基于灰色预测的SARS疫情影响的分析 - 模式识别数学建模论文
用灰色模型进行数学建模-数学建模中的灰色方法
数学建模中的灰色方法在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人在数学建模的过程中，常常遇到些诸如：人口模型、全国的物资调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。
量化分析方法大都是现有的系统分析方法—量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。
对于多因素的、非线性的则难以处理。
的情形对于多因素的非线性的则难以处理针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方法，即灰色系统生成法。
创立灰色系统的数的方法即灰色系统生成法创立学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出理论灰建模理论并创灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。
一、灰色系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体系任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。
系统内部存在有物质流、信息流、能量流。
系统（根据信息明确程度）黑色系统（信息毫无所知或知之甚少）灰色系统（既含有已知信息又有未知信息）白色系统（信息完全明确）（）灰色系统公理：（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）22.信息是认识的根据；（认识根据原理）3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最小信息”；最小信息原（最小信息原理）4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统的描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综灰色系统用灰色参数灰色方程灰色矩阵灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统的基本单元。
1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大概范围而不知其确切值的数（只知道部分数学特征而不知道具体数值的参数）（只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。
例如：“某人的身高约为170cm 、体重大致为60kg”，这里的“（约为））”“60”都是灰数这里的（约为）170（cm ）、60都是灰数，分别记为、。
SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文设计
SARS传播的数学模型(轩辕杰整理)摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性.针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合.应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难.本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计海外旅游人数在10月以前能恢复正常.最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.1．问题的重述SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响.（3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响.（4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.2．早期模型的分析与评价题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际.实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际.所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息.2.1早期模型简述早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ，平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的围K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变.平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是：t k N t N )1()(0+⋅=考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.2.2早期模型合理性评价根据早期模型对疫情的分析与预测，其先将的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天围K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.图1 早期模型计算值与实际值对比图从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实际值.为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记iy 表示第i 天实际累计病例，i yˆ表示第i 天计算累计病例.计算 n i y ye e i i ii ,,2,1,ˆ*Λ=-==σσ 其中，用σˆ作为σ的估计： 2)ˆ(ˆ1--⋅=∑=n yy y n i i i i σ做出标准化残差*i e 的分布图，如图2：图2 早期模型的标准化残差分布图可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值.通过以上分析得合理性评价：○1从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差.○2尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际的.○3该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型本身的含义.因为模型中的)N实际代表的是t时刻全社会的累计SARS患者，(t而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！2.3早期模型实用性评价模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导实际.这里主要抓住早期模型的参数设置情况进行实用性评价：○1该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对SARS发展的阶段没有了解透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实际高峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出疫情中后期发展的趋势，模型的实际应用围受到限制.○2参数K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将K固定在一个比较高的定值，在疫情高峰期过后，在10天逐步调整K值到比较小，然后保持不变.但模型并没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，具有一定的主观性.同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测的情况，可见该模型未对的实际情况进行充分的考虑.○3参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模型把L的值固定为20，而实际的L应该随疫情发展趋势变化而变化，固定L势必使模型只能片面模拟真实情况.综上，早期模型的一部分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中人工干预过多，实际应用围受到了限制，实用性不强.3． SARS传播过程的分析由于早期模型缺少对SARS传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析.SARS的传播大致经历了4个过程，相关描述可按照Kink于1986年提出的危机“四阶段说”.第一阶段是征兆期.在SARS传播初期，由于SARS感染者需要经历一定时间才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低.第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增.第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高.第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期最短，社会发病率低.疫情进入了4个阶段的最后时期.有了以上的分析，建立的模型就应该体现4个不同时期下疫情的发展过程，并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经典传染病SIR 模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合SARS 的分段微分方程模型，称为SARS 传播的SIR 改进模型.4． SARS 传播的SIR 改进模型4.1模型的假设1．SARS 的持续期不太长，可以忽略在SARS 持续期的城市人口的自然出生率和自然死亡率.2．被SARS 感染后经治疗康复的人群在SARS 流行期不会被再次感染.3．病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.4．不考虑人口的流动，仅仅在一个城市围研究SARS 疫情的发展过程.4.2模型的符号定义)(t S :易感类人群占城市人口总数的比例.)(t I :传染类人群占城市人口总数的比例.)(t R :排除类人群占城市人口总数的比例.)(t ω:SARS 患者的就诊率患者总数时刻全社会患者数时刻被隔离的SARS SARS t t = λ：单位时间一个传染者与他人的接触率.L ：平均传染期.4.3传播机理分析针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进.考虑在经典传染病模型SIR 的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述SARS 的传播过程.为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中研究SARS 的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：S 类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病.I 类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S 类成员. R 类：称为排除类或恢复类，R 类成员或者是I 类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I 类成员转化为R 类后，立刻失去传染能力.S(t)、I(t)、R(t)分别表示t 时刻上述3类成员占城市人口总数的比例. 对于传播过程有3条基本假设：1A ：人口总数为常数N ，N 足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.2A ：人群中3类成员均匀分布，传播方式为接触性传播.单位时间一个传染者与他人的接触率为λ，则一个传播者在单位时间与S 类成员的接触率为)(t S λ，因此，单位时间I 类成员与S 类成员的接触总数为)()(t I t S N ⋅⋅λ，这就是单位时间I 类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I(t)的双线性函数.3A ：传播者的被控制数正比于传染者的数量)(t NI ，比例系数为v ，v 称为被控制率，则平均传染期为v L /1=.v /λσ=为一个传染者在其传播期与其他成员的接触总数，称为接触数.那么SARS 的传播流程如图3：)()()(t NR t NI t NS vNS NSI 排除类传染类易感类控制传染−−−→−−−−→−⋅⋅λ图3 SARS 传播流程图在这个模型中，排除类)(t NR 就是已确诊SARS 患者累计数，而)](1[t S N -⋅是全社会累计SARS 患者数，包括已确诊的和未被发现的两部分.4.4模型的建立有了以上的机理分析，建立起针对SARS 的改进SIR 模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥>>=++=-=-=00,01(2) (1)000R I S S R I vI dt dR vI SI dt dI SI dt dS λλ该模型中参数λ和v 在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显的变化，现分析如下：○1参数λ表示单位时间一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率λ的值.一般认为，λ的数值随着SARS 发展的4个阶段不断变化.在SARS 初期，由于潜伏期的存在和社会对SARS 病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故λ维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使λ得到一定的控制，但效果不明显，此处假设λ呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为λ按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，λ就维持在一个较低值附近.○2参数v 表示传播者的被控制率.v L /1=称为平均传染期，表示一个传播者在被隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS 患者经过传染期L 过后，将隔离治疗或者死亡，从I 类成员变为R 类，失去传播能力.L 与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前进行隔离，“早发现，早隔离” ；提供更广围的医疗手段，使更多的人接受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期L 的长度.因此这里将L 直接抽象为每一时期SARS 患者的就诊率)(t ω的函数.平均传染期L 应随)(t ω的变化而变化.但是在初期，由于政府对SARS 的认识不足，并没有采取有效控制措施， L 的变化很小可以近似看作定值，这里我们取SARS 病毒最长潜伏期（约19天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐步加强，使SARS 患者的就诊率)(t ω逐渐增加，而平均传染期L 会逐渐减小并趋于一个定值，这里我们将SARS 病毒平均潜伏期（约7天）定为L 的最小值；在此后的高峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，L 的值会维持在7天左右.4.5针对疫情求解模型首先采用数学推导的方法，确定参数λ和v ，并证明模型有唯一解.○1确定λ和v 的关系 令v λσ=，方程组中)1()2(÷得：SdS dI σ11+-= 在病情刚开始时，011S dS dI σ+-=，由于)(t S 是单调减少的，且)(t I 最终趋近于0，则当1≤S σ时，)(t I 单调减少趋近于0；当1>S σ时，)(t I 先单调增加达到最大值，然后单调减少趋近于0.容易知道，当1>S σ时，才满足SARS 的传播规律，所以参数λ和v 的取值必须满足这个条件.○2证明模型有唯一解 在初值条件下解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=111000R S I S dS dI σ 得到关系式：)ln(11)(00S S S R t I σ+--= 令∞−→−t ，由○1得 )ln(11000S S S R ∞∞+--=σ 因为0>∞S ，所以令)ln(11)(00S x x R x f σ+--= 则 -∞=−→−)(lim 0x f x ，01)(0000>=--=I S R S f当σ10≤S 时，由于0)(=x f 在),0(0S 围有根，因而在)1,0(σ有根. 当σ10>S 时，因为xx x f σσ-=1)(' 当σ1>x 时，0)('<x f ，所以0)()1(00>=>I S f f σ，因而0)(=x f 在)1,0(σ也有根. 注意到当σ10<<x 时，0)('>x f ，故0)(=x f 在)1,0(σ有唯一根. 所以，∞S 在)1,0(σ有唯一解. ○3划分SARS 传播的4个阶段 由于SARS 的传播经历了4个阶段，所以，要以具体的指标划分这4个阶段.因为在4个阶段中，日发病率)()()(t I t S N t ⋅⋅=λμ是一个区分每个阶段特点的关键特征，所以以日发病率作为划分的指标.从第一个患者出现日开始： 征兆期：日发病率在10（人/天）以下.疫情期的前40天.爆发期：从日发病率10（人/天）到日发病率最大，即0=dtd μ时.疫情期的第40天到第74天. 高峰期：从日发病率最大到患者数量最大，即0=dtdI 时.疫情期的第74天到第79天.衰退期：患者数量最大点以后.疫情期第79天以后.○4确定λ和v 根据最终SARS 患者总数2521人以及人口总数（约14000000人），得19998.01400000025211≈=-=∞S ，所以11>=λσv . 因为平均传染期vL 1=，而L 是SARS 患者就诊率)(t ω的函数，且]19,7[∈L ，所以，这里设计L 函数为：)(17t e L ω-=)(t ω由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实际情况，推导出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<≤=74 t174t 40 )178.340(log 40t 0 0)(10t t ω 而接触率λ与全社会的警觉程度和公众采取的各种措施有关，根据实际情况确定为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤-<≤=79t 0672.079t 74 33ln 116.074t 40 3400126.040t 0 126.0t t λ确定出所有的参数后，做出各时期累计全社会SARS 患者数和各时期累计确诊SARS 患者数预测图（图4）以及市预测确诊SARS 患者累计和实际确诊SARS 患者累计对比图（图5）.同时得到：SARS 疫情的预测持续时间为106天，预测SARS 患者累计2514人.(计算程序见附件1：SIR 模型程序)图4 市预测非典病人累计总数和预测非典病人确诊病例累计对比图图5 市预测确诊病例累计和实际确诊病例累计对比图5．改进SIR模型的分析与评价5.1合理性评价从图5可以看出，本模型对数据的拟合程度非常高，完全克服了早期模型对后期数据预测不准的缺陷.做出标准化残差分析图，如图6：图6 改进SIR模型的标准化残差分布图（实际值－预测值）可以看出，残差分布比较均匀，残差平方和为2.0361，低于初期模型的5.510.通过以上分析得出结论：改进SIR模型不仅在预测前期病情的时候非常准确，而且在预测后期病情的时候也没有出现明显偏差，预测值与实际值非常吻合.该模型能对整个病情的发展做出准确预测，这是该模型优于早期模型的方面之一.5.2实用性评价对比早期模型实用性方面的不足，对改进SIR模型分析如下：○1早期模型在没有对SARS的传播过程进行系统分析的情况下就简单地以高峰期作为分析的临界点，同时，模型并没有提出高峰期的确定方法，模型的实际应用围受到限制.而改进SIR模型在分析SARS传播过程的前提下，依据日发病率把整个传播过程细分为征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段，并且考虑了每个阶段影响SARS传播的实际因素，能够更好地反映实际因素对SARS传播的影响.○2早期模型预测的仅仅是已确诊累计SARS患者数，不包括未被发现的患者人数，这样的做法不能对防治工作提供真正有用的数据.而改进SIR模型不仅能准确预测已确诊累计病例，而且能够预测未被发现的患者人数，可以对防治工作提供更有用的数据.○3早期模型用参数K代表一个病人每天传染他人的人数.模型没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测的情况，未对的实际情况进行充分的考虑.而改进SIR模型用参数λ表示单位时间一个传染者与他人的接触率，并且考虑了4个阶段λ的变化情况，给出了λ的函数表达式.○4早期模型用参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，并且把L的值固定在20天，就造成了后期预测值明显偏离实际值的结果.而改进SIR模型中建立了L的分段函数表达式，根据各个阶段的具体影响因素控制L的大小.这样，在后期的预测上，也与实际值相当吻合.综上，改进SIR模型弥补了早期模型的不足，实际应用围得到扩大，实用性强.5.3建立可靠、优良模型的困难要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，存在着许多的困难，还有许多努力的方向.○1缺乏详尽的，反映SARS疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参数的具体取值.本文的模型计算与分析研究，主要依据关于市的SARS疫情通告的数据.这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式不能满足模型求解的要求.○2需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构与调整参数，以及估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果.○3需要研究SARS在不同自然条件和社会条件下的差异性，总结SARS传播与控制的典型地域性模式.6．分析具体措施对SARS传播的影响在SARS传播的实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔离开始的时间和隔离的强度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现分析如下.改变隔离开始的时间通过对L调整实现，减小L的数值就提前了隔离时间；而改变隔离的强度通过对λ调整实现，减小λ的数值就提高了隔离的强度.以的隔离强度为100%，分别在100%和80%强度下用改进SIR模型预测不同控制措施下累计病例总数（人）和疫情持续总时间（天）.结果如表1：分析表1，得出结论：○1在相同隔离强度下，发现隔离开始的时间越早，累计病例总数就越小.○2在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间就越短.○3综上，累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短主要由隔离强度的大小决定.所以，有关部门采取的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.7．SARS 对旅游业的影响SARS 的流行会对国民经济带来一定的影响.现在题目提供了市接待海外旅游人数的数据，要求根据这些数据，预测SARS 对市的旅游业所产生的影响.7.1预测正常情况下2003年的旅游人数旅游业随着社会经济的发展，会有一个逐年提高的趋势.如果没有SARS 的流行，那么，海外旅游人数会以一定的规律保持增长的趋势.现在需要预测正常情况下2003年的旅游人数，采用季节性时间序列的半参数回归模型进行预测.一般的半参数回归模型是指：(3) ) (T g Y '∈++=β 其中1),(R R T X P ⨯∈ 为随机向量或设计点列，T 的支撑集为有界闭集，β为1P ⨯的未知参数向量， )( g ⋅是定义于一有界闭集上的未知函数, E 为随机误差,22)E(0, )E(σ=∈=∈(未知),且∈与T X ,相互独立.对季节性时间序列资料),,2,1;,,2,1(l j n i X ij ΛΛ==，其中n 为年份长度,l 为季节长度.根据时间序列资料的加法原理有如下半参数回归模型(4) )(j ij j g bi X ε++= 其中b 为模型参数, 主要反应时间序列在年度上的增长趋势.)(j g 为未知函数,主要反应时间序列在季节上的效应,22)(,0)(σεε==ij ij E E 且ij ε相互独立.显然模型中不应包含常数项,因为常数项可包含在季节效应中.在对旅游人数的估计时，因为采用了1997～2002年的数据进行参数估计，所以年份长度6=n ，而季节上的效应实际上就是每个月的效应，季节长度12=l .参数估计如下：○1把b 看为已知时)(j g 的最小二乘估计为使∑--iij j g bi X 2))((最小的解，即(5) 21)(ˆ+⋅-=n b X j gj 其中，∑=iij j n X X /，即为所有数据在季节点j 上的均数.显然)(ˆj g也是)(j g 的一个临近估计.○2将（5）代入（4）后b 的最小二乘估计为使∑∑+---ijj ij n bX bi X 2))21((最小的解.作变换21~,~+-=-=n i i X X X j ij ij 则(6)~~~ˆ2∑∑⋅⋅=iij ij il X i b在小样本条件下，误差的总体方差2σ估计为(7) )~ˆ~(11ˆ2112i b X l nl n i lj ij ---=∑∑==σ将海外旅游人数1997～2002年的数据代入式（5）、（6）、（7），得到：⎪⎩⎪⎨⎧==0044.0ˆ8245.1ˆ2σb)4642.12,1642,18,5808.21,7475.20,0808.21 ,0808.16,3975.16,9975.17,2142.17,5142.12,2808.13,5642.4()(ˆ=j g根据这些参数，预测正常情况下2003年的旅游人数(计算程序见附件2：时间序列程序)，结果如表2（单位：万人）： 月份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数15.4 17.1 25.3 30.0 30.8 29.2 28.9 33.9 33.6 34.4 31.0 25.31997-2003年旅游人数的变化如图7所示：图7 1997-2003年旅游人数的变化7.2季节性时间序列半参数模型的检验我们利用时间序列模型对1997～2002年的旅游人数进行拟合，再与实际值对照，画出残差图（图8）：。
优秀论文1-SARS疫情预测与走势分析1
SARS疫情预测与走势分析摘要本论文以传统的微分方程为理论基础，以2003年7月以前的有关的数据为参考资料，从数学的角度研究SARS 传染病模型，并建立如下三个的模型：SIR模型：借助于经典的微分学传染病模型---SIR模型分析了SARS的传播情况，由于该模型假设较为理想化，不符合SARS病情实际的传播情况。
我们在SIR模型基础上又提出SIR-F模型和SIF-MN模型。
SIR-F模型：该模型考虑了处于非典潜伏期的人数和城市人口流入流出率对非典疫情的影响。
由于在短时间内无法获取这两项数据，故本文对该模型的参数设置和具体求解未做进一步探讨，但该模型对于有关部门仍有借鉴的价值。
SIR-MN模型：本模型充分考虑疑似病例、日确诊率、自由传播者等诸多关键指标，进一步改进SIR-F模型。
通过对北京数据的曲线拟合及期望值的计算，确定了SIR-MN模型中的未知参数。
以5月2日为起点，对5个边界条件进行计算，再利用欧拉前推公式，求出该模型的数值解。
从而可用MATLAB描绘出与实际曲线能较好吻合的预测曲线，因为计算过程采用北京参数，所以全国的预测曲线与实际曲线存在一些差距。
SIR-MN模型能够较为客观地分析出非典疫情走势，能大致预测疫情的高峰期、平稳期和可控期到来的时间，从而给卫生部门合理决策提供可靠信息。
关键词 SARS 疫情 微分方程 数据拟合 欧拉前推公式一 问题的提SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
2003年春天，SARS 的爆发和蔓延给我们国家的经济发展和人民生活带来了很大影响，面对这突如其来的灾害，我国人民在党中央和国务院的统一领导下，展开了一场为期数月抗击SARS 的顽强斗争。
依目前的情形来看，SARS 在全世界范围内已经得到了根本有效的控制。
尽管SARS 作为一种时疫似乎已成为过去，或许也可能会随着夏日高温的退却又卷土重来，但SARS 时疫对我国社会发展的影响是极其重大的，且还需要我们为其进行大量理论性的思考，积累更多重要的经验和教训，为抗击SARS 时疫并取得彻底性胜利提出有价值的建设性意见。
2003年全国大学生数学建模大赛论文
sars论文
关键词：经济指标 灰色预测 MATLAB 相对误差
1 问题重述
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗 称：SARS 型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和 蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的 经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创 造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：
针对 SARS 对经济的影响，我们着重讨论了 SARS 对北京市海外旅游人 数的影响。对海外旅游业的影响，以 1997--2002 年每年同期的数据构造参考数 列，可以得到 1-12 月的共 12 个预测方程，即可预测 2003 年各月的海外旅游人 数。利用 MATLAB 软件求解，得到的预测值和实际值相差很大，说明从 4 月份 开始 SARS 疫情就对旅游业产生影响，尤其 5、6 月份影响最大，但 10 月份以后 影响就变小甚至没有影响了。
新增病人数＝病人数 每人在t时间内感染人数 ＝(1 p) X (t) r(t)t (1 p)r(t) X (t)t
死亡人数＝死亡率 病人数 t ＝L1 X (t) t L1 X (t)t
治愈人数＝治愈率 病人数 t ＝L2 X (t) t L2 X (t)t
于是有，
X (t t) X (t) (1 p)r(t) X (t)t (L1 L2 ) X (t)t
步研究加以控制，在短期内不会发生变化。根据附录 2 的所给的累计病人数、累
大学生数学建模竞赛模板--sars模型灰色预测
SARS对经济指标的影响王海燕徐昊天吴德春摘要本文针对SARS 疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及其程度。
为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。
（1）SARS对零售业的影响为简化计算，我们以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。
利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。
利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大。
从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。
（2）SARS对海外旅游业的影响以1997--2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。
利用MATLAB软件求解，得到的预测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。
（3）SARS对综合服务业总额的影响以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。
利用方程先预测出2003年的年总值，再根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月的预测值。
利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。
因此，我们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。
另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。
虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。
关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差§1问题的提出背景知识与要解决的问题2003年SARS疫情席卷全球，对世界各国各地区各行业都造成一定的影响。
SARS的传播数学建模论文
SARS的传播摘要本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。
得出三个基本假设并且把人群理想化为三类（S类，I类，R类），建立起基本的SIR模型，再对SIR 模型中三类人群间的相互转化关系的分析，结合马氏链得出三种人群间变化率的矩阵T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的两个参数a(t),b(t)是以时间为变量的函数。
我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。
由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。
于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。
）进一步完善了我们的模型。
本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。
从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。
一问题的提出严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
它对全球的经济和生活造成巨大的破坏，尽管目前疫情已得到控制，但对这种新冠状病毒及其流行规律的研究还刚刚开始，因此，有必要根据SARS流行的特点，建立数学模型预测其传染，从而采取措施预防和控制其发展。
而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。
二问题的分析通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。
模型的假设：1 将人群分为三类易感染者人数（疑似病例）：用S表示；病人数（已受感染者，即确疹者）：用I表示；移出者人数（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 该地区人口不流动，疫情阶段无病原的输入和输出，设最初易感染者人数为N，此时I，R均为0。
灰色预测模型及应用论文
灰色预测模型及应用论文公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。
无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。
在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。
本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。
通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。
另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。
关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论The Research of Grey System TheoryGM（1,1) prediction and the expansion of correlationxueshenping Instructor: tangshaofangAbstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant achievements.This paper is derived GM (1,1) model, the other on the gray correlation was further improved, so that the improved formula is unique and normative. University by giving examples of the incidence of infectious diseases, establishing the GM (1,1) prediction model and predict the incidence of infectious diseases in 1993. In addition to the high incidence of infectious diseases, dysentery, hepatitis, malaria, made the three diseases, correlation analysis, found that dysentery is most closely with the infectious disease, and hepatitis, malaria and infectious diseases, the closeness of the order of hearing.Key words：Grey prediction model ; Grey relational grade;Grey system theory目录灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展1、引言模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。
数学建模论文sars
数学建模论文论文题目：北京SARS的传播研究姓名:熊坤学号:********* 专业:机械设计制造及其自动化姓名: 何红学号:********* 专业:信息与计算科学姓名:劳洁琼学号:********* 专业:通信工程摘要SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中北京感染2847，给我过社会和经济带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS 的认识，疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。
为提高人们对疾病的SARS的认识并通过数学方法控制疫情的传播，本文对北京市的SARS传播问题建立了数学模型，针对疫情传播特点，构建控前模型和控后模型。
针对问题一：本文研究附件一的模型N(t)=NO(1+K)，分析得出模型是基于现实中的自然状态，描述出了SARS传染病最核心最本质的变化趋势。
因此该模型具有的合理性。
针对问题二：对于附件1的模型建立优于它控前模型和控后。
根据定义与假设列出相应的所需的方程组，由直接拟合推导各个参数存在较大的困难，因此采用整体拟合。
再通过相应式子计算预测每日新增的隔离的SARS病毒感染者，整理相应的数据；最后预测北京最终的累计感染非典人数。
据此，在后标题“模型的评论与改进”中阐述对卫生部门锁采取的措施的评论。
针对问题三；通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。
列举如下：(1)时域因素a．政府干预：初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：强行隔离，公共场所消毒等行为）。
b．媒体宣传：初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。
c．认识程度：当一种新的传染病出现时，初期因为研究人员的认识程度不足，没有及时设计并采取有效的预防和治疗措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。
(2)地域因素a．人口密度和人口流动：人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市严重。
大学生数学建模论文：SARS疫情对某些经济指标的影响
37.20833
588.1818
108.475
58.04167
657.8182
118.4167
82.43333
778.3636
132.8083
107.18333
874.9091
145.4083
134.35833
1000.909
再将处理后的数据作图：
140
图四
120
100
80
60
40
20
0
1
1.5
2
2.5
（2）若完全落入该区域，则 x(0) 可以作为模型 GM(1,1) ，进行数据灰色预测。
其次，我们通过 MATLAB 画出通过检验的数列
x (0 ) ( x (0 ) (1), x (0 ) ( 2), , x (0 ) (6))
观察图形，判断数据是否有规律性。两种情况：
（1） 若有规律性，则无需进行数据处理。
x (0 ) (6 ) az (0 ) (6 ) b
相应的白化微分方程为 dx(1) ax(1) b 称之为 GM (1,1) 模型。 dt
x(0) (2)
z(0) (2) 1
令
X
x(0) (3)
x(0) (6)
294.5917 98.04167 1729.273
413.0083 122.43333 2507.636
545.8167 147.18333 3382.545
691.225 174.35833 4383.455
3、模型求解
对通过极比的数列 x(0) 做一次累加，记作： xk (1)
基于灰色预测的SARS疫情影响的分析 - 模式识别数学建模论文
基于灰色预测的SARS疫情影响的分析摘要灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景。
2003年的SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影响。
本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在2003年未发生疫情时的预测数据，与SARS疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果。
然后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型及最小二乘法拟合模型进行分析，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分析，使得结果更加全面、客观。
一、问题的提出2003 年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。
直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。
很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。
究竟SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2 和表3。
2试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003 年SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。
二、问题的分析与假设根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002 年的平均值预测2003年平均值；（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。
大学毕设论文__sars的传播数学建模论文
SARS的传播摘要本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。
得出三个基本假设并且把人群理想化为三类（S类，I类，R类），建立起基本的SIR模型，再对SIR 模型中三类人群间的相互转化关系的分析，结合马氏链得出三种人群间变化率的矩阵T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的两个参数a(t),b(t)是以时间为变量的函数。
我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。
由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。
于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。
）进一步完善了我们的模型。
本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。
从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。
一问题的提出严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
它对全球的经济和生活造成巨大的破坏，尽管目前疫情已得到控制，但对这种新冠状病毒及其流行规律的研究还刚刚开始，因此，有必要根据SARS流行的特点，建立数学模型预测其传染，从而采取措施预防和控制其发展。
而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。
二问题的分析通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。
模型的假设：1 将人群分为三类易感染者人数（疑似病例）：用S表示；病人数（已受感染者，即确疹者）：用I表示；移出者人数（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 该地区人口不流动，疫情阶段无病原的输入和输出，设最初易感染者人数为N，此时I，R均为0。
SARS病例数的统计学与灰色模型预测效果评价
2 结果
211 流行高峰期 流行高峰期各种预测方法的日累计病例数预测
结果见表 1。预测平均数落在总体均数的 95%可信 区间内的方法有时间序列 、灰色模型 、γ分布 、三次 曲线和二次曲线 ;预测误差最小的前 3 位依次为时 间序列 (0, 1, 1) 、灰色模型和 γ分布 ,其预测误差中 位数分别为 0129%、1105%和 1111% ;预测误差中 位数最大的是复合曲线 ,为 40120%。13种方法中 , 时间序列对香港 SARS流行高峰期 (第 33天至第 46 天 )日累计病例数的预测效果是最佳的 。 212 流行下降期
然结束了 ,但是其阴影并未完全消失 ,禽流感目前正 在亚洲多个国家流行 ,因此 ,研究 SARS流行规律 , 预测感染人数的变化趋势 ,有着重要的医学意义和 社会价值 ,也可以为将来可能发生的新病毒性传染 病的预防与控制提供参考 。以往的研究主要是通过 数学模型描述 SARS的传播过程 ,分析感染人数的 变化规律及预测流行的高峰期及结束期等 。研究方 法包括确定性微分方程 、系统动力学模型 、基于统计
由于各段流行曲线的平稳度不同 ,其预测的难 易程度也不同 ,因此 ,流行第 1 天至第 73 天被分为 三段 :上升段 (流行第 1 天至第 32 天 ,即 2003 年 3 月 11日至 2003年 4月 11日 ) 、上升高峰段 (流行第 1天至第 59天 ,即 2003年 3月 11日至 2003年 5月 8日 )和全段 (流行第 1 天至第 73 天 ,即 2003 年 3 月 11日至 2003年 5月 22日 ) 。以这 3个时间段的 每天累计病例数为 X ,分别对这 3 个时段的未来两 周的病例数 ( Y)进行预测 ,即分别预测流行高峰期 、 下降期和终末期的每天累计病例数 。使用预测误 差、95%可信区间 (C I)和配对 t检验对不同方法的预 测效果进行评价 。预测病例平均数不超过实际病例 平均 数 的 95% C I、预 测 误 差 最 小 和 配 对 t 检 验 P > 0105 3项中有 2项者 ,其预测效果属较佳 。预测 误差 = [ 实际病例数 - 预测病例数 /实际病例数 ]
灰色系统理论在疫情预测中的应用研究
灰色系统理论在疫情预测中的应用研究随着新冠疫情的爆发，人们对疫情的预测、控制和防范越来越重视。
在此背景下，灰色系统理论成为了预测领域的一种重要方法。
本文将介绍灰色系统理论的原理，探讨其在疫情预测中的应用，以及有望推进灰色系统理论的发展。
灰色系统理论的基本原理是寻找数据中的内部联系，对其进行变换、建模、分析和预测。
使用灰色系统理论，我们可以将数据进行一定的数据预处理，对二维序列数据进行分段，通过灰色模型求解未来预测值。
灰色系统理论中最常用的模型是GM(1,1)模型和GM(2,1)模型。
GM(1,1)模型是一种非常有效的预测模型，其特点是有着高度的可解释性和通用性，易于使用。
GM(2,1)模型相比于GM(1,1)模型拥有更高的预测精准度和更强的适用性，但复杂度也更大。
疫情的预测是一个复杂的问题，疫情的数据包含了时间、空间、人口数量等多方面的变量，因此需要使用多种模型进行预测。
使用灰色系统理论可以处理无法采用传统方法处理的数据，在应对疫情预测上也有很大的优势。
例如，对于传统数学模型在数据量稀缺、难以建立高阶方程的情况下，灰色系统理论可以展现出其预测的独特优势。
在新冠疫情的防控中，灰色系统理论可以运用在各个领域。
在疫情监测方面，我们可以使用灰色系统理论对疫情数据进行分析，预测未来的疫情发展趋势，作出及时的预警。
在疫情防治中，我们可以使用灰色系统理论对疫情传播规律进行研究，寻找传染病的规律，通过深入分析探究治疗方案和疫苗研制。
在疫情评估中，我们可以使用灰色系统理论对疫情的生态环境进行评估，找到影响疫情进一步扩大的原因，有效控制疫情的蔓延。
灰色系统理论的应用不仅仅局限于疫情预测，其它各种情况下的预测都可以使用。
例如，可以应用于经济预测、风险评估等方面。
灰色系统理论的发展也是逐渐拓宽，如灰色系统理论的扩展理论、灰色关联度的分析方法等等。
总体而言，灰色系统理论在疫情预测领域中发挥了重要作用，其预测方法独特，可以在疫情事件发生时得到快速响应。
灰度预测模型数学建模论文
承诺书我们仔细阅读了全国大学生数学建模的竞赛规则（）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛（报名）队号为：参赛组别：本科组参赛队员(先打印,后签名,并留联系电话) ：题目节能减排摘要本文通过建立模型对全国各省会城市的大气环境质量做出定量的综合评价，并对未来各地区大气的污染状况进行分析比较。
经过查阅资料得到大量数据，利用MATLAB软件编写程序计算得到了各城市的空气质量综合评价模型；通过曲线拟合和灰度预测模型，分别预测出了未来空气质量的趋势，并比较实际数据得到较好的模型；利用EXCEL软件将各城市每年的空气质量绘制成各种图表，给人更加直观的感受。
在大气环境质量的量化问题上，通过计算空气质量指数AQI来综合评价各城市的空气质量。
利用MATLAB软件编写程序计算得到结果，如2010年空气质量最好的三个城市为海口、拉萨、呼和浩特，其AQI分别为40、48、59；空气质量最差的三个城市为兰州、乌鲁木齐、西安，其AQI分别为10.5、91.5、88。
在空气质量预测问题上，我们分别尝试了曲线拟合与灰度预测两种方法，将2011年的预测值和实际值比较，发现灰度预测在数据量较少情况下更具有优势。
基于此在后续问题处理上都沿用了灰度预测模型，并预测了2012年的空气质量指数和不节能减排情况下2007至2011年的空气质量指数。
解决问题3、4时，用之前建模得到的数据，用EXCEL软件绘制图表，清晰直白的分析节能减排对大气环境质量改善所起作用，文章的最后给出了下一步实施节能减排提出建议。
SARS传播的数学模型 数学建模全国赛优秀论文
SARS传播的数学模型（轩辕杨杰整理)摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足。
第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据,具有一定的主观性.针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后,把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期,高峰期和衰退期4个阶段。
将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型。
采用离散化的方法对本模型求数值解得到:北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合。
应用SARS传播模型,对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析,得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数;“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间。
在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难。
本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23。
22亿元人民币损失,并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常。
最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.1．问题的重述SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.（2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因;说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型,并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施,如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响。
sars建模论文
论文：获国家二奖。
保证书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则，我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人(包括指导教师)讨论竞赛题的求解问题，抄袭别人的成果也是违反竞赛规则的，如被发现将会受到严肃的处置。
我们也知道如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表达方式在正文和参考文献中明确列出。
参赛报名号：参赛队员：蒲辉魏物春彭珍荣指导教师：任国军包世堂张明赛区评阅编号：全国统一编号：预防与控制传染病模型摘 要为了定量地研究传染病的传播规律、有效地预测和控制传染病的蔓延，本文建立了一个能够有效地预测以及能为预防和控制传染病提供可靠、足够信息的数学模型：()()()()()()()()()()()())1,,0(100-=<≤⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=++-=+--n i T t T T y T y T x T x t q t y d t x c dtt dy t p t y b t x a dt t dx i i i ii i i i i i其中：1、x(t)：表示t 时刻已发病病例的累计人数；2、y(t)：表示t 时刻与已发病病例直接接触的现有人数；3、p(t)：表示t 时刻直接确定为发病病例与已发病但没有被政府机关、医疗机构发觉的发病人数之和；4、q(t)：表示t 时刻直接确定为疑似病例和与已发病病例直接接触过但还没有被府机关、医疗机构发觉的发病人数之和；5、i a ：表示在[])1,,0(,1-=+n i T T i i 这一时段内发病病例的治愈率；6、i b ：表示在[])1,,0(,1-=+n i T T i i 这一时段疑似病例转化为发病病例的转化率；7、i c ：表示在[])1,,0(,1-=+n i T T i i 这一时段与发病病例接触而转化为疑似病例的转化率；8、i d ：表示在[])1,,0(,1-=+n i T T i i 这一时段，从疑似病例中被而成为健康人的排除率。
灰色预测模型及应用论文
灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。
无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。
在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。
本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。
通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。
另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。
关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论The Research of Grey System TheoryGM（1,1) prediction and the expansion of correlationxueshenping Instructor: tangshaofangAbstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant achievements. This paper is derived GM (1,1) model,the other on the gray correlation was further improved, so that the improved formula is unique and normative. University by giving examples of the incidence of infectious diseases, establishing the GM (1,1) prediction model and predict the incidence of infectious diseases in 1993. In addition to the high incidence of infectious diseases, dysentery, hepatitis, malaria, made the three diseases, correlation analysis, found that dysentery is most closely with the infectious disease, and hepatitis, malaria and infectious diseases, the closeness of the order of hearing.Key words：Grey prediction model ; Grey relational grade;Grey system theory目录1、引言 (1)1.1、研究背景 (1)111.2、研究意义 (2)2、灰色系统及灰色预测的概念 (2)2.1、灰色系统理论发展概况 (2)22232.2、灰色系统的特点 (4)2.3、常见灰色系统模型 (5)2.4、灰色预测 (6)2.5、基本概念 (7)7778883、简单的灰色预测——GM(1,1)预测 (9)3.1、GM(1,1)预测模型的基本原理 (9)3.2、GM(1,1)模型检验 (12)1 2 1 3 1 3 3.3、GM(1,1)残差模型 (14)3.4、GM(1,N)模型 (15)3.5、灰色系统建模的基本思路 (16)4、灰色关联度分析 (16)4.1、灰色关联分析理论及方法 (16)4.2、灰色关联技术的应用 (17)4.3、灰色关联度计算式及改进 (18)5、传染病的问题 (20)5.1、传染病发病率的的预测 (21)5.2、三种传染病的关联分析 (22)6、小结 (23)参考文献： (24)附录 (25)灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展1、引言模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。
11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评
11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评2003年A\C题《SARS的传播》题目、论文、点评考虑自愈的SARS的传播模型李贝本文根据对SARS传播的分析，把人群分为5类：易感类、潜伏期类、患病未被发现类、患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫类，并考虑自愈因素，提出了两个模型：微分方程模型和基于Small-world Network的模拟模型。
对微分方程模型，以香港为例讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自愈现象在SARS传播中是普遍存在的。
模拟模型利用Small-World Network模拟现实中人们之间的接触；借鉴Sznajd模型观念传播的基本思想“考察区域内每个成员如何影响与其有联系的其他成员”，用影响类比传染，从患病者去传染与其有接触的健康人的角度，模拟SARS的传播过程；然后吸收元胞自动机模型同步更新的思想，最终建立了一个患病者传染邻居，且一个成员同时受所有邻居影响的基于Small-World Network的模拟模型。
对此模型，我们讨论了一些主要参数及接种疫苗的影响，最后拟合北京数据，讨论了提前或推迟5天采取措施的影响。
考虑自愈的SARS的传播模型.pdf (341.9 KB)SARS传播的数学原理及预测与控制邹宇庭郑晓练...众所周知，SARS对中国社会带来了重大的影响。
我们以北京地区4月到6月有关SARS的数据为参考资料，就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念，建立了SARS传播的负反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。
该模型将传染率定义为时间的函数，以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标，利用matlab中的fminseareh函数模拟得到最优的模型参数。
该模型可以较好的预测SARS的发展趋势，且可以就此趋势提出如何控制SARS传播的措施。
继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5天实施隔离政策所引起SARS发展趋势变化的曲线，分析了卫生部门实施隔离政策的日期对SARS发展趋势的影响。
sara疫情的影响
作品编号：DG13485201600078972981创作者：玫霸*SARA疫情的影响摘要为了进一步了解2003年SARS疫情对我国某些地区行业经济发展的影响，尤其是对零售业，旅游业和综合服务业三个行业的影响。
通过分析1997年至2003年三个行业的相关数据变化后，在已知的数据中，可以得出三个行业在1997年到2002年的年平均值及其每月所占百分比，然后MATLAB建立灰色预测模型GM （1,1），评估出2003 年零售业，旅游业和综合服务业的年均值和月估计值。
利用其各行业预测出的年均值和月估计值建立非线性回归模型,对比分析2003年的实际值，得出2003年SARS疫情对零售业，旅游业和综合服务的影响状况。
在零售业方面，（），在旅游业方面，（），在综合服务方面（）.关键词：MATLAB 灰色预测模型GM（1,1）非线性回归模型1.问题重述1.1问题的背景SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病,在200 3 年SARS的爆发和蔓延中，疫情威胁着我国人民的生命安全，同时给我国经济发展带来了一定的影响。
在某些省份，一些行业受到了直接的影响，面临着严重的危机，特别是在零售业，旅游业和综合服务业方面。
1.2问题的提出在给出相应数据的前提下，进行分析，评估出2003年SARS疫情对该市商品零售业、旅游业和综合服务业所产生的影响。
2.模型的假设1.题中所给数据真实可靠。
2.1997年至2003年期间，数据的变化只与SARS疫情有关，不受其他影响。
3.符号说明4.问题分析根据题中已知的数据，首先求解出商品零售业、旅游业和综合服务业各在1997年至2002年数据变化的年平均值，然后对各行业的年平均值建立灰色预测模型，预测出各行业在2013年的可能值，最后将预测的可能值与2013年实际的年平均值进行对比分析，从而分析出SARS疫情在该市对商品零售业、旅游业、综合服务业的影响。
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基于灰色预测的SARS疫情影响的分析摘要灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景。
2003年的SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影响。
本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在2003年未发生疫情时的预测数据，与SARS疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果。
然后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型及最小二乘法拟合模型进行分析，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分析，使得结果更加全面、客观。
一、问题的提出2003 年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。
直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。
很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。
究竟SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2 和表3。
2试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003 年SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。
二、问题的分析与假设根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002 年的平均值预测2003年平均值；（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。
给出下面两条假设：（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；（2）假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。
三、建立灰色预测模型GM(1,1)由已知数据，对于1997－2002 年某项指标记为矩阵62(a )ij A ⨯=，计算每年的年平均值，记为(0)(0)(0)(0)((1),(2),,(6))x x x x = （3.1）并要求级比(0)(0)(i 1)/(i)(0.7515,1.3307)i 2,3,,6)i x x λ()=-∈= （3.2）对x (0)作一次累加，则(1)(0)()(0)1(1)(1),()(k)(2,3,,6)ii k x x x i x i === =∑ （3.3）记(1)(1)(1)(1)((1),(2),,(6))x x x x = （3.4）取x (1)的加权均值，则(1)(1)(1)()()(1)(1)(2,3,,6)z k x k x k k =α+-α-= （3.5） α为确定参数，记(1)(1)(1)(1((2),(3),,(6))z z z z = （3.6） GM(1,1)的白化微分方程模型为(1)(1)dx ax b dt+= （3.7） 其中a 是发展灰度，b 是内生控制灰度。
由于(1)(1)(0)()(1)()x k x k x k --= （3.8）取 (0)()x k 为灰导数，(1)()x k 为背景值，则方程（4）相应的灰微分方程为()()()()()012,36x k az k b k +==⋯ （3.9）即矩阵形式为(),Y B a b T = （3.10）其中(0)(0)(0)((2),(3),,(6))Y x x x = （3.11） (1)(1)(1)(2)(3)(6)111Tz z z B ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦（3.12）用最小二乘法求得参数的估计值为1ˆˆ(a,b)()T T T B B B Y -= （3.14） 于是方程（5）有响应（特解）(1)(0)ˆ(1)(1)at a b xt x e b a -⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭ （3.15） 则(0)(1)(1)(0)(1)ˆˆˆ(k 1)(1)()(1)()ak a k b xx k x k x e e a ---⎛⎫+=+-=-- ⎪⎝⎭ （3.16） 由上式可以得到2003 年的平均值为x ，则预测2003年的总值为12Z x =。
根据历史数据，可以统计计算出2003 年第i 个月的指标值占全年总值的比例为i u ，即12611,(i 1,2,,12)i ij i j u a ====∑∑ （3.17）则1212(,,,) u u u u =,于是可得 2003 年每一个月的指标值为 V Zu =四、问题的求解1、商品零售额由数据表1，用以上方法计算可得年平均值、一次累加值分别为 x (0)=(87.6167, 98.5, 108.475, 118.4167, 132.8083, 145.4083)x (1)=(97.6167, 186.1167, 294.5917, 413.0083, 545.8167, 691.225) x (0)的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里取参数α=0.4 比较合适。
由（3.15）式则有z (1)=(127.0167, 229.5067, 341.9583, 466.1317, 603.98)由最小二乘法求得a =−0.099，b=85.5985。
可得2003年的月平均值为x=162.8793亿元；年总值为Z=1954.6亿元。
每月的比例为：u=(0.0794, 0.0807, 0.0749, 0.0786, 0.0819, 0.0818, 0.0845, 0.0838, 0.0872, 0.0886, 0.0866, 0.092) 故 2003 年1－12 月的预测值为V=Zu=(155.2,157.7,146.4,153.5,160.1,159.8,165.1,163.8,170.5,173.1,169.3,179.8) (亿元 ) 将预测值与实际统计值进行比较如表4.1所示。
4.1 2003图4.1 2003 年商品的零售额比较示意图计算所用M文件为：lmlmer.m（调用格式为：function [out]=lmlmer(shuju1)。
输入一组数据shuju1，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）2、接待海外旅游人数由数据表2，用以上方法计算年平均值x(0)和一次累加值x(1)。
取参数α=0.4，继而求得加权平均值z(1)。
a=−0.0938，b=16.2671，x=30.2649，Z=12，x=363.1785u=(0.0407, 0.0732, 0.0703, 0.0878, 0.0907, 0.0848,0.0836, 0.1022, 0.101, 0.1041, 0.0914, 0.0701)于是可得到2003 年的接待海外旅游人数的预测值，并与实际值比较如表4.2 所示。
图4.2 2003年接待海外旅游人数对比图计算所用M文件为：lmlmer.m（调用格式为：function [out]=lmlmer(shuju2)。
输入一组数据shuju2，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）3、综合服务业累计数据首先将表3的数据进行必要的处理，然后计算年平均值x(0)和一次累加值x(1)。
取参数α=0.4，可得加权平均值z(1)。
继而可求得a=−0.1361，b=487.7639 ，x=1171.3，Z=11，x=12885u=(0.0191, 0.031, 0.0433, 0.0591, 0.0728, 0.0875, 0.1046, 0.1205, 0.1358, 0.1515, 0.1749)于是可得到2003 年的综合服务业累计数额的预测值，并与实际值比较如表4.3所示。
图4.3 2003年综合服务业对比图计算所用M文件为：lmlmer.m（调用格式为：function [out]=lmlmer(shuju3)。
输入一组数据shuju3，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）五、模型的结果分析根据该市的统计报告显示，2003 年4、5、6 三个月的实际商品零售额分别为145.2、124、144.1 亿元。
在这之前，根据统计部门的估计4、5、6 三个月份SARS 疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，这三个月估计大约损失62 亿元左右。
从我们的模型预测结果来计算，4、5、6 三个月的损失为60.1 亿元，这个数基本与专家的估计值相符，8 月基本恢复正常，这也说明了模型的正确性和可靠性。
对于旅游业来说是受影响最严重的行业之一，最严重的4、5、6、7 四个月就损失100 多万人，按最新统计数据，平均每人消费1002 美元计算，大约损失10 亿美元。
全年大约损失162 万人，约合16.2 亿美元，到年底基本恢复正常。
对于综合服务业中的部分行业影响较大，如航空交通运输、宾馆餐饮等，但有些行业影响不大，如电信、通讯等，总平均来看，影响还不算太大，5、6、7、8 四个月大约损失70 亿元。
该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也适用于其它方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有很广泛的应用性。
六、运用其他模型进行分析以对接待海外旅游人数的分析为例。
由表2中的信息，1997-2002年1-12月的海外旅游人数矩阵1M ：(11)(1,12)1(6,1)(6,12)(,)m m M x y m m ⎛⎫⋯ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， （6.1）对1M 数据进行分析时，可将上述矩阵化为一行向量：1(1,1)(1,2)(1,12)(2,1)(2,2)(6,12)()(,,,,,,,)N x m m m m m m = （6.2）将1()N x 用matlab 描点连线，画出图像如下：图6.1各月接待的海外旅游人数由图可看出，每一年各月海外旅游人数近似于周期数列，只是后一年单月比前一年同月几乎均有一定程度的增长，且可以看出在同一年中各月海外旅游人数却没有太大关联。
可以将每一年同一个月的海外旅游人数进行分析比较，运用三次多项式拟合法对某一年12个月的数据(n,1)(n,2)(n,12)[m ,m ,,m ]用三次多项式323210y a x a x a x a =+++ （6.3）进行拟合，发现部分月份同比接待旅客人数有所减少。