数学人教版八年级上册13.1等腰三角形
人教版数学八上第13讲等腰三角形性质及判定(基础)知识讲解
等腰三角形性质及判定(基础)【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质,并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.2. 掌握等腰三角形的判定定理.3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.性质2用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴,通常情况只有一条对称轴.要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”).要点诠释:等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题1、如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°,求∠2的度数.【答案与解析】解:∵AB=AC∴∠B =∠C∵AB=BD∴∠2=∠3∵∠2=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠B∵∠2+∠3+∠B=180°∴∠B=180°-2∠2∴∠2=∠1+180°-2∠2∴3∠2=∠1+180°∵∠1=30°∴∠2=70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系,显然∠2=∠1+∠C,只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了,而∠C=∠B,所以把问题转化为△ABD的角之间的关系,问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.举一反三:【变式】已知:如图,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,求∠B的度数.【答案】解:∵AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,∴设∠ECD=∠EDC=x,∠BCD=∠BDC=y,则∠AED=∠ADE=2x,∠A=∠B=180°-4x在△ABC中,根据三角形内角和得,x+y+180°-4x+180°-4x=180°①又∵A、D、B在同一直线上,∴2x+x+y=180°②由①,②解得x=36°∴∠B=180°-4x=180°-144°=36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中,有一个角为40°,求其余各角.【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”,别的三角形没有,然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角,所以要分类讨论.【答案与解析】解:(1)当40°的角为顶角时,由三角形内角和定理可知:两个底角的度数之和=180°-40°=140°,又由等腰三角形的性质可知:两底角相等,故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒;(2)当40°的角为底角时,另一个底角也为40°,则顶角的度数=180°-40°-40°=100°.∴其余各角为70°,70°或40°,100°.【总结升华】条件指代不明,做此类题应分类讨论,把可能出现的情况都讨论到,别遗漏.3、已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.【答案与解析】解:(1)3为腰长时,则另一腰长也为3,底边长=13-3-3=7;(2)3为底边长时,则两个腰长的和=13-3=10,则一腰长1105 2=⨯=.这样得两组:①3,3,7 ②5,5,3.而由构成三角形的条件:两边之和大于第三边可知:3+3<7,故不能组成三角形,应舍去.∴等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”,别的三角形没有,此题没有说明边长为3的边是腰还是底,所以做此题应分类讨论.同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边,来验证讨论哪些情况符合,哪些情况不符合,从而决定取舍,最后得到正确答案.举一反三:【变式】已知等腰三角形的底边BC=8cm,且|AC-BC|=2cm,那么腰AC的长为( ). A.10cm或6cm B.10cm C.6cm D.8cm或6cm【答案】A;解:∵ |AC-BC|=2cm,∴ AC-BC=±2.又BC=8cm.∴ AC=10cm或6cm.∴ AB=10cm或6cm.类型三、等腰三角形性质和判定综合应用EA C F4、已知:如图,△ABC 中,∠ACB =45°,AD⊥BC 于D ,CF 交AD 于点F ,连接BF 并延长交AC 于点E,∠BAD =∠FCD . 求证:(1)△ABD≌△CFD;(2)BE⊥AC.【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD =DC ,易证△ABD ≌△CFD ,要证BE ⊥AC ,只需证∠BEC =90°即可,DF =BD ,可知∠FBD =45°,由已知∠ACD =45°,可知∠BEC =90°. 【答案与解析】证明:(1) ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADC=∠FDB=90°.∵ 45ACB ∠=︒,∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD=CD∵ BAD FCD ∠=∠,∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD=FD.∵ ∠FDB=90°,∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒, ∴ 90BEC ∠=︒. ∴ BE⊥AC.【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质,垂直的性质,三角形内角和定理,等腰直角三角形的性质等知识点,关键在于熟练的综合运用相关的性质定理,通过求证△ABD≌△CFD,推出BD=FD ,求出∠FBD=∠BFD=45°. 举一反三:【变式】如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠ABC =90°,AD ∥BC ,AB =BC ,E 是AB 的中点,CE ⊥BD .(1)求证:BE =AD ;(2)求证:AC 是线段ED 的垂直平分线;(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由.【答案】(1)证明: ∵ AD ∥BC ,∠ABC =90°,∴ ∠BAD =∠ABC =90°. 又∵ EC ⊥BD ,∴ ∠BEC +∠DBE =90°,∠BEC +∠BCE =90°. ∴ ∠DBE =∠BCE .在△DAB 与△EBC 中,,,,BAD EBC AB BC ABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △DAB ≌△EBC(ASA). ∴ AD =BE .(2)证明:连接AC ,ED .∵ E 为AB 的中点,∴ BE =AE .又∵ AD =BE(已证),∴ AE =AD 且∠A =90°.△AED 为等腰三角形. ∴ ∠AED =∠ADE(等边对等角), 即∠AED =∠ADE =45°.又∵ AB =BC ,AD ∥BC ,∠ABC =90°. ∴ ∠BAC =∠BCA(等边对等角).∴ ∠BAC =∠BCA =1(18090)452︒-︒⨯=︒. ∴ 45CAD BAC ∠=∠=︒.由等腰三角形性质.可知AC 垂直平分ED ,即AC 是线段ED 的垂直平分线.(3)解:△DBC 是等腰三角形.理由如下:由(2)得CD =CE .由(1)可得CE =BD , ∴ CD =BD .∴ △DBC 是等腰三角形. 【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5,6,则它的周长为( )A .16B .17C .16或17D .10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2:3:3,则这个三角形是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状,两条长直角边在同一条直线上,则图中等腰三角形的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的有( )①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=DB+CE;③AD+DE+AE=AB+AC;④BF=CF.A.1个B.2个C.3个D.4个∆沿过D的直线折叠,使点A落在BC上F处,若5. 如图,D是AB边上的中点,将ABCB∠=︒,则BDF50∠度数是()A.60° B.70° C.80° D.不确定6. 如图,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角形有()A.4个B.5个C.6个D.7个二.填空题7.如图,△ABC中,D为AC边上一点,AD=BD=BC,若∠A=40°,则∠CBD=_____°.8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°,则顶角的度数为.9. 如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,BD平分∠CBA交AC于点D,DE⊥AB于E.若△ADE的周长为8cm,则AB =_________cm.10. 等腰三角形的一个角是70°,则它的顶角的度数是 .11. 如图,△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,OM∥AB,ON∥AC,BC=10cm,则ΔOMN的周长=______cm.12. 如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,若CD=1.8cm,则BC=______.三.解答题13.已知:如图,ΔABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA至E,使AE=AD.试确定ED与BC的位置关系,并证明你的结论.14. 已知:如图,AD是∠BAC的平分线,∠B=∠EAC,EF⊥AD于F.求证:EF平分∠AEB.15. 如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线,求证:BQ+AQ=AB+BP.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C;【解析】注意分类讨论.2. 【答案】D;【解析】三个外角度数分别为360°×=90°,360°×=135°,135°,所以三角形为等腰直角三角形.3. 【答案】B;4. 【答案】C ;【解析】①②③正确.5. 【答案】C;【解析】AD=DF=BD,∠B=∠BFD=50°,BDF∠=180°-50°-50°=80°.6. 【答案】C;【解析】△ABD,△ADE,△ACE,△ABE,△ACD,△ABC为等腰三角形.二.填空题7. 【答案】20;【解析】∠A=∠ABD=40°,∠BDC=∠C=80°,所以∠CBD=20°.8. 【答案】80°;【解析】设顶角为x,则底角为x-30°,所以x+x-30°+x-30°=180°,x=80°.9. 【答案】8;【解析】DE=DC,AC=BC=BE,△ADE的周长=AD+DE+AE=AC+AE=AB=8.10.【答案】70°或40o;【解析】这个角可能是底角,也可能是顶角.11.【答案】10;【解析】OM=BM,ON=CN,∴△OMN的周长等于BC.12.【答案】1.8cm;【解析】连接BD,∠ABD=∠ADB,因为∠B=∠D,所以∠CBD=∠CDB,所以CD=BD.三.解答题13.【解析】证明:ED⊥BC;延长ED,交BC边于H,∵AB=AC,AE=AD.∴设∠B=∠C=x,则∠EAD=2x,∴∠ADE=1802902xx ︒-=︒-即∠BDH=90°-x∴∠B+∠BDH=x+90°-x=90°,∴∠BHD=90°,ED⊥BC.14.【解析】证明:∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠BAD =∠CAD 又∵∠B =∠EAC ,∴∠B +∠BAD =∠EAC +∠CAD ,即∠ADE =∠DAE ∵EF ⊥AD , ∴∠AFE =∠DFE在Rt △AEF 和Rt △DEF 中ADE DAE AFE DFE EF =EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴Rt △AEF ≌Rt △DEF (AAS )∴∠AEF =∠DEF ,即EF 平分∠AEB . 15.【解析】证明:延长AB 至E ,使BE =BP ,连接EP∵在△ABC 中,∠BAC =60°,∠ACB =40°, ∴∠ABC =80°∴∠E =∠BPE =802︒=40° ∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线, ∴∠QBC =40°,∠BAP =∠CAP ∴BQ =QC (等角对等边) 在△AEP 与△ACP 中,EAP CAP E C AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP (AAS ) ∴AE =AC∴AB +BE =AQ +QC ,即AB +BP =AQ +BQ.。
人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)
等腰三角形一、知识梳理:专题一:等腰三角形概念及性质;等腰三角形的判定.二、考点分类考点一:等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。
【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是()A.9cm B.12cm C.15cm或12cm D.15cm解析:当腰为3cm时,3+3=6,不能构成三角形,因此这种情况不成立.当腰为6cm 时,6-3<6<6+3,能构成三角形;此时等腰三角形的周长为6+6+3=15(cm).故选D.方法总结:在解决等腰三角形边长的问题时,如果不明确底和腰时,要进行分类讨论,同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.考点二:等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).2、解题方法:设辅助未知数法与拼凑法.3、重要的数学思想方法:方程思想、整体思想和转化思想.【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是()A .65°或50° B.80°或40° C .65°或80° D.50°或80°解析:当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结:等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图①,在△ABC 中,AB =AC ,点D 在AC 上,且BD =BC =AD ,求△ABC 各角的度数.解析:设∠A =x ,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.解:设∠A =x .∵AD =BD ,∴∠ABD =∠A =x .∵BD =BC ,∴∠BCD =∠BDC =∠ABD +∠A=2x .∵AB =AC ,∴∠ABC =∠BCD =2x .在△ABC 中,∠A +∠ABC +∠ACB =180°,∴x +2x+2x =180°,∴x =36°,∴∠A =36°,∠ABC =∠ACB =72°.方法总结:利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图②,已知△ABC 为等腰三角形,BD 、CE 为底角的平分线,且∠DBC =∠F ,求证:EC ∥DF .解析:先由等腰三角形的性质得出∠ABC =∠ACB ,根据角平分线定义得到∠DBC =12∠ABC ,∠ECB =12∠ACB ,那么∠DBC =∠ECB ,再由∠DBC =∠F ,等量代换得到∠ECB =∠F ,于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明:∵△ABC 为等腰三角形,AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线,∴∠DBC =12∠ABC ,∠ECB =12∠ACB ,∴∠DBC =∠ECB .∵∠DBC =∠F ,∴∠ECB =∠F ,∴EC ∥DF .方法总结:证明线段的平行关系,主要是通过证明角相等或互补.【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图①,点D 、E 在△ABC 的边BC 上,AB =AC .(1)若AD =AE ,求证:BD =CE ;(2)若BD =CE ,F 为DE 的中点,如图②,求证:AF ⊥BC .解析:(1)过A 作AG ⊥BC 于G ,根据等腰三角形的性质得出BG =CG ,DG =EG 即可证明;(2)先证BF =CF ,再根据等腰三角形的性质证明.证明:(1)如图①,过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB =AC ,AD =AE ,∴BG =CG ,DG =EG ,∴BG-DG =CG -EG ,∴BD =CE ;(2)∵BD =CE ,F 为DE 的中点,∴BD +DF =CE +EF ,∴BF =CF .∵AB =AC ,∴AF ⊥BC .方法总结:在等腰三角形有关计算或证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】 如图①,已知△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,BE 是∠ABC 的平分线,DE⊥BC ,垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形;(2)请你判断AD 与BE 垂直吗?并说明理由.(3)如果BC =10,求AB +AE 的长.解析:(1)由△ABC 是等腰直角三角形,BE 为角平分线,可证得△ABE ≌△DBE ,即AB =BD ,AE =DE ,所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形;由∠C =45°,ED ⊥DC ,可知△EDC 也符合题意;(2)BE 是∠ABC 的平分线,DE ⊥BC ,根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称,可得出BE ⊥AD ;(3)根据(2),可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称,且△DEC 为等腰直角三角形,可推出AB +AE =BD +DC =BC =10.解:(1)△ABC ,△ABD ,△ADE ,△EDC .(2)AD 与BE 垂直.证明:由BE 为∠ABC 的平分线,知∠ABE =∠DBE ,∠BAE =∠BDE =90°,BE =BE ,∴△ABE ≌△DBE ,∴△ABE 沿BE 折叠,一定与△DBE 重合,∴A 、D 是对称点,∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线,DE ⊥BC ,EA ⊥AB ,∴AE =DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AE =DE ,BE =BE ,∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL),∴AB =BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,∴∠C =45°.又∵ED ⊥BC ,∴△DCE 为等腰直角三角形,∴DE =DC ,∴AB +AE =BD +DC =BC=10.① ②考点三:等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定;(2)两个角相等的三角形是等腰三角形.【类型一】 确定等腰三角形的个数 【例7】 如图②,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线,则图中的等腰三角形有( )A .5个B .4个C .3个D .2个解析:共有5个.(1)∵AB =AC ,∴△ABC 是等腰三角形;(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线,∴∠EBC =12∠ABC ,∠ECB =12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形,∴∠EBC =∠ECB ,∴△BCE 是等腰三角形;(3)∵∠A =36°,AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB =12(180°-36°)=72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线,∴∠ABD =12∠ABC =36°=∠A ,∴△ABD 是等腰三角形;同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形.故选A.方法总结:确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角,然后确定等腰三角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数.【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,3),在y 轴上确定点P ,使△AOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( )A .3个B .4个C .5个D .6解析:因为△AOP 为等腰三角形,所以可分三类讨论:(1)AO =AP (有一个).此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆,可知圆与y 轴交于O 点和另一个点,另一个点就是点P ;(2)AO=OP (有两个).此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆,可知圆与y 轴交于两个点,这两个点就是P 的两种选择;(3)AP =OP (一个).作AO 的中垂线与y 轴有一个交点,该交点就是点P 的最后一种选择.综上所述,共有4个.故选B. 方法总结:解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏.【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF是等腰三角形.解析:根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE=∠ACD,然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边求得CE=CF,从而求得△CEF是等腰三角形.证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数.解析:(1)根据等边对等角可得∠B=∠C,利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF,然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF.(1)证明:∵AB =AC ,∴∠B =∠C .在△BDE 和△CEF 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧BD =CE ,∠B =∠C ,BE =CF ,∴△BDE ≌△CEF (SAS),∴DE =EF ,∴△DEF 是等腰三角形;(2)解:∵△BDE ≌△CEF ,∴∠BDE =∠CEF ,∴∠BED +∠CEF =∠BED +∠BDE .∵∠B +∠BDE =∠DEF +∠CEF ,∴∠B =∠DEF .∵∠A =50°,AB =AC ,∴∠B =12×(180°-50°)=65°,∴∠DEF =65°.方法总结:等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.经典例题考点一:等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9,则这个三角形的周长为考点二:等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中,AB=AC ,D 是BC 边上一点,连接AD ,若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形,求∠C 的度数。
等腰三角形课件人教版八年级数学上册
已知:如图,DB=DC,∠ABD=∠ACD,
求证:AB=AC.
A
分析:
由条件得到等腰△BDC,
从结论上看,要证明 △ABC是等腰三角形.
D
B
C
初中数学
初中数学
例题讲解
证明:如图,连接BC,
∵ DB=DC,
A
∴ ∠DBC=∠DCB.
又∵ ∠ABD=∠ACD,
∴ ∠DBC+∠ABD=∠DCB+
D
∠ACD,即∠ABC=∠ACB. B
即△ABC为等腰三角形. ∴∠HAC=∠BCA. 定义:有两边相等的三角形叫等腰三角形. (2)在直线EF上找一点B使得AB=4 cm(以A为圆心,4 cm为半径画弧交EF于点B). (3)作AB的垂直平分线交直线EF于点C.
等腰三角形(第三课时) 如图,AB=AC,E为CA延长线上一点,作ED⊥BC于D,交AB于点F,求证:△AEF为等腰三角形.
B. 8 D. 6
初中数学
课后作业
2. 如图,AB=AC,E为CA延长线 上一点,作ED⊥BC于D,交AB 于点F,求证:△AEF为等腰三 角形.
初中数学
课后作业
3.已知等腰三角形的腰长a=4 cm,腰上 的高h=3 cm,请画出符合条件的等腰三 角形.
初中数学
同学们,再见!
例题讲解
解:(1)∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
E
∴∠AEF=∠AFE.
∴AE=AF.
B
∴△AEF是等腰三角形.
A
GF C
D
初中数学
人生志气立,所贵功业昌。 母鸡的理想不过是一把糠。
2019人教版八年级数学上册第十三章133《等腰三角形》讲义第11讲(有答案)语文
第11讲等腰三角形1、等腰三角形性质:性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
(三线合一)2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).1、定义:三条边都相等的三角形,叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
2、性质和判定:(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60º。
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(3)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(1)三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离等。
(2)三角形三个边的中垂线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
(3)常用辅助线:①三线合一;②过中点做平行线考点1、等腰三角形性质例1、一个等腰三角形的一个内角是40°,则它的顶角是()A.40°B.50°C.60°D.40°,100°例2、在钝角三角形ABC中,AB=AC,点D是BC上一点,AD把△ABC分成两个等腰三角形,则∠BAC的度数为().A.150° B.124°C.120° D.108°例3、如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF =DE,则∠E=______度.(例2)(例3)例4、已知△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为。
例5、在△ABC中,AB=AC,CD=CB,若∠ACD=42°,则∠BAC=______°.例6、已知一个等腰三角形的周长为18cm。
(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?(2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1:2两部分,那么各边的长为多少?例7、如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.(1)求证:DE平分∠BDC;(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD.1、对“等角对等边”这句话的理解,正确的是()A.只要两个角相等,那么它们所对的边也相等B.在两个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等C.在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等D.以上说法都是错误的2、等腰三角形的两内角度数之比是1∶2,则顶角的度数是()A.90°B.45° C.36° D.90°或36°3、△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于D,则图中的等腰三角形有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、如图,在△ABC中,∠B=∠C,D在BC上,∠ADE=∠AED,且∠BAD=60°,则∠EDC= 度.5、如图所示,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,把△ADC沿直线AD折过来,点C落在C′处,如果BC′=5,则BC=______.6、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D,若∠ADC=130°,则∠BAC=_____度.(4)(5)(6)7、如图,△ABC中,AB=AC,D、E分别是BC、AC上的点,∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE?写出你的推理过程.8、如图,在△ABC中,AB=AC,CD为AB边上的高,求证:∠BCD=1∠A.29、如图.在△ABC中,AB=AC,F为AC上一点,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,∠AFD=145°,求∠A和∠EDF的值.考点2、等腰三角形的判定例1、下列能断定△ABC为等腰三角形的是()A.∠A=30°,∠B=60°B.∠A=50°,∠B=80°C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周长为10例2、如图,是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是()例3、如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是角平分线,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为______.例4、如图,P是∠AOB的角平分线上一点,PD⊥OB,垂足为D,PC∥OB交OA于点C,(例3)(例4)例5、如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.(1)上述三个条件中,哪两个条件______可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);(2)选择第(1)小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.例6、如图AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于E.①求∠DBC的度数.②猜想△BDC的形状并证明.例7、如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF。
人教版八年级数学上册等腰三角形
么现象?
B D CB D C
1、等腰三角形是轴对称图形
2、∠B =∠C
3、BD = CD ,AD 为底边上的中线 4、∠ADB = ∠ADC = 90°,AD为底边上的高
5、∠BAD = ∠CAD ,AD为顶角平分线 问题1、结论(2)用文字如何表述? A
等腰三角形的两个底角相等
(简写“等边对等角”)
等腰三角形的周长为 20或22
4.等腰三角形有两边长为4和8,则该
等腰三角形的周长为 20
5.等腰三角形的底角可以是直角或钝 角吗?为什么?
补充例题:
(2)当A 140时,求BCD的度数;A
(3)当A 时,求BCD的度数;
D
B
C
在三角形ABC中,AB=AC,且AD ⊥BC,已知∠ 1=20°,求 ∠2=_____度,∠A=______度?
问题2、结论(3)、(4)、(B5)D C 用一句话可以归纳为什么?
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线
和底边上的高互相重合,简称“三线合一”
(1)“等腰三角形”是三线合一的大前提
(2)要注意是哪三线?
做一做2:画出手中等腰三角形 的某一底角平分线、对边(腰) 上的中线和高,看是否重合?
如图:BF为AC边上的高,BE
第十二章 轴对称
等腰三角形
魁星阁
金字 塔
侗寨吊脚楼
等腰三角形 一.基本概念
1.定义:
两条边相等的三角形叫做 等腰三角形.
如图AB=AC, 三角形
就是等腰
2.等腰三角形的基本要素: 相等的两边叫做腰 另一边叫做 底边
两腰的夹角叫做顶角
腰和底边的夹角叫做底角
顶角
A
腰腰
人教版八年级上册知识点13.1
全等三角形:1.全等图形:能够完全重合的两个图形。
平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2.全等三角形:能够完全重合的两个三角形。
3.全等三角形的性质:⑴全等三角形的对应边相等;⑵全等三角形的对应角相等;⑶全等三角形周长、面积相等;⑷全等三角形的对应边上的中线、高线、对应角平分线相等。
4.三角形具有稳定性;5.三角形的三边关系:两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。
6.三角形的内角和等于180O;四边形的内角和等于360O;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
7.等腰三角形的两腰相等,两个底角相等;反之:有两边相等的三角形是等腰三角形;有两个角相等的三角形是等腰三角形。
8.两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
反之也成立。
9.同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等。
10.同底等高或等底同高的两个三角形面积相等。
11.全等三角形的判定定理:定理1:(边边边或SSS)三边对应相等的两个三角形全等。
定理2:(边角边或SAS)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
定理3:(角边角或ASA)两角和它们的夹边境地区对应相等的两个三角形全等。
定理4:(角角边或AAS)两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
定理5:(斜边、直角边或HL)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
12.角平分线定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。
逆定理:角的内部到角的距离相等的点在角的平分线上。
13.三角形的内心:三角形的三条角平分线相交于一点,这点是三角形内切圆的圆心,也叫三角形的内心。
内心到三角形三边的距离相等。
轴对称:1、轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线是它的对称轴。
2、成轴对称图形的性质:⑴成轴对称的两个图形全等,轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。
⑵对应点的连线被对称轴垂直平分。
⑶画对称轴,先找对应点,再作对应点连线的中垂线。
最新人教版八年级数学上册第十三章轴对称 教案教学设计 共10课时,含教学反思
第十三章轴对称13.1 轴对称 (1)13.1.1 轴对称 (1)13.1.2 线段的垂直平分线的性质 (3)13.2 画轴对称图形 (8)第1课时作轴对称图形 (8)第2课时用坐标表示轴对称 (12)13.3 等腰三角形 (16)13.3.1 等腰三角形 (16)13.3.2 等边三角形 (25)13.4 课题学习最短路径问题 (33)章末复习 (35)13.1 轴对称13.1.1 轴对称【知识与技能】掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念.【过程与方法】通过生活中的具体实例认识,培养观察、思维、操作、归纳能力.【情感态度】体验数学与生活的联系,发展审美观.【教学重点】准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质.【教学难点】轴对称图形和关于直线成轴对称的区别与联系.一、情境导入,初步认识展示学生按要求收集的图片资料,教师指导并对所有图片进行分类:第一类是轴对称图形,第二类是关于一条直线对称的图形.学生观察,并以小组为单位,讨论下列问题:1.第一类图案有什么共同特征?2.第二类图案有什么共同特征?【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知1.轴对称图形在学生交流和说出两类图案的特征的基础上,教师提出第一类的图案称为轴对称图形.问题1 学生尝试说出轴对称图形的定义,教师适当纠正与补充.问题2 请学生再举一些日常生活中的轴对称图形的例子.问题3 请观察下列图案,看这些轴对称图形各有几条对称轴.2.两个图形关于某条直线对称教师提出第二类图案称为两个图形关于某条直线对称.问题4 鼓励学生说出两个图形关于某条直线对称的定义.问题5 举出生活中两个图形成轴对称的例子.如:提示:对称轴可能不止1条,也可能是水平的或倾斜的.教师再归纳总结轴对称图形和两个图形成轴对称间的区别与联系.三、运用新知,深化理解1.如图,在由小正方形组成的L形的图形中,用三种不同的方法添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.2.角是轴对称图形,它的对称轴是 .【教学说明】问题1中有两种方法比较容易,方法3鼓励学生交流讨论得到;问题2提醒学生不能说成角平分线.【答案】1.2.角平分线所在的直线.四、师生互动,课堂小结本节课你学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?1.布置作业:从教材“习题13.1”中选取.2.如图是一个圆形的纸片,请问:它是轴对称图形吗?如果是, 对称轴有多少条?请你找到它的圆心.3.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重视以下几点:1.努力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.2.形成提炼概念的能力,注重从实物的形象思维向抽象思维转变.3.在对比中发现,认识知识,如“轴对称”与“轴对称图形”的区别与联系.13.1.2 线段的垂直平分线的性质【知识与技能】1.了解两个图形成轴对称的性质,了解轴对称图形的性质.2.探究线段垂直平分线的性质.【过程与方法】经历探索轴对称图形性质的过程,发展空间观察能力.【情感态度】体验数学与现实间的联系,发展审美感,激发兴趣.【教学重点】轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.【教学难点】线段垂直平分线的性质.一、情境导入,初步认识问题1 下面图形中哪些是轴对称图形?如果是,请说出它的对称轴.问题2 如果两个图形成轴对称,那么这两个图形有什么关系?(如图2,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称)【教学说明】两个图形成轴对称,那么这两个图形就全等.由此提出线段垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如图3,直线l是线段AB的垂直平分线.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知1.探究轴对称的性质(1)作两个成轴对称的三角形,如图.(2)将对称点分别用线段连接起来,观察它与对称轴的位置关系及数量关系,你能得到什么结论?是如何得到这个结论的?(3)轴对称图形是否也具备这样的性质呢?举例说明.2.探索线段垂直平分线的性质探究1 教材中的“探究”.学生先思考教科书上的问题,然后让学生以线段代替木条进行画图探究.任意画一条线段AB,画出它的垂直平分线MN,在MN上任取点P1,P2,P3,分别量一量点P1,P2,P3到点A,点B 的距离,你有什么发现?与同伴交流,说明理由.探究2 如图,PA=PB,取线段AB的中点O,连接PO,PO与AB有怎样的位置关系?指导学生运用三角形全等知识判定△PAO≌△PBO,从而推得PO是线段AB的垂直平分线.教师总结线段垂直平分线的性质与判定.例1 如图所示,有一块三角形田地,AB=AC=10m,作AB的垂直平分线ED交AC于D,交AB 于E,量得△BDC的周长为17m,请你替测量人员计算BC的长.解:∵ED是AB的垂直平分线,∴DA=DB.又∵△BDC的周长为17m,AB=AC=10m,∴BD+DC+BC=17(m).∴DA+DC+BC=17, 即AC+BC=17(m). ∴10+BC=17(m),BC=7(m). 3.作简单轴对称图形的对称轴.例2 如图所示,△ABC 与△A ′B ′C ′关于某条直线对称,请你作出这条直线.【分析】△ABC 与△A ′B ′C ′中的点A 与A ′,点B 与B ′,点C 与C ′是对应点,连接一对对应点,如连接BB ′,作线段BB ′的垂直平分线即可.解:(1)如图所示,连接BB ′,分别以点B ,B ′为圆心,以大于21BB ′的长为半径作弧,两弧相交于D 、E 两点;(2)作直线DE ,DE 即为所求的直线. 三、运用新知,深化理解1.如果△ABC 中,∠BAC=110°,P\,Q 在BC 上,若MP\,NQ 分别垂直平分AB\,AC,则∠PAQ 的度数是 .2.如图,正方形ABCD 的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为.3.如图所示,直线CD 是线段AB 的垂直平分线,P 为直线CD 上的一点,已知线段PA=5,则线段PB 的长度为( )A.6B.5C.4D.34.如图所示,OC是∠AOB的平分线,AC⊥AO,BC⊥BO,则OC与AB的关系是( ).A.AB垂直平分OCB.OC垂直平分ABC.OC只平分AB但不垂直D.OC只垂直AB但不平分5.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连结EC.(1)求∠ECD的度数;(2)若CE=5,求BC的长.【教学说明】指导学生解答上述习题时,强调学生应:(1)注意成轴对称的两个图形的全等关系,由此可得到几组边、角的相等;(2)注意线段垂直平分线的性质的灵活运用.【答案】1.40° 2.8cm2 3.B 4.B5.(1)∵DE垂直平分AC,∴CE=AE,∴∠ECD=∠A=36°.(2)∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°,∵∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.四、师生互动,课堂小结问题:本节课学会了什么?有哪些收获?还有什么疑问?由学生表述,教师归纳总结.1.布置作业:从教材“习题13.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课教学力求充分体现内容的基础性,方法的灵活性、学生学习的主体性和教学的主导性,在学习活动中,要求学生主动参与,认真思考、比较观察、动手交流和表述,并借助多媒体的手段辅助教学,增强直观性、激发学习兴趣.强调分组讨论,学生与学生之间很好地交流与合作,利用师生的双边活动,激发学生学习兴趣,教师从中发现、搜集学生的学习情况,查漏补缺,适时调度,从而顺利达到教学的目的.13.2 画轴对称图形第1课时作轴对称图形【知识与技能】1.通过动手操作体验如何作轴对称图形.2.能作出一个图形经一次或二次轴对称变换后的图形.3.能利用轴对称变换设计一些简单的图案.【过程与方法】通过实际操作获取作轴对称图形的方法,并应用于简单的图案设计.【情感态度】通过图案设计等活动,培养学生的动手操作能力\,审美及数学兴趣,发展学生的空间观念.【教学重点】作一个图形经轴对称变换后的图形.【教学难点】通过动手操作总结轴对称变换的特征.一、情境导入,初步认识利用多媒体向学生展示剪纸图片,供学生欣赏,并请学生交流:如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢?问题 1 请学生拿出画有一个简单风筝(如图形状)的半透明纸,把这张纸对折后描图,学生画好后打开对折的纸,观察并回答下列问题:(1)画出的图形与原来的图形有什么关系?(2)两个图形成轴对称有什么特征?问题 2 如果改变对称轴的方向和位置,结果又如何呢?让学生在刚才的纸上任意折叠,描图,打开纸.你发现了什么?【教学归纳】由学生画图、操作、观察后总结出:(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.(2)新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点,连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知【教学说明】成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.问题除上面所用的描图法;还可用什么方法画出轴对称变换后的图形?请学生间交流探讨.例1(1)如图1,已知△ABC和直线l,作出与△ABC关于直线l对称的图形.(2)将△ABC的位置移至图2,图3,图4时,再作出关于直线l对称的图形.并验证画法.【归纳总结】一个平面图形都是由一些点组成,点动成线,故要画一个图形经轴对称后的图形,只要找到一些特殊点,作出这些特殊点的对称点即可.【教学说明】利用轴对称变换,可以设计出精美的图案.有时,将平移和轴对称结合起来,可以设计出更美丽的图案.例2 操作并思考:如图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的三角形沿黑线剪开,去掉含90°角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺开.(1)你会得到怎样的图案?先猜一猜,再做一做.(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?应用学过的轴对称的知识试一试.(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再去掉含90°角的部分展开后的结果又会怎样?为什么?解:(1)得到一个有2条对称轴的图形.(2)按照上面的做法,实际相当于折出了正方形的2条对称轴,因此图中得到的图案一定有2条对称轴.(3)按题中的方式将正方形对折3次,相当于折出了正方形的4条对称轴,因此得到的图案一定有4条对称轴.【教学说明】教师参与,与学生一起操作,力求使图案与花边完美.三、运用新知,深化理解1.把下列图形补成关于直线l对称的图形.2.如图,利用轴对称变换画出花瓶的另一半.3.如图,左边的旗子经过几次轴对称变换,可以变成右边的旗子?你能设计一种变换方案吗?4.如果我们把台球桌做成等边三角形形状,那么从AC中点D处出发的球,能否依次经BC,AB两条边反射后回到D处?如果认为不能,请说明理由;如果认为能,请作出球运动的路线.【教学说明】指导学生解答上述习题时,要注意引导学生:(1)画轴对称图形时,要先画好关键的对应点;(2)在已知成轴对称的图形时,利用成轴对称的图形的性质,找出对称轴.【答案】4.能.运动路线如图的D→E→F→D四、师生互动,课堂小结教师请学生回忆本节内容,学生发言谈收获,最后引导总结.1.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样.2.经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分.3.画一个图形经轴对称变换后的图形,关键是找到图形上的一些点,作出这些点的对称点.1.布置作业:从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境,以生动活泼的形式呈现有关内容,重视学生的实际操作和观察发现与表述能力.教学时,根据本课内容特点,可依据其学科知识间联系(如例2)调动课堂气氛,培养学生学习兴趣.第2课时用坐标表示轴对称【知识与技能】1.能在直角坐标系中画出已知点关于坐标轴对称的点.2.能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标,求出已知点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.【过程与方法】在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中,培养学生的语言表达能力、归纳能力.【情感态度】在找点,绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习乐趣,养成良好的科学研究方法.【教学重点】能求出已知点关于坐标轴对称的点的坐标.【教学难点】找对称点的坐标之间的关系,规律.一、情境导入,初步认识用多媒体展示北京城风光图片,及北京城形象地图.问题 1 老北京的地图(教材图13.2-3)中,西直门和东直门是关于中轴线对称的,如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,对应于如教材图13.2-3所示的东直门的坐标,你能找到西直门的位置和坐标吗?学生指出西直门的位置或坐标,由此指出用坐标表示轴对称,很方便确定一个地方的位置.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.问题2(1)在直角坐标系中画出下列已知点:A(2,-3);B(-1,2);C(-6,-5);D(3,5);E(4,0);F(0,-3).(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点,并填写表格.(3)请你仔细观察点的坐标,你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性,说说你是如何检验的.【归纳结论】点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y),即横坐标相等,纵坐标互为相反数;点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),即横坐标互为相反数,纵坐标相等.二、典例精析,掌握新知例1 已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2012的值为( ).A.0B.-1C.1D.(-3)2012出示新问题:1.如图,分别作出△PQR关于直线x=1和直线y=1对称的图形.2.试找出它们对应点的坐标.3.猜想:如果作关于直线x=3和直线y=-4对称的图形,试找出它们对应点的坐标,并总结出一般性规律.点(x,y)关于直线x=m 对称点的坐标是(2m-x,y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线x=m 对称,则m=221x x +,y 1=y 2. 点(x,y)关于直线y=n 对称点的坐标是(x,2n-y),即若两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于直线y=n 对称,则x 1=x 2,n=221y y +. 例2 如图,梯形ABCD 关于y 轴对称,点A 的坐标为(-3,3),点B 的坐标为(-2,0),试写出点C 和点D 的坐标,并求出梯形ABCD 的面积.【分析】已知点D 与点A 关于y 轴对称,点B 和点C 关于y 轴对称,由此可推知点D,点C 的坐标.解:∵点D 与点A(-3,3)关于y 轴对称,∴点D 的坐标为(3,3).同理点C 的坐标为(2,0).故AD=|3-(-3)|=6,BC=|2-(-2)|=4,∴S 梯形=21 (AD+BC)·OE=21×(6+4)×3=15. 【教学说明】由以上例题,应让学生掌握:1.平行于x 轴的两点之间的距离等于两点横坐标差的绝对值.2.求规则图形的面积应选用平行于x 轴(或y 轴)的边为底边,求面积较方便.三、运用新知,深化理解1.说出下列各点关于x轴,y轴对称的点的坐标.(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0).2.四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形.3.在坐标系中描出点A(-1,3),B(5,-4),C(-3,-1),D(-1,1),E(-3,5),F(5,8),连接AB,BC,AC,DE,EF,DF,请你判断所得图形是轴对称图形吗?如果不是,请你说明理由;如果是,请说出对称轴.【教学说明】教师指导学生完成上述问题的解答,提示学生解题过程中注重画图找答案,体验数形结合的作用.同时,鼓励学生从实际解题中总结题中所隐含的规律.【答案】1.2.略3.图略.所得图形是轴对称图形,对称轴是y=2.四、师生互动,课堂小结教师引导学生总结本节课用坐标表示轴对称的主要解题方法和解题思路.1.已知点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段间关系来求.2.学生表述关于x轴,y轴对称的点的坐标规律.1.布置作业:从教材“习题13.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时采用探究、发现式的教学方法,通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标,寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律,可培养学生观察、归纳、分析问题解决问题的能力,并通过研究线段之间关系发现对称点的坐标之间的关系,从中体验数形结合思想,教学中应让学生认识到寻找规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤.13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.3.观察等腰三角形的对称性、发展形象思维.【过程与方法】1.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入,初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点,要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质,可以实现由边到角的转化,从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知,深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°3.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图,在△ABC中,过C作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为D,DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2组练习答案:1.C2.C3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动,课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业:从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上,先让学生通过剪纸认识等腰三角形;再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质;然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性,逻辑演绎,层层展开,步步深入.第2课时等腰三角形的判定【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的判定.2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.【过程与方法】通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受,并在这个过程中体验学习的乐趣.【教学重点】等腰三角形的判定定理.【教学难点】等腰三角形判定定理的证明.一、情境导入,初步认识先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).引导学生作如下思考:(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.【教学说明】教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中,如果两个角相等,那么它们所对的边也相等”,并证明这个结论.1.指导学生表述结论并写出证明过程.2.指出表述要严谨,如不能说成:“如果一个三角形的两个底角相等,那么它是等腰三角形”.二、思考探究,获取新知例1 求证:如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”,而等角由已知的平行线和角平分线可推得.例2 如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长?【教学说明】这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.解:如图(2),选取比例尺为1∶100.①作线段DE=4cm.②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.。
人教版八年级数学上下册课本目录
人教版八年级数学上下册课本目录在八班级数学教育中,能对学生产生直接影响的就是数学教材。
教材目录选用了什么知识呢?整理了关于人教版八班级数学上下册课本目录,希望对大家有帮助!人教版八班级数学上册课本目录第十一章三角形11.1与三角形有关的线段信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和数学活动小结复习题11第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质数学活动小结复习题12第十三章轴对称13.1 轴对称13.2 画轴对称图形信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题数学活动小结复习题13第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.2 乘法公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解数学活动小结复习题14第十五章分式15.1 分式15.2 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吧15.3 分式方程数学活动小结复习题15部分中英文词汇索引人教版八班级数学下册课本目录第十六章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加减数学活动小结复习题16第十七章勾股定理17.1 勾股定理阅读与思考勾股定理的证明17.2 勾股定理的逆定理阅读与思考费马大定理数学活动小结复习题17第十八章平行四边形18.1 平行四边形18.2 特殊的平行四边形实验与探究丰富多彩的正方形数学活动小结复习题18第十九章一次函数19.1 函数阅读与思考科学家如何测算岩石的年龄19.2 一次函数信息技术应用用计算机画函数图象14.3 课题学习选择方案数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20.1 数据的集中趋势20.2 数据的波动程度阅读与思考数据波动程度的几种度量20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20部分中英文词汇索引人教版八班级数学上下册课本目录。
数学八年级上册等腰三角形讲解
数学八年级上册等腰三角形讲解一、等腰三角形的定义。
1. 定义。
- 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角。
- 例如,在△ABC中,如果AB = AC,那么△ABC就是等腰三角形,AB和AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B和∠C是底角。
二、等腰三角形的性质。
1. 性质1:等边对等角。
- 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
- 证明:已知△ABC中,AB = AC。
过点A作AD⊥BC于点D。
- 在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB = AC,AD = AD(公共边)。
- 根据HL(斜边直角边)定理可得Rt△ABD≌Rt△ACD。
- 所以∠B=∠C。
- 例如,在等腰三角形ABC中,若AB = AC,且∠A = 50°,根据等边对等角,∠B=∠C。
因为三角形内角和为180°,所以∠B = ∠C=(180° - 50°)÷2 = 65°。
2. 性质2:三线合一。
- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)。
- 证明:- 已知等腰△ABC中,AB = AC,AD平分∠BAC。
- 在△ABD和△ACD中,AB = AC,∠BAD = ∠CAD,AD = AD。
- 根据SAS(边角边)定理可得△ABD≌△ACD。
- 所以BD = CD,∠ADB=∠ADC = 90°,即AD是BC边上的中线和高。
- 已知等腰△ABC中,AB = AC,AD是BC边上的中线。
- 在△ABD和△ACD中,AB = AC,BD = CD,AD = AD。
- 根据SSS(边边边)定理可得△ABD≌△ACD。
- 所以∠BAD = ∠CAD,∠ADB = ∠ADC = 90°,即AD是∠BAC的平分线和BC边上的高。
- 已知等腰△ABC中,AB = AC,AD是BC边上的高。
新人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称全章课件
(2)承(1)小题,请判断当∠ABC不是你指出的角 度时,PR的长度小于6还是大于6?并完整说 明你判断的理由.
解:PR的长度小于6,理由如下: ∠ABC≠90°,则点P、B、R三点不在 同一直线上,∴PB+BR>PR. ∵PB+BR=2OB=2×3=6, ∴PR<6.
重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它
的对称轴.
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别 联系
一个图形具有的特 殊形状
两个全等图形的特殊 的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化.
这是轴对称图形还是两个图形成轴对称?
二 轴对称的性质
如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′,B′,C′分
1.下列表情图中,属于轴对称图形的是( D )
2.下列图形,对称轴最多的是( D )
A.长方形
B.正方形
C.角
D.圆
3.如图,△ABC与△DEF关于直线MN轴对称,则以 下结论中错误的是( A )
A.AB∥DF
B.∠B=∠E C.AB=DE D.AD的连线被MN垂直平分
4.如图,Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠A=50°,将其折叠,使 点A落在边CB上A′处,折痕为 CD,则∠A′DB的度数为__1_0_°___.
A
A′
B
N B′
典例精析
例1 如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的 四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=40°, 则∠BCD的度数是( A ) A.130° B.150° C.40° D.65°
方法归纳:轴对称是一种全等变换,在轴对称图形中求角度 时,一般先根据轴对称的性质及已知条件,得出相关角的度 数,然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.
八年级数学人教版(上册)第2课时等腰三角形的判定
讲授新课
方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形 的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限 于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形 中,此结论不一定成立.
侵权必究
讲授新课
如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E,交AC于F.
探究EF、BE、FC之间的关系.
∴ AC=AB. ( 等角对等边 ) B
C
即△ABC为等腰三角形. 侵权必究
讲授新课
辨一辨:如图,下列推理正确吗?
A 12
B
D
C
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
(等角对等边).
C D
1
A2
B
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC (等角对等边).
错,因为都不是在同一个三角形中.
侵权必究
讲授新课
求证:如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边,那:1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN,交AB
于点D. 3.在MN上取一点C,使DC=h. 4.连接AC,BC,则△ABC即为所求.
C
M A DB
N
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讲授新课
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB 边上的高,AE是∠BAC的平分线,AE与CD交于点F, 求证:△CEF是等腰三角形.
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
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目录页
新课导入
讲授新课
当堂练习
课堂小结
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新课导入
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
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学习目标
探索等腰三角形的判定定理及其应用
八年级数学人教版(上册)第1课时等腰三角形的性质
证明:∵△ABC为等腰三角形,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线,
∴ DBC 1 ABC,ECB 1 ACB,
2
2
∴∠DBC=∠ECB.
∵∠DBC=∠F,∴∠ECB=∠F,
∴EC∥DF. 侵权必究
当堂练习
7.A、B是4×4网格中的格点,网格中的每个小正方 形的边长为1,请在图中标出使以A、B、C为顶点 的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.
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当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
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当堂练习
1.等腰三角形有一个角是90°,则另两个角分别是( B )
A.30°,60°
B.45°,45°
C.45°,90°
D.20°,70°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,
若∠1=70°,则∠BAC的大小为( A ) A.40° B.30° C.70° D.50°
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讲授新课
(1)解:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴∠BAD=∠CAD,∴∠BAC=2∠BAD=50°.
∵AB=AC,
∴
∠C=∠ABC
= =
112(1(18800°-°-50°)=∠6A5)°.
2
(2)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴ED⊥BC,
又∵BG平分∠ABC,EF⊥AB,
B
C
∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
归纳 在含多个等腰三角形的图形中求角时,常常利用
方程思想,通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
侵权必究
讲授新课
如图,在△ABC中,AB=AD=DC, ∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数. 解:∵AB=AD=DC
人教版数学八年级上册课件-第十三章
(二)线段的垂直平分线的判定 你能写出上面这个命题的逆命题吗?它是真命题吗?这个命题不是“如果… 那么…”的形状,要写出它的逆命题,需分析命题的条件和结论,将原命题写 成“如果…那么…”的形式,逆命题就容易写出.鼓励学生找出原命题的条件 和结论. 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与 这条线段两个端点的距离相等”.
证法一 过点P作已知线段AB的垂线PC,∵PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC,即P点在AB的垂直平分线上.
如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3…是l上的点,分别量一量点P1, P2,P3…到点A与点B的距离,你有什么发现?
学生回答,教师小结:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等.
性质的证明:
教师讲解题意并在黑板上绘出图形:上述问题用数学语言可以这样表示:如 图,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足,点P是直线MN上任意一 点,连接PA,PB,我们要证明的是PA=PB.
此时,逆命题就很容易写出来.“如果有一个点与线段两个端点的距离相等, 那么这个点在这条线段的垂直平分线上.”
写出逆命题后,就想到判断它的真假.如果真,则需证明它;如果假,则需 用反例说明.请同学们自行在练习册上完成.
学生给出了如下的四种证法. 已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB. 求证:P点在AB的垂直平分线上.
掌握线段的垂直平分线的性质和判定,能灵活运用线段的垂直平分线的性 质和判定解题.
重点 线段的垂直平分线的性质和判定,能灵活运用线 段的垂直平分线的性质和判定解题. 难点 灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.
一、问题导入 我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.那 么,线段的垂直平分线有什么性质呢?这节课我们就来研究它. 二、探究新知 (一)线段的垂直平分线的性质 教师出示教材第61页探究,让学生测量,思考有什么发现?
人教版初中数学八年级上册第十三章:轴对称(全章教案)
第十三章轴对称本章的内容包括:轴对称、画轴对称图形、等腰三角形、最短路径问题.轴对称是一种重要的对称.本章我们将从生活中的对称出发,学习几何图形的轴对称及其基本性质,欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用.在此基础上,利用轴对称来研究等腰三角形,进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法,由此体会图形变化在几何研究中的作用.在中考中,本章重点考查轴对称图形的性质、等腰三角形、等边三角形的判定及性质.【本章重点】轴对称图形的性质、等腰三角形的性质及判定.【本章难点】运用轴对称的思路分析认识复杂图形,进行推理论证.【本章思想方法】1.体会和掌握分类讨论思想,如:在解答等腰三角形的问题中,当腰和底、顶角的大小、角的位置不明确时,需要进行分类讨论.2.体会方程思想,如:在解决等腰三角形的问题时,根据边或角之间的关系,先设适当的边或角为未知数,再将其他的边或角用含未知数的代数式表示出来,最后根据等腰三角形的周长或三角形的内角和定理等构造方程解决问题.3.体会数形结合思想,如:运用本章知识解决实际问题时经常根据题意画出符合条件的图形,利用数形结合思想解决问题.13.1轴对称3课时13.2画轴对称图形2课时13.3等腰三角形4课时13.4课题学习最短路径问题1课时13.1轴对称13.1.1轴对称(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1.理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念.2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴.【过程与方法】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作,让学生关注生活,学会观察,增强交流.【情感态度与价值观】通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习,激发学生学习欲望,主动参与数学学习活动,体会图形的美,同时感悟数学来源于生活又用于生活.二、重难点目标【教学重点】轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系.【教学难点】轴对称的性质.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P58~P60的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线就是对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.3.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.4.图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.5.下列体育运动标志中,不是轴对称图形的有1个.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】判断下列图形是否为轴对称图形?如果是,说出它有几条对称轴.【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形?如何找轴对称图形的对称轴?【解答】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.则(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形,(2)(4)(7)(8)(10)是轴对称图形.(2)(4)(8)有1条对称轴;(7)有4条对称轴;(10)有2条对称轴.【互动总结】(学生总结,老师点评)轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.【例2】如图,△ABC和△AED关于直线l对称,若AB=2 cm,∠C=95°,则AE=________,∠D=________.【互动总结】(学生总结,老师点评)根据轴对称的性质,有AE=AB=2 cm,∠D=∠C =95°.【答案】2 cm95°【互动总结】(学生总结,老师点评)根据成轴对称的两个图形全等及全等的性质得到对应线段相等,对应角相等.活动2巩固练习(学生独学)1.下图中的轴对称图形有(B)A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(3)(4)2.如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B =40°,则∠BCD的度数是(A)A.130° B.150° C.40° D.65°3.画图:试画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格,n条对称轴.解:如图.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)1.可用折叠法判断是否为轴对称图形.2.多角度、多方法思考对称轴的条数.3.对称轴是一条直线,一条垂直于对应点连线的直线.4.轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形.请完成本课时对应练习!13.1.2线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的性质和判定一、基本目标【知识与技能】探索并理解线段垂直平分线的性质及判定.【过程与方法】经历探索轴对称图形性质及判定的过程,发展空间观念,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感态度与价值观】通过对轴对称图形性质的探索,促使学生对轴对称有了更进一步的认识,活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,并使学生具有一些初步研究问题的能力.二、重难点目标【教学重点】掌握线段垂直平分线的性质及判定.【教学难点】运用其性质及判定解答相关问题.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P61~P62的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系?答:直线MN垂直平分线段AA′、BB′、CC′.2.垂直平分线的性质:线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.3.垂直平分线的判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4.下列条件中,不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A.MA=MB,NA=NBB.MA=MB,MN⊥ABC.MA=NA,MB=NBD.MA=MB,MN平分∠AMB环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,在△ABC中,AB=AC=20 cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,若△DBC的周长为35 cm,求BC的长.【互动探索】(引发学生思考)△DBC的周长为35 cm,求BC→需求BC+DC的长,利用AD=BD(垂直平分线的性质)→BC+DC=AC.【解答】∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35 cm,DE垂直平分AB,∴AD=BD,故BC+AD+CD=35 cm.∵AC=AD+DC=20 cm,∴BC=35-20=15(cm).【互动总结】(学生总结,老师点评)利用线段垂直平分线的性质,可以实现线段之间的相互转化,从而求出未知线段的长.【例2】如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,试说明AD与EF的关系.【互动探索】(引发学生思考)先利用角平分线的性质得出DE =DF ,再证△AED ≌△AFD ,从而找出AD 与EF 的关系.【解答】AD 垂直平分EF .∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC , ∴DE =DF .在Rt △ADE 和Rt △ADF 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AD =AD ,DE =DF ,∴Rt △ADE ≌Rt △ADF , ∴AE =AF ,∴A 、D 均在线段EF 的垂直平分线上,即直线AD 垂直平分线段EF .【互动总结】(学生总结,老师点评)证线段垂直平分线的方法1即定义,证垂直平分,方法2即线段垂直平分线的判定定理.活动2 巩固练习(学生独学)1.如图,直线CD 是线段AB 的垂直平分线,P 为直线CD 上的一点,已知线段P A =5,则线段PB 的长度为( B )A.6 B.5C.4 D.32.到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个.3.如图,在△ABC中,D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连结DF,交AC 于点E,连结BE,∠A=∠ABE.(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线;(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.(1)证明:∵∠A=∠ABE,∴EA=EB.∵AD=DB,∴DF是线段AB的垂直平分线.(2)解:∵∠A=46°,∴∠ABE=∠A=46°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°,∠F=90°-∠ABC=23°.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.【互动探索】(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可证△ADE ≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答;(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF 即可.【解答】(1)∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF.∵E是CD的中点,∴DE=EC.又∵∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD.(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF.∵BE⊥AE,∴BE是线段AF的垂直平分线,∴AB=BF=BC+CF.∵AD =CF , ∴AB =BC +AD .【互动总结】(学生总结,老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,利用它可以证明线段相等.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)线段垂直平分线⎩⎪⎨⎪⎧性质:线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等判断:与线段两个端点距离相等的点在这 条线段的垂直平分线请完成本课时对应练习!第3课时线段垂直平分线的有关作图一、基本目标【知识与技能】理解并掌握线段垂直平分线的有关作图.【过程与方法】经历探索线段垂直平分线的有关作图的过程,发展空间观念,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感态度与价值观】通过作轴对称图形的对称轴,促使学生对轴对称有了更进一步的认识,活动与操作的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,并使学生具有一些初步研究问题的能力,同时培养学生动手操作的意识及能力.二、重难点目标【教学重点】理解作轴对称图形的对称轴的方法.【教学难点】能解决有关线段垂直平分线的作图题.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P62~P63的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连结它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.2.同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.3.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,请说出它的对称轴.解:它们都是轴对称图形,第一幅图的对称轴是中间的水平直线,第二、三幅图的对称轴是中间的竖着直线.4.作线段AB 的垂直平分线.解:作法:(1)分别以点A 、B 为圆心,以大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于E 、F两点;(2)作直线EF ,EF 即为所求的直线.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例题】找出下列图形的所有的对称轴,并一一画出来.【互动探索】(引发学生思考)如何作轴对称图形的对称轴?【解答】所画对称轴如下所示:【互动总结】(学生总结,老师点评)对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.活动2巩固练习(学生独学)1.图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称?整个图形是轴对称图形吗?它共有几条对称轴?解:图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称,整个图形是轴对称图形,它共有2条对称轴.2.观察图中的图形,是轴对称图形的画出所有的对称轴.略环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)作对称轴的步骤:先找出任意一对对应点,再作出对应点所连线段的垂直平分线.请完成本课时对应练习!13.2画轴对称图形第1课时画轴对称图形一、基本目标【知识与技能】掌握作已知图形关于直线的轴对称图形的方法.【过程与方法】在探索问题的过程中体会知识间的关系,并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用,感受数学与生活的联系.【情感态度与价值观】经历实际操作、认真体验的过程,发展学生的思维空间,培养学生的应用意识和探究精神.二、重难点目标【教学重点】作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.【教学难点】利用轴对称进行一些图案设计环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P67~P68的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.画出下列轴对称图形的所有对称轴.略2.由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全一样;新图形上一个点,都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.3.几何图形都可以看作由点组成,只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连结这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】画出△ABC关于直线l的对称图形.【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么?【解答】如图所示:【互动总结】(学生总结,老师点评)我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时,先确定一些特殊的点,然后作这些特殊点的对称点,顺次连结即可得到.活动2巩固练习(学生独学)1.将一张正方形纸片按如图1,图2所示的方向对折,然后沿图3中的虚线剪裁得到图4,将图4的纸片展开铺平,再得到的图案是(B)2.在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.略活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,将矩形ABCD沿DE折叠,使A点落在BC上的F处,若∠EFB=60°,则∠CFD=()A.20° B.30°C.40° D.50°【互动探索】根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE,∴∠EAD=∠EFD=90°.∵∠EFB=60°,∴∠CFD=30°,故选B.【答案】B【互动总结】(学生总结,老师点评)折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,对应边和对应角相等.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)作与图形成轴对称的图形,关键在于将图形抽象出各点,然后作点的对称点,再连线即可.请完成本课时对应练习!第2课时坐标中的轴对称一、基本目标【知识与技能】理解并掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律.【过程与方法】1.在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律时,发展学生形象思维能力和数形结合的思维意识.2.在同一坐标系中,感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.【情感态度与价值观】在探索规律的过程中,培养学生的应用意识和探究精神,提高学生的求知欲和好奇心.二、重难点目标【教学重点】直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征.【教学难点】能解决有关坐标中的轴对称问题.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P68~P70的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);(2)关于x轴对称的点的坐标的特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数.2.(1)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);(2)关于x轴对称的点的坐标的特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变.3.点P(-4,3)关于x轴的对称点为Q,则点Q的坐标为(-4,-3).4.点P(-3,4)关于y轴的对称点为M,则点M的坐标为(3,4).环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在平面直角坐标系中,已知点A(-3,1)、B(-1,0)、C(-2,-1),请在图中画出△ABC,并画出与△ABC关于y轴对称的图形.【互动探索】(引发学生思考)作已知图形关于坐标轴的对称图形的关键是什么?【解答】如图,△DEF是△ABC关于y轴对称的图形.【互动总结】(学生总结,老师点评)在坐标系中作出关于坐标轴的对称点,然后顺次连结,即可作出已知图形关于坐标轴的对称图形.活动2巩固练习(学生独学)1.点A(2,-3)向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是(2,-3).2.点P(3,4)关于y轴对称的点的坐标是P′(a,b),则a-b=-7.3.已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).(1)若点A、B关于x轴对称,求a、b的值;(2)若A、B关于y轴对称,求(4a+b)2018的值.解:(1)∵点A、B关于x轴对称,∴2a-b=2b-1,5+a-a+b=0,解得a=-8,b=-5.(2)∵A、B关于y轴对称,∴2a-b+2b-1=0,5+a=-a+b,解得a=-1,b=3,∴(4a+b)2018=1.3.画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1,并指出△A1B1C1的顶点坐标.解:画图略.其中A1(3,-4)、B1(1,-2)、C1(5,-1).活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在10×10的正方形网格中,每个小方格的边长都是1,四边形ABCD 的四个顶点在格点上.(1)若以点B为原点,线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,画出四边形ABCD 关于y轴对称的四边形A1B1C1D1;(2)点D1的坐标是________;(3)求四边形ABCD的面积.【互动探索】(1)以点B 为原点,线段BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,然后作出各点关于y 轴对称的点,顺次连结即可;(2)根据直角坐标系的特点,写出点D 1的坐标;(3)把四边形ABCD 分解为两个直角三角形,求出面积.【解答】(1)画图略. (2)点D 1的坐标为(-1,1).(3)四边形ABCD 的面积为12×1×3+12×1×2=52.【互动总结】(学生总结,老师点评)轴对称变换作图,基本作法是:(1)先确定图形的关键点;(2)利用轴对称性质作出关键点的对称点;(3)按原图形中的方式顺次连结对称点.求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)坐标中的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧关于x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律作已知图形关于x 轴、y 轴对称的图形请完成本课时对应练习!13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、基本目标【知识与技能】1.了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质.2.利用等腰三角形的性质解决相关问题.【过程与方法】经历等腰三角形性质的探究过程,通过实践、操作、观察、猜想、论证,发展了合情推理的能力和演绎推理的能力,同时增强了语言表达能力.【情感态度与价值观】在活动中,培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识,提高学习的兴趣.二、重难点目标【教学重点】理解并掌握等腰三角形的性质.【教学难点】运用等腰三角形的性质解决有关问题.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P75~P77的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.2.教材P75【探究】:(1)如图,把一张长方形的纸片按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到△ABC.从上述过程中可知,在△ABC中,AB=AC,所以△ABC是等腰三角形.(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角:①重合的线段:AB与AC、BD与CD、AD与AD;②重合的角:∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC.3.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.4.在△ABC中,若AC=AB,则∠B=∠C.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.【互动探索】(引发学生思考)设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.【解答】∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠ABD+∠A=2x.从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=1=x+2x+2x=180°.解得x=36.∴在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x.【例2】如图,已知AB=AC,BD⊥AC于点D.求证:∠BAD=2∠DBC.【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAD=2∠DBC,考虑作∠BAD的角平分线,即作等腰三角形的高,再根据等角的余角相等求解.【证明】过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC,∴∠BAD=2∠2.∵BD⊥AC于点D,∴∠BDC=90°.∴∠2+∠C=∠C+∠DBC=90°.∴∠DBC=∠2.∴∠BAD=2∠DBC.【互动总结】(学生总结,老师点评)解决本题的关键:(1)从要证等式中,角之间的数量关系,利用等腰三角形“三线合一”作辅助线;(2)在有直角的平面几何图形中,可用等角的余角相等证明角相等.活动2巩固练习(学生独学)1.已知等腰三角形的一个角为80°,则其顶角为(D)A.20°B.50°或80°C.10°D.20°或80°2.如图,在△ABC,AB=AC,BC=6 cm,AD平分∠BAC,则BD=3 cm.3.在△ABC中,AB=AC,过点C作CN∥AB且CN=AC,连结AN交BC于点M.求证:BM=CM.证明:∵AB=AC,CN=AC,∴AB=CN,∠N=∠CAN.又∵AB∥CN,∴∠BAM=∠N,∴∠BAM=∠CAM,∴AM为∠BAC的平分线.又∵AB=AC,∴AM为三角形ABC的边BC上的中线,∴BM=CM.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知△ABC 是等腰三角形,且∠A +∠B =130°,求∠A 的度数.【互动探索】要求∠A ,需先讨论∠A 是等腰△ABC 的顶角还是底角,再结合三角形的内角和求解.【解答】①当∠A 为顶角时,则∠B =∠C . ∵∠A +∠B +∠C =180°,∠A +∠B =130°, ∴∠B =∠C =50°. ∴∠A =80°.②当∠C 为顶角时,则∠A =∠B , ∵∠A +∠B =130°, ∴∠A =65°.③当∠B 为顶角时,则∠A =∠C , ∵∠A +∠B =130°, ∴∠A =∠C =50°.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题体现了分类讨论思想.等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 等腰三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧等边对等角三线合一轴对称性请完成本课时对应练习!第2课时等腰三角形的判定一、基本目标【知识与技能】1.探索等腰三角形的判定方法.2.掌握等腰三角形性质与判定的综合应用.【过程与方法】经历判定等腰三角形的探究过程,通过实践、操作、观察、猜想、论证,发展了合情推理的能力和演绎推理的能力,同时增强数学语言表达能力.【情感态度与价值观】在活动中,培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识,感受数学学习的乐趣,激发学习数学的兴趣.二、重难点目标【教学重点】掌握等腰三角形的判定方法.【教学难点】会运用等腰三角形的判定方法解决问题.环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P77~P78的内容,完成下面练习.【3 min反馈】1.等腰三角形的定义:如果一个三角形有两边相等,这个三角形为等腰三角形.2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC.证明过程略.(提示:作△ABC的角平分线AD)3.等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成等角对等边).环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,DB=DC,∠ABD=∠ACD,求证:AB=AC.【互动探索】(引发学生思考)要证AB=AC,本题不能直接连结AD,由全等得到,可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证.【证明】连结BC.∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.∵∠ABD=∠ACD,∴∠ABD+∠DBC=∠ACD+∠DCB.∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题主要是通过连结BC,使AB、AC在同一个三角形中,最后通过证明它们所对的角相等,而证得这两条线段相等.【例2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF是等腰三角形.【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形,需证CE=CF.由等角的余角相等可得∠B=∠ACD,由AE是∠BAC的平分线和三角形外角的性质可得CE=CF.【解答】∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.【互动总结】(学生总结,老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.活动2巩固练习(学生独学)1.如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3 cm,则CD=3 cm.2.如图,AB=AC,FD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,若∠AFD=145°,则∠EDF=55°.3.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.证明:∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAE,∴∠DAE=∠ADE.∵AD⊥BD,∴∠DAE+∠B=90°,∠ADE+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,3),在y轴上确定点P,使△AOP 为等腰三角形,则符合条件的点P共有()A.3个B.4个C.5个D.6【互动探索】∵△AOP为等腰三角形,所以可分三类讨论:(1)AO=AP(有一个).此时只要以A为圆心,AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于O点和另一个点,另一个点就是点P1;(2)AO=OP(有两个).此时只要以O为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于两个点,这两个点就是P2、P4;(3)AP=OP(一个).作AO的中垂线与y轴有一个交点,该交点就是点P3.综上所述,共有4个.故选B.。
八年级上册数学等腰三角形的判定
八年级上册数学等腰三角形的判定示例文章篇一:《等腰三角形的判定:探索数学中的奇妙图形》在我们的数学世界里,有一个特别有趣的图形,那就是等腰三角形。
等腰三角形就像一个神秘的宝藏,等着我们去探索它的判定方法呢。
我记得有一次,老师在黑板上画了好几个三角形。
其中有一个三角形看起来很特别,它的两条边就像是两个亲密无间的好朋友,长度是一样的。
老师告诉我们,这就是等腰三角形。
我心里就想啊,那怎么才能知道一个三角形是不是等腰三角形呢?这就像我们在玩一个猜谜游戏,要找到谜底的关键线索才行。
后来呀,老师给我们讲了一个特别酷的判定方法。
如果一个三角形有两条边相等,那这个三角形就是等腰三角形。
这就好比我们看两个人,如果他们长得一模一样高,那我们就能很容易判断他们是双胞胎。
三角形的两条边相等就像是两个人的身高一样,相等了就可以判定这个三角形是等腰三角形啦。
可是这还不是全部哦。
还有一个更神奇的判定方法呢。
在我们的三角形大家庭里,如果一个三角形有两个角相等,那这个三角形也是等腰三角形。
这时候我就有点疑惑了,角相等怎么就能判定边相等呢?就像我在想,怎么能从两个人的笑容一样灿烂就知道他们有其他相似的地方呢?老师就给我们举了个例子。
老师说,想象一下我们有一个三角形,就像一个小房子的屋顶。
如果这个屋顶的两个角一样大,那就好像这个屋顶是对称的。
而这种对称就意味着支撑这个屋顶的两边肯定是一样长的呀,就像房子两边的柱子,如果屋顶对称,柱子肯定也是一样长的。
我听了之后,感觉就像突然打开了一扇通往神秘数学世界的门,太有趣了。
我和我的同桌小明还为这个判定方法争论过呢。
小明说:“我觉得只看角相等就判定是等腰三角形,这有点不可思议。
”我就跟他说:“你看啊,就像我们在折纸,如果折出来的两个角重合,那这个角对应的边肯定也是重合的呀,那就说明这两条边相等,不就是等腰三角形了嘛。
”小明听了之后,眼睛一亮,说:“哎呀,好像是这么个道理呢。
”再来说说在生活中的等腰三角形吧。
人教版八年级上册13.3.1《等腰三角形》
《等腰三角形》◆教材分析本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上,研究等腰三角形的定义及其重要性质,它既是前面所学知识的延伸,也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备,我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直,因此本节课具有承上启下的重要作用。
◆教学目标【知识与能力目标】1、理解并掌握等腰三角形的性质。
2、会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题。
3、观察等腰三角形的对称性、发展形象思维。
4、探索等腰三角形的判定定理【过程与方法目标】1、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,培养学生的推理能力。
2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题,提高运用知识和技能解决问题的能力,发展应用意识。
3、探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念【情感态度价值观目标】1、引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲。
2、在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验,建立学习的自信心。
3、感受图形中的动态美、和谐美、对称美,感受合作交流带来的成功感,树立自信心。
4、通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力【教学重点】1、等腰三角形的概念和性质及其应用。
2、等腰三角形的判定定理及其应用【教学难点】1、等腰三角形的性质的证明。
2、探索等腰三角形的判定定理◆教学过程一、情景导入:师:日常生活中,我们会经常看到一些美丽的图案,其中一些是平面几何图形,接下来我们观察几幅图片,说一说你们看到了什么图形?(课件向学生展示平常见到的有关等腰三角形的图片)学生观察一组图片,回答问题。
【设计意图】使学生能从实际生活中抽象出等腰三角形,初步感知等腰三角形在实际生活中的广泛应用,用美丽的画面激发学生的求知欲。
培养学生勤观察,肯思考的学习习惯。
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八年级数学13.2等腰三角形教学设计
凤台六中童立旺
一、教材分析:
1、本节内容是八年级第十三章《轴对称》中的重点部分,是等腰三角形的第一节课,由于小学已经有等腰三角形的基本概念,故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上,着重探究等腰三角形的两个定理及其应用,如何从对称角度理解等腰三角形是新教材和旧教材完全不同的出发点,应该重新认识,把好入门的第一课。
2、等腰三角形是在第十章《三角形》中的三角形知识基础上的继续深入,如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点,也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。
3、等腰三角形是基本的几何图形之一,在今后的几何学习中有着重要的地位,是构成复杂图形的基本单位,等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具。
4、对称是几何图形观察和思维的重要思想,也是解决生活中实际问题的常用出发
点之一,学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。
四、教学中的重点、难点:
重点: 1、等腰三角形对称的概念。
2、“等边对等角”的理解和使用。
3、“三线合一”的理解和使用。
难点: 1、等腰三角形三线合一的具体应用。
2、等腰三角形图形组合的观察,总结和分析。
五、主要教学手段及相关准备:
教学手段: 1、使用导学法、讨论法。
2、运用合作学习的方式,分组学习和讨论。
习相关概念及定理。
观察并回答。
学生同步回答
学生运用直尺或圆规和剪刀进行绘图和剪切。
学生观察并思考,然后讨论,然后积极回答。
学生以小组形式进行操作和讨论
然后努力向结果慢慢前进。
课题引入:
让学生观察两把三角
尺,从三角形分类思考
“两把三角尺的形状
除了角度不同外还有
什么区别”
在对学生思考结果的
总结基础上,引入新课
题。
新授:
1、等腰三角形的相关
概念,腰,底边,顶角,
底角。
2、指导学生做一做,
要求:在事先准备的纸
上,画一个腰长为a的
等腰三角形,并将它剪
下来,与组内其他成员
的作品放在一起,并观
察和回答问题。
3、第一个问题:观察
所剪得的三角形形状
是否相同,在满足条件
的情况下,可以画几个
不同类的等腰三角形。
4、第二个问题:将
这些三角形放在一起,
并且使顶点重合,观察
另外的一些顶点,看看
有什么特点和发现。
5、问题:等腰三角形
是否为轴对称图形,如
何通过具体的操作体
现他是轴对称,并指出
对称轴。
从直观图形上,回
忆小学知识,体会
等腰三角形。
理解等腰三角形
相关概念。
深入体会,等腰
三角形的构成和画
三角形的方法。
1、直观体会
钝角等腰三角形,
锐角等腰三角形,
直角等腰三角形的
不同特点。
2、体会已知两
边不能确定三角
形,为理解全等或
三角形的构成作铺
垫。
1、培养学生
的观察,猜测,总
结的能力。
2、体
验等腰三角形在圆
中的存在
3、体会合作的
乐趣。
4、体会从特殊
到一般的过程,为
今后的轨迹思想做
一些准备。
1、从轴对称角
培养学生良好的学
习习惯。
在小学知识和第八
章三角形知识的基
础上,学生比较容易
得到结论。
由于学生有相应
的小学的知识和预
习,基本概念的理解
不成问题。
由于三角形的形
状不限,方法不限,
学生绘制的结论也
有所不同。
此题学生较容易总
结,至于体会到什么
程度特别是目标2
不作具体要求,体现
新教材的“不同人
在数学上得到不同
的发展”理念。
此题教难,关键在
于引导和启发,给予
学生充分的时间,必
要时候使用事先准
备的多媒体辅助教
学,从实际结果看,
学生在多媒体的启
发作用下,应该会有
一个思维上的突破。
体现新教材的操作
理念,回归学习的本
质,体验学习的过
学生对自己剪得的等腰三角形作操作,体会对称的思想。
在讨论的基础上,回答更高层次的问题。
学生观察,并且以小组竞赛的方式进行大范围的搜索和体验。
学生观察,体验,领会新概念。
集体讨论并互相帮助记忆重要的结论。
每个小组抽查记忆。
a 学生思考,看书理解,然后讨论每一步的理由。
小组讨论,并且竞争回答。
问题:等边三角形是否为轴对称图形,对称轴有几条。
等腰三角形的对称轴有几条。
6、通过刚才的折叠结合屏幕上图形的字母,说明轴对称图形的等量关系和位置关系。
7、在总结刚才观察结论的基础上,引出两条重要的定理。
通过小组竞争的方式要求每个同学清晰记忆和理解定理2中的具体条件。
8、完成例题:已知: 在△ABC 中,AB =AC , ∠B =80°.求∠C 和∠A 的度数. 9、完成例题:如果等腰三角形的一个外角等于140°,那么等腰三角形三个内角等于多少度? 10、完成例题:在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 边上的中点,∠B =30°,求∠1和∠ADC 的度数 度理解等腰三角形,为后面的等量关系的得出做铺垫。
2、 体验学习过程。
3、 加深对一般情况和特殊情况的理解,提高学生对两解问题的敏感度。
1、体会轴对称图形中的等量关系和由此得到的特殊位置关系。
为下面定理的引出得出有用的结论。
2、感受组间竞争。
1、体验从特殊到一般的过程。
2、体验合作和竞争的关系。
3、体验原定理和逆定理的关系。
(不作任何表述,只做理解) 1、完成对定理1的应用。
体会定理在几何计算中的运用。
2、体会合作精神。
1、 体会两解可能性的运用,培养思维的严密性。
程。
对问题的一般到特殊做一些体会。
学生由于竞争的关系,往往能够得到许多有益的结论。
建议采用“开火车”的办法。
在概念1中强调:在一个三角形中。
在概念2中强调:三条线的具体描述。
定理2可以视情况使用多媒体辅助理解。
特别是对相关逆
定理的理解,但不作表述。
理由的叙述是数学能力培养的重要一环,认真完成每一步。
同时,鼓励学生讨论,共同提高。
注意两解的情况。
注意两解分类的表达。
此题书写角度有很多选择,对每种书写只要合理就给予鼓励。
学生讨论,并且试图写出过程。
学生讨论,通过讨论,体会数学定理的使用和数学语言的组织。
学生在自己剪得的等腰三角形上画上已知条件,并且观察是否相等,然后进行相应证明的思考,并积极讨论。
学生小组讨论后发言。
开放性问题,自由发言。
11、完成例题:建筑工人在盖房子的时候,要看房梁是否水平,可以用一块等腰三角形放在梁上,从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板的底边中点,那么房梁就是水平的,为什么? 12、完成例题:等腰△ABC 中,AB =AC ,D 、E 是BC 上的两点,若BD =CE ,那么AD 和AE 相等吗?为什么 13、课堂小结:通过今天的学习,你体会到什么? 14、有益的思考:通过今天的学习,你有哪些方法判断剪得的三角形是等腰三角形。
2、 注意分类表
达的合理性和清晰
性。
1、 对三线合一
的使用
2、 结合学生的
过程书写,体会合
情推理。
1、 体会三线合
一在生活中的使
用。
2、 体验数学语
言的精练和准确
1、 直观体轴对
称的概念,以及应
用对称思想实现辅
助线的寻找
2、 继续体验合
情推理的使用。
体现:新课标的学会数学应用的理念 在没有全等三角形的情况下,此题选择合理方法的思考就变得比较重要。
注意教师的总结和理论化。
注意教师的合理总结。
渗透。
基本完成了课前制定的教学目标和教学要求,为进一步的深入理解打下了基础。