数学模型数学建模第四次作业整数规划和对策论模型
第四章 数学规划模型 数学建模(姜启源第四版)ppt课件
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
决策变量
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
基本模型
变量
目标 函数 约束 条件
x5 kg A1加工B1， x6 kg A2加工B2 利润
Max z 24x1 16x2 44x3 32x4 3x5 3x6
x1 x5 x 2 x6 加工能力 50 3 4 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 )
4公斤A2
获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶
时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
基本 1桶 模型 牛奶 或
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各自 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 间是与各自产量无关的常数 A1,A2每公斤的获利是与相互 产量无关的常数 每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
可 加 性
连续性
模型求解
x1 x2 50
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 原料无剩余 MILK 0.000000 48.00000 三 TIME 0.000000 2.000000 时间无剩余 种 CPCT 40.00000 0.000000 加工能力剩余40
02-整数规划数学模型及其解法-4h
− x1 − x 2 − x 3 < − 3 + My i − 3 x − 2 x − x < − 5 + My i 1 2 3 x 1 < 10 + My i 则有 (M 为任意大的正数） x 2 < 4 + My i x 3 < 11 + My i y1 + y 2 + L + y 5 ≥ 2
（1） （2）
25
4．用以表达含固定费用的函数
如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通 常可表示为： ( x j > 0) K j + c j x j C j (x j ) = ( x j = 0) 0 式中kj是同产量无关的生产准备费用。 问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小。 n 即：
7
引例2-3
各点的设备投资及年获利预测表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投 资 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 额 利 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 润 投资总额不能超过720万元。 问应选择哪几个点，可使年利润为最大？
10
整数规划的图解
有人认为，对整数规划问题的求解可以 先不考虑对变量的整数约束，作为一般 线性规划问题来求解，当解为非整数时 可用四舍五人或凑整方法寻找最优解。 当然在变量取值很大时，用上述方法得 到的解与最优解差别不大。但当变量取 值较小时，得到的解就可能与实际整数 最优解差别很大。再者当问题规模较大 时，用凑整办法来算工作量很大。
j =1
n
K j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ( x j = 0) 0
数模常用算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数非线性规划（蒙特卡洛法）
数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。
逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。
Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。
数学建模整数规划PPT学习教案
已知三工厂每月的经营费用 di (与 产量无关)分别为 100、90、120 .问如 何选址使每月经营和运输费用最低 .
x11 x21 x31 40
x12 x22 x32 60
x13 x23 x33 45
y1 y2 y3 2
Solution:
1、 先检查最大上界（极大化问题）的活问题
优点：检 查子问 题较其 他规则 为少；
缺点：计算机储存量较大 .
2、 先检查最新产生的最大上界的活问题 优点：计算机储存量较少 ；
缺点：需要更多的分支运算 .
选择的不 同，提 供了发 挥的余 地
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第五章去掉整数约整束数为3＜规x 划＜4 之间无整数解P Example4
0123456789
x1第14页/共30页
P6 (x2≥5)
x1=0、x2=5 Z6=40
*
§2 整 数 规 划 的解 法 Example 5 （投资方案的最优选择）
投资 年度
项目
A1 A2 A3
投资 额度
1 042 5
某公司欲对三个项目进行投资， 根据预算 四年内 的投资 额、三 个项目 每年所需投资额以及所创利润如表. 问应对哪 几个项 目进行 投资， 可获利 最大？
整数规划
物品 重量 aj
1
3
2
4
3
3
4
3
5
15
6
13
7
16
价值 cj 12 12 9 15 90 26 112
Solution: 这是一个 0-1 规划问题.
1 x j 0
如果带第 j 件物品 否则 j = 1~7
整数规划模型
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2018/9/17
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
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分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1
3.练习题
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分枝定界法的基本思路
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用割平面法解例
x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4 现将各系数分成整数和非负真分数两部分，从而可得： (1+0)x2+(0+3/4) x3+(0+1/4) x4 =(1+3/4) 将整数部分的变量移至等式右端有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+（1- x2 ） 非负整数解(1- x2)为整数，左端非负故有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+非负整数 从而： 3/4 x3 +1/4 x4 3/4 或 x2 1 以 x2 1为割平面可使可行域减少一个包括A点在内的三角形。 2018/9/17
数学建模之规划问题
一、线性规划1.简介1.1适用情况用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
如： （1）资源的合理利用（2）投资的风险与利用问题 （3）合理下料问题 （4）合理配料问题 （5）运 输 问 题 （6）作物布局问题（7）多周期生产平滑模型 （8）公交车调度安排 1.2建立线性规划的条件（1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数；（2）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。
1.3线性规划模型的构成决策变量、目标函数、约束条件。
2、一般线性规划问题 数学标准形式：目标函数：1max ==∑ njjj z cx约束条件：1,1,2,...,,..0,1,2,...,.=⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑nij j i j ja xb i m s t x j nmatlab 标准形式：3、可以转化为线性规划的问题 例：求解下列数学规划问题解：作変量変换1||||,,1,2,3,4,22+-===i i i ii x x x x u v i 并把新变量重新排序成一维变量[]1414,,,,,⎡⎤==⎢⎥⎣⎦Tu y u u v v v ，则可把模型转化为线性规划模型其中：[]1,2,3,4,1,2,3,4;=T c 12,1,;2⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦Tb 111111131 - - ⎡⎤⎢⎥= - -⎢⎥⎢⎥ -1 -1 3⎣⎦A 。
利用matlab 计算得最优解：12342,0,=-===x x x x 最优值z=2。
程序如下： 略二、整数规划 1.简介数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时称为整数规划。
目前流行求解整数规划的方法一般适用于整数线性规划。
1.1整数规划特点1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，出现的情况有①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（存在最优解），但最优解值变差。
2）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整获得。
数学建模 -整数规划
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
国培计划4---整数规划模型与算法
服务员最少数目 10
11
设在第j时段开始上班的服务人员数为xj。由于第 j时段开始上班的服务员将在第（j+3）时段下班， 故决策变量只需考虑x1，x2，．．．，ｘ５
数学模型为： Min z=x1+x2+x3+x4+x5 s.t x110 x1+x2 8 x1+x2+x3 9 x1+x2+x3+x4 11 x2+x3+x4 +x513 x3+x4 +x58 x4 +x55 x53 x1,x2,x3,x4.x5为整数
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例３ 现有资金总额为Ｂ，可供选取择的投资项目有 ｎ个，项目ｊ所需要投资额和预期收益分别为ai和 cj(j=1,2,…,n).此外,由于种种原因,有三个附加条 件,第一,若选择项目1,就必须同时选择项目2.反之, 则不一定;第二,项目3和项目4中至少选择一个;第三, 项目5,6和7中恰好选择两个.应当如何选择投资项目, 才能使总预期收益最大? 解 每一个投资项目都有可能被选中和不被选中两种 可能,为此令
4 整数规划的模型与算法
4.1整数规划简介 4.2整数规划求解的分枝定界法 4.3 0-1整数规划
4.4 任务分配问题
4.4 计算机求解简介
整数规划的难度远大于一般线性规划!
4.1 整数规划简介 整数规划类型
要求所有 xj 的解为整数，称为纯整数规划
要求部分 xj 的解为整数，称为混合整数规划 0-1整数线性规划 (BIP)指那些要求整数的决策变 量只能在0或1两个值中取值的问题. 这类问题可以依据是否所有的决策变量均为0-1 变量而划分为纯0-1整数规划问题和混合整数规划 问题.
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming ）:在许多规划问题中,如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如,所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划（pure integer linear programming ）:指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时,也称为全整数规划.2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划（zero —one integer liner programming ）：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi 称为0-1变量，或称为二进制变量.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable ），常被用来表示系统是否处于某一特定状态,或者决策时是否取某个方案。
数学模型数学建模第四次作业整数规划和对策论模型
数学模型第四次作业 整数规划和对策论模型4.1实验目的学会建立整数规划模型、对策论模型，学会用LINGO 软件求解。
4.2 基本实验1. 工程安排问题三年内有五项工程可以考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用如表4.1所示。
假定每一项已经选定的工程要在整个三年内完成。
目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
解：根据题意，设0 1 i i x i ⎧=⎨⎩第个工程未被选中第个工程被选中，i=1,2,3,4,5目标函数为：123452*********Max x x x x x =++++限制条件为：1234512345123455437825794625..8102102501i x x x x x x x x x x s t x x x x x x ++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨++++≤⎪⎪⎩为或 使用Lingo 编程：model :max=20*x1+40*x2+20*x3+15*x4+30*x5;5*x1+4*x2+3*x3+7*x4+8*x5<=25;1*x1+7*x2+9*x3+4*x4+6*x5<=25;8*x1+10*x2+1*x3+2*x4+10*x5<=25;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);end运行得到结果：Global optimal solution found.Objective value: 95.00000Objective bound: 95.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 1.000000 -20.00000X2 1.000000 -40.00000X3 1.000000 -20.00000X4 1.000000 -15.00000X5 0.000000 -30.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 95.00000 1.0000002 6.000000 0.0000003 4.000000 0.0000004 4.000000 0.000000分析结果易知，总收入达到最大为95（千元），应选第一、二、三、四项工程可以使总收入达到最大。
整数规划的两种数学模型解法
规划模型求解指导老师：组员：组员分工实际的内容：1·简要介绍线性规划的历史线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。
规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书.1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法.1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书.1950～1956年，线性规划的对偶理论出现.1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法.1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖.1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义.1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术.历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。
2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。
它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。
它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。
数学建模作业实验4整数规划和对策论模型
数学建模作业实验4整数规划和对策论模型数学建模作业(实验4 整数规划和对策论模型)基本实验1.遗嘱问题⼀个⾏为古怪的阿拉伯酋长留下了⼀份遗嘱，遗嘱中将他的骆驼群分给他的三个⼉⼦：长⼦⾄少得到驼群的1/2，次⼦⾄少得到驼群的1/3，三⼦⾄少得到驼群的1/9，剩余的捐献给慈善机构。
遗嘱中没有指出到底驼群的数⽬是多少，只是告诉了这个驼群的数⽬是奇数，并且这个指定的慈善机构恰好得到了⼀匹骆驼。
利⽤整数线性规划确定这个酋长到底留下了多少匹骆驼，并指出每个⼉⼦各得到多少匹。
解答解：设长⼦、次⼦、三⼦得到的骆驼数分别为：X1，X2，X3，则⽬标函数为：X1+X2+X3+1约束条件：X1>=（X1+X2+X3+1）/2X2>=（X1+X2+X3+1）/3X3>=（X1+X2+X3+1）/9X1，X2，X3为整数，且（X1+X2+X3+1）为奇数。
要想求出本题的可⾏解，则⽬标函数取得最⼩。
LINGO程序min=X1+X2+X3+1;X1+X2+X3+1<=2*X1;X1+X2+X3+1<=3*X2;X1+X2+X3+1<=9*X3;Y=(X1+X2+X3)/2;@gin(X1);@gin(X2);@gin(X3);@gin(Y);运⾏结果Global optimal solution found.Objective value: 27.00000Objective bound: 27.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 3Model Class: PILPTotal variables: 4Nonlinear constraints: 0Total nonzeros: 16Nonlinear nonzeros: 0Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 1.000000 X2 9.000000 1.000000 X3 3.000000 1.000000 Y 13.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 27.00000 -1.0000002 1.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.000000由运⾏结果可得：这个酋长的骆驼数量为27只，长⼦得到14只，次⼦得到9只，三⼦得到3只。
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。
在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。
这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。
根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。
例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。
约束条件可以是等式或不等式。
例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。
例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。
然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。
通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。
这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。
它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。
这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。
运筹学——整数规划
5
4
x(0)=(4.81,1.82) Z0=356
3
B 2
1
7x1+20x2=70
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
x1<=[x1(0)]
12
x1>=[x1(0)]+1
2021/7/26
解：第一步：先不考虑整数约束条件，求解相应的线性 规划问题，得最优解和最优值如下：
x1=4.81, x2=1.82, Z=356 解不满足整数条件。最优值Z=356作为整数规划目标函 数值的上界；用观察法可知x1=0，x2=0是可行解，对应 目标值Z=0作为整数规划目标值的下界，即0 Z* 356
1
2
x6 x7 1
xi 0或1
获利最大的设点方案，第 一个约束条件表示投资总 额限制，之后的三个约束 条件分别表示在东、西和 南区的设点数限制，决策 变量取值0或1。
5
2021/7/26
例3 解决某市消防站的布点问题。该市共有6个区，每 个区都可以建消防站。政府希望设置的消防站最少，但 必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15分 钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时 间见下表：
行解, 停止; b) 若有满足整数条件的最优解, 则已得到整数规划问 题的最优解, 停止; c) 若有最优解, 但不满足整数条件, 记此最优值 为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界. (2)分支、定界直到得到最优解为止
分支：取目标函数值最大的一个支LPs，在LPs的解中任选一不 符合整数条件的变量xj，其值为bj，构造两个约束条件xj≤[bj]和 xj≥[bj]+1。将两个约束条件分别加入问题LPs，得两个后继规划问 题LPs1和LPs2。不考虑整数条件求解这两个后继问题，以每个后 继问题为一分支标明求解结果。
第4章 整数规划模型
x1
0,
x2
0, 且皆为整数.
所得最优解为x1 = 2.5,
x2 = 2.5，最优值为Z = 87.5
的非整数规划问题 max Z 15x1 20x2,
6x1 4x2 25 0 x1 3x2 10
x1 0, x2 0.
Z = 87.5就是原整数规划问题最优值的上界.并令
第4章 整数规划模型
4.1 引言 4.2 整数规划问题及其数学模型 4.3 分枝定界法 4.4 0-1规划的解法 4.5 指派问题的解法
4.1 引言
在第2章介绍的线性规划模型中, 决策变量取 连续型的非负数值,即可以是分数或小数.然而,在 许多经济管理的实际问题中,决策变量只能取非负 的整数才有实际意义.例如,最优调度的车辆数,设 置的销售网点数,指派工作的人数等.
max Z = 250/3 = 83.3.
由于子问题①的解中仍有x2不是整数,所以应 该对子问题①分别增加新的约束条件x2≤2和x2≥3, 将子问题①再分枝为两个子问题：
max Z 15x1 20x2, max Z 15x1 20x2,
6x1 4x2 25
③
x1 x1
用cij＞0 (i, j =1, 2, … , n )表示指派第i个人去完 成第j项任务时的效率(时间或成本等), (cij )n×n称为 效率矩阵. 如果设xij = 1表示指派第i个人去完成第j 项任务, xij = 0表示指派第i个人不去完成第j项任务, 注意到每项任务只能指派一人去完成, 每人只能完
x3 ≤ x4 (或记为 x3- x4 ≤0). 所有项目投资总额的限制条件为
6x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 + 5x5≤15. 目标函数为期望收益最大,可表示为
整数规划的建模ppt课件
4、整数规划特点 整数规划标准形式（实际为整数线性规划） AX=b，X≥0，CTX=min，xj为整数（j=1，…，n） (1) （1．原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后， 其整 数规划解出现下述情况；
①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性 规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 原线性规划为：
x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干)
②
x1 + x2 3
③
4x2+x3 6
④
x1 , x2 , x3为0或1
解：观察得解(x1 , x2 , x3 )=(1 ,0 ,0)
过滤条件：3x1 - 2x2+5x3 3
将(x1 x2 x3 ) (x2 x1 x3 )
Z0 =3
解(x2 x1 x3 ) 目标值 Z0 ① ② ③ ④ 当前最好值
例 求解0-1整数规划
M a3xx1z7x2x3
2x12x2 x3 0 ①
5x1x123xx2260x3 0
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数学模型第四次作业 整数规划和对策论模型4.1实验目的学会建立整数规划模型、对策论模型，学会用LINGO 软件求解。
4.2 基本实验1. 工程安排问题三年内有五项工程可以考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用如表4.1所示。
假定每一项已经选定的工程要在整个三年内完成。
目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
解：根据题意，设0 1 i i x i ⎧=⎨⎩第个工程未被选中第个工程被选中，i=1,2,3,4,5目标函数为：123452*********Max x x x x x =++++限制条件为：1234512345123455437825794625..8102102501i x x x x x x x x x x s t x x x x x x ++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨++++≤⎪⎪⎩为或 使用Lingo 编程：model :max=20*x1+40*x2+20*x3+15*x4+30*x5;5*x1+4*x2+3*x3+7*x4+8*x5<=25;1*x1+7*x2+9*x3+4*x4+6*x5<=25;8*x1+10*x2+1*x3+2*x4+10*x5<=25;@bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);@bin(x5);end运行得到结果：Global optimal solution found.Objective value: 95.00000Objective bound: 95.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 1.000000 -20.00000X2 1.000000 -40.00000X3 1.000000 -20.00000X4 1.000000 -15.00000X5 0.000000 -30.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 95.00000 1.0000002 6.000000 0.0000003 4.000000 0.0000004 4.000000 0.000000分析结果易知，总收入达到最大为95（千元），应选第一、二、三、四项工程可以使总收入达到最大。
2. 固定费用问题一服装厂生产三种服装，生产不同种类的服装要租用不同的设备，设备租金和其他的经济参数如表4.2所示。
假定市场需求不成问题，服装厂每月可用人工工时为2000小时，该厂如何安排生产可以使每月利润达到最大？解：根据题意三种服装的利润分别为120元、10元、100元.设x i 表示生成第i (i =1,2,3)种服装的数量，y i 表示是否生产第i 种服装。
列出目标函数：列出限制条件：5x 1+x 2+4x 3≤20003x 1≤300y 10.5x 2≤300y 22x 3≤300y 3使用Lingo 编程求解：model :sets:⎩⎨⎧=种服装，不生产第种服装生产第i i y i 0,1)000320005000(10010120m ax 321321y y y x x x ---++=m/1,2,3/:x,y;endsets[obj]max=100*x(1)+10*x(2)+100*x(3)-5000*y(1)-2000*y(2)-3000*y(3);5*x(1)+x(2)+4*x(3)<=2000;3*x(1)<=300*y(1);0.5*x(2)<=300*y(2);2*x(3)<=300*y(3);@for(m(i):x(i)>=0;@bin(y(i)););end得到结果：Global optimal solution found.Objective value: 21000.00Objective bound: 21000.00Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX( 1) 100.0000 0.000000X( 2) 600.0000 0.000000X( 3) 150.0000 0.000000Y( 1) 1.000000 -5000.000Y( 2) 1.000000 -4000.000Y( 3) 1.000000 -12000.00Row Slack or Surplus Dual PriceOBJ 21000.00 1.0000002 300.0000 0.0000003 0.000000 33.333334 0.000000 20.000005 0.000000 50.000006 100.0000 0.0000007 600.0000 0.0000008 150.0000 0.000000所以三种服装应该都生产，且生产西服100件、衬衫600件、羽绒服150件时可以使每月利润达到最大21000元。
3. 串并联系统可靠性问题有一台电器由三个部件组成，这三个部件串联，假如有一个部件发生故障，电器就不能工作。
可以通过在每个部件里安装1到2个备份元件来提高该电器的可靠性（不发生故障的概率）。
表4.3列出了可靠性和成本费用。
假设制造该电器的已有资金共10万元，那么怎样来构造这件电器呢？解：构造集合bujian/1..3/（部件），yuanjian/1..2/（每个部件可并联的元件数集合），links(bujian,yuanjian):p,C,R 。
其中⎩⎨⎧=，其他个元件部件并联，给01j i p ij列出Lingo 程序：model :sets :bujian/1..3/; !部件1,2,3;yuanjian/1..2/; !每个部件可装元件1,2;links(bujian,yuanjian)/1,1 1,2 2,1 2,2 3,1 3,2/:p,C,R;!p(i,j)=1，则表示部件i 上并联j 个元件，否则，p(i,j)=0.C,R 分别为成本，可靠性;!links 中的元素必须罗列出来;endsetsdata :C=1 23 52 4;R=0.60 0.800.70 0.800.50 0.70;enddatamax=@prod(bujian(I):@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J)*R(I,J) )); !整个系统的可靠性,为每个部件的可靠性之积;@for(bujian(I):@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J))=1);@for(links(I,J)|@in(links,I,J):@bin(p(I,J)));!对于每一个部件，并联的元件数是一定的，p(I,J)只能取0或1，且p(I,J)的和为1;@sum(bujian(I):@sum(yuanjian(J)|@in(links,I,J):p(I,J)*C(I,J)))<=10; !总成本小于10（万元）;end运行得到如下结果：Linearization components added:Constraints: 64Variables: 16Integers: 16Global optimal solution found.Objective value: 0.3920000Objective bound: 0.3920000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 12Variable Value Reduced CostP( 1, 1) 0.000000 0.000000P( 1, 2) 1.000000 0.000000P( 2, 1) 1.000000 0.000000P( 2, 2) 0.000000 0.000000P( 3, 1) 0.000000 0.000000P( 3, 2) 1.000000 0.000000C( 1, 1) 1.000000 0.000000C( 1, 2) 2.000000 0.000000C( 2, 1) 3.000000 0.000000C( 2, 2) 5.000000 0.000000C( 3, 1) 2.000000 0.000000C( 3, 2) 4.000000 0.000000R( 1, 1) 0.6000000 0.000000R( 1, 2) 0.8000000 0.000000R( 2, 1) 0.7000000 0.000000R( 2, 2) 0.8000000 0.000000R( 3, 1) 0.5000000 0.000000R( 3, 2) 0.7000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.3920000 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 1.000000 0.000000因此，此时的最优解可以得到：即在第一个部件上并联两个元件，第二个部件上并联一个元件，第三个部件上并联两个元件，此时系统的在成本允许的情况下稳定性达到最大0.392。
4. 二选一约束条件某汽车公司正在考虑生产3种类型的汽车：微型、中型和大型。
表4.4给出了每种汽车需要的资源及产生的利润。
目前有6000吨钢材和60000小时的劳动时间。
要生产一种在经济效益上可行的汽车，这种汽车必须至少生产1000辆。
试为该公司制定一个使生产利润达到最大的方案。
解：设X1、X2、X3分别表示生产微型汽车、中型汽车、大型汽车的数量。
引入0-1变量，化为整数规划。
设yi 只取0, 1两个值，则生产1000辆或不生产用数学表达为：目标函数：max=2000*x1+3000*x2+4000*x3;限制条件：1.5 *x1+3 *x2+5 *x3<=6000;30* x1+25*x2+40* x3<=60000;x1<=5000*y1; （取个合理范围）x1>=1000* y1;x2<=5000*y2;x2>=1000* y2;x3<=5000*y3;x3>=1000*y3;x1,x2,x3为整数；用Lingo 编程求解：model :max =2000*x1+3000*x2+4000*x3;3,2,1},1,0{1000=∈=i y yi xi i ⎩⎨⎧-=变量不生产该车型，生产该车型100,1iy1.5*x1+3*x2+5*x3<=6000;30* x1+25*x2+40*x3<=60000;x1<=5000*y1;x1>=1000*y1;x2<=5000*y2;x2>=1000*y2;x3<=5000*y3;x3>=1000*y3;@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);End运行得到结果：Objective value: 6000000.Objective bound: 6000000.Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 8Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 -2000.000 X2 2000.000 -3000.000 X3 0.000000 -4000.000 Y1 0.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 6000000. 1.0000002 0.000000 0.0000003 10000.00 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 3000.000 0.0000007 1000.000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.000000易知生产中型车2000辆可以使生产利润达到最大为6000000美元。