点与直线以及两直线的相对位置8

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两直线的相对位置(工程制图)

两直线的相对位置(工程制图)

思考并回答:常 见工程结构中的 一些线的位置关 系。
时间共2分钟。 通过云教学软件 提问。
道路工程制图与识图
教学过程 课后作业
教师的活动
学生的活动
备注
通过三个实例讲授 做云教学软件预留 空间相交二直线的 的练习(画出相交 三个投影特征,通 二直线的三面投 过ppt动画的形式 影)。 进行投影图的绘制。
C
A
D
B
E F
G
5
道路工程制图与识图
1)两直线相交
投影特征:①相交两直线,其各同面投影必相交,且
交点符合点的投影规律(即各投影交点的连线必垂直于
相应的投影轴)。
c′
c"
b′
b"
k′ a′
d′
k" a" d"
db k a
c
道路工程制图与识图
②对两一般线在空间是否相交。 c’
道路工程制图与识图
二、本次课的衔接和配合
本次课(两直线的相对位置)的先导课为《各种位 置直线的投影》,后续课为《平面的投影》。在教材的 知识体系中,本次课与前面的特殊位置直线与一般位置 直线等知识相链接,也为以后系统地学习平面和立体的 投影奠定了理论基础。
道路工程制图与识图
三、教学设计
主题
两直线的相对位置(相交)
符合点的投影规律。 ②对两一般位置直线而言,只要根据任意2组
同面投影即可判断两直线在空间是否相交。 ③对于特殊位置直线而言,只要判断交点是否
具有定比性来验证两直线是否相交。
道路工程制图与识图
道路工程制图与识图
直线上的点的特性:
定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即

机械制图 第一章点与直线

机械制图  第一章点与直线
b c‖b‖=CB实长, 倾斜于投影轴。 c’b’∥OZ轴,cb ∥OYH轴,均小于实长。
YH
投影面平行线的投影特性
1、在所平行的投影面上的投影反映实长, 其与投影轴的夹角反映直线与相应投影 面的倾角。 2、另外两个投影平行相应的投影轴。
3、投影面垂直线
V Z 正 垂 线 a’(c’)
Z
c‖
a‖
V
z
b
B b
W
b′
a′
X
b″
a″
a
A
β
γ
b
a
o
YW
a H
b
a
YH
三个投影都与投影轴倾斜且都不反映实长。 ab=ABcosα a’b’=ABcosβ a‖b‖=ABcosγ
2、投影面平行线
Z V b’ X a’
正平线
a’
X
γ α
b’
Z
b‖
a‖
O YW
0 A a’’ W α γ b’’ H b a Y
定比定理
例1:判断点C是否在线段AB上。
① a c b ②
a
c

b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例2:判断点K是否在线段AB上。
a k● b a k● b a

k
b
因k不在a b上, 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
a′ k’ b′
b c● a k d
a
c
d
k

b
先作正面投影
3、两直线交叉
a c c a 1(2 ) 3 4

d

点与直线的位置关系

点与直线的位置关系

点与直线的位置关系点与直线的位置关系是几何学中重要的基础知识之一,它描述了一个点在直线上的具体位置,以及直线与点的相对关系。

在这篇文章中,我将详细介绍点与直线的位置关系,包括在直线上的点和在直线外的点。

一、在直线上的点在直线上的点是指一个点与一条直线有着重合的位置。

在数学上,我们可以通过表示点的坐标和直线的方程来确定点在直线上的位置。

例如,对于直线方程y = mx + c,其中m和c分别是直线的斜率和截距,一个点(x, y)在直线上当且仅当它满足该直线方程。

具体而言,我们可以将点的坐标带入直线方程中,如果等式成立,则该点在直线上。

二、在直线外的点在直线外的点是指一个点与一条直线没有交集或者没有重叠的位置。

在数学上,我们可以通过直线方程来确定点在直线外的位置。

如果一个点(x, y)不满足直线方程y = mx + c,那么它就在直线外。

此时,可以通过绘制直线的图形来直观地判断点在直线外的位置。

三、点与直线的相对位置关系除了在直线上或直线外的两种基本位置,还存在一些特殊的相对位置关系。

具体而言,我们可以将点与直线的相对位置关系分为以下几种情况:1. 点在线段上:当一个点在直线上,同时该点也在直线的两个端点之间,我们称该点在线段上。

2. 点在线段的延长线上:当一个点在直线上,但该点在直线的两个端点之外,我们称该点在线段的延长线上。

3. 点在直线的左侧或右侧:当一个点在直线的左侧或右侧,我们称该点在直线的相应侧面。

4. 点在直线的上方或下方:当一个点在直线的上方或下方,我们称该点在直线的相应方向。

这些相对位置关系可以通过坐标系和直线方程来计算和确定。

综上所述,点与直线的位置关系是几何学中重要的概念,它描述了一个点在直线上的具体位置,以及直线与点的相对关系。

在数学中,我们可以利用点的坐标和直线的方程来确定点在直线上的位置,同时也可以通过直线方程来判断点在直线外的位置。

此外,还存在一些特殊的相对位置关系,如点在线段上、点在线段的延长线上、点在直线的左侧或右侧、点在直线的上方或下方等。

3-直线的投影及两只线的相对位置关系

3-直线的投影及两只线的相对位置关系

一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3

练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性:正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性:正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性

3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用:例题:求点A到水平线BC的距 离

点与直线的投影

点与直线的投影
影都与原点重合。
工程制图
投影基础:点和直线的投影
两点的相对位置
两点的相对位置指两点 在空间的上下、前后、左右 位置关系。
判断方法:两点间的相对位置可通 过它们的坐标差来确定。
◆x坐标大的在左
◆y坐标大的在前
◆z坐标大的在上 B点在A点之左、之前、之下。
工程制图
投影基础:点和直线的投影
无轴投影图
不画投影轴的投影图,称为无 轴投影图。 无轴投影图 是根据相对坐标 来绘制的,其投 影图仍符合点的 投影规律。
工程制图
投影基础:点和直线的投影
本节内容:
一、点的投影 点的投影规律 两点的相对位置和重影点 二、直线的投影 各种位置直线的投影特性 直线上点的投影 两直线的相对位置
工程制图
投影基础:点和直线的投影
一、点的投影 直角坐标系下的点 :点A(x,y,z)
Z A X O X

Z a (x,z)
两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对于 投影面的距离远近(或坐标大小)来确 定的。X坐标值大的点在左;Y坐标值大 的点在前;Z坐标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左 右、前后坐标差,可以确定该点的空间 位置并作出其三面投影。
工程制图
投影基础:点和直线的投影
例5:已知点B的投影和点A 的两个投影,
工程制图
投影基础:点和直线的投影
a ●
● ●
二、直线的投影
两点确定一条直线,将两 点的同面投影用直线连接,就 得到直线在该投影面上的投影 一、直线的投影特性
直线对一个投影面的投影特性
A

a

b
b
a● b

工程制图7,8(实形及换面法习题课)

工程制图7,8(实形及换面法习题课)

c’ c a
b
习题24-6.作一等腰三角形ABC,其底边BC在正平线EF上 习题24-6.作一等腰三角形ABC,其底边BC在正平线EF上,底边 24 作一等腰三角形ABC BC在正平线EF 中点为D 顶点A在直线GH上 并已知AB=AC=25mm。 中点为D,顶点A在直线GH上,并已知AB=AC=25mm。 GH AB=AC=25mm
a’ c’ V H a b b’m’ c m
习题23-6.已知直线AB为某平面对V面最大斜度线, 习题23-6.已知直线AB为某平面对V面最大斜度线, 23 已知直线AB为某平面对 并知该平面与V面夹角=30° 求作该平面。 并知该平面与V面夹角=30°,求作该平面。 =30
B0
a’
30°
V H
b’
m’ n’ a’ X m a n b k mx b’
k’
习题20-8.直线段AB是等腰△ABC底边BC上的高, 习题20-8.直线段AB是等腰△ABC底边BC上的高, 20 直线段AB是等腰 底边BC上的高 B在H面上,点C在V面上,求作△ABC的投影。 面上, 面上,求作△ABC的投影。 的投影
V H a bc a b
n’ b
c’
n
c
习题19-2.过点M作一长度为20mm的侧平线MN与 习题19-2.过点M作一长度为20mm的侧平线MN与 19 过点 20mm的侧平线MN AB相交。 AB相交。 相交
ห้องสมุดไป่ตู้
m’ a’ n’ X a o n b m b’a”
m” o” b” n”
习题20-6.过点K作一直线MN与正平线AB垂直相交。 习题20-6.过点K作一直线MN与正平线AB垂直相交。 20 过点 MN与正平线AB垂直相交

高考数学一轮复习 9.2 点与直线、两条直线的位置关系

高考数学一轮复习 9.2 点与直线、两条直线的位置关系

命题规律
本节考点在近五年高考中, 没有单独命过题,仅作为一道综 合性题目中的工具.在解析几何 的高考题中,主要涉及有两直线 交点坐标的求解、点到直线的距 离的求解及两直线间的平行或垂 直条件的应用.
知识梳理
-3-
知识梳理
双击自测
1.两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
双击自测
12345
2.已知直线 ax+3y-1=0 与直线 3x-3y+4=0 垂直,则 a 的值为(
A.3
B.-3
C.1
D.-1
-7-
)
由已知得 3a-9=0,得 a=3.
A
关闭 关闭
7 解析 答案
知识梳理
-8-
知识梳理
双击自测
12345
3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
因(1此,1)点 A'的坐标为(1,1).
关闭 关闭
10 解析 答案
知识梳理
双击自测
知识梳理
12345
-11-
自测点评 1.对于直线 l1 与直线 l2 相互平行(垂直)的条件一定要注
意其适用范围. 2.求解点到直线、两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式. 3.对称问题是解析几何中的常见问题,尤其要掌握好点关于线的轴对
9.2 点与直线、两条直线的 位置关系
考情概览
-2-
考纲要求
1.能根据两条直线的斜 率判定这两条直线平行 或垂直. 2.能用解方程组的方法 求两条相交直线的交点 坐标. 3.掌握两点间的距离公 式、点到直线的距离公 式,会求两条平行直线间 的距离.

平面中的直线和点的位置关系

平面中的直线和点的位置关系

平面中的直线和点的位置关系直线和点是几何学中最基本的两个要素,其位置关系的确定对于几何学的研究至关重要。

在平面几何中,我们可以通过不同的方法来描述直线和点之间的位置关系。

本文将介绍常见的几何关系以及如何通过方程来表示它们。

一、直线与点的相对位置1. 直线上的点:当一个点在直线上时,我们可以说该点在直线上。

我们可以通过直线的方程来确定点是否在直线上。

例如,对于直线的一般方程Ax + By + C = 0,如果点(x,y)满足这个方程,那么该点就在直线上。

2. 直线上方的点和直线下方的点:如果给定一条直线L和点P,我们可以通过求解直线和点的距离来确定点P相对于直线L的位置。

具体来说,如果点P到直线L的距离为正数,那么点P在直线L的上方;如果点P到直线L的距离为负数,那么点P在直线L的下方。

3. 直线左侧的点和直线右侧的点:对于直线的一般方程Ax + By +C = 0,我们可以通过将x和y的值代入方程中来确定点相对于直线的位置。

如果代入后方程的值为正数,那么点在直线的左侧;如果为负数,那么点在直线的右侧。

二、直线与点的特殊位置关系1. 直线上的两点:如果两个点在同一条直线上,我们可以说这两个点共线。

共线的条件可以通过计算斜率来判断,如果两个点的斜率相等,那么它们在同一条直线上。

2. 直线与点的交点:当一条直线与一个点相交时,我们可以称该点为直线的交点。

交点的位置可以通过求解直线和点的方程组来确定。

如果方程组有解,则点是直线的交点;如果方程组无解,则点不在直线上。

三、直线和点的进一步研究除了以上所述的基本关系之外,几何学中还涉及到直线和点的更复杂的位置关系,如直线的平行、垂直关系以及点到直线的距离等。

这些关系在实际问题求解中具有重要的应用价值。

总结:几何学中,平面中直线和点的位置关系是基础且重要的研究内容。

通过方程和几何方法,我们可以准确地描述直线与点之间的位置关系。

这些位置关系对于几何学的研究以及实际问题的求解具有重要的意义。

机械制图中两直线的相对位置解读

机械制图中两直线的相对位置解读
§3-4 两直线的相对位置
一、两直线平行
二、两直线相交
三、两直线交叉
§3-4 两线段的相对位置
一、两直线平行
两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行
平行
V 即若AB∥CD 则ab∥cd ; a’b’∥c’d’ 。
Z
c’ b’ d' X D d
平行
§3-4 两线段的相对位置
a’ B
c’
a’ b’ O
X
O
d
本节结束
§3-4 两线段的相对位置
投影符合点的投影规律。
c’
V
c'
Z
b’ d’
k'
b'
B
k' K b
a'
C X
O c
a’ O
d'
X
b
c k a
A
a d Y
D d
§3-4 两线段的相对位置
k
三、两直线交叉
既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。
投影图上的交点是重影点。
V
不符合投影规律
b’
(2’) 1‘
c' Z
3’ 4’ a’
c’
b'
相交
O b’ k’ f
结论: 由于
a’k’ :k’b’ = ak :kb
解题完毕
所以 AB、Βιβλιοθήκη EF 相交。§3-4 两线段的相对位置
判断两直线的相对位置
例2 判断AB 、CD 两直线的相对位置。
a’ b’
a b
交叉
§3-4 两线段的相对位置
c’
d’ c
分析: 平行? 交叉? 判断方法: 方法一作第三投影(略) 方法二按定比性。(略) 方法三: 假定AB、CD平行,则ABCD 共面,AD 和BC 必相交, 作图: 结论: AB、CD 两交叉直线。

第二讲:直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)解读

第二讲:直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)解读
点(ab积聚成一点) ; 2、在其它两个投影面上的投影反映实长,且分别垂直于 OX轴、OY轴。(ab = ab = AB;a bOX ;a b
OYW )
2018/12/28 8
垂直线的投影特性: 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影,积聚为一点; V V
2018/12/28 5
投影面平行线的投影特性:
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影,反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角,反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角; A b" 2、在其它两投影面上的投影,平行于相应的投影轴, a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点:1、垂直线用垂直判断;2、平行线用平行判断。
例2:已知AB为水平线,补画a’b’。
b’
解题思路: 熟悉水平线的投 影特性,明确正面投 影平行于投影轴。
2、在其它两个投影面上的投影,反映实长,且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z

08根据两直线的投影判别两直线的相对位置

08根据两直线的投影判别两直线的相对位置
教学重点:
1.特殊位置直线的投影特性。 2.判断两直线的相对位置。
教学难点:
1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。 2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。
2.3 直线的投影
2.3.1 直线 由平面几何得知,两点确定一条直线,故直线的投影可由直线上两点的投影 确定。 如图2-15所示,分别将两点A,B的同面投影用直线相连,则得到直线AB的投 影。
2.3 直线的投影
图2-27 判断两直线是否交叉
图2-20 求直线上点的投影
图2-21 判断点是否在直线上
2.3 直线的投影
【例2-4】 如图2-22(a)所示,已知侧平线AB及点M的正面投影和水平投 影,判断点M是否在直线AB上。
【解】 判断方法有两种: (1)求出它们的侧面投影。 如图2-22(b)所示,由于m″不在a″b″上,故点M不在直线AB上。 (2)用点分线段成定比的方法判断。 由于am∶mb≠a′m′∶m′b′,故点M不在直线AB上。
判断空间两直线是否平行,一般情况下,只需判断两直线的任意两对同 名投影是否分别平行,如图2-23(b)所示。但是当两平行直线均平行于某一 投影面时,只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如 图2-24(a)所示(CD,EF为侧平线),虽然cd∥ef,c′d′∥e′f′,但求 出侧面投影(图2-24(b))后,由于c″d″不平行于e″f″,故CD,EF不平 行。在这种情况下,一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判 断;另一种方法是利用平行两直线共面,其投影保持定比的规律进行判断。
图2-22 判断点是否在直线上
2.3 直线的投影
2.3.4 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种:平行、相交和交叉(异面)。 1.两直线平行 若空间两直线相互平行,则其同面投影必相互平行;若两直线的三个同面投 影分别相互平行,则空间两直线必相互平行(图2-23)。

2:直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)

2:直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)

1(2 ) 3 4

两直线相交吗? 投影特性(判别方法) : 为什么? ★ 同面投影可能相交,但




Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
例10:过直线CD外一点A,作正平线AB与CD相交。
d' a' c' b’ b1 c1
X
d
b c
O
a
例11 判断两直线的相对位置。

解法一:
z
c b
d a o YW
|yA-yB|
a
O

ab
b
AB
a
|yA-yB|
2013/7/14
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
B
a
b

b a
A a
|xA-xB|
2013/7/14 16
直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即:直角三角形的组成:斜边-实长
直角边1-投影,直角边2-坐标差, 投影与实长的夹角-倾角。
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线(平行于H面且…)
正平线(平行于V面且…) 侧平线(平行于W面且…)
2013/7/14
4
正平线—平行于V面,倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长

b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性: 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角,分别反映该直线与H、W面的倾角。(a b=AB, YH 反映、角的真实大小); 2、在H面、W面上的投影,分别平行于OX轴、OZ轴,且 小于实长。 (ab OX ; a b OZ)

土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影

土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
二、两平行直线
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影,试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点,在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处; (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上,则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'

第三章 基要素的投影-直线

第三章 基要素的投影-直线

点、直线的相对位置-直线上点-点分割线段成定比 b b
Z
b
c
a
C
B
b c” a a X
c
O b c a YH
c
a YW
A c a
b
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 点分割线段成定比,则分割两线段的各个同面投影之 比等于其两线段之比—定比性。
Z
a b
X B
a(b)
b
O
YW
a(b) Y
YH
投影特性:1. ab 积聚 成一点 2. abOX ; ab OYW 3. ab = ab = AB
直线的投影-各类直线的投影特性-特殊位置直线-正垂线 b a(a b) A B X a b O a Z a b X O YW b a a (( b ) Z
对于一般位置直 线,只要有两个同名 投影互相平行,空间 两直线就平行。
AB//CD
例2:判断图中两条直线是否平行。

c c
a
d
b
b
对于特殊位置直线,只有 两个同名投影互相平行,空间 d 直线不一定平行。 b
a
c
d a 如何判断?
求出侧面投影后可知: AB与CD不平行。
方法二: 若 AB∥CD, 则有:a‘b’∥c‘d’, ab∥cd, 图中:a‘b’∥c‘d’, ab∥dc, 所以 AB与CD是不平行。
求出侧面投影
例2:判断图中两条直线是否平行。
a s c
X
a’s’
b
d
a s
b
c d
s’b’
b0
s0
a s : s b= as : sb

点与直线的位置关系

点与直线的位置关系

点与直线的位置关系在数学几何学中,点和直线是最基本的几何元素之一,研究它们之间的位置关系对深入理解几何学非常重要。

本文将就点与直线的位置关系展开论述,并探讨它们可能的相对排列形式。

一、点与直线的位置关系:外部首先,我们讨论点与直线的外部关系。

当一个点不在一条直线上时,我们称它在直线的外部。

对于在直线外部的点,我们可以得出以下结论:1. 直线上方的点:当直线所在的平面被分为上下两部分时,位于上方的点被称为直线的上部;对于直线的上方点,我们可以通过直线的一般方程来验证其位置关系。

2. 直线下方的点:同理,直线下方的点位于直线所在平面的下部,可以通过直线的一般方程验证它们的位置关系。

二、点与直线的位置关系:内部现在,我们转向分析点与直线的内部关系。

如果一个点在直线上,我们称其在直线的内部。

对于在直线内部的点,我们有以下结论:1. 直线上的点:点在直线上,说明直线通过这个点,可以通过直线的一般方程来验证。

三、点与直线的位置关系:重合和相交除了外部和内部关系,点与直线还有两种特殊的位置关系:重合和相交。

具体如下:1. 点与直线重合:当一个点与直线的坐标完全一致时,它们被称为重合;重合的点与直线可以通过直线的一般方程来验证。

2. 点与直线相交:当一条直线与另一条直线或线段有一个共同的点时,我们可以称它们为相交;相交的点与直线可以通过求解方程组来确定坐标。

结论:通过以上讨论,我们对于点与直线的位置关系有了一定的了解。

点与直线可以有外部和内部的关系,同时还可以重合或相交。

了解这些位置关系对于数学几何学的学习和实践具有重要的意义。

总结起来,本文通过分析点与直线的外部、内部、重合和相交等不同的位置关系,帮助读者更好地认识并理解这两者之间的几何特性。

点与直线的位置关系是数学中的基础概念之一,对于几何学的进一步学习和应用至关重要。

通过深入研究这些关系,我们可以更好地掌握几何学的基本原理,并能够应用于解决各种实际问题。

点、直线及直线的相对位置

点、直线及直线的相对位置

Ⅰ、Ⅱ是V面的重影点, 用其可帮助判断两直线 Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。 的空间位置。
12
例 判断两直线的相对位置
c
b
1
a
d
X a
d
1
cb
1d 1c 13
判断两直线重影点的可见性
a
X
c 1 (3)4
2
d
b
B
C 13
2 4D O
A
c
3
b
a
4
1(2)
d
判断重影点的可见 性时,需要看重影点 在另一投影面上的投 影,坐标值大的点投 影可见,反之不可见, 不可见点的投影加括 号表示。
第五节 点、直线与直线的相对位置
一、直线上的点
直线上的点具有两个特性: V
b
1 从属性 若点在直线上,则点
c
B
的各个投影必在直线的各同面投 a
影上。利用这一特性可以在直线
C
上找点,或判断已知点是否在直 线上。
A
b
2 定比性 属于线段上的点分割
ac
H
线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
2.KF是一般位置线,求出实长,即为所求
距离。
距离
22
例: 已知ABCD为正方形,完成其投影。
Z差
Z差
23
10
例:过C点作水平线CD与AB相交。
b
c●
k
d
a
a
d
k c●
b
先作正面投影
11
⒊ 两直线交叉
a c’
1(2)
3 ●

●4

直线与点及两直线的相对位置

直线与点及两直线的相对位置

2021/6/4
D点 不在 直线AB上
d b
c
B
CD
A
ac
b d
H
判断点K是否在线段AB上?
a
a
k● b
●k b 因k不在a b上,
故点K不在AB上。
a
k●
b
另一判断法是
应用定比定理
因ak:kb≠ ak:kb 故点K不在AB上。
2021/6/4
3.3两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉。
2. 当两直线都不平行于某投影面时,其夹角在该 投影面上的投影一般不反映实形。
3. 当两直线中有一直线平行于某投影面时, 如果夹角是直角,则它在该投影面上的投影仍然 是直角。-----------------直角投影定理
2021/6/4
若直角有一边平行于投影面,则它在该投影面
上的投影仍为直角。
证明:

c
c
对于投影面平行线,只
a
a 有两个同面投影互相平行,
d b
b d 空间直线不一定平行。若用
c
两个投影判断,其中应包括
b
反映实长的投影。
da
如何判断
求出侧面投影
结论:AB与CD不平行
2021/6/4
V c
a XA
a
3.3.2 两直线相交
交点是两直线 的共有点
b k
C d
B
KD
d
k c
b H
c k a
AB线段实长
ΔZAB ΔYAB
AB线段实长
α
ab的长
a ' b '的长 ΔXAB
AB线段实长

两直线的相对位置(垂直)、平面投影、平面内点和直线

两直线的相对位置(垂直)、平面投影、平面内点和直线

Z
PV
PW
Z PV
Z PW
X
X
X
O
YW
O YW
O
YW
YH 水平面
PH
YH 侧平面
PH
YH 正平面
投影面的垂直面
V
1.W铅面垂的面平类—面似—性垂直于H面,且倾斜Z 于V面类、似性
X
O
YW
铅垂面的投平影面特对性投:影面积的聚倾性角:
YH
1.水平投影对积水聚平为投一影条面倾的斜倾线角段—,且—该 直线段与OX、OY轴的 夹角反映空间平面对V面、W面的倾角;
(n')
m'
X
OX
O
n
(m)
铅垂面
2021/3/5
正垂面
26
讨论并作图:过正垂线可作哪些平面? (迹线表示法)
PV
SV
QV
RV
X
OX
OX
OX
O
(a )给题
2021/3/5
( b)作水平面
(c)作侧平面
(d)作正垂面 (有无穷多个)
27
讨论并作图 过正平线可作哪些平面?(迹线表示法)
SH
g
X
OX
OX
O
c
b
YH
水平面
a YW X
c c
O
a
c
YW
b
a
YH
铅垂面
用迹线表示的投影面
垂直面的投影
PV
Z PW
P
X
O
YW
PH
YH
Z
X
PH
PH
铅垂面的迹线表示法
2021/3/5
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k
K
b d D O B
交点是两直 线的共有点
c a b b
k
d
c
k
d
H
a
c k
d b
若空间两直线相交,则其同名投影必 相交,且交点的投影必符合空间一点的投 影特性。
例1:过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a k d
a c k

d b
先作正面投影
例2:判断直线AB、CD的相对位置。
对于一般位置直线, 只要有两组同名投影互 相平行,空间两直线就 平行。

a
a
b
d a
b
d cLeabharlann ccbAB与CD平行。
d
判断两条直线是否平行的方法。
对于特殊位置同一 投影面的平行线,若有 两组同名投影互相平行, 则空间直线不一定平行。 还需检查它们所平行的 那个投影面上的同名投 影是否平行。
B
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不在直线 的同名投影上, 则该点必 不在此直线上。
a
c
b H
定比定理
直线上的点具有两个特性:
从属性 若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同面投影 上。利用这一特性可以在直线上找点,或判断已知点是 否在直线上。 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b

c a
c a b d
d c
b
b
d
a
AB与CD不平行。
判断两条直线是否平行的方法。

a c
b
d

a(b)

对于垂直于同一个 投影面的两条直线,它 们互相平行,而在它们 垂直的那个投影面上积 聚为两点,两点的距离 反映它们在空间中的真 实距离。
c(d)
⒉ 两直线相交
V c a C A X a

b′ 线段ck即两直线 之间的距离
k′
k
b
例4:已知线段AC为正方形ABCD的一对角线,另一 对角线BD为侧平线,试作正方形的投影。
AC实

a
X
b
c
Z
b a
O
.
c d
Y
中点
d b c
a
d
Y
b c C B
定比性
X
a
A a c b c
O
例1:判断点C是否在线段AB上。
① a
c
b

a
c

b
a
c
b
a
c b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
已知直线上点的一个投影,怎样求其余投影
例2:判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b
a

k
b
因k不在a b上, 故点K不在AB上。
e
C
a X
zA-zB
A
ab b L a c
两直线的位置
空间两直线的相对位置分为: 平行、相交、交叉(异面)。 ⒈ 两直线平行
V
c a C c d A a b B D b H c d b
a a
O b
X
c
d
d
空间两直线平行,则其各同名投影必定相互平 行,反之亦然。
判断两条直线是否平行的方法
3.3 直角投影定理及其应用
V
B C A
a
问题提出:若两直线都平行于 投影面,则两直线的夹角等于 两直线投影之间的夹角; a ′ 若相交两直线都不平行于 投影面,则两直线夹角不等于 两直线投影夹角。 b
H
a c
b′
c′
b
c
直角投影定理:若直角有一条边为一投影面的平行 线,则此直角在该投影面上的投影仍为直角。
直线上的点
一、直线上点的投影
直线上的点,其各投影面上的投影必在该直线的同面投影上;反之,如果点 的各投影面的投影在直线的同面投影上,则该点必在直线上。
点在直线上的判别方法:
◆若点在直线上, 则点的 投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名 投影分割成与空间相同 的比例。即:
V a c
C A
b
另一判断法?
应用定比定理
例题3 已知点C 在线段AB上,求点C 的正面 投影。
V
b c a B A a c H C O
b c X
a
cb ac
X
b c
b
a
例题4
已知线段AB的正面投影和水平面投影,又知点C在AB上, 且BC的长度为L,求出点C的正面投影和水平面投影。 b B L AB c
两直线相交吗?
′ b V 1′ ′ ′ c ′ 3(4 ) d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B a′ A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ●
c′
a′ X a
′ ′) 3(4

1′
● ●
b′ d′ O
2′
c



4

d b
3 1(2)
b H

c
3 1(2)
交叉线投影特性:
★ 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一 个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其 可帮助判断两直线的空间位置。
例1:已知直线BC和直线外一点A的两面投影, 求A点到直线BC的距离。

a
距离
b
c

c
b

a
例2:试过定点A作直线垂直于已知直线EF。
f a

e

e
a f
例3:已知两交叉直线AB、CD,其中CD为铅垂线, AB为一般位置直线,求两直线之间的距离。
c ′ a′ d ′ a 水平线 c(d) 公垂线
c′ b′
相交吗? 不相交! 为什么? 交点不符 合空间一个点 的投影特性。 判断方法? ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影
a ′
d′ d b c
a
⒊ 两直线交叉
b′ c′ d ′ O a d c b V c′ a′ A a b′ d′ B D d c b H
a′
X
C
不相交! 为什么? 交点不符合一个 点的投影规律!
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