人教版七年级下册相交线

12
12
1
2
如图 1所示， ∠1与∠3有什么特点？
A
2
D
1O3
4
B
C
∠1与∠ 3是直线 AB 与CD相交得到的， 它们有一个公共顶点 O，没有公共边．
知识要点
对顶角
如果一个角的两边是另一个角的两边的反向 延长线，那么这两个角互为对顶角．
右图中互为对顶角的为： ∠1与∠3； ∠2与∠4．
A
2
D
1 O3
一对邻补角一定互补吗？ 一对互补的角一定是邻补角吗？
A
2
DA
O
1 O3
1O
4
C
4
BC
C
B
图中，∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4，∠1 和∠4都是邻补角，它们是相互的、成对出现的， 如∠2是∠3的邻补角，∠ 1是∠4的邻补角，单独的 一个∠1或单独的一个∠ 4都不能叫邻补角．
下列图中∠1、∠2还是邻补角吗？
C
4
B
判断两个角是不是对顶角：
（1）两个角是由两条直线相交而形成的 （由两条直线相交保证了所形成的角有公共 顶点）；
（2）两个角的两边无公共边．
下列各图中 ∠1、∠ 2是对顶角吗？为什么？
1 2
1
12
2
A
2
D
1 O3
A
2
D
O
4
C
4
B
O
C
B
对顶角是成对出现的．上图中，∠ 2和∠4它们 是相互的，∠ 2是∠4的对顶角， ∠4是∠2的对顶 角，而单独的一个∠ 2或一个单独的∠ 4都不能叫 对顶角．
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角 中一个角是直角．
生活中常见的互相垂直的例子
例2 如图．直线AB、CD相交于点O，
OE ⊥AB于O，OB平分∠ DOF ，∠DOE=50 °，
解:
求∠AOC 、 ∠ EOF 、 ∠ COF 的度数．E
因为AB⊥OE （已知）
D
所以 ∠EOB=90 °(垂直的定义)
m
图中m与n互相垂直， 其 中，m叫n的垂线， n叫m的 垂线，垂足为O ．
┓ n
O
垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如，如图，m、n互相垂直， 垂足 为O ，则记为： m ⊥n 或n ⊥m ．
m ┓n O
若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O．
垂直的书写形式：
A
D
如图，当直线 AB与CD相交于O点，
对顶角相等．
知识要点
对顶角性质
对顶角相等 .
例：如图所示，直线 m，n相交， ∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数．
解：由邻补角的定义，可得：
∠2＝180°－∠1 ＝180°－60° ＝120°；
2
1
n
3 4
由对顶相等，可得：
∠3＝∠1＝60°，
m
∠4＝∠2＝120°．
角的 名称
特 征 课性 质堂小相结同 点
因所所以为以∠∠∠DADOOOECB===54∠00°°DO(（互B=已余40知的°）定（义对) 顶A角C相等）O
B F
又因为OB平分∠DOF
所以∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
不同点
对 顶 角
①两条直线相 交形成的角； ②有公共顶点;
③没有公共边
对顶 角相 等
①都是两条 直线相交而 成的角；
①有无公共边 ②两直线相
邻 补
①两条直线相 交而成； ②有公共顶点;
②都有一个 公共顶点； 邻补
角互 ③都是成对
交时，对顶 角只有两对 邻补角有四 对
角 ③有一条公共 补 出现的
边
随堂练习
C
B
O
A
D
P
3．如图，直线 a，b相交于点O，若∠1＝ 40°，则∠2＝（ D ）
A．60° B．100° C．120° D．140°
1
2
O a
b
2．直线AB、CD交于点O，OP 是∠BOC 的 平分线，已知 ∠AOC=54 °．求∠BOP 的度数．
P
解： 由邻补角的定义可得：
C
B
∠BOC ＝180°－∠AOC
1．判断
（1）有公共顶点且相等的两个角是对顶
角．（ × ） （2）两条直线相交，有两组对顶角．（ √ ）
2．如右图直线 AB、CD交于点O，OP为 射线，那么（ C ）
A．∠AOC 和∠BOC 是对顶角
B．∠BOC 和∠AOP 是对顶角
C．∠BOC 和∠AOD 是对顶角
D．∠AOC 和∠DOP是对顶角
C
∠1与∠2有一条公共边 OA，它们的另一 边互为反向延长线．
知识要点
邻补角
如果两个角有一条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角．
A
2
D
1 O3
C
4
B
图中互为邻补角的有：∠1与∠2， ∠2与∠3， ∠3与∠4， ∠1与∠4．
判断两个角是不是邻补角：
（1）有一个公共顶点； （2）有一条公共边．
新课导入
生 活 中 的 相 交 直 线
生 活 中 的 相 交 直 线
知识要点
相交线的定义
23
●O
14
二线四角图
有一个公共点的两条直线形成相交直线．
请你画出任意两条相交直线，看看这四 个角有什么关系 ?
两条相交直线形成的小于平角的角有几个 ?
如图1所示，∠1与∠2有什么特点？
A
2
D
1
3
O
4
B
此时我们说， AB与CD互相垂直．
当∠BOD ＝α°（ α≠90°）时．
∠AOD＝（ 180－ α ）°
∠AOC ＝（ α ）°
A
∠BOC ＝（ 180－ α ）°
C
B O
D
当α ≠90°时，AB与CD不垂直，此时我们说 AB与CD 斜交．
两条直线相交
斜交
垂直——相交的特殊情况
┓
知识要点
垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角 是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫 另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
两条直线相交，有 __2__组对顶角． 三条直线相交于一点，有 __6__组对顶角．
四条直线相交于一点，有 __1_2_组对顶角． ｎ条直线相交于一点，有 _n_（__n_－__1_）_ 组对顶角．
A
2
D
1 O3
C
4
B
∠1与∠2互补， ∠2 与∠3互补
∠1＝ ∠3 ∠2＝∠4 （同角的补角相等）
＝180°－54°
＝126°；
因为OP 平分∠BOC ，
AO D
所以∠BOP=
1 2
∠AOD
= 1 ×126°
2
＝63°.
生活中的垂线
生 活 中 的 垂 线
C
当∠BOD＝90°时．
∠AOD＝__9_0_°___； A ∠AOC ＝__9_0_°___；
B O
∠BOC ＝___90_°___；
D
∠AOD=90 °时，AB⊥CD，垂足为O．
O
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书写形式1：
C
B
因为∠AOD=90°（已知）
所以AB⊥CD （垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那 么，∠AOD=90°．
书写形式2：因为AB⊥CD （已知）
所以∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC= ∠BOC= ∠BOD=90°