积的最大值为__________.三、解答题(共70分)17．(本题10分)在锐角△ABC 中，已知AB 2+AC 2−BC 2=6AB ⋅BC ⋅cos B . （1）求证：tan B =3tan A ； （2）若sin C =2√55，求A 的值. 18．(本题12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =32⋅3n +b （b 为常数）. （1）求b 的值和数列{a n }的通项公式；（2）记c m 为{a n }在区间[−3m ,3m ](m ∈N ∗)中的项的个数，求数列{a m c m }的前n 项和T n .19．(本题12分) 某企业员工x 人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．区间 [25，30）[30，35）[35，40）[40，45） [45，50）频数5050a150b（1）表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数x ，a ，b 的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，并且在第3组抽的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动，求甲被选中的概率．20．(本题12分)已知函数()f x A ，关于x 的不等式(x −m2)(x −2m +1)≤0的解集为B ．（1）当m =2时，求()R A B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围． 21．(本题12分)已知斜率为√3的直线l 过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点以及点(0,−2√3).椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在直线x =a 2c上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E (−2,0)的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√63⋅1tan ∠MON（O 为坐标原点），求直线m 的方程.22．(本题12分)已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1的上顶点到右顶点的距离为√7，离心率为12，过椭圆左焦点F 1作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ､N 两点，直线m 的方程为：x =−2a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标. ②点O 为坐标原点，求△OEN 面积的最大值.参考答案1．B 【分析】根据[x]定义，结合程序框图分别求出1≤n <4，4≤n <9，9≤n <16时，[√n]的值，从而可得答案. 【详解】解：根据[x]定义可得， 当1≤n <4时，[√n]=1； 当4≤n <9时，[√n]=2； 当9≤n <16时，[√n]=3， 所以S =1×3+2×5+3×7=34， 故选：B ． 2．A 【分析】先判断命题p,q 的真假，再由复合命题的真值表可得到答案. 【详解】由−1≤sin x ≤11>，故命题p 为假命题. 由()2222110x x x -+=-+>，所以命题q 为真命题. 所以p ∨q 为真命题，故选项A 正确 p ∧q 为假命题，故选项B 不正确¬p 为真命题，则(¬p )∨q 为真命题，故选项C 不正确¬p 为真命题，¬q 为假命题，所以(¬p )∧(¬q )为假命题，故选项D 不正确 故选：A 3．B 【分析】根据已知条件求得a 6,b 1,d ，由此求得9b . 【详解】依题意{a 2a 10=a 62=4a 6a 6≠0⇒a 6=4⇒b 7=4.所以{6b 1+15d =10b 1+45d b 1+6d =4⇒b 1=20,d =−83. 所以b 9=b 1+8d =20−8×83=60−643=−43.故选：B4．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；转化法；算法和程序框图；数学运算． 【答案】C【分析】由进制数的换算可判断①；由辗转相除法的特点计算可判断②；由赋值语句的特点可判断③；由秦九韶算法的特点计算可判断④． 【解答】解：∵10111（2）＝1+2+4+16＝23（10）， 26（8）＝16+6＝22（10）， ∴10111（2）＞26（8），故①正确；用辗转相除法求得459和357的最大公约数： 459÷357＝1…102， 357÷102＝3…51， 102÷51＝2，求得459和357的最大公约数是51，故②错误； 能使y 的值为3的赋值语句是y ←3，故③错误； 用秦九韶算法求多项式f （x ）＝x 5﹣2x 3+x 2﹣1，可写为f （x ）＝x （x （x （x •（x +0）﹣2）+1））﹣1，即有v 1＝2，v 2＝4﹣2＝2，v 3＝4+1＝5，故④正确． ∴正确的命题是①④． 故选：C ．【点评】本题考查算法和进制数的换算，考查运算能力，属于基础题． 5．C 【分析】构造函数f (x )=ln x −x +1，求导判断单调性求最大值可判断p 1；对二次函数配方求x 2−x +1的最小值可判断p 2；举例子如x 0=e 可判断p 3；举反例如x =12可判断p 4，进而可得正确答案. 【详解】对于p 1，设f (x )=ln x −x +1，则f ′(x )=1x −1=1−x x，由f ′(x )>0可得0<x <1；由f ′(x )<0可得x >1，所以f (x )=ln x −x +1在()0,1上单调递增，在(1,+∞)单调递减， 所以f (x )(1)ln 1max ，所以f (x )=ln x −x +1≤0恒成立， 所以∀x >0，ln x ≤x −1，故p 1错误；对于p 2，∀x ∈R ，都有22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故p 2正确；对于p 3：当x 0=e 时，ln 1x 0=ln 1e =−1， −x 0+1=1−e ，此时满足ln 1x 0>−x 0+1，故p 3正确；对于p 4，当x =12时，(12)12=√12=√22，log 1212=1，不满足(12)x>log 12x 成立，故p 4错误；故正确是p 2，p 3， 故选：C ． 6．B 【分析】先计算出m 的值，然后求得估计值，最后计算出残差. 【详解】令t =x 2，则ŷ=55t +m ，t =1+4+9+16+255=11，y =15+173+457+842+13335=564，所以564=55×11+m,m =−41， 所以y ̂=55x 2−41，当x =2时，y ̂=55×22−41=179， 所以残差为173−179=−6. 故选：B 【点睛】非线性回归要先转化为线性回归来求解，回归直线方程过样本中心点.7．D 【分析】根据均值、方差、中位数以及众数的基本概念，结合所给数据逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A ：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人， 反例：0､0､1､1､4､4､4､4､4､8，满足中位数为4，均值为3， 与题意矛盾，A 不正确；对于B ：当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，反例：0､1､1､1､1､1､1､2､4､8，满足均值为2，方差大于0， 与题意矛盾，B 不正确；对于C ：中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人， 反例：0､1､1､3､3､3､3､3､3､8，满足中位数为3，众数为3， 与题意矛盾，C 不正确；对于D ：将10个数由小到大依次记为x 1､x 2､x 3､x 4､x 5､x 6､x 7､x 8､x 9､x 10， 假设x 10≥8，若均值为2，则方差为s 2=∑(x i −2)210i=110≥(x 10−2)210=3.6，矛盾，故x 10<8，假设不成立，故丁地没有发生规模群体感染，D 正确. 故选：D. 8．C 【分析】根据系统抽样和分层抽样方法特点确定样本容量n 需满足条件，再比较选项确定结果. 【详解】因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；所以样本容量n 为36+24+12=72 的约数，因为36:24:12=3:2:1 ，所以样本容量n 为3+2+1=6的倍数，因此舍去B,D;因为如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，所以样本容量n 为72−2=70的约数加1，因此选C.本题考查系统抽样和分层抽样方法，考查基本求解能力.9．C【分析】写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解.【详解】5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，则任意选出2名同学，共有:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C)10个基本事件，其中选出的同学中既有男生又有女生共有(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C)6个基本事件，所以P=610=35,故选：C10．A【分析】将对任意的正实数x，均有x+ax≥2转化为a≥−x2+2x在(0,+∞)上恒成立，从而可得a的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义即可得解．【详解】∵对任意的正实数x，均有x+ax≥2∴x2+a≥2x在(0,+∞)上恒成立，即a≥−x2+2x在(0,+∞)上恒成立∵−x2+2x=−(x−1)2+1，x>0∴−(x−1)2+1≤1，即a≥1∵当a=1时，a≥1一定成立；a≥1时，a=1不一定成立.∴“a=1”是“对任意的正实数x，均有x+ax≥2”的充分不必要条件故选：A.11．C【分析】设∠DBA=α，求出sinα=√3√52413DEFABCSS△△，即得解.设∠DBA=α，则由题意得BDAD =13=sin(60°−α)sinα，所以3sin sin2ααα=-，化简得tanα=3√35，所以sinα=√3√52．而222222sin43sin12013 DEFABCS DFS ABα⎛⎫==⋅=⎪︒⎝⎭△△，所以所求概率为413.故选：C12．B【分析】利用球的对称性，作出截面图，从而判断∴a=√3=√3，【详解】如图，l1,l2是两条与球相切的直线，分别切于点A,C，与底面交于点B,D，∴AC=2R=22,R=11,过C作//CE BD交l1,l2于E,C,则CE=BD，在△ACE中，CE sin90o =ACsin60o，∴CE=22×√3=2a，∴a=√3=√3, 22b=，∴c=√4R23−R2=√33R，求出离心率.那么椭圆中22b=，∴c=√4R23−R2=√33 R,∴e =ca =√3R 32R √3=12 .故选：B 【点睛】需要准确得出截面图，理解椭圆的短轴长和篮球的直径是一样的，然后借助平面图形求解，对空间想象能力有一定的要求. 13．10565 【分析】先将6进制数化为十进制数，再用除k 取余法将十进制数化为8进制数即可得解． 【详解】43210(6)3240536264606564469=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，又：446985585÷=⋯，5588696÷=⋯， 69885÷=⋯， 8810÷=⋯，把余数从下往上排序：10565． 即：108(4469)(10565)=． 故答案为：10565 【点睛】关键点点睛：考查进位制的转换，关键是熟练掌握除k 取余法及其进位制的数转化为十进制数的方法，属于中档题． 14．(√55,1)【分析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1≠x 2，则{2a5(x 1−x 2)=x 12−x 22+y 12−y 22y 12=b 2−b 2a 2x 12y 22=b 2−b 2a 2x 22，整理可得32225()a a b -＝x 1+x 2，又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，从而可得b 2a 2<45，从而可得答案. 【详解】解：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1≠x 2，则{ (x 1−a 5)2+y 12=(x 2−a 5)2+y 22x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b2=1，即{2a5(x 1−x 2)=x 12−x 22+y 12−y 22y 12=b 2−b 2a 2x 12y 22=b 2−b 2a 2x 22， 所以2a 5(x 1−x 2)=a 2−b 2a 2(x 12−x 22)，所以32225()aa b -＝x 1+x 2， 又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a ＜x 1+x 2＜2a ，则32225()a a b -＜2a ，即b 2a 2<45，所以e 2=1−b 2a 2>15， 又0＜e ＜1，所以√55＜e ＜1. 故答案为：(√55,1).15．4039 【分析】根据题意得a n =2n −(n −1)，进而只需求数列{a n }的前11项和为S 11即可得答案. 【详解】设每个30分钟进去的人数构成数列{a n }，则a 1=2=2−0,a 2=4−1,a 3=8−2,a 4=16−3,a 5=32−4，…，a n =2n −(n −1). 设数列{a n }的前n 项和为S n ，依题意，只需求S 11=(2−0)+(22−1)+(23−2)+⋯+(211−10)=(2+22+23+⋯+211)−(1+2+⋯+10)=2(1−211)1−2−11×102=212−2−55=212−57=4039 .故答案为：4039. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得每个30分钟进去的人数构成数列{a n }，其通项公式为a n =2n −(n −1). 16．【答案】√34【详解】∵cos (A −C )−cos B =cos (A −C )+cos (A +C )=12，∴cos A cos C =14，①又∵a,b,c 成等比数列，∴b 2=ac ， 由正弦定理可得sin 2B =sin A sin C ，② ①-②得14−sin 2B =cos A cos C −sin A sin C =cos (A +C )=−cos B ，∴14+cos 2B −1=−cos B ，解得cos B =12,B =π3， 由cos (A −C )−cos B =12， 得cos (A −C )=12+cos B =1， A −C =0,A =B ，ΔABC 为正三角形， 设正三角形边长为a ，则CD =2−a ，S ΔACD =12AC ⋅CD sin 120∘=12a (2−a )×√32=√34a (2−a ) ≤√34×[a+(2−a )]24=√34，a =1时等号成立．即ΔACD 面积的最大值为√34，故答案为√34.17．（1）证明见解析；（2）A =π4. 【分析】（1）由题设及余弦定理可得AC ⋅cos A =3BC ⋅cos B ，再根据正弦定理及锐角三角形内角的性质即可证结论.（2）根据同角三角函数的平方关系可得cos C =√55，进而可得tan C =tan[π−(A +B)]=2，应用诱导公式、和角正切公式求tan A ，即可求A 的值. 【详解】（1）由题设得：AC ⋅AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=3BC ⋅cos B ，∴AC ⋅cos A =3BC ⋅cos B ，由正弦定理知：ACsin B =BCsin A ，∴sin B ⋅cos A =3sin A ⋅cos B ，又0<A <π2，02B π<<，即cos A >0，cos B >0.∴sin Bcos B =3⋅sin Acos A ，即tan B =3tan A .（2）∵sin C =2√55，△ABC 为锐角三角形，则cos C =√55，∴tan C =2，则tan[π−(A +B)]=2，即tan(A +B)=−2. ∴tan A+tan B1−tan A⋅tan B =−2，由（1）可得24tan 213tan A A=--，解得tan A =1或tan A =−13. 综上，可知：tan A =1，故A =π4.18．（1）32b =-，3nn a =，n ∈N ∗；（2）T n =2n−14⋅3n+1+34.【分析】（1）根据等比数列前n 项和的性质求基本量，即可得b 的值，进而写出{a n }的通项公式； （2）由（1）已知c m =m ，应用错位相减法求{a m c m }的前n 项和T n . 【详解】（1）由题设S n =32⋅3n +b ，显然等比数列{a n }的公比不为1， 若{a n }的首项、公比分别为a 1，q ，则S n =a 1(1−q n )1−q=a 11−q−a 1q n 1−q，∴b =a11−q =−32且q =3，a 1=3，故{a n }的通项公式为3nn a =，n ∈N ∗.（2）数列{a n }在[−3m ,3m ](m ∈N ∗)中的项的个数为m ，则c m =m ， ∴T n =1⋅31+2⋅32+⋅⋅⋅+n ⋅3n ，则3T n =1⋅32+2⋅33+⋅⋅⋅+n ⋅3n+1 两式相减得−2T n =31+32+⋅⋅⋅+3n −n ⋅3n+1=1−2n 2⋅3n+1−32.∴T n =2n−14⋅3n+1+34.19．【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算． 【答案】见试题解答内容【分析】（1）由频率分布表得[25，30）的频数为50，由频率分布直方图得[25，30）的频率为0.1，由此能求出x ，a ，b ．（2）根据频率分布直方图能估计该企业员工的平均年龄．（3）从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，第3组抽取4人，在第3组抽的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动，基本事件总数n ＝＝6，其中甲被选中包含的基本事件个数m ＝＝3，由此能求出甲被选中的概率．【解答】解：（1）由频率分布表得[25，30）的频数为50， 由频率分布直方图得[25，30）的频率为0.02×5＝0.1，[35，40）的频率为0.08×5＝0.4，[45，50）的频率为0.02×5＝0.1， ∴x ＝＝500．∴a ＝500×0.4＝200，b ＝500×0.1＝50．（2）根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄为：30×0.02×5+35×0.02×5+40×0.08×5+45×0.06×5+50×0.02×5＝41． （3）从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人， 则第3组抽取：6×＝4，在第3组抽的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动， 基本事件总数n ＝＝6，其中甲被选中包含的基本事件个数m ＝＝3，∴甲被选中的概率为P ＝＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，数据分析能力，是基础题．20．（1）()(R A B =-∞，1][32-，)+∞；（2）(-∞，2]-．【分析】（1）先求出函数f(x)的定义域，可得集合A ，再解一元二次不等式可得集合B ，然后求()R A B ；（2）先求出集合B ，由x ∈A 是x ∈B 的充分条件，可得A ⊆B ，所以{m 2⩾42m −1⩽−12，解不等式组可得答案 【详解】解：（1）要使f(x)有意义，则{4−x >02x +1>0，得{x <4x >−12，得−12<x <4，即函数的定义域1(2A =-，4)．当m =2时，不等式等价为(4)(3)0x x --得3⩽x ⩽4，即[3B =，4]，则(R A =-∞，1][42-，)+∞，则()(R A B =-∞，1][32-，)+∞．（2）2()(21)0x m x m --+=得根为x =m 2，或x =2m −1，2221(1)0m m m -+=-，221m m ∴-，2()(21)0x m x m ∴--+的解集为B ={x|2m −1≤x ≤m 2}，若x ∈A 是x ∈B 的充分条件， 则A ⊆B ，即{m 2⩾42m −1⩽−12，得{m ⩾2或m ⩽−2m ⩽14，得m ⩽−2， 即实数m 的取值范围是(-∞，2]-． 21．（1）x 26+y 22=1；（2）x ±√3y +2=0或x =−2. 【分析】（1）根据已知条件求出a 、b 、c 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）由已知条件分析可知S △CNN =23√6，对直线m 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线m 的方程，将直线m 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求得直线m 的方程. 【详解】（1）直线l:y =√3x −2√3①，过原点垂直于l 的直线方程为y =−√33x ②，联立①②解得x =32，∵椭圆中心O (0,0)关于直线l 的对称点在直线x =a 2c上，所以，a 2c=2×32=3，∵直线l 过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为(2,0)，则c =2，a 2=6，b 2=2， 故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1③；（2）当直线m 的斜率存在时，设m:y =k (x +2)， 代入③整理得(3k 2+1)x 2+12k 2x +12k 2−6=0， 设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，则x 1+x 2=−12k 23k 2+1，x 1⋅x 2=12k 2−63k 2+1.所以，|MN |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)3k 2+1.点O 到直线m 的距离d =√1+k 2.因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =43√61tan ∠MON ，即|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠MON =43√6⋅cos ∠MON sin ∠MON， 又由OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，得cos ∠MON ≠0， 所以，|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |sin ∠MON =43√6⇒S △CNN =23√6. 而S △ONN =12|MN |⋅d ，∴|MN |⋅d =43√6，即2√6(1+k 2)3k 2+1⋅√1+k 2=43√6，解得k =±√33，此时m:y =±√33(x +2)；当直线m 的斜率不存在时，m:x =−2，直线m 交椭圆于点M (−2,√63)、N (−2,−√63).也有S △OMN =12×2×2√63=23√6，经检验，上述直线m 均满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0， 故直线m 的方程为x ±√3y +2=0或x =−2.22．（1）22143x y +=；（2）①证明见解析，定点P (−52,0)；②154.【分析】（1）根据椭圆的几何性质和离心率，列出方程组，即可求出a,b ，从而得出椭圆C 的标准方程；（2）①根据椭圆的对称性可知P 必在x 轴上，F (−1,0)，可设直线MN 方程：x =my −1，联立直线和椭圆的方程组并写出韦达定理，从而得出−2my 1y 2=3(y 1+y 2)，求出直线EN 的方程，令y =0，即可求出线段EN 所过的定点P 的坐标； ②由①可知|y 1−y 2|=12√m2+13m 2+4，根据三角形的面积得出S △OEN =12|OP ||y 1−y 2|=15√m 2+13m 2+4，利用换元法，令t =√m 2+1，1t ≥，得出S △OEN =15t3t 2+1=153t+1t，最后利用基本不等式求和的最小值，从而得出△OEN 面积的最大值. 【详解】解：（1）由题可知：{√a 2+b 2=√7c a=12a 2=b 2+c 2，所以a =2，b =√3， 故椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）①由题意知，由对称性知，P 必在x 轴上，F (−1,0)， 设直线MN 方程：x =my −1，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，E (−4,y 1)，联立方程得{x =my −1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2−6my −9=0，所以y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 所以−2my 1y 2=3(y 1+y 2)，又k EN =y 2−y 1x 2+4，所以直线EN 方程为：y −y 1=y 2−y 1x 2+4(x +4)，令y =0，则121212121(4)344y x my y y x y y y y ++=--=----=−4−32(y 1−y 2)y 2−y 1=−4+32=−52，所以直线EN 过定点P (−52,0).②由①中Δ=144(m 2+1)>0，所以m ∈R ，又易知|y 1−y 2|=12√m2+13m 2+4，所以S △OEN =12|OP ||y 1−y 2|=54⋅12√m2+13m 2+4=15√m 2+13m 2+4，令t =√m 2+1，1t ≥，则S △OEN =15t3t 2+1=153t+1t，又因为f(t)=153t+1t在1,+∞)单调递减，所以t =1，[S △OEN ]154max.。
2023-2024学年上海市长宁区高二下册期中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年上海市长宁区高二下册期中数学模拟试题一、填空题1．己知直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2-，则l 的方程是______．【正确答案】2360x y --=【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式．【详解】因为直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2-，则直线l 的方程是132x y +=-，即2360x y --=，故2360x y --=．2．若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 中点到原点距离的最小值为________．【正确答案】【分析】分别求得，原点O 到直线1l 和2l 的距离12,d d ，结合12l l //，即可求得AB 的中点到原点的距离的最小值.【详解】由题意，直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=，可得12l l //，又由原点O 到直线l 1的距离12d ==，原点O 到直线l 2的距离12d ==，所以AB 的中点到原点的距离的最小值为72522222-+=.故3．点M 与两个定点()0,0O ，()2,0P 的距离的比为3:1，则点M 的轨迹方程为______．【正确答案】2299()416x y -+=【分析】设出动点(,)M x y3=，再化简即可得到结果.【详解】设点(,)M x y3=，两边平方化简得2222990x y x +-+=，即2299()416x y -+=，所以点M 的轨迹方程为2299()416x y -+=.故答案为.2299()416x y -+=4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【正确答案】96【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×44A =96种排列、组合及简单计数问题5．将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．【正确答案】1260【分析】利用排列知识即可求出结果.【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共有99342342A 1260A A A =种.故1260.6．点()1,2A ，点()2,4B --，点P 在坐标轴上，且APB ∠为直角，这样的点P 有______个．【正确答案】4【分析】分情况讨论，设出轴上P 点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.【详解】若P 在x 轴上，可设(,0)P x ，则(1,2),(2,4)AP x BP x →→=--=+，由APB ∠为直角可得(1)(2)80AP BP x x →→⋅=-+-=，即2100x x +-=，214(10)0∆=-⨯->，故有两解；当P 在y 轴上，可设(0,)P y ，则(1,2),(2,4)AP y BP y →→=--=+，由APB ∠为直角可得2(2)(4)0AP BP y y →→⋅=-+-+=，即22100y y +-=，224(10)0∆=-⨯->，故两解.综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，故47．二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为______．【正确答案】5【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x 的指数为 0方程有解，即可求出正整数n 的最小值.【详解】由题意，在321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，展开式中含有非零常数项，展开式的通项为()335121C C rn rrn n rr nr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵展开式中含有非零常数项，∴当350n r -=时,解得：53r n =∴当3r =时,n 最小，为5故5.8．已知点()2,0A -，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 的坐标满足方程221x y +=，则直线AB 的斜率的取值范围是______．【正确答案】⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用条件，将问题转化成求直线AB 与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果.【详解】由题知，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 的坐标满足方程221x y +=，所以点B 的轨迹方程为221(0)x y y +=≤，当直线AB 与圆相切时，设直线AB 方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，1=，解得3k =±，因为B的纵坐标小于等于零，所以3k =-，由图易知，直线AB的斜率的取值范围k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).【正确答案】1080【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2216422222C C C45A A =种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有44A 24=种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.故1080.易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解2216422222C C CA A 中分母的意义．10．在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．【正确答案】0.38144【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..【详解】前6局中,连赢六局的概率为()660%，前6局中,连赢五局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-，前6局中,连赢四局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-，前6局中,连赢三局且第6局也赢的概率为()()()()44260%160%60%160%⨯-+⨯-，所以第6局的获得2分的概率为：()660%()()5260%160%+⨯⨯-()()()()44260%160%60%160%+⨯-+⨯-0.18144=，第6局的获得1-分的概率为160%0.4-=，第6局的获得1分的概率为10.181440.40.41856--=，所以第6局的获得的分数的数学期望是20.1814410.41856(1)0.40.38144⨯+⨯+-⨯=，故0.3814411．如图，在55⨯的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．【正确答案】4200【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理得解.【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个.①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120×20=2400种;②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有1155C C =25种，在该行该列分别填入2个圆圈的方法有2244C C =36种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共计:25362=1800⨯⨯种;综上，不同的符合条件的填入方法有4200种.故4200种12．已知,,,,,A B C D E F 六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF 的顺序的排列情况有______种．【正确答案】120【分析】利用条件，先假设有一个字母已排在正确位置上，经过分析判断得出不符合题意，从而得出每个字母均不在正确的位置上，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF 的顺序，这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF 的顺序，这里不妨记A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，首先，考虑一种情况：假设字母“A ”已经排在自己的位置，即排在1号位，其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，即第一次让“B ”归位，第二次让“C ”归位，第三次让“D ”归位，第四次将“E ”与“F ”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意；所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置的情况，这样1号位有5种选择，放在1号位的那个字母对应的位次就有4种选择，以此类推，总的排序方法有5120=！种.故120.解决本题的关键在于，先通过假设字母“A ”已经排在自己的位置，即排在1号位，再分析出不符合条件，从而得到怎样的排序才符合条件，将问题转成利用分步计数原理来解决.二、单选题13．已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且过点原点，则它的方程为（）A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．()()22345x y ++-=D ．()()223425x y ++-=【正确答案】D【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.【详解】设圆的半径为r ，因为圆心是()3,4C -，且过点(0,0)，所以5r =，所以半圆的方程为()223(4)25x y ++-=，故选：D.14．掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则()P B A 为（）A ．12B ．16C ．115D ．13【正确答案】D【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A 发生的概率与事件AB 发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P (B |A )的值.【详解】根据题意，记小骰子的点数为x ，大骰子的点数为y ，事件A 包含的基本事件有“4,6x y ==”，“5x y ==”，“6,4x y ==”共3个,∴事件A 发生的概率31()6612P A ==⨯，而事件A B 包含的基本事件有“6,4x y ==”一个，可得事件AB 发生的概率1()36P AB =，()1(|)()3P AB P B A P A ∴==.故选：D15．过点()3,0P 作一条直线l ，它夹在两条直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（）A ．8240x y +-=B ．8240x y --=C ．8240x y ++=D ．8240x y ++=【正确答案】B【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为()3y k x =-，进而得出交点，根据点P 为两交点的中点建立等式，求出k 的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：3x =，不符合题意；所以直线斜率存在设为k ，则直线l 方程为()3y k x =-，联立直线1l 得：()323242202k x y k x k k x y y k -⎧=⎪⎧=-⎪-⇒⎨⎨--=⎩⎪=⎪-⎩，联立直线2l 得：，()33316301k x y k x k kx y y k -⎧=⎪⎧=-⎪+⇒⎨⎨-++=⎩⎪=⎪+⎩，所以直线l 与直线1l ，直线2l 的交点为：324336,,,2211k k k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭，又直线l 夹在两条直线1l 和2l 之间的线段恰被点P 平分，所以3233466,02121k k k kk k k k ---+=+=-+-+，解得：8k =，所以直线l 的方程为：8240x y --=，故选：B.16．两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下B 和C ，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A 先向敌方成员开枪，之后若B 未倒下，则B 向敌方成员开枪，之后按C ，A ，B ，C ，A ，B ，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（）A ．518B ．736C ．14D ．19【正确答案】A【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下A 被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B 、C 两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：乙甲甲乙，B 甲C ，C 甲B ，B 甲乙甲，C 甲乙甲，事件概率分别记为(1,2,3,4,5)i P i =，则111111322336P =⨯⨯=，2111132212P =⨯⨯=，3111132212P =⨯⨯=，411111322224P =⨯⨯=，511111322224P =⨯⨯⨯=，所以甲最终获胜的概率是11152236122418P =+⨯+⨯=,故选：A三、解答题17．已知随机变量(),X B n p ，若()2E x =，()43D x =，求p 的值．【正确答案】13【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.【详解】因为随机变量(),XB n p ，所以()2E x np ==，()()413D x np p =-=，两式相除可得213p -=，解得13p =.18．求抛物线C ：2y x =上的点到直线l ：112y x =-的最小距离．【正确答案】8【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.【详解】设抛物线2y x =上的点200(,)P x x ，则点P 到直线112y x =-，即220x y --=的距离2201152()48x d -+=当且仅当014x =时取等号，所以所求最短距离为8.19．某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为16，4．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的a ，b 的值；(2)分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.706 3.8416.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【正确答案】(1)1000.0040.030,,n b a ===(2)联表见解析，没有【分析】（1）根据频率分布直方图，计算样本容量n 及,a b 的大小即可；（2）由题意列出联表，计算2K 与临界值比较得出结论.【详解】（1）由题意可知，样本容量161000.01610n ==⨯，40.00410010b ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030.a =----=（2）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100()22100242030261001.4492.705050465469K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ，∴没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20．为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm 5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品，从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由.【正确答案】（1）9()50E Y =；（2）设备M 的性能为丙级别.理由见解析【分析】（1）对于次品个数Y 的数学期望()E Y 的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件个数求得，再根据该分布符合3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，进行期望的求值（2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>，94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+=<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，三个条件中只有一个符合，等级为丙【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于2μσ-的零件有2件，大于2μσ+的零件有4件，共计6件，从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6310050=，依题意3~3,50Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故39()35050E Y =⨯=；（2）由题意知，62.8μσ-=，67.2μσ+=，260.6μσ-=，269.4μσ+=，358.4μσ-=，371.6μσ+=，所以由图表知道：80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>，94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+=<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，所以该设备M 的性能为丙级别.对于正态分布题型的数据分析，需要结合μσ，的含义来进行理解，根据题设中如()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算μσ-，μσ+等数据时21．（1）已知k 、n 为正整数，k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=：（2）已知k 、n 为正整数，求证：1121C C C C C n n n n n n n n k n k n +++++++++⋅⋅⋅+=；（3）m 、n 为正整数，2n ≥，求证：()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-．【正确答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）根据组合数的公式及阶乘的定义化简变形即可得证；（2）由组合数的性质11C C C m m mn n n -++=可证明；（3）利用（1）和（2）的结论，及()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++可证明.【详解】（1）()()()()()111!!C C !!1![11]!kk n n n n n k kn k n k k n k --⋅-===----- ，11C C k k n n k n --=∴.（2）由11C C C m m mn n n -++=知，12C C C C n n nn n n n n k++++++⋅⋅⋅+1112C C C C n n n n n n n n k+++++=++++ 122C C C n n n n n n k++++=+++ 133C C C n n n n n n k++++=+++ ⋯⋯11C n n k +++=.（3）由（1）可知，2n ≥时，()()()()()1111C C C 111n n n n m n m n m m n n n m n m n n n --+-++-+==+-+--，而()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++，故11111111111C C C C 12n n n n n n n n m n n n n n n n n m -----++-----+++++++ ，2222212C C C C n n n n n n n n m ------+-<++++ 11n n m C -+-=，故()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-，其中2n ≥.。
2024年高二下学期期中模拟考试数学(全解全析)
2023-2024学年高二数学期中模拟卷全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++（()f x ′是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．12−【答案】A【分析】通过对()f x 求导，结合赋值法求得()112f ′=，从而求得()f x ，再求结果即可. 【详解】由函数()()2131ln 2f x f x x x =′−++，可得()()1312f x f x x−′′=+， 令1x =，可得()()1311f f ′′=−，解得()112f ′=， 则()231ln 22f x x x x =−++，所以()31110122f =−++=.故选：A.2．若5250125(12)x a a x a x a x −=++++ ，则24a a +=（ ） A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】C【分析】利用二项式定理分别求出24,a a 即可计算得解.【详解】在550125(12)x a a x a x a x −=+++ 中，2225C 240a =×=，4445C 280a =×=，所以24120a a +=. 故选：C3．现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（ ） A ．事件A ，B 不相互独立 B ．()12P A B =C ．()P B A 可能等于()P BD ．()1130P A B +=【答案】C【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=×≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===， 故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+−=+−=， 故D 正确； 故选：C4．已知函数()()2ln f x x a x =++的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在点,A B 处的切线都与直线20x y +=垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A．(,1−∞ B．()1C．(,1∞−D．(0,1【答案】A【分析】根据题意()f x ′2=，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知()f x ′122x a x=++，曲线()y f x =在点,A B 处的切线斜率都是2， 所以关于x 的方程1222x a x++=有两个不相等的正实数根； 可得关于x 的方程()21102x a x −−+=有两个不相等的正实数根， 则()2101Δ1402a a −>=−−×>,解得1a <故选：A.5．中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A 表示“乙获得比赛胜利”，事件B 表示“比赛进行了七局”，则P =（ ）A ．716 B ．516 C ．316D ．116【答案】B【分析】根据条件概率计算公式求解.【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率()45124511C C 22P A =+×+6736111C 222×+×=， 乙获胜并且比赛进行了七局的概率()73615C 232P AB=×= ，∴()P B A =()()55321162P AB P A ==． 故选：B ．6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ） A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C CC C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +【答案】D【解析】对于选项A ，每人有4种安排法，故有54种；对于选项B ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项C ，先分组再安排；对于选项D ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可. 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C , 从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +，即选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.间接法:正难则反、等价转化的方法.7．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【分析】构造函数sin y x x =−，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x∈ ，因为sin y x x =−，则cos 10y x ′=−<，即函数sin y x x =−在π0,2 单调递减， 且0x =时，0y =，则sin 0x x −<，即sin x x <，所以sin0.50.5a <，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31>且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<， 又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B8．已知方程222e e 9e 0x x ax x −+=有4个不同的实数根，分别记为1234,,,x x x x ，则31241234e e e e e e e e x x x x x x x x −−⋅−− 的取值范围为（ ） A ．()40,16eB ．()40,12eC ．()40,4eD ．()40,8e【答案】A【分析】将问题转化为22e e 9e 0x x a x x −+=，进而构造函数()e x f x x =，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得6e 10e a <<，进而可求解.【详解】易知0x =不是方程222e e 9e 0x x ax x −+=的根，故当0x ≠时，222e e 9e 0x x ax x −+=可化为22e e 9e 0x x a x x −+=， 令e xt x=，得229e 0t at −+=．设()e xf x x =，则()()2e 1x xf x x −′=， 令()0f x ′<，可得0x <或01x <<，令()0f x '>，可得1x >，故()f x 在(),0∞−和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e f =， 作出()f x 的大致图象，如图，数形结合可得方程229e 0t at −+=有两个不相等的实数根，设为1t ，2t ， 则21212,9e t t a t t +==，且12e,e t t >>， 则2222Δ36e 0e 2e e 9e 0a aa =−> − > − −+> ，解得6e 10e a <<，不妨设3142121423e e e e ,x x x x t t x x x x ====，则()()312422121234e e e e e e e e e e x x x x t t x x x x −−−−=−− ()()22221212e e e 10e e t t t t a −−+−，由6e 10e a <<，可得()224010e e 16e a <−<.故选：A ．【点睛】方法点睛：处理多变量函数值域问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%．随机取一个零件，记A =“零件为次品”，i B = “零件为第i 台车床加工” (1i =，2，3)，下列结论正确的有（ ） A ．()0.03P A = B ．31()1i i P B ==∑C ．12()()P B A P B A =D ．123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为()0.050.150.030.250.030.600.033P A =×+×+×=，故A 错误； 对于B ：因为13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=，故B 正确；对于C ：因为111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅×===， 222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅×===， 所以12()()P B A P B A =，故C 正确；对于D ：由上可得125()()11P B A P B A +=，又因为333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅×===，故D 错误， 故选：BC ． 10．若()()()()202422024012202423111x a a x a x a x −=+−+−++− ，则下列选项正确的有（ ）A ．01a =B ．20241232023202421a a a a a +++++=−C ．2024012202320242a a a a a +++++=D ．202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× 【答案】ABD【分析】分别令1,0x x ==可判断AB ，利用二项展开式的通项公式可确定展开式系数的正负，去掉绝对值号，再赋值即可判断C ，取导数后赋值即可判断D. 【详解】对于A ，令1x =，可得()20240231a −==，故A 正确；对于B ，令0x =，可得()1232023202420240230a a a a a a +++++−×+ ，又01a =，所以20241232023202421a a a a a +++++=− ，故B 正确；对于C ，因为()[][]202420242024233(1)113(1)x x x −−−=−−=，展开式的通项公式为()12024C (3)1kkk k T x +=−−，所以2024C (3)(0,1,22024)k k k a k =−= ， 所以0122023202401232014a a a a a a a a a a +++++=−+−++ ， 令2x =，则()20240123201420242324a a a a a −×−+=−++= ，故2024012202320244a a a a a +++++=，故C 错误； 对于D ，因为()202420232332024(23)x x −=−×−′2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−−−−−−−−2202312320242(1)3(1)2024(1)a a x a x a x =−+−+−++− ，所以202322023123202432024(23)2(1)3(1)2024(1)x a a x a x a x ×−=+−+−++− ，令0x =，可得202312320232024232023202460722a a a a a +++++=× ，故D 正确. 故选：ABD11．已知()()()2ln 20220x x x f x ax x x −−> = −−+≤，其图像上能找到A 、B 两个不同点关于原点对称，则称A 、B 为函数()y f x =的一对“友好点”，下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =可能有三对“友好点”B ．若01a <<，则()y f x =有两对“友好点”C ．若()y f x =仅有一对“友好点”，则a<0D ．当a<0时，对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=【答案】BD【分析】不妨设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论()y g x =的图象以及直线y a =的图象的交点个数情况即可逐一判断求解. 【详解】若(),x y 和(),x y −−互为友好点，不妨设0x >，则()2ln 2220x x ax x −−+−++=，即2ln x xa x +=， 令()2ln ,0x x g x x x +=>，则()()243112ln 12ln x x x x x x x g x x x +−+ −−=′=， 令()12ln h x x x =−−，则()210h x x=−−<′， 所以()h x 单调递减，注意到()h x 和()g x ′同号，且()10h =， 所以当01x <<时，()0h x >即(0g x ′>，()g x 单调递增， 当1x >时，()0h x <即()0g x ′<，()g x 单调递减，从而即可在同一平面直角坐标系中作出()y g x =的图象以及直线y a =的图象，如图所示，当1a >时，()y f x =不存在友好点，当1a =或0a ≤时，()y f x =仅存在一对友好点， 当01a <<时，()y f x =存在两对友好点， 从而()y f x =不可能有三对“友好点”，若()y f x =仅有一对“友好点”，则1a =或0a ≤，故AC 错，B 对，当a<0时，()y f x =仅存在一对友好点，即对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=，D 对. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：关键是将设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答） 【答案】89【分析】借助加法计数原理，得到()12,3n n n a a a n −−=+≥，依次计算即可. 【详解】设小明上n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步：若最后一步小明上1个台阶，则前n 1−个台阶有1n a −种方法且2n ≥； 若最后一步小明上2个台阶，则前2n −个台阶有2n a −种方法且3n ≥. 由加法原理得()12,3n n n a a a n −−=+≥，易知121,2a a ==， 可得33a =，456789105,8,13,21,34,55,89.a a a a a a a ======= 所以小明不同的上楼方法共有89种.故答案为：89.13．已知函数()[],0,πf x x x x ∈，则()f x 的最大值为 ． 【答案】π【分析】求导得出函数()f x 在[]0,π上的单调性，即可求得()f x 的最大值为π.【详解】由()[],0,πf x x x x ∈可得()1f x x =′，令()0f x ′=可得cos x = 又[]0,πx ∈，所以π4x =，当π0,4x ∈时，()0f x ′<，此时()f x 在π0,4上单调递减，当π,π4x∈时，()0f x ′>，此时()f x 在π,π4 上单调递增；易知()()00,ππf f ==； 因此()f x 的最大值为π. 故答案为：π14．已知函数()ln ,0,1,0,x x x f x x x x>= −< 若函数()()()()1g x f f x af x =−+有唯一零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】54a =−或11a −≤<【分析】()t f x =换元后转化为()1f t at =−，该方程存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，数形结合求解. 【详解】当0x <时，()f x 单调递减，图象为以y x =−和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当0x >时，有()ln 1f x x ′=+，可得()f x 在10,e单调递减，在1,e ∞+ 单调递增 且()min 11e e f x f ==−，0lim ()0x f x →=，画出图象如下:由题意，(())()10f f x af x −+=有唯一解，设()t f x =， 则1et <−，（否则至少对应2个x ，不满足题意）， 原方程化为()10f t at −+=，即()1f t at =−， 该方程存在唯一解0t，且0,t ∞∈−.转化为()y f t =与1yat =−有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ∞−−，画图如下：情形一：1yat =−与1y t t=−相切，联立得()2110a t t +−−=， 由Δ0=解得54a =−，此时01e t <−满足题意：情形二：1yat =−与1y t t=−有唯一交点，其中一个边界为1a =−(与渐近线平行)， 此时交点坐标为()1,0−，满足题意；另一个边界为1yat =−与ln y t t =相切，即过点()0,1−的切线方程，设切点为()000,ln x x x ，则0000ln 11ln 0x x a x x +=+=−，解得01x =，所以求得1a =，此时左侧的交点D 横坐标为12−满足条件，右侧存在切点E ，故该边界无法取到；所以a 的范围为[)1,1−.综上，a 的取值范围为54a =−或11a −≤<.故答案为：54a =−或11a −≤<【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令()t f x =，转化为方程()1f t at =−存在唯一解0t ，且01,e t ∞∈−−，作出()y f t =与1yat =−的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知m ，n 是正整数，()()()11m nf x x x =+++的展开式中x 的系数为7． (1)求m ，n 为何值时，()f x 的展开式中2x 的系数最小，并求出此时3x 的系数； (2)利用（1）中结果，求()0.003f 的近似值．（精确到0.01） 【答案】(1)3m =，4n =或4m =，3n =，3x 的系数为5 (2)2.02【分析】（1）由x 的系数为7得11C C 7m n +=，2x 的系数为22C C m n +，消元讨论最小值即可求；（2）()()()430.00310.00310.003f =+++，考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可【详解】（1）根据题意得11C C 7m n +=，即7m n +=．① ()f x 的展开式中2x 的系数为()()222211C C 222mnm m n n m n m n−−+−−+=+=．.......................................................2分 将①变形为7n m =−代入上式，得2x 的系数为2273572124m m m−+=−+，故当3m =，4n =或4m =，3n =时，2x 的系数取得最小值且为9；此时3x 的系数均为3334C C 5+=；........................................................6分 （2）当3m =，4n =或4m =，3n =时，()()()43010144330.00310.00310.003C C 0.003C C 0.003 2.02f =+++≈+×++×≈...........................................13分 16．（15分）已知函数()()()11ln f x ax a x a x=−−+∈R ．(1)求证：当0a =时，曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点； (2)若()f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)(0,1)(1,)∪+∞.【分析】（1）当0a =时，对()f x 求导，分析函数单调性，确定()f x 图象，可证明曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.（2）将()f x 既存在极大值，又存在极小值，转换为()f x ′有两个变号零点问题，讨论零点位置可得实数a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，函数1()ln f x x x=−−，求导得：21()xf x x −′=， 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x ′<，得1x >； 则函数()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 故max ()(1)1f x f ==−，所以曲线()y f x =与直线1y =−只有一个交点.....................................................7分 （2）函数()()11ln f x ax a x x=−−+的定义域为(0,)+∞，求导得211()a f x a x x +′=+− 设()()2()(1)111g x ax a x ax x =−++=−−，令()0g x =，解得11x a=，21x =. 因为()f x 既存在极大值，又存在极小值，即()g x 在(0,)+∞有两个变号零点，则1011aa> ≠ ，解得0a >且1a ≠， 综上所述：a 的取值范围为(0,1)(1,)∪+∞.......................................................15分 17．（15分）某校为庆祝元宵节，举办了游园活动，活动中有一个填四字成语的游戏，该游戏共两关．(1)第一关中一个四字成语给出其中三个字，参与游戏者需填对所缺的字．小李知道该成语的概率是12，且小李在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率是12．记事件A 为“小李通过第一关”，事件B 为“小李知道该成语”．①求小李通过第一关的概率()P A ；②在小李通过第一关的情况下，求他知道该成语的概率()P BA ∣． (2)小李已通过第一关来到第二关．第二关为挑战关卡，该关卡共五局，每一局互不影响，但难度逐级上升，小李知道第n 局()15n ≤≤成语的概率仍为12，但是在不知道该成语的情况下，填对所缺的字的概率为12n，已知每一局答对的得分表如下（答错得分为0）： 局数 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 得分 1分2分4分7分11分若获得15分及以上则挑战成功且游戏结束，求在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率（保留两位小数）． 【答案】(1)①34②23(2)0.19【分析】利用全概率公式和条件概率公式计算即可；利用全概率公式计算每一局过关的概率，在通过分析在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况，在求得所求概率 【详解】（1）①依题可知()()()()111,|,22P A B P A B P B P B ====， 由全概率公式可得1113()()()()()12224P A P B P A B P B P A B =+=×+×= ②所求概率()()()122|334P BA P B A P A ===......................................................7分 （2）在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功,即获得15分及以上，则有三类情况：第一类第三四五局全答对；第二类第三局答错，第四五局答对；第三类第三局答对，第四局答错，第五局答对,记事件n C (n 1,2,3,4,5)=为“小李通过第n 局”，事件B 为“小李知道该成语”． 题可知11()1,()(),()()22n n n P C B P C B P B P B ====， 由全概率公式可得1111113()()()()()12224P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 22221115()()()()()1()2228P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 33331119()()()()()1()22216P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 444411117()()()()()1()22232P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 555511133()()()()()1()22264P C P B P C B P B P C B =+=×+×= 则在第一局和第二局答对的情况下，小李挑战成功的概率为123451234512345()()()()()()()()()()()()()()()P P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C =++359173335917333591733(1)(1)481632644816326448163264=××××+××−××+×××−× 2014560.191048576≈.....................................................15分18．（17分）已知函数()1e 1−=−−x f xa x . (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()ln 0f x x x +−≥恒成立时，求a 的取值范围； (3)证明：11e ln(1)nii n n =>++∑.【答案】(1)答案见解析 (2)1a ≥(3)证明见解析【分析】（1）借助导数，对0a ≤及0a >进行分类讨论即可得；（2）令()()ln g x f x x x =+−，由()01e ln1110g a a =−−=−≥，即可得其必要条件1a ≥，再借助导数对1a =及1a >的情况分类讨论即可得解； （3）借助（2）中所得，可得1eln 1x x −≥+，令1n x n+=，可得()1e ln 1ln 1n n n >+−+，累加即可得证. 【详解】（1）()1e 1,xf x a x −−′=∈R ，当0a ≤时，易知()0f x ′<，所以函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，令()1e 10x f x a −′=−=，解得1ln x a =−， 令()0f x ′>，解得1ln x a >−，即()f x 在()1ln ,a ∞−+上单调递增， 令()0f x ′<，得1ln x a <−，即()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减， 综上，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减，当0a >时，()f x 在(),1ln a ∞−−上单调递减，在()1ln ,a ∞−+上单调递增；..............................................5分（2）令()()()1ln e ln 1,0,x g xf x x x a x x ∞−=+−=−−∈+， ()01e ln111g a a =−−=−，故10a −≥恒成立，即1a ≥，()11e x g x a x−=′−，令()()h x g x =′，则()121e x h x a x −′=+，所以()g x ′在()0,∞+上单调递增， 当1a =时，()11ex g x x−=′−，又()10g ′=， 有()()0,1,0x g x ∈′<，即()g x 单调递减，()()1,,0x g x ∞′∈+>，即()g x 单调递增，所以()()01e ln110g x g ≥−−，所以当1a =时，()ln 0f x x x +−≥成立；当1a >时，可得110a−<，11e 1a −∴<，所以11111e e 10a a g a a a a −− =−=−<′又()110,g a =−>′所以存在01,1x a ∈，使得()00g x ′=，即0101e x a x −=，()()()()000,,0,,,0x x g x x x g x ∞′′∈∈+，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()()0100e ln 1x g x g x a x −∴≥=−−，由011e x x −=可得00ln 1ln a x x +−=−， ()0012ln 0g x x a x ≥+−+>， 综上，a 的取值范围为1a ≥；.......................................................11分 （3）由（2）知，当1a =时，有()ln 0f x x x +−≥，即1e ln 1x x −≥+， 令*1,n xn n +∈N ，得()11e ln 1ln 1ln 1n n n n n +>+=+−+， ()112e e e ln2ln1ln3ln2ln4ln3ln 1ln nn n n ∴+++>−+−+−+++−+ ， ()112e e e ln 1nn n ∴+++>++ ，即11e ln(1)nii n n =>++∑.......................................................17分【关键点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于从（2）中所得1e ln 1x x −≥+，再令*1,n xn n+∈N ，可得()1e ln 1ln 1nn n >+−+，再累加即可得证.. 19．（17分）设集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅，其中3n ≥，n N ∈，在M 的所有元素个数为K （K N ∈，2≤K ≤n ）的子集中，我们把每个K 元子集的所有元素相加的和记为K T （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最大元素之和记为K a （K N ∈，2≤K ≤n ），每个K 元子集的最小元素之和记为K b （K N ∈，2≤K ≤n ）． (1)当n ＝4时，求3a 、3b 的值； (2)当n ＝10时，求4T 的值；(3)对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ，KKb a 是否为与n 无关的定值？若是，请给出证明并求出这个定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)315a =，35b =；(2)4620 (3)K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程见解析. 【分析】（1）将3元子集用列举法全部列举出来，从而求出3a 、3b 的值；（2）用组合知识得到每个元素出现的次数，进而用等差数列求和公式进行求解；（3）用组合及组合数公式先求出K a ，再求出K a 与k b 的和，进而求出k b 及比值.【详解】（1）当4n =时，{}1,4M =，则3元子集分别为{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4，则3344415a =+++=，311125b =+++=........................................................3分（2）当n ＝10时，4元子集一共有410210C =个，其中从1到10，每个元素出现的次数均有3984C =次，故()410118412108446202T ×=×+++=×= ....................................................9分 （3）K K b a 与n 无关，为定值1K，证明过程如下： 对任意的n ≥3，n N ∈，给定的K N ∈，2≤K ≤n ， 集合{}1,2,3,,M n =⋅⋅⋅的所有含K 个元素的子集个数为K n C ，这K n C 个子集中，最大元素为n 的有11K n C −−个，最大元素为()1n −的有12K n C −−个，……，最大元素为()n m −的有11K n m C −−−个，……，最大元素为1n K −+的有11K K C −−个，则()()()()1111112311121K K K K K K n n n n m K a nC n C n C n m C n K C −−−−−−−−−−−=+−+−++−++−+ ①，其中()11K K n m n m n m C KC −−−−−=，所以()12K K K K KKn n n n m K a K C C C C C −−−=++++++ ()111211K K K K K K n n n n m K n K C C C C C KC ++−−−++++++++= ，这K n C 个子集中，最小元素为1的有11K n C −−个，最小元素为2的有12K n C −−个，最小元素为3的有13K n C −−个，……，最小元素为（m +1）的有11K n m C −−−个，……，最小元素为K 的有11K K C −−个，则()1111112311231K K K K K K n n n n m K b C C C m C KC −−−−−−−−−−−=+++++++ ②，则①+②得：()()()()111111123111111K K K K K K K K K n n n n m K n n a b n C C C C C n C K C −−−−−+−−−−−−++=+++++++=+=+ ，所以()1111111K K K K n n n b K C KC C ++++++=+−=，故1K K b a K=，证毕........................................................17分 【点睛】集合与组合知识相结合，要能充分利用组合及组合数的公式进行运算，当然在思考过程中，可以用简单的例子进行辅助思考.。
高二数学第二学期期中考试试卷含答案
高二年级第二学期期中考试数学试卷时量：120分钟 满分：150分 命题人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}{}1,31,2,5A B ==,，则A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}3 C ．{}1 D ．{}2,3,4,52．用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（ ）A ．椭圆B ．矩形C ．三角形D ．圆3．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（ ）A ． y x =B ．1y x= C ． 2y x = D ．2y x =- 4．《易经》是中国文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中至少有2根阳线的概率（ ）A ．18B ．14C ．38D ．125．已知角α的终边经过点()4,3-，则sin α=（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．356．已知直线l 经过点()2,3-，且与直线250x y --=垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．042=++y x B ．042=-+y x C ．082=--y x D ．082=+-y x 7．已知0.62a =，20.6b =，0.6log 2c =则（ ）．A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 8．若函数{12)42(1)(>+-≤=x x a x a x f x 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0,1）B ．)1,21[ C ．]54,21( D ．)1,54[二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=)0(2)0(1)(2x xx x x f ，若10)(=a f ，则a 的值可能是（ ） A. 3- B. 3 C. 10log 2 D. 510．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60°11．已知角α的终边经过点(sin120,tan120)P ︒︒，则（ ）A ．5cos 5α= B ．25sin 5α= C ．2tan -=αD ．5sin cos αα+=12.已知圆9)2()1(:22=-+-y x C ，过点)3,1(-M 的直线被圆C 截得的弦长可能是（ ）A. 22B. 23C. 24D.25三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算12216log 4+的结果是__________.14.已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P (4，2)的圆的切线方程是________.15．已知tan 2θ=-，则2sin sin cos θθθ-=________．16.若方程02||=--m x 有实数解，则实数m 的取值范围是______________.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18至22题每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知{|3}A x a x a =≤≤+，2{|450}B x x x =-++<.（Ⅰ）若2a =-，求A B ；（Ⅱ）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知02<<-x π，51cos sin =+x x ． （Ⅰ）求x x cos sin ⋅的值；（Ⅱ）求x x cos sin -的值19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若直线PB 与面PAC 的夹角为30，求三棱锥D AEC -的体积.20.(本小题满分12分)近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示： (I)在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手；(II)在(I)的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率．21.(本小题满分12分)圆P 的圆心坐标为P ()0,2-，且过点()4,1A（Ⅰ）求圆P 的方程；（Ⅱ）设直线290x y ++=与圆P 相交于M,N 两点．求△PMN 的面积。
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高二数学期中模拟试卷2
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如图，设两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的
距离为，，后，就可以计算出两点的距离为．
A. B. C. D.
2. 若，则
A. B. C. D.
3. 已知，，则
A. B. C. D.
4. 抛物线的焦点坐标是
A. B. C. D.
5. 已知点为圆的圆心，则点到直线的距离是
6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此动圆恒过定点
A. B. C. D.
7. 已知集合，，则
的元素个数为
A. B. C. D.
8. 直线与的夹角为
A. B. C. D.
9. 已知双曲线的实轴长为，离心率为，则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为
A. B. C. D.
10. 已知空间四边形的各边以及对角线的长都是，点，，分别是，，的中
点，下列运算的结果为正数的是
A. B. C. D.
11. 点在椭圆的左准线上．过点且方向为的光线，
经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为
12. 已知点在圆：上，点在圆：上，则
下列说法错误的是
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 若，则实数的取值范围为
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭
圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是．
14. 在平面直角坐标系中，圆，圆（为实
数）．若圆和圆上分别存在点，，使得，则的取值范围为．
15. 已知，则的值是．
16. 已知在中，边上的高与边的长相等，则的最大值
为．
三、解答题（共6小题；共70分）
17. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所
示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．
（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取件产品，求这件产品都在区间内的概率．
18. 已知三点、、．
（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；
（2）设点、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在
上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
20. 在中，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
21. 如图，在四棱锥中，，，，，
．为的中点，点在上，且．
（1）求证：；。