点与直线以及两直线的相对位置8

两直线相交吗？
′ b V 1′ ′ ′ c ′ 3(4 ) d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B a′ A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ●
c′
a′ X a
′ ′) 3(4
●
1′
● ●
b′ d′ O
2′
c
●
●
●
4
●
d b
3 1(2)
b H
●
c
3 1(2)
交叉线投影特性：
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一 个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其 可帮助判断两直线的空间位置。
●
b′ 线段ck即两直线 之间的距离
k′
k
b
例4：已知线段AC为正方形ABCD的一对角线，另一 对角线BD为侧平线，试作正方形的投影。
AC实
长
a
X
b
c
Z
b a
O
.
c d
Y
中点
d b c
a
d
Y
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
①
a
a
b
d a
b
d c
c
c
b
AB与CD平行。
d
判断两条直线是否平行的方法。
对于特殊位置同一 投影面的平行线，若有 两组同名投影互相平行， 则空间直线不一定平行。 还需检查它们所平行的 那个投影面上的同名投 影是否平行。
e
C
a X
zA-zB
A
ab b L a c
两直线的位置
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。 ⒈ 两直线平行
V
c a C c d A a b B D b H c d b
a a
O b
X
c
d
d
空间两直线平行，则其各同名投影必定相互平 行，反之亦然。
判断两条直线是否平行的方法
来自百度文库c′ b′
相交吗？ 不相交！ 为什么？ 交点不符 合空间一个点 的投影特性。 判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影
a ′
d′ d b c
a
⒊ 两直线交叉
b′ c′ d ′ O a d c b V c′ a′ A a b′ d′ B D d c b H
a′
X
C
不相交！ 为什么？ 交点不符合一个 点的投影规律！
直线上的点
一、直线上点的投影
直线上的点，其各投影面上的投影必在该直线的同面投影上；反之，如果点 的各投影面的投影在直线的同面投影上，则该点必在直线上。
点在直线上的判别方法：
◆若点在直线上, 则点的 投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名 投影分割成与空间相同 的比例。即：
V a c
C A
b
3.3 直角投影定理及其应用
V
B C A
a
问题提出：若两直线都平行于 投影面，则两直线的夹角等于 两直线投影之间的夹角； a ′ 若相交两直线都不平行于 投影面，则两直线夹角不等于 两直线投影夹角。 b
H
a c
b′
c′
b
c
直角投影定理：若直角有一条边为一投影面的平行 线，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。
例1：已知直线BC和直线外一点A的两面投影， 求A点到直线BC的距离。
●
a
距离
b
c
●
c
b
●
a
例2：试过定点A作直线垂直于已知直线EF。
f a
●
e
●
e
a f
例3：已知两交叉直线AB、CD,其中CD为铅垂线， AB为一般位置直线，求两直线之间的距离。
c ′ a′ d ′ a 水平线 c(d) 公垂线
B
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不在直线 的同名投影上， 则该点必 不在此直线上。
a
c
b H
定比定理
直线上的点具有两个特性：
从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影 上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是 否在直线上。 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
另一判断法?
应用定比定理
例题3 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面 投影。
V
b c a B A a c H C O
b c X
a
cb ac
X
b c
b
a
例题4
已知线段AB的正面投影和水平面投影，又知点C在AB上， 且BC的长度为L，求出点C的正面投影和水平面投影。 b B L AB c
②
c a
c a b d
d c
b
b
d
a
AB与CD不平行。
判断两条直线是否平行的方法。
③
a c
b
d
●
a(b)
●
对于垂直于同一个 投影面的两条直线，它 们互相平行，而在它们 垂直的那个投影面上积 聚为两点，两点的距离 反映它们在空间中的真 实距离。
c(d)
⒉ 两直线相交
V c a C A X a
b c C B
定比性
X
a
A a c b c
O
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a
c
b
②
a
c
●
b
a
c
b
a
c b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
已知直线上点的一个投影，怎样求其余投影
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b
a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
k
K
b d D O B
交点是两直 线的共有点
c a b b
k
d
c
k
d
H
a
c k
d b
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a k d
a c k
●
d b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。