§6.5.3 克拉珀龙方程 - 360文档中心

克拉泊龙方程

克拉泊龙方程淄博六中物理组李长远PV/T=C,此式称为一定质量理想气体的状态方程．它反映的是一定质量的理想气体处于某一状态时，备状态参量之间的关系，即对一定质量的理想气体，不论状态如何变化，pV／T必须是恒星．式中的恒星有多大？由什么决定呢？对于不同种类不同质量的气体，其恒星C有没有一定的联系或者有没有一定的计算规律可寻呢？一摩尔气体常量我们先把PV/T=C应用于一定质量的任何气体，而且我们就限定1摩尔的气体，我们已经知道lmol的任何气体，在标准状态下，即P0=1at m，T0=273K时，体积都是V0=22.4L．把这些状态参量的值代入理想气体状态方程，P1V1/T1=P0V0/T0=恒量=R由此可以求得一个适用于lmol的任何气体的常量，它通常用R来表示，即R=P0V0/T0R的数值与P、V、T的单位有关．在国际单位制中，p0=1.03×105 Pa=1.03×105 N／m2，V。

=22.4×10－3m3／m ol，T。

＝273K，代入上式得到R=8.31J／（mol·K）．则对于1摩尔任何状态下的理想气体都有：PV/T= P0V0/T0=Rp V＝RTR是一个适用于1摩尔任何气体的恒量，因此我们称为摩尔气体恒量。

注意：R=0.082标准大气压升/（摩开）二克拉泊龙方程知道了1摩尔的任何理想气体的状态方程，就不难知道任意摩尔的任何理想气体的状态方程。

若对n摩尔的某种理想气体，而nmol理想气体在标准状态下占有体积V0/=nV0，由理想气体状态方程可得PV/T= P0V0//T0= nP0V0/T0=nR这表明，PV/T=nR若对质量为m kg的某种理想气体，它的摩尔质量为Mkg／mol，它的摩尔数n=m／MmoI．PV/T=mR／M．可知：（1）恒量C是由研究对象的质量和种类决定的．（2）不论何种理想气体，只要摩尔数相同，其恒量必然相同。

理想气体状态方程相同．由此可得到p V=n RTp V=m/MRT这就是任意质量的理想气体的状态方程，又叫做克拉泊龙方程．师：P1V1/T1=P2V2/T2PV/T=CPV=n RTPV=m/MRT以上个式都是理想气体状态方程的不同表达形式，同学们应知道它们的联系，根据需要选用．而PV= RT仅适用于lmol理想气体．。

克劳修斯-克拉珀龙方程

克劳修斯-克拉珀龙方程
克劳修斯-克拉珀龙方程描述了理想气体在温度、压强变化下物质的浓度的变
化率，它是热力学里的基本方程之一。

此方程是德国科学家克劳修斯和法国科学家克拉珀龙根据理想气体状态方程和热力学第一定律，以及热力学相温度和相压的概念，独立地推导出来的。

克劳修斯-克拉珀龙方程公式如下：Ln (P2/P1) = ΔHvap/R (1/T1 - 1/T2)，其中
T1和T2是初始和最终的温度，P1和P2是初始和最终的压力，ΔHvap是汽化热，
R是理想气体常数。

值得注意的是，克劳修斯-克拉珀龙方程假设了压力和温度的
变化并没有改变系统的内能，即认为是在保持熵不变的条件下进行的。

应用克劳修斯-克拉珀龙方程我们可以研究蒸馏过程。

在蒸馏过程中，液体在
其沸点温度下汽化，这个过程需要吸收潜热。

由克劳修斯-克拉珀龙方程可以得知，如果提高系统的温度，那么液体的压强也将增大，这意味着需要更高的温度才能
使液体沸腾。

克劳修斯-克拉珀龙方程的适用性相对广泛，它既可以用于理想气体，也可以
适用于非理想气体，只要压力不太高或者温度不太低。

值得注意的是，虽然克劳修斯-克拉珀龙方程在理论上存在局限性，但在许多实际问题中，对于描绘物质的沸
腾和凝结等相变过程，它仍然能够给出相对准确的预测。

克拉贝龙方程

克拉贝龙方程
克拉贝龙方程公式：dP/dT=L/(TΔV)。

克拉贝龙方方程描述的是单元系在一阶相变相平衡时候物理量的变化方程。

即定量分析单元系在摩尔数相同时物质体积（V）、温度（T）、压强（P）的关系。

物体所受压力的大小与受力面积之比叫做压强，压强用来比较压力产生的效果，压强越大，压力的作用效果越明显。

压强的计算公式是：，压强的单位是帕斯卡（简称帕），符号是Pa。

从克拉佩龙方程解释雪山为什么会发生雪崩
由于冰熔化后体积减小，ΔV<0，而冰熔化吸热，L>0，于是方程右边<0。

当雪的压强增加，dP>0，而右边<0，所以dT<0，也就是雪压强增加，熔点会降低，更容易发生熔化。

处于雪堆底部的雪或者冰容易受到了巨大的压力，熔点降低，更容易变软甚至熔化，导致上层冰雪失去支撑而倒塌，于是雪崩就发生了。

克拉伯龙方程式

克拉伯龙方程式
克拉伯龙方程式是一种经典的数学表达式，用以描述一些复杂的数学问题。

它是由德国数学家威廉·克拉伯龙于1858年提出的，并由他以原名“非线性微分方程”命名。

它是一种非线性的、仍然未解决的非线性微分方程，其中包含了一个或多个微分方程，每个方程都有一个或多个未知的变量，用于描述一些物理系统或事物之间的关系。

克拉伯龙方程式的最简单形式为：
d2x/dt2 + K d2x/dx2 + F(x,t) = 0
其中，K和F(x,t)是常数，X和t是变量，它们表示某种复杂的物理系统或事物之间的关系。

克拉伯龙方程式用于描述复杂的物理系统，如光线传播、电场波动、振动系统、热传导、水动力学等。

它可以用来解决许多复杂的科学问题，如求解地震波、流体动力学、激励响应分析、电磁波传播、声学波传播等问题。

克拉伯龙方程式还用于描述复杂的生物系统，例如细胞的免疫反应系统、生物系统的动态行为和发育过程等。

它们可以用来模拟生物学家研究的许多复杂的问题，从而更好地理解生物系统的运行机制。

克拉伯龙方程式是一种强大的数学工具，它可以用来描述复杂的物理和生物系统。

它可以帮助我们更好地理解这些系统的运行机制，并为我们提供有用的信息，以便更好地控制和调节这些系统。

它也可以帮助我们更好地预测这些系统的行为，从而有效地利用这些系统的资源。

克劳修斯-克拉贝龙方程

以液-气平衡为例
dp dT

vap
H
* m
T{Vm* (g) Vm*
(l)}

vap
H
* m
TVm* (g)

p
vap
H
* m
RT 2
dln p dT

vap
H
* m
RT 2
此式称为Clausius- Clapeyron方程, 简称克-克方程.
假定蒸发焓与温度无关, 作不定积分:
dlnp
(1) ln p(30C) vap Hm T2 T1 34.17 103 (303.2 293.2) 0.4623
p(20C)
R T1T2
8.314 293.2 303.2
p(30C) 15.90kPa
(2)
ln p2 sub H m (T2 T1 )
单组分系统相平衡热力学——克拉珀龙方程
用热力学原理来解决纯物质两相平衡时系统温度和压力之间的关系问题.
蒸发与冷凝
升华与凝华
凝固与熔化
B*(l) T, p B*(g) B*(s) T, p B*(g) B*(l) T, p B*(s)
p f (T ) ?
晶型的转化
B*(s,α ) T, p B*(s,β)
p1
R
Байду номын сангаас
T1T2
sub H m

8.314 273.2 293.2 293.2 273.2
ln
12.30 103 3.27 103

J·mol1
44.12k J·mol1

克拉伯龙方程式

克拉伯龙方程式 This manuscript was revised on November 28, 2020克拉伯龙方程式通常用下式表示：PV=nRT……①P表示、V表示气体体积、n表示、T表示、R表示。

所有气体R值均相同。

如果压强、温度和体积都采用国际单位（SI），R=8.314帕·米3/摩尔·K。

如果压强为大气压，体积为升，则R=0.0814大气压·升/摩尔·K。

R为常数理想气体状态方程：pV=nRT已知标准状况下，1mol理想气体的体积约为22.4L把p=101325Pa,T=273.15K,n=1mol,V=22.4L代进去得到R约为8314帕·升/摩尔·K的定义就是k=R/Na因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：pv=mRT/M……②和pM=ρRT……③以A、B两种气体来进行讨论。

（1）在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB（即阿佛加德罗定律）摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度）。

若mA=mB则MA=MB。

（2）在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）。

（3）在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）。

阿佛加德罗定律推论推论一、阿佛加德罗定律推论我们可以利用阿佛加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：(1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2②ρ1:ρ2＝M1:M2③同质量时:V 1:V2=M2:M1(2)同温同体积时:④p1:p2=n1:n2=N1:N2⑤同质量时:p1:p2=M2:M1(3)同温同压同体积时:⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2具体的推导过程请大家自己推导一下，以帮助记忆。

克拉伯龙方程式

克拉伯龙方程式
克拉伯龙方程式（Claapeyron equation）是一个物理学中的方程式，它描述了物质相变时温度和压力之间的关系。

该方程式以法国工程师伊曼纽尔·克拉伯龙的名字命名，他在1834年发明了该方程式。

克拉伯龙方程式的数学形式为：
dP/dT = ΔS/ΔV
其中，P表示压力，T表示温度，S表示熵，V表示体积。

ΔS/ΔV表示物质相变时熵的变化率，它是相变热的倒数。

该方程式的意义在于它表明，当物质发生相变时，其温度和压力的变化是相互联系的。

例如，当水从液态变成气态时，需要吸收大量的热量，这就是相变热。

根据克拉伯龙方程式，当压力增加时，水从液态到气态的温度也会增加，而当压力减小时，水从液态到气态的温度也会减小。

克拉伯龙方程式在化学、物理学等领域广泛应用，对研究物质的相变规律以及设计和控制化学反应过程等方面都具有重要意义。

克拉伯龙方程及推论

克拉伯龙方程及推论克拉伯龙方程及推论引言：克拉伯龙方程是化学领域中的一个基本定律，用于描述气相反应的速率与温度之间的关系。

它由德国化学家奥古斯特·克拉伯龙在19世纪末提出，并被广泛应用于化学反应动力学研究中。

本文将介绍克拉伯龙方程及其推论的基本概念、推导过程以及实际应用。

一、克拉伯龙方程的基本概念克拉伯龙方程是一种描述气相反应速率的动力学方程。

它可以用下式表示：k = Ae^(-Ea/RT)其中，k为反应速率常数，A为所谓的“频率因子”，Ea为活化能，R为气体常数，T为温度。

根据克拉伯龙方程，可以得到以下几个重要的推论。

二、推论1：活化能与反应速率的关系根据克拉伯龙方程，可以发现活化能Ea与反应速率k之间存在着指数关系。

活化能越大，反应速率越慢；活化能越小，反应速率越快。

这是因为活化能是反应发生所需的最小能量，只有当能量大于或等于活化能时，反应才能发生。

三、推论2：温度对反应速率的影响根据克拉伯龙方程，可以看出温度对反应速率有很大的影响。

当温度升高时，反应速率常数k也会增大，反应速率变得更快；当温度降低时，反应速率常数k则会减小，反应速率变慢。

这是因为温度的升高能够提供更多的能量，使分子的平均动能增加，从而增加了分子碰撞的频率和能量。

四、推论3：碰撞理论克拉伯龙方程中的频率因子A是指在反应物分子碰撞时，能够形成活化复合物的频率。

根据碰撞理论，只有当分子碰撞的能量大于等于活化能时，才能形成活化复合物，从而进行反应。

因此，频率因子A可以看作是碰撞的概率。

五、推论4：反应机理的理解克拉伯龙方程描述的是整体反应速率，但它并不提供关于反应机理的具体信息。

通过测定实际反应速率与温度的关系，可以推断出反应机理。

例如，如果反应速率随温度升高而成二级（即速率常数与浓度的平方成正比），则可以推断反应是通过二分子反应机理进行的。

六、实际应用克拉伯龙方程的应用非常广泛，可以用于研究各种气相反应的速率与温度之间的关系。

克拉伯龙方程式表示

克拉伯龙方程式通常用下式表示：PV=nRT……①P表示压强、V表示气体体积、n表示物质的量、T表示绝对温度、R表示气体常数。

所有气体R值均相同。

如果压强、温度和体积都采用国际单位（SI），R=8.31帕·米3/摩尔·开。

如果压强为大气压，体积为升，则R=0.082大气压·升/摩尔·度。

因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的摩尔质量，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的密度），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：Pv=m/MRT……②和Pm=ρRT……③以A、B两种气体来进行讨论。

（1）在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB（即阿伏加德罗定律）分子量一定摩尔质量之比=密度之比=相对密度）。

若mA=mB则MA=MB。

（2）在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）。

（3）在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）。

阿佛加德罗定律推论一、阿伏加德罗定律推论我们可以利用阿伏加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：(1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2 ②ρ1:ρ2＝M1:M2 ③同质量时:V1:V2=M2:M1(2)同温同体积时:④p1:p2=n1:n2=N1:N2 ⑤同质量时: p1:p2=M2:M1(3)同温同压同体积时: ⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2具体的推导过程请大家自己推导一下，以帮助记忆。

推理过程简述如下：(1)、同温同压下，体积相同的气体就含有相同数目的分子，因此可知：在同温同压下，气体体积与分子数目成正比，也就是与它们的物质的量成正比，即对任意气体都有V=kn；因此有V1:V2=n1:n2=N1:N2，再根据n=m/M就有式②；若这时气体质量再相同就有式③了。

克拉珀龙方程(后附答案)

克拉珀龙方程（后附答案）
一、知识要点
1．克拉帕方程
（1）摩尔气体恒量R
对于一定质量的理想气体，其气体状态方程为
当在标准状态下，即P0=1标准大气压，T0=273K时，1摩的任何气体的体积都是V0=22.4升，由此可以求得一个适用于1摩尔任何气体的恒量，即摩尔气体恒量，用R表示.
R
（2）克拉珀龙方程
由1摩的理想气体的状态方程可以得到任意质量的理想气体的状态方程，设某种理想气体的质量为m千克，它的摩尔质量为N千克/摩，则它的摩尔数为
（C）由b→c体积增加，气体吸热（D）由b→c压强减小，气体吸热
图
7．如图2所示，一定质量的理想气体，在P-T图中表示的状态变化过程，用能量的观点分析，下述说法正确的是（）
（A）1→2的过程中，气体对外做功，吸热
（B）1→2的过程中，气体对外不做功，吸热图
（C）2→3的过程中，气体对外不做功，吸热
（C）当r>r0时，r越小，分子势能越大（D）当r→∞时，分子势能最小
3．关于内能、温度和热量、做功等概念，下列说法正确的是（）
（A）物体温度升高，但不一定吸热
（B）热量总是从高温物体传向低温物体
（C）若没有热传递，不计阻力，物体沿光滑斜面下滑时，内能也可能增大
（D）物体吸收热量，并对外做功，物体的内能一定变化
①等容过程：W=0，Q=△E
如果理想气体从外界吸收热量，这个热量全部用来增加气体的内能；如果理想气体向外界放出热量，这个热量来源于气体的内能，气体的内能减少.
②等温过程：△E=0， W+Q=0
在等温膨胀的过程中，理想气体要从外界吸收热量，吸收的热量全部用来对外做功，气体的内能不变；在等温压缩的过程中，外界对理想气体做功等于理想气体对外界放出的热量.

克拉伯龙方程式

克拉伯龙方程式 Prepared on 24 November 2020克拉伯龙方程式通常用下式表示：PV=nRT……①P表示、V表示气体体积、n表示、T表示、R表示。

所有气体R值均相同。

如果压强、温度和体积都采用国际单位（SI），R=帕·米3/摩尔·K。

如果压强为大气压，体积为升，则R=大气压·升/摩尔·K。

R 为常数理想气体状态方程：pV=nRT已知标准状况下，1mol理想气体的体积约为把p=101325Pa,T=,n=1mol,V=代进去得到R约为8314 帕·升/摩尔·K的定义就是k=R/Na因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：pv=mRT/M……②和pM=ρRT……③以A、B两种气体来进行讨论。

（1）在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB（即阿佛加德罗定律）摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度）。

若mA=mB则MA= MB。

（2）在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）。

（3）在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）。

阿佛加德罗定律推论推论一、阿佛加德罗定律推论我们可以利用阿佛加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：(1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2 ②ρ1:ρ2＝M1:M2 ③同质量时: V1:V2=M2:M1(2)同温同体积时:④ p1:p2=n1:n2=N1:N2 ⑤同质量时: p1:p2=M2:M1(3)同温同压同体积时: ⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2具体的推导过程请大家自己推导一下，以帮助记忆。

课件：克拉珀龙方程

§6.5.3 克拉珀龙方程
(一) 克拉珀龙方程表示相图上相平衡曲线微分斜率的公式称为克拉珀方
程。现利用卡诺定理来推导. 设想某一物
质蒸汽在气液共存区内经历一可逆卡诺微循环，如图所示。
• 1摩尔某种液体从温度T + dT、压强 p + dp，且全部
处于液相的A点出发 ,先后经过：A→B，等温加热使
这就是法国铁路桥梁工程师克拉珀龙，于1834年建立的克拉珀龙方程，也称克拉珀龙-克劳修斯方程。
虽然上述推导是以气液相变为例而进行的，但对于所有可发生熵和体积突变的一级相变，上式均成立。克拉珀龙方程可写为
其中 L12,m 表示从“2”相转变为“1”相时的摩尔潜热，V1 及V2 分别为“1”、“2”相的摩尔体积, l12
之全部变为蒸气；
• B→C，绝热微小膨胀，使温度降为T ，压强降为p ； C→D，在压强 p 、温度 T 下等温压缩；D→A，绝热
微小压缩回到初态。
由于在绝热膨胀及绝热压缩过程中温度变化dT、压强变化dp均很小，在图上可近似以两相共存区中的梯形
来表示这一循环。
系统从高温热源吸收汽化热LV,m ，对外作功(Vg,m – Vl.m )dp,，热机效率应等于卡诺热机效率，即
为单位质量的相变潜热v1，v2 ,分别为“1”相及“2”
相单位质量的体积，而T 为相变温度。
因 • 故上式又可改写为
这表示相图上相平衡曲线的斜率等于一级相变中幔的例题
• 蒸汽压方程

克拉伯龙方程式

克拉伯龙方程式之袁州冬雪创作克拉伯龙方程式通常常使用下式暗示：PV=nRT……①P暗示压强、V暗示气体体积、n暗示物质的量、T暗示相对温度、R暗示气体常数.所有气体R值均相同.如果压强、温度和体积都采取国际单位（SI），R=8.314帕·米3/摩尔·K.如果压强为大气压，体积为升，则R=0.0814大气压·升/摩尔·K.R 为常数抱负气体状态方程：pV=nRT已知尺度状况下，1mol抱负气体的体积约为22.4L 把p=101325Pa,T=273.15K,n=1mol,V=22.4L代出来得到R约为8314 帕·升/摩尔·K玻尔兹曼常数的定义就是k=R/Na因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的摩尔质量，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的密度），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：pv=mRT/M……②和pM=ρRT……③以A、B两种气体来停止讨论.（1）在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB（即阿佛加德罗定律）摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度）.若mA=mB则MA=MB.（2）在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）.（3）在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）.阿佛加德罗定律推论阿佛加德罗定律推论一、阿佛加德罗定律推论我们可以操纵阿佛加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：(1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2 ②ρ1:ρ2＝M1:M2 ③同质量时:V1:V2=M2:M1(2)同温同体积时:④ p1:p2=n1:n2=N1:N2 ⑤同质量时: p1:p2=M2:M1(3)同温同压同体积时: ⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2详细的推导过程请大家自己推导一下，以帮忙记忆.推理过程简述如下：(1)、同温同压下，体积相同的气体就含有相同数目标分子，因此可知：在同温同压下，气体体积与分子数目成正比，也就是与它们的物质的量成正比，即对任意气体都有V=kn；因此有V1:V2=n1:n2=N1:N2，再根据n=m/M就有式②；若这时气体质量再相同就有式③了.(2)、从阿佛加德罗定律可知：温度、体积、气体分子数目都相同时，压强也相同，亦即同温同体积下气体压强与分子数目成正比.其余推导同(1).(3)、同温同压同体积下，气体的物质的量必同，根据n=m/M和ρ=m/V就有式⑥.当然这些结论不但仅只适用于两种气体，还适用于多种气体.二、相对密度在同温同压下，像在上面结论式②和式⑥中出现的密度比值称为气体的相对密度D=ρ1:ρ2=M1:M2.注意：①.D称为气体1相对于气体2的相对密度，没有单位.如氧气对氢气的密度为16.②.若同时体积也相同，则还等于质量之比，即D=m1:m2.。

克拉珀龙方程

首先，令1相为液相，2相为气相，由于液相变为气相
时要吸热，所以l>0，又由ห้องสมุดไป่ตู้气相的比体积v2总是大于液相
的比体积v1，即v2>v1,所以对于液气相变
dP/dT>0
这说明沸点随压强的增加而升高，随压强的减小而降低。
高原上用压力锅的原因：大气压是随高度的增加而减小的，所以水的沸点也随着海拔高度的增加而降低，因此在高原地区，水的沸点低于100℃，食物常不易煮熟，因而要用压力锅来煮食物。
将一根铜丝跨在冰块上，下面挂一重物，我们就可以看到钢丝会逐渐嵌入冰块中，不断下陷，最后钢丝穿过冰块，而冰块并未被切割成两半。
这是因为在钢丝下面的冰受到较大的压力，熔点降低，融化为水，使钢丝下陷；但已经融化的水在钢丝上面不再受到它固的液压相力变，熔又点随复压凝强结变成化冰的。关系与实验乎合得很好。计算表明，
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2020/3/1
解：克拉珀龙方程
由 dp
l
dT T (v2 v1 )
l
这里，温度的变化不大，dT~DT同理dp~Dp
因为100℃比水的临界温度374℃小得多，v2>>v1，且把水蒸气看作理想气体
对于100℃的蒸汽，pv2=RT/M，v2= RT/pM，则
RT 2 dp l
Mp dT
求得 l =2.29×106 J.kg-1
dT/dp = -0.00741K/atm，意思是每增加一个标准大气压，冰的熔点
就会降低0.00752K。由此可见，熔点随压强的变化是很不显著。
例题 4
水的温度从99℃升高到101 ℃ 时，饱和蒸汽压从 9.78×10^4Pa增大到1.05×10^5Pa，假定这时水蒸汽可看作理想气体，求100 ℃时水的汽化热？

克拉伯龙方程式

克拉伯龙方程式之答禄夫天创作克拉伯龙方程式通经常使用下式暗示：PV=nRT……①P暗示压强、V暗示气体体积、n暗示物质的量、T暗示绝对温度、R暗示气体常数。

所有气体R值均相同。

如果压强、温度和体积都采取国际单位（SI），R=8.314帕·米3/摩尔·K。

如果压强为大气压，体积为升，则R=0.0814大气压·升/摩尔·K。

R 为常数理想气体状态方程：pV=nRT已知尺度状况下，1mol理想气体的体积约为22.4L把p=101325Pa,T=273.15K,n=1mol,V=22.4L代进去得到R约为8314 帕·升/摩尔·K玻尔兹曼常数的定义就是k=R/Na因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的摩尔质量，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的密度），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：pv=mRT/M……②和pM=ρRT……③以A、B两种气体来进行讨论。

（1）在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB（即阿佛加德罗定律）摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度）。

若mA=mB则MA=MB。

（2）在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）。

（3）在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）。

阿佛加德罗定律推论阿佛加德罗定律推论一、阿佛加德罗定律推论我们可以利用阿佛加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：(1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2 ②ρ1:ρ2＝M1:M2③同质量时:V1:V2=M2:M1(2)同温同体积时:④ p1:p2=n1:n2=N1:N2 ⑤同质量时: p1:p2=M2:M1(3)同温同压同体积时: ⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2具体的推导过程请大家自己推导一下，以帮忙记忆。

克拉珀龙方程

克拉珀龙方程克拉珀龙方程克拉珀龙方程1 蒸气压方程2 冰的熔解反常现象3表示相图上相平衡曲线微分斜率的公式——克拉珀龙方程设想某一物质蒸汽在气液共存区内经历一可逆卡诺微循环pVA B C D Opd p p+T d T T +,l mV ,g mV 相变：1.体积变化，两相共存；2.相变潜热A B →B C →C D →D A →等温吸热，液变气绝热微小膨胀等温压缩放热，气变液绝热压缩吸热：作功：,V m L ν,,()d g m l m V V p ν-1. 克拉珀龙方程pVA B CDOpd p p+T d T T+,l mV ,g m V 卡诺热机效率()',,1,d g m l m V mp V V W Q L νην⋅-==d T T η=卡(),,,d d V m g m l m L p T T V V =-克拉珀龙方程虽然上述推导是以气液相变为例而进行的，但对于所有可发生熵和体积突变的一级相变，上式均成立。

()()1212,121,2,d d m m m l L pT T v v T V V ==-- L 12,m 表示从“2”相转变为“1”相时的摩尔潜热，V 1,m 及V 2,m 分别为“1”、“2”相的摩尔体积, l 12为单位质量的相变潜热，ν1 , ν2 分别为“1”相及“2”相单位质量的体积，而T 为相变温度。

2. 蒸汽压方程描述液—气及固—气的饱和蒸汽压随温度变化的方程称为蒸汽压方程对饱和蒸汽一般可作如下近似处理：(1) 在温度变化范围不大时，可认为汽化热(或升华热)不随温度变化。

(2) 液相及固相的摩尔体积比气相少得多而可予忽略。

(3) 在饱和蒸汽压不大时，蒸气可看作理想气体。

(),d d /V m L p T T RT p =,2d d V m L p T p R T=⋅,ln V mL p C RT =-+,,00exp V m V m L L p p RT RT ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭饱和蒸汽压随温度的增加而迅速增加(),,,d d V m g m l m L p T T V V =-3. 冰的熔解反常现象冰的体积在熔解时有反常现象，即 V s,m ＞V l,m ；另外，冰在熔解时要吸热，即S s,m ＜ S l,m ，由克拉珀龙方程知，在相图中熔解曲线斜率在1atm 下冰的熔点为 T =273.15 K ，在此时冰和水的比容(单位质量的体积)分别为133kg m 101.0908--⋅⨯=s v 3311.0002110m kgl v --=⨯⋅3133510J kgm l -=⨯⋅熔解热为()1d 0.00752K atm d l s mT v v T p l --==-⋅ 可见每增加 0.1Mpa 的压强，其熔点将降低0.00752 K(),,,d d m m l m s m L p T T V V =-d 0d p T <谢谢大家！克拉珀龙方程 ()()1212,121,2,d d m m m l L pT T v v T V V ==-- L 12,m 表示从“2”相转变为“1”相时的摩尔潜热，V 1,m 及V 2,m 分别为“1”、“2”相的摩尔体积, l 12为单位质量的相变潜热，ν1 , ν2 分别为“1”相及“2”相单位质量的体积，而T 为相变温度。

克拉伯龙方程式

克拉伯龙方程式通常用下式表示：PV=nRT……①P表示、V表示气体体积、n表示、T表示、R表示;所有气体R值均相同;如果压强、温度和体积都采用国际单位SI,R=帕·米3/摩尔·K;如果压强为大气压,体积为升,则R=大气压·升/摩尔·K;R 为常数理想气体状态方程：pV=nRT已知标准状况下,1mol理想气体的体积约为把p=101325Pa,T=,n=1mol,V=代进去得到R约为8314 帕·升/摩尔·K的定义就是k=R/Na因为n=m/M、ρ=m/vn—物质的量,m—物质的质量,M—物质的,数值上等于物质的分子量,ρ—气态物质的,所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：pv=mRT/M……②和pM=ρRT……③以A、B两种气体来进行讨论;1在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB即阿佛加德罗定律摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度;若mA=mB则MA=MB;2在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比;3在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比;阿佛加德罗定律推论推论一、阿佛加德罗定律推论我们可以利用阿佛加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：1同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2 ②ρ1:ρ2＝M1:M2 ③同质量时:V1:V2=M2: M12同温同体积时:④ p1:p2=n1:n2=N1:N2 ⑤同质量时: p1:p2=M2:M13同温同压同体积时: ⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2具体的推导过程请大家自己推导一下,以帮助记忆;推理过程简述如下：1、同温同压下,体积相同的气体就含有相同数目的分子,因此可知：在同温同压下,气体体积与分子数目成正比,也就是与它们的物质的量成正比,即对任意气体都有V=kn；因此有V1:V2=n1:n2=N1:N2,再根据n=m/M就有式②；若这时气体质量再相同就有式③了;2、从阿佛加德罗定律可知：温度、体积、气体分子数目都相同时,压强也相同,亦即同温同体积下气体压强与分子数目成正比;其余推导同1;3、同温同压同体积下,气体的物质的量必同,根据n=m/M和ρ=m/V就有式⑥;当然这些结论不仅仅只适用于两种气体,还适用于多种气体;二、相对密度在同温同压下,像在上面结论式②和式⑥中出现的密度比值称为气体的相对密度D=ρ1:ρ2=M1:M2;注意：①.D称为气体1相对于气体2的相对密度,没有单位;如氧气对氢气的密度为16;②.若同时体积也相同,则还等于质量之比,即D=m1:m2;。

克拉佩龙方程公式

克拉佩龙方程公式
克拉佩龙方程公式，是计算化学中非常重要的一种方程。

它由德
国化学家 Walther Kossel 和 Friedrich Adolf Paneth 在1925年提出，后被奥地利化学家 Fritz London 和德国克劳斯·克拉佩龙改进
成为现在所使用的形式。

这个方程的核心思想是分子中的单电子交换。

在量子化学中，我
们将分子看作是由原子坐标和电子密度构成的函数。

而通过克拉佩龙
方程，我们可以计算单电子转移过程中电子和原子之间的相互作用能，从而对分子的光谱性质、电子亲和能等物理化学性质进行预测和研究。

具体地，克拉佩龙方程可以表示为：
E = E0 + ∑(ij)Fi,j (ρi –ρj)^2
其中，E表示单电子交换过程中的相互作用能，E0是基态能量，Fi,j是相互作用能系数，ρi和ρj是原子i和原子j上的电子数密度。

这个方程的复杂性使得它不仅适用于分子的平面对称配置，而且
也适用于具有非对称分子的情况。

同时，该方程可以扩展到计算分子
的振荡、旋转和震动能级等物理量。

在计算化学中，克拉佩龙方程公式被广泛应用于理论计算和实验
研究中。

通过计算分子的基态和激发态能量，我们可以预测分子的电
磁光谱特性，同时还能计算分子反应过程的动力学参数等重要物理量，为化学实验和工业生产提供重要的理论指导。

总的来说，克拉佩龙方程公式是化学界中非常重要的理论工具，
可以为我们理解分子的电子结构和化学性质提供有力支持。

未来的研
究和发展将继续推动克拉佩龙方程公式这一基础理论的应用和推广。

克拉伯龙方程式之欧阳理创编

克拉伯龙方程式克拉伯龙方程式通常用下式表示：PV=nRT……①P表示压强、V表示气体体积、n表示物质的量、T表示绝对温度、R表示气体常数。

所有气体R值均相同。

如果压强、温度和体积都采用国际单位（SI），R=8.314帕·米3/摩尔·K。

如果压强为大气压，体积为升，则R=0.0814大气压·升/摩尔·K。

R 为常数理想气体状态方程：pV=nRT已知标准状况下，1mol理想气体的体积约为22.4L把p=101325Pa,T=273.15K,n=1mol,V=22.4L代进去得到R约为8314 帕·升/摩尔·K玻尔兹曼常数的定义就是k=R/Na因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的摩尔质量，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的密度），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：pv=mRT/M……②和pM=ρRT……③以A、B两种气体来进行讨论。

（1）在相同T、P、V时：根据①式：nA=nB（即阿佛加德罗定律）摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度）。

若mA=mB则MA=MB。

（2）在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）。

（3）在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）。

阿佛加德罗定律推论阿佛加德罗定律推论一、阿佛加德罗定律推论我们可以利用阿佛加德罗定律以及物质的量与分子数目、摩尔质量之间的关系得到以下有用的推论：(1)同温同压时:①V1:V2=n1:n2=N1:N2 ②ρ1:ρ2＝M1:M2 ③同质量时:V1:V2=M2:M1(2)同温同体积时:④ p1:p2=n1:n2=N1:N2 ⑤同质量时: p1:p2=M2:M1(3)同温同压同体积时: ⑥ρ1:ρ2=M1:M2＝m1:m2具体的推导过程请大家自己推导一下，以帮助记忆。