湘教版初中数学九年级下册2.4 过不共线三点作圆 2

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湘教版九年级数学下册课件 2.4 过不共线三点做圆精选课件

问题3：过几点可以确定一个圆呢？
●
A
●
●
A
B
新知探究
经过一个已知点A能确定一个圆吗?
经过一个已知点能作无数个圆. A
新知探究
经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?
经过两个已知点A、B能作无数个圆.
经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?
A
B
它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
新知探究
不在同一直线上的三点 2.确定圆的条件——
圆心、半径
3.锐角三角形
在三角形的内部
直角三角形 --外心的位置-- 在斜边的中点
钝角三角形
在三角形的外部
● 向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢人若软弱就是自己最大的敌人游手好闲会使人心智生锈。故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能。让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。榕树因为扎根于深厚的土壤，生命的绿荫才会越长越茂盛。稗子享受着禾苗一样的待遇，结出的却不是谷穗。进取乾用汗水谱烈军属着奋斗和希望之歌。患难可以试验一个人的品格，非常的境遇方可以显出非常的气节每一件事都要用多方面的角度来看它。机会只对进取有为的人开放，庸人永远无法光顾。困苦能孕育灵魂和精神的力量骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的。如果圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。有困难是坏事也是好事，困难会逼着人想办法，困难环境能锻炼出人才来。只存在於蠢人的字典里。青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。岁寒，然后知松柏之后凋也。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。志当存高远。绳锯木断，水滴石穿让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。没有天生的信心，只有不断培养的信心。路曼曼其修远兮，吾将上下而求索天行健，君子以自强不息。会当凌绝顶，一览众山小。丈夫志四海，万里犹比邻。也，而不可夺赤。信言不美，美言不信。善者不辩，辩者不善。知者不博，博者不知。挫其锐，解其纷，和其光，同其尘，是谓“玄同”。故不可得而亲，不可得而疏；不可得而利，不可得而害；不可得而贵，不可得而贱。故为天下贵。天下之至柔，驰骋天下之至坚。无有入无间，吾是以知无为之有益。知者不言，言者不知。更多老子名言敬请关注习古堂国学网的相关文章。柔弱胜刚强。鱼不可脱於渊，国之利器不可以示人。善为士者，不武；善战者，不怒；善胜敌者，不与；善用人者，为之下。是谓不争之德，是谓用人之力，是谓配天古之极是以圣人后其身而身先，外其身而身存无为而无不为。取天下常以无事，及其有事，不足以取天下。合抱之木，生於毫末；九层之台，起於累土；千里之行，始於足下。多言数穷，不如守中。天下莫柔弱於水，而攻坚强者莫之能胜，以其无以易之。天长地久。天地所以能长且久者，以其不自生，故能长生。是以圣人後其身而身先；外其身而身存。非以其无故能成其私。譬道之在天下，犹川谷之於江海。江海之所以能为百谷王者，以其善下之，故能为百谷王。是以圣人欲上民，必以言下之；欲先民，必以身後之。是以圣人处上而民不重，处前而民不害。是以天下乐推而不厌。以其不争，故天下莫能与之争。是以圣人抱一为天下式。不自见，故明；不自是，故彰；不自伐，故有功；不自矜，故长。夫唯不争，故天下莫能与之争。故道大，天大，地大，人亦大。域中有四大，而人居其一焉修之於身，其德乃真；修之於家，其德乃余；修之於乡，其德乃长；修之於邦，其德乃丰；修之於天下，其德乃普。故以身观身，以家观家，以乡观乡，以邦观邦，以天下观天下。吾何以知天下然哉？以此。慈故能勇；俭故能广；不敢为天下先，故能成器长。今舍慈且勇；舍俭且广；舍後且先；夫慈以战则胜，以守则固。天将救之，以慈卫之。道生一，一生二，二生三，三生万物。知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。知足者富。强行者有志。一个实现梦想的人，就是一个成功的人。一个人如果已经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。落叶 ——树叶撒下的泪滴，既已落下，何须再弯腰拾起；与其肩负

湘教版九年级数学下册第2章：2.4、过不共线三点作圆课件

第2章圆
2.4过不共线三点作圆
教学目标
【学习目标】 1．理解确定圆的条件及外接圆和外心的定义． 2．掌握三角形外接圆的画法．【学习重点】确定圆的条件及外接圆和外心的定义．【学习难点】任意三角形的外接圆的作法．
情境引入：
下图中是一个破碎的圆盘，你能确定它的尺寸（圆盘的大小）吗？
想一想：
位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的
交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，
则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_（__-_1_，_-_2_）__
课堂总结：
谈谈你本节课的学习收获？
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定。（2）经过一个已知点能作无数个圆. （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆。这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（5）外接圆，外心的概念。
3.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）
4.点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC
的度数为
( B)
A.40°
B.40°或140°
C.100°
D.40°或100°
5.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单
A
B
C
练一练
1.确定一个圆的条件有
( C)
①已知圆心和半径；②已知直径的位置和大
小；③不在同一条直线上的三个点.
A.①② B.③ C.①②③ D.①
2.已知A,B两点间的距离为2 cm，则经过A,B两点，且半径为2 cm的圆能作（ B ） A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

湘教版九年级数学下册第二章2.4过不共线三点作圆

整合方法
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径．解：连接CD，如图所示．
整合方法
由(1)知B︵D＝C︵D，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°， ∴BC 是直径，∴∠BDC＝90°， ∴BC＝ BD2＋CD2＝4 2， ∴△ABC 的外接圆的半径＝12×4 2＝2 2.
夯实基础
11．【中考·龙东】若点 O 是等腰三角形 ABC 的外心，且∠ BOC＝60°，底边 BC＝2，则△ ABC 的面积为( ) A．2＋ 3 B．2 3 3 C．2＋ 3或 2－ 3 D．4＋2 3或 2－ 3
夯实基础
【点拨】由题意可得，存在两种情况，当△ABC为钝角三角形时，如图中的△A1BC，当△ABC为锐角三角形时，如图中的△A2BC. 连接A1A2，交BC于D.
A．6 B．5
C．4
D．3
夯实基础
9．【2020·荆州】如图，在 6×6 的正方形网格中，每个小正
方形的边长都是 1，点 A，B，C 均在网格交点上，⊙O
是△ ABC 的外接圆，则 cos∠BAC 的值为( B )
A.
5 5
C.12
B.2 5 5
D.
3 2
夯实基础
*10.【中考·广元】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且 AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝ 60°，⊙O的半径为6，则点P到
整合方法
13．【2020·凉山州】如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是 a，b，c.
(1)求证：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. 证明：作直径 BE，连接CE，如图所示．
整合方法
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A， ∴sin A＝sin E＝BBEC＝2aR，∴sina A＝2R. 同理可得sin∠bABC＝2R，sin∠cACB＝2R， ∴sina A＝sin∠bABC＝sin∠cACB＝2R.

湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 2》教学设计

湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆 2》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册2.4《过不共线三点作圆》是本节课的主要内容。

这一节内容是在学生掌握了圆的定义、圆的性质、圆的标准方程等知识的基础上进行学习的。

通过这一节课的学习，学生需要掌握过不共线三点作圆的方法和步骤，并能够运用这一方法解决实际问题。

教材中给出了详细的步骤和例子，同时也提供了丰富的练习题供学生巩固所学知识。

二. 学情分析在进入九年级下册之前，学生已经学习了两年多的数学知识，对于基础的代数、几何知识有一定的掌握。

在几何知识方面，学生已经学习了图形的性质、图形的变换等知识，对于图形的性质和图形的变换有一定的了解。

在代数知识方面，学生已经学习了函数、方程等知识，对于函数和方程的解法有一定的了解。

但是，对于过不共线三点作圆的知识，学生可能还没有接触过，需要通过本节课的学习来掌握。

同时，由于九年级学生的学习压力较大，需要教师在教学过程中注重启发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解过不共线三点作圆的原理，掌握过不共线三点作圆的方法和步骤，并能够运用这一方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，学生能够培养自己的问题解决能力和团队协作能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学与实际生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣和热情。

四. 教学重难点1.教学重点：过不共线三点作圆的方法和步骤。

2.教学难点：理解和掌握过不共线三点作圆的原理。

五. 教学方法1.启发式教学法：通过提出问题、引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.合作交流法：学生进行小组讨论、合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

3.实践操作法：引导学生动手操作，通过实际操作来加深对知识的理解和掌握。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括教材中的例题和练习题。

2.教学素材：准备相关的图片、实例等教学素材，用于辅助教学。

九年级数学下册第2章圆2.4 过不共线三点作圆课件(新版)湘教版

作线段 AB 的垂直平分线 l，以 l 上任意一点为圆心，以这点和点 A A （或点 B）的距离为半径画圆即可，过两点 A，B 可以作无数个圆.
B
点击打开
如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？
B A
点击打开
C
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C . 求作：⊙O 使它经过点 A、B、C .
过在同一直线上的三点 A，B，C 可以作一个圆吗？
证明：假设过同一直线上的三点可以作圆.
则该圆的圆心到 A、B、C 三点的距离都相等，
即圆心是线段 AB、BC 垂直平分线的交点.
分别作 AB、BC 垂直平分线l1、l2.
显然 l1∥l2，
A
L1 与 l2 无交点，故产生矛盾.
所以假设不成立.
即过同一直线上的三点不能作圆.
1. 如图, △ABC 是☉O 的内接三角形, ∠C＝30°, ☉O
的半径为 5．若点 P 是☉O 上的一点, 在△ABP 中,
PB＝AB,则 PA 的长为（ D ）
A. 5
B. 5 2 3
C. 5 2
D. 5 3
选自《创优作业》
2. （分类讨论题）点 O 是△ABC 的外心, 若∠BOC ＝ 80°,
则∠BAC 的度数为（ C ）
A. 40°
B. 100°
C. 40°或 140°
D. 40°或 100°
选自《创优作业》
3. 如图, △ABC 内接于☉O, ∠B ＝30°, AC ＝ 3 cm, 则 ☉O 的半径长为___3___cm．
九年级数学下册第2章圆2.4 过不共线三点作圆课件（新版）湘教版
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，

初三下数学课件(湘教版)-过不共线三点作圆 2

引出三角形外接圆、外心的概念．
四、点点对接
【例1】如图所示，△ABC中，AB＝AC＝
10，BC＝12，求△ABC的外接圆半径．
【分析】求△ABC的外接圆半径，关键是要找到外接圆圆心
，由于△ABC为等腰三角形，可作底边BC上的高线AD，则圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
心一定在AD上．
【解析】过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
五、课堂小结这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
教学设计一、课前预习阅读教材第61～62页内容，了解本节课的主要内容．
二、情境导入 1．回忆圆的两种定义？ 2．确定一个圆的条件有哪些？(一个定点，一个定长)
三、新知探究探究1 经过不在同一直线上的三点画圆 1．经过一点可以画多少条直线，经过两点可以画几条直线，经过三点可以画多少条直线？那么经过一点可以画多少个圆，经过两点可以画多少个圆，经过三点可以画多少个圆？ 1．无数多个圆，如图1所示． 2．连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到 A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在 AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．
3．作法：①连接AB、BC； ②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到三个顶点的距离相等)，所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．即：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
所以 AD＝ AB2－BD2＝ 102－62＝8.
作 AB 的垂直平分线交 AD 于点 O，连接 OB，所以 OD＝AD－OA＝8－x.

湘教版数学九年级下册《2.4 过不共线三点作圆》教学设计2

湘教版数学九年级下册《2.4 过不共线三点作圆》教学设计2一. 教材分析《2.4 过不共线三点作圆》是湘教版数学九年级下册的一节内容。

本节课主要让学生掌握过不共线三点作圆的方法，理解圆的性质，并能够运用这些知识解决一些实际问题。

教材通过实例引入，让学生观察、思考、探索，从而得出圆的定义和性质。

教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、面积等。

但学生对于过不共线三点作圆的方法可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

此外，学生可能对圆的性质的理解还不够深入，需要在教学中进行引导和拓展。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握过不共线三点作圆的方法，理解圆的性质。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：过不共线三点作圆的方法，圆的性质。

2.难点：对圆的性质的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，让学生观察、思考、探索，从而得出圆的定义和性质。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题，用于引导学生观察、思考、探索。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等，用于展示实例和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如地图上的圆形区域，引起学生的兴趣。

提出问题：如何通过这三个点作圆呢？引导学生思考。

2.呈现（10分钟）通过实例展示过不共线三点作圆的方法，引导学生观察、思考。

讲解圆的定义和性质，如圆的半径、直径等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择三个不共线的点，尝试用所学的方法作圆。

教师巡回指导，解答学生的问题。

湘教版九年级数学下册过不共线三点作圆课件

分析：
O A
C B
C
O
A
B
A O
C
B
新知探究
【例题3】如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是
5cm，求△ABC的外接圆的半径．
A
解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D. 则OD＝5cm，在Rt△OBD中
O
B
D
C
即△ABC的外接圆点作圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
二、三角形的外接圆
经过三角形各顶点的圆叫作三角形的外接圆. 三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心. 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点. 三角形外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.
课堂小测
1.判断：
（1）经过三点一定可以作圆；（ ×）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点；
三角形的三个顶点不在同一条直线上，可以确定一个圆.
这个三角形叫作圆的内接三角形.
l1
l2 A
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.
O
三角形外心的性质：
B
C
三角形的外心到三个顶点的距离相等.
新知探究
【例题2】下列命题：①一个三角形只有一个外心；②钝角三角形的外心在三角形的外部；③锐角三角形的外心在三角形的内部；④直角三角形的外心是其斜边的中点.其中正确的是________________.(填序号)
（3）三角形的外心到三边的距离相等；（×）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内. （ ×）
（√ ）
课堂小测
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径

湘教版初中数学九年级下册2.4 过不共线三点作圆

如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24cm，O 到 BC 的距离是 5cm，求△ABC 的外接圆的半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC 于
TB:小初高题库
湘教版初中数学
1 D，则 OD＝ 5cm， BD＝ BC＝ 12cm.在
2 Rt△OBD 中， OB＝ OD2＋BD2＝ 52＋122 ＝ 13(cm)．即 △ABC 的外接圆的半径为 13cm.
如图， △ABC 内接于 ⊙O，若 ∠OAB＝20°，则∠C 的度数是________．
解析：由 OA＝ OB，知 ∠OAB＝ ∠OBA＝ 20°，所以 ∠AOB＝ 140°，根据圆
1 周角定理，得∠C＝ ∠AOB＝70°.故填 70°.
2 方法总结：在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系．【类型二】与圆的内接三角形有关线段的计算
TB:小初高题库
湘教版初中数学
相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
TB:三点作圆
如图， A︵B是一座石拱桥的桥拱．请你确定出A︵B所在圆的圆心．
解析：要作A︵B所在圆的圆心，就要在 A︵B上确定三点．找与这三点距离都相等的那个点．即是圆心．
解：作法：1.在A︵B上任找异于 A、B 的一点 C；
2．连接 AC、BC； 3．分别作线段 AC、 BC 的垂直平分线，两线交于点 O，则点 O 即为所求作的 A︵B所在圆的圆心．方法总结：确定已知弧所在圆的圆心，只需在弧上任取两条弦，这两条弦的垂直平分线的交点即为圆心．探究点二：三角形的外接圆及外心的相关计算【类型一】与圆的内接三角形有关的角的计算

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3.1.3过不在同一直线上的三点作圆教学目标：1.（了解）（１）知道不在同一条直线上的三点确定一个圆.（２）三角形的外心.2．（掌握）（１）会用尺规作过不在同一直线上的三个点的圆；（２）掌握三角形的外接圆、圆的内接三角形的概念.重、难点：过不共线的三点圆的圆心的确定.学具：圆规、直尺等.教学过程：一、复习引入1. 怎样作线段的垂直平分线？2. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等？3. 位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的，决定圆的位置的是 .4. 几点可以确定一条直线？既然一条直线可以由点来确定，那么一个圆需用几点来确定呢？今天这节课就来研究这个问题.二、讲授新课１. 阅读课文，然后分两组画图：（１）组：经过一个已知点Ａ画圆；（２）组：经过两个已知点Ａ、Ｂ画圆. 注意引导：画圆要确定圆心和半径，但要画的圆经过已知点，圆心确定以后，半径也随之确定，因此，关键是确定圆心.（学生在底下画图时，可让两生上黑板画）教师作简单小结，并在投影上展示出来.过一个点的圆有无数多个过两个点的圆有无数多个接下下来我们来学习过三个已知点画圆.（板书课题）2. 例：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点.已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图）求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ.分析：以前我们学过三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，若把三个已知点看作是三角形的三个顶点构造三角形，那么，两边垂直平分线的交点就是我们要找的圆心.师生共同完成作图过程.（板书过程）（结合以上的作法与证明，请学生回答下列问题，引出定理）①、经过不在同一条直线上的三点A、B、C的圆是否承在？（承在）②、是否还有其他符合条件的圆？（没有）③根据是什么？（线段AB、BC的垂直平分线有且只有一个交点）这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作的圆是唯一的. ３.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.强调：（１）过同一直线上三点不行.（２）“确定”一词应理解成“有且只有”.4. 介绍“三角形的外接圆”和“圆的内接三角形”以及“外心”的概念.5. 过同一直线上的三个点能不能作圆呢？（引导学生思考与尝试）学生得出：过同一直线上的三个点不能作圆三、巩固练习1. 按图填空：（１）△ABC是⊙Ｏ的三角形；（２）⊙Ｏ是△ABC的圆.2. 判断：（１）经过三个点一定可以作圆；（）（２）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（３）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（４）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.（）（5）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点. （）四、思考题经过４个（或４个以上的）点是不是一定能作圆？五、小结过一点作圆过二点作圆会用尺规作三角形的外圆的内接三角形接圆。

九年级数学下册第2章圆2.4过不共线三点作圆练习新版湘教版word格式

2.4 过不共线三点作圆知|识|目|标1．通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆．2．通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.目标一过平面内的点作圆例1 教材补充例题如图2－4－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )图2－4－1A．1 B．2 C．3 D．4【归纳总结】确定一个圆的条件：(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．注意：过在同一直线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互相平行，它们不能构成圆心．目标二理解三角形的外接圆例2 教材补充例题已知等腰三角形ABC，如图2－4－2.(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．图2－4－2【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其外部．例3 教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图2－4－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )图2－4－3A．第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：(1)圆心的位置；(2)半径．已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心．知识点一过不在同一直线上的三个点作圆不在同一直线上的三点确定一个圆．[点拨] (1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件．(2)“确定”即“有且只有”，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆．知识点二三角形的外接圆与外心经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的____________________的交点．[说明] (1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点处．．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，△ABC 外接圆的半径为5，求AB 的长．图2－4－4解：如图2－4－4，连接OB ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD 垂直平分BC ，∴BD ＝12BC ＝4. 在Rt △OBD 中，OD ＝OB2－BD2＝52－42＝3，∴AD ＝AO ＋OD ＝5＋3＝8.在Rt △ABD 中，AB ＝AD2＋BD2＝82＋42＝4 5.以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 C例2 解：(1)如图所示．(2)如图，在优弧BC 上任取一点D ，连接BD ，CD ，∵∠BOC ＝128°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝64°， ∴∠BAC ＝180°－∠BDC ＝116°.例3 A备选目标三角形的外接圆、外心的综合应用例如图①，△ABC 内接于⊙O ，AD 为边BC 上的高．(1)若AB ＝6，AC ＝4，AD ＝3，求⊙O 的直径AE ；(2)若AB ＋AC ＝10，AD ＝4，求⊙O 的直径AE 的最大值，并指出此时边AB 的长．[解析] (1)需要找到AB ，AC ，AD ，AE 之间的数量关系，连接BE ，则∠ABE ＝90°＝∠ADC ，∠E ＝∠C(同弧所对的圆周角相等)，所以△ABE ∽△ADC ，可得AB ∶AD ＝AE ∶AC ，进而求出AE 即可；(2)根据已知得出AC ＝10－AB 的长，利用(1)的结论，将AE 转化为关于AB 的二次函数，最值可求．解：(1)如图②，连接BE.∵AE 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE ＝90°＝∠ADC.又∵∠E ＝∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC， ∴AE ＝AC·AB AD ＝4×63＝8. (2)∵AB ＋AC ＝10，∴AC ＝10－AB.设AB ＝x ，AE ＝y ，∵AD ＝4，由(1)中AB AD ＝AE AC，得y ＝x （10－x ）4＝－x24＋52x ＝－14(x －5)2＋254， ∴⊙O 的直径AE 的最大值为254，此时边AB 的长为5. [归纳总结] 解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值．【总结反思】[小结] 知识点二三条边的垂直平分线[反思] 不完整．补充：若△ABC 是锐角三角形，则AB ＝4 5；若△ABC 是钝角三角形，如图所示，连接OA ，OB ，OA 交BC 于点D.此时AD ＝OA －OD ＝5－3＝2.在Rt △ABD 中，AB ＝AD2＋BD2＝22＋42＝2 5.∴AB 的长为2 5或4 5.。

初中数学湘教版九年级下册《2.4过不共线三点作圆》教案

湘教版数学九年级2.4过不共线三点作圆教学设计阅读下面的材料，想一想：要确定一个圆必须满足几个条件？一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？一、确定圆的条件的探究1、合作探究一：如何过一个点A作一个圆？过点A作圆，可以作多少个圆？请动手画图试一试并归纳出结论．以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；过一个点可作无数个圆．2、合作探究二：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？请动手画图试一试并归纳出结论．作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；过两点可作无数个圆．通过上面的探究活动你发现了什么结论？请通过小组合作交流归纳出结论．归纳：（1）过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个．（2）经过平面内两个点A，B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A 或B的距离为半径的圆．这样的圆有无数个．3、合作探究三：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？你能过不在同一直线上的三点作圆吗？请完成下面的探究过程．假设经过不在同一直线上的A、B、C三点存在⊙O．（1）圆心O到A、B、C三点距离（填“相等”或”不相等”）.（2）如果O点到A、B的距离相等，则点O应在线段AB的_____________上，同理点O也应在线段AC的______________上．（3）点O应是线段AB、AC的____________交点，半径为OA的长，所以_____作圆．根据上面的探究过程你能完成下面的例题吗？例已知：不在同一直线上的三点A、B、C．求作：⊙O，使它经过点A、B、C．作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆．所以⊙O就是所求作的圆．归纳：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆．探究过同一直线上的三点A、B、C能作一个圆吗? 为什么？二、三角形的外接圆，三角形的外心1、经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？为什么？教师讲解三角形的外接圆等概念．经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆．☉O叫做△ABC的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC叫做☉O的____________．2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．怎样作三角形的外心？小组合作交流归纳三角形的外心有何性质？三、探究活动四：三角形与它的外心的位置关系．分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系．结论：锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外．应用：课前的引例中的圆形瓷器碎片如何还原？请用所学的知识解决这个问题．方法：1、在圆弧上任取三点A、B、C；2、作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；3、以点O为圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求．1、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形的外D．外心在三角形内2、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块3、如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5_________．4、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24 cm，CD=8 cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．5、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2 cm，求⊙O的半径．6、如图所示，锐角△ABC，∠A=60°，其外接圆的半径为3，求BC．。