§6.5.3 克拉珀龙方程
克拉泊龙方程
克拉泊龙方程淄博六中物理组李长远PV/T=C,此式称为一定质量理想气体的状态方程．它反映的是一定质量的理想气体处于某一状态时，备状态参量之间的关系，即对一定质量的理想气体，不论状态如何变化，pV／T必须是恒星．式中的恒星有多大？由什么决定呢？对于不同种类不同质量的气体，其恒星C有没有一定的联系或者有没有一定的计算规律可寻呢？一摩尔气体常量我们先把PV/T=C应用于一定质量的任何气体，而且我们就限定1摩尔的气体，我们已经知道lmol的任何气体，在标准状态下，即P0=1at m，T0=273K时，体积都是V0=22.4L．把这些状态参量的值代入理想气体状态方程，P1V1/T1=P0V0/T0=恒量=R由此可以求得一个适用于lmol的任何气体的常量，它通常用R来表示，即R=P0V0/T0R的数值与P、V、T的单位有关．在国际单位制中，p0=1.03×105 Pa=1.03×105 N／m2，V。
=22.4×10－3m3／m ol，T。
＝273K，代入上式得到R=8.31J／（mol·K）．则对于1摩尔任何状态下的理想气体都有：PV/T= P0V0/T0=Rp V＝RTR是一个适用于1摩尔任何气体的恒量，因此我们称为摩尔气体恒量。
注意：R=0.082标准大气压升/（摩开）二克拉泊龙方程知道了1摩尔的任何理想气体的状态方程，就不难知道任意摩尔的任何理想气体的状态方程。
若对n摩尔的某种理想气体，而nmol理想气体在标准状态下占有体积V0/=nV0，由理想气体状态方程可得PV/T= P0V0//T0= nP0V0/T0=nR这表明，PV/T=nR若对质量为m kg的某种理想气体，它的摩尔质量为Mkg／mol，它的摩尔数n=m／MmoI．PV/T=mR／M．可知：（1）恒量C是由研究对象的质量和种类决定的．（2）不论何种理想气体，只要摩尔数相同，其恒量必然相同。
理想气体状态方程相同．由此可得到p V=n RTp V=m/MRT这就是任意质量的理想气体的状态方程，又叫做克拉泊龙方程．师：P1V1/T1=P2V2/T2PV/T=CPV=n RTPV=m/MRT以上个式都是理想气体状态方程的不同表达形式，同学们应知道它们的联系，根据需要选用．而PV= RT仅适用于lmol理想气体．。
克劳修斯-克拉珀龙方程
克劳修斯-克拉珀龙方程
克劳修斯-克拉珀龙方程描述了理想气体在温度、压强变化下物质的浓度的变
化率，它是热力学里的基本方程之一。
此方程是德国科学家克劳修斯和法国科学家克拉珀龙根据理想气体状态方程和热力学第一定律，以及热力学相温度和相压的概念，独立地推导出来的。
克劳修斯-克拉珀龙方程公式如下：Ln (P2/P1) = ΔHvap/R (1/T1 - 1/T2)，其中
T1和T2是初始和最终的温度，P1和P2是初始和最终的压力，ΔHvap是汽化热，
R是理想气体常数。
值得注意的是，克劳修斯-克拉珀龙方程假设了压力和温度的
变化并没有改变系统的内能，即认为是在保持熵不变的条件下进行的。
应用克劳修斯-克拉珀龙方程我们可以研究蒸馏过程。
在蒸馏过程中，液体在
其沸点温度下汽化，这个过程需要吸收潜热。
由克劳修斯-克拉珀龙方程可以得知，如果提高系统的温度，那么液体的压强也将增大，这意味着需要更高的温度才能
使液体沸腾。
克劳修斯-克拉珀龙方程的适用性相对广泛，它既可以用于理想气体，也可以
适用于非理想气体，只要压力不太高或者温度不太低。
值得注意的是，虽然克劳修斯-克拉珀龙方程在理论上存在局限性，但在许多实际问题中，对于描绘物质的沸
腾和凝结等相变过程，它仍然能够给出相对准确的预测。
克拉贝龙方程
克拉贝龙方程
克拉贝龙方程公式：dP/dT=L/(TΔV)。
克拉贝龙方方程描述的是单元系在一阶相变相平衡时候物理量的变化方程。
即定量分析单元系在摩尔数相同时物质体积（V）、温度（T）、压强（P）的关系。
物体所受压力的大小与受力面积之比叫做压强，压强用来比较压力产生的效果，压强越大，压力的作用效果越明显。
压强的计算公式是：，压强的单位是帕斯卡（简称帕），符号是Pa。
从克拉佩龙方程解释雪山为什么会发生雪崩
由于冰熔化后体积减小，ΔV<0，而冰熔化吸热，L>0，于是方程右边<0。
当雪的压强增加，dP>0，而右边<0，所以dT<0，也就是雪压强增加，熔点会降低，更容易发生熔化。
处于雪堆底部的雪或者冰容易受到了巨大的压力，熔点降低，更容易变软甚至熔化，导致上层冰雪失去支撑而倒塌，于是雪崩就发生了。
克拉伯龙方程式
克拉伯龙方程式
克拉伯龙方程式是一种经典的数学表达式，用以描述一些复杂的数学问题。
它是由德国数学家威廉·克拉伯龙于1858年提出的，并由他以原名“非线性微分方程”命名。
它是一种非线性的、仍然未解决的非线性微分方程，其中包含了一个或多个微分方程，每个方程都有一个或多个未知的变量，用于描述一些物理系统或事物之间的关系。
克拉伯龙方程式的最简单形式为：
d2x/dt2 + K d2x/dx2 + F(x,t) = 0
其中，K和F(x,t)是常数，X和t是变量，它们表示某种复杂的物理系统或事物之间的关系。
克拉伯龙方程式用于描述复杂的物理系统，如光线传播、电场波动、振动系统、热传导、水动力学等。
它可以用来解决许多复杂的科学问题，如求解地震波、流体动力学、激励响应分析、电磁波传播、声学波传播等问题。
克拉伯龙方程式还用于描述复杂的生物系统，例如细胞的免疫反应系统、生物系统的动态行为和发育过程等。
它们可以用来模拟生物学家研究的许多复杂的问题，从而更好地理解生物系统的运行机制。
克拉伯龙方程式是一种强大的数学工具，它可以用来描述复杂的物理和生物系统。
它可以帮助我们更好地理解这些系统的运行机制，并为我们提供有用的信息，以便更好地控制和调节这些系统。
它也可以帮助我们更好地预测这些系统的行为，从而有效地利用这些系统的资源。
克劳修斯-克拉贝龙方程
以液-气平衡为例
dp dT
vap
H
* m
T{Vm* (g) Vm*
(l)}
vap
H
* m
TVm* (g)
p
vap
H
* m
RT 2
dln p dT
vap
H
* m
RT 2
此式称为Clausius- Clapeyron方程, 简称克-克方程.
假定蒸发焓与温度无关, 作不定积分:
dlnp
(1) ln p(30C) vap Hm T2 T1 34.17 103 (303.2 293.2) 0.4623
p(20C)
R T1T2
8.314 293.2 303.2
p(30C) 15.90kPa
(2)
ln p2 sub H m (T2 T1 )
单组分系统相平衡热力学——克拉珀龙方程
用热力学原理来解决纯物质两相平衡时系统温度和压力 之间的关系问题.
蒸发与冷凝
升华与凝华
凝固与熔化
B*(l) T, p B*(g) B*(s) T, p B*(g) B*(l) T, p B*(s)
p f (T ) ?
晶型的转化
B*(s,α ) T, p B*(s,β)
p1
R
Байду номын сангаас
T1T2
sub H m
8.314 273.2 293.2 293.2 273.2
ln
12.30 103 3.27 103
J·mol1
44.12k J·mol1
克拉伯龙方程式
克拉伯龙方程式 This manuscript was revised on November 28, 2020克拉伯龙方程式通常用下式表示：PV=nRT……①P表示、V表示气体体积、n表示、T表示、R表示。
所有气体R值均相同。
如果压强、温度和体积都采用国际单位（SI），R=8.314帕·米3/摩尔·K。
如果压强为大气压，体积为升，则R=0.0814大气压·升/摩尔·K。
R为常数理想气体状态方程：pV=nRT已知标准状况下，1mol理想气体的体积约为22.4L把p=101325Pa,T=273.15K,n=1mol,V=22.4L代进去得到R约为8314帕·升/摩尔·K的定义就是k=R/Na因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：pv=mRT/M……②和pM=ρRT……③以A、B两种气体来进行讨论。
（1）在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB（即阿佛加德罗定律）摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度）。
若mA=mB则MA=MB。
（2）在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）。
（3）在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）。
阿佛加德罗定律推论推论一、阿佛加德罗定律推论我们可以利用阿佛加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：(1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2②ρ1:ρ2＝M1:M2③同质量时:V 1:V2=M2:M1(2)同温同体积时:④p1:p2=n1:n2=N1:N2⑤同质量时:p1:p2=M2:M1(3)同温同压同体积时:⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2具体的推导过程请大家自己推导一下，以帮助记忆。
克拉伯龙方程式
克拉伯龙方程式
克拉伯龙方程式（Claapeyron equation）是一个物理学中的方程式，它描述了物质相变时温度和压力之间的关系。
该方程式以法国工程师伊曼纽尔·克拉伯龙的名字命名，他在1834年发明了该方程式。
克拉伯龙方程式的数学形式为：
dP/dT = ΔS/ΔV
其中，P表示压力，T表示温度，S表示熵，V表示体积。
ΔS/ΔV表示物质相变时熵的变化率，它是相变热的倒数。
该方程式的意义在于它表明，当物质发生相变时，其温度和压力的变化是相互联系的。
例如，当水从液态变成气态时，需要吸收大量的热量，这就是相变热。
根据克拉伯龙方程式，当压力增加时，水从液态到气态的温度也会增加，而当压力减小时，水从液态到气态的温度也会减小。
克拉伯龙方程式在化学、物理学等领域广泛应用，对研究物质的相变规律以及设计和控制化学反应过程等方面都具有重要意义。
克拉伯龙方程及推论
克拉伯龙方程及推论克拉伯龙方程及推论引言：克拉伯龙方程是化学领域中的一个基本定律，用于描述气相反应的速率与温度之间的关系。
它由德国化学家奥古斯特·克拉伯龙在19世纪末提出，并被广泛应用于化学反应动力学研究中。
本文将介绍克拉伯龙方程及其推论的基本概念、推导过程以及实际应用。
一、克拉伯龙方程的基本概念克拉伯龙方程是一种描述气相反应速率的动力学方程。
它可以用下式表示：k = Ae^(-Ea/RT)其中，k为反应速率常数，A为所谓的“频率因子”，Ea为活化能，R为气体常数，T为温度。
根据克拉伯龙方程，可以得到以下几个重要的推论。
二、推论1：活化能与反应速率的关系根据克拉伯龙方程，可以发现活化能Ea与反应速率k之间存在着指数关系。
活化能越大，反应速率越慢；活化能越小，反应速率越快。
这是因为活化能是反应发生所需的最小能量，只有当能量大于或等于活化能时，反应才能发生。
三、推论2：温度对反应速率的影响根据克拉伯龙方程，可以看出温度对反应速率有很大的影响。
当温度升高时，反应速率常数k也会增大，反应速率变得更快；当温度降低时，反应速率常数k则会减小，反应速率变慢。
这是因为温度的升高能够提供更多的能量，使分子的平均动能增加，从而增加了分子碰撞的频率和能量。
四、推论3：碰撞理论克拉伯龙方程中的频率因子A是指在反应物分子碰撞时，能够形成活化复合物的频率。
根据碰撞理论，只有当分子碰撞的能量大于等于活化能时，才能形成活化复合物，从而进行反应。
因此，频率因子A可以看作是碰撞的概率。
五、推论4：反应机理的理解克拉伯龙方程描述的是整体反应速率，但它并不提供关于反应机理的具体信息。
通过测定实际反应速率与温度的关系，可以推断出反应机理。
例如，如果反应速率随温度升高而成二级（即速率常数与浓度的平方成正比），则可以推断反应是通过二分子反应机理进行的。
六、实际应用克拉伯龙方程的应用非常广泛，可以用于研究各种气相反应的速率与温度之间的关系。
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(Vg,m – Vl.m )dp ,热机效率应等于卡诺热机效率，
即
W ' d p Vg,m Vl,m
Q1
Lv,m
卡
dT T
dp
Lv,m
dT T Vg,m Vl,m
这就是法国铁路桥梁工程师克拉珀龙，于1834年建立 的克拉珀龙方程，也称克拉珀龙-克劳修斯方程。
虽然上述推导是以气液相变为例而进行的，但对于 所有可发生熵和体积突变的一级相变，上式均成立。 克拉珀龙方程可写为
之全部变为蒸气；
• B→C，绝热微小膨胀，使温度降为T ，压强降为p ； C→D，在压强 p 、温度 T 下等温压缩；D→A，绝热
微小压缩回到初态。
由于在绝热膨胀及绝热压缩过程中温度变化dT、压强 变化dp均很小，在图上可近似以两相共存区中的梯形
ABCD来表示这一循环。
系 统 从 高 温 热 源 吸 收 汽 化 热 LV,m ， 对 外 作 功
§6.5.3 克拉珀龙方程
(一) 克拉珀龙方程 表示相图上相平衡曲线微分斜率的公式称为克拉珀龙
方程。现利用卡诺定理来推导. 设想某一物
质蒸气在气液共 存区内经历一可 逆卡诺微循环， 如图所示。
• 1mol某种液体从温度T + dT、压强 p + dp，且全部
处于液相的A点出发 ,先后经过：A→B，等温加热使
L12,m T S1,m S2,m
• 故上式又可改写为 d p S1,m S2,m d T V1,m V2,m
这表示相图上相平衡曲线的斜率等于一级相变中摩尔 熵和摩尔体积突变量的比值。
关于地幔的例题
• 蒸气压方程
• 冰的熔解反常现象
d p
L12,m
l
12
dT T V1,m V2,m T v1 v2
其中 L12,m 表示从“2”相转变为“1”相时的摩尔潜 热，V1,m 及V2,m 分别为“1”、“2”相的摩尔体积,
l12 为单位质量的相变潜热,v1、v2 分别为“1”相及
“2”相单位质量的体积，而T 为相变温度。
因