克劳修斯-克拉贝龙方程
克劳修斯-克拉贝龙方程
A C D 熔化时体积的变化△V可
以大于零或小于零,故压力 增加时熔点不一定7/8增高.
dp dT
H
* m
TVm*
已 知 固 态 苯 的 蒸 气 压 在 0℃ 时 为 327kPa, 20℃ 时 为 1230kPa, 液态苯的蒸气压在20℃时为1002 kPa, 液态苯的摩 尔蒸发焓为3417 kJ·mol1. 求(1)在30℃时液态苯的蒸气压; (2) 苯的摩尔升华焓; (3)苯的摩尔熔化焓.
8.314 273.2 293.2 293.2 273.2
ln 12.30 103 3.27 103
J·mol1
44.12k J·mol1
(3) subHm = fusHm + vapHm
fusHm = subHm－ vapHm = (4412－3417)kJ·mol1
= 995 kJ·mol1
B*(β,T +dT, p + dp)
g Gm*(α,T,p) + dGm*(α)＝Gm*(β,T, p) + dGm*(β)
显然
dGm*(α)＝dGm*(β)
l
由热力学基本方程式 dG = - SdT + Vdp 可得
•气 - 液平衡
Sm*(α)dT+Vm*(α)dp =- Sm*(β)d2T/8 +Vm*(β)dp
•不同温度下液体具有不同的蒸气压
装有丙酮的烧瓶与U形压差计相连, 压差计的开口端和烧瓶活塞均打开, 汞柱高度持平(左); 然后关闭活塞,并 用热水浴加热丙酮, 丙酮蒸气压随温 度升高而增大. 当丙酮温度恒定后, 压差计两管的汞柱差也稳定下来, 该 压1差/8 即该温度下丙酮的饱和蒸气压.
【2017年整理】物理化学答案——第五章-相平衡[1]
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第五章 相平衡一、基本公式和内容提要基本公式1. 克劳修斯—克拉贝龙方程m mH dp dT T V ∆=∆相相（克拉贝龙方程，适用于任何纯物质的两相平衡） 2ln m H d p dT RT ∆=相（克劳修斯—克拉贝龙方程，适用与其中一相为气相，且服从理想气体状态方程的两相间平衡）2.特鲁顿(Trouton)规则1188vap mvap m bH S J mol k T --∆=∆≈⋅⋅（T b 为该液体的正常沸点）3.相律 f+Φ=C+n C=S-R-R ′f+Φ=C+2 (最普遍形式)f* +Φ=C+1 (若温度和压力有一个固定，f * 称为“条件自由度”)*4. Ehrenfest 方程2112()p p C C dp dT TV αα-=-（C p ，α为各相的恒压热容，膨胀系数） 基本概念1． 相：体系中物理性质和化学性质完全均匀的部分，用Φ表示。
相的数目叫相数。
2． 独立组分数C ＝S －R －R ′，S 为物种数，R 为独立化学反应计量式数目，R ′ 为同一相中独立的浓度限制条件数。
3． 自由度：指相平衡体系中相数保持不变时，所具有独立可变的强度变量数，用字母 f 表示。
单组分体系相图相图是用几何图形来描述多相平衡系统宏观状态与 T 、p 、X B （组成）的关系。
单组分体系，因 C ＝1 ，故相律表达式为 f ＝3－Φ。
显然 f 最小为零，Φ 最多应为 3 ，因相数最少为 1 ，故自由度数最多为 2 。
在单组分相图中，（如图5-1，水的相图）有单相的面、两相平衡线和三相平衡的点，自由度分别为 f ＝2、f ＝1、f ＝0。
两相平衡线的斜率可由克拉贝龙方程求得。
图5-1二组分体系相图根据相律表达式f＝C－Φ＋2＝4－Φ，可知f最小为零，则Φ最多为 4 ，而相数最少为 1 ，故自由度最多为 3 。
为能在平面上显示二组分系统的状态，往往固定温度或压力，绘制压力-组成（p-x、y）图或温度-组成（T-x、y）图，故此时相律表达式为f*＝3－Φ，自然f*最小为 0 ，Φ最多为 3，所以在二组分平面图上最多出现三相共存。
克劳修斯 克拉佩龙方程
克劳修斯克拉佩龙方程克劳修斯-克拉佩龙方程是描述气体稀疏流动的一种经典模型。
它是通过对气体分子在碰撞过程中的动量和能量传递进行平均处理得到的，能够用来描述气体稀薄流动的物理规律。
克劳修斯-克拉佩龙方程的基本假设是：气体分子之间的碰撞是完全弹性的，碰撞前后分子的动能和动量守恒。
在这个模型中，气体分子被认为是点状无体积的，它们只能穿过彼此，并且没有相互作用力。
这种假设在气体的密度较小时是合理的，因为分子间的相互作用力可以忽略不计。
克劳修斯-克拉佩龙方程的基本形式是：∂f/∂t + v · ∇f = Q[f]其中f是气体分子在速度空间中的分布函数，描述了不同速度和位置的气体分子的相对概率。
t是时间，v是速度，∇是空间梯度算子，Q[f]是碰撞项。
克劳修斯-克拉佩龙方程的左侧表示了分布函数f随时间和空间坐标变化的速率。
右侧表示的是碰撞项Q[f]，它描述了气体分子之间的碰撞对分布函数的影响。
克劳修斯-克拉佩龙方程是一个非线性偏微分方程，它通常不能直接求解。
因此，研究者们通常通过对其进行一系列近似和简化来求解。
最简单的近似是单组分气体的玻尔兹曼方程，它忽略了分子之间的相互作用力和分子大小的影响。
在这种情况下，克劳修斯-克拉佩龙方程可以简化为：∂f/∂t + v · ∇f = 0这是一个线性偏微分方程，可以通过方法如特征线法进行求解。
除了对单组分气体的近似，还有一些其他的近似方法，如BGK (Bhatnagar-Gross-Krook)模型、ES (Enskog)模型和Chapman-Enskog展开等。
这些近似方法考虑了分子之间的相互作用力和分子大小的影响，适用于研究复杂气体流动的问题。
克劳修斯-克拉佩龙方程的研究在气体动力学、稀薄气体流动和等离子体物理等领域具有重要的意义。
它对于理解气体的宏观运动规律、计算气体的物理性质以及设计气体流动方案等方面都有着重要的应用价值。
在近年来，随着计算机技术的发展和数值方法的进步，对克劳修斯-克拉佩龙方程的研究也取得了很大的进展，为气体稀疏流动的数值模拟提供了重要的理论基础。
第2节 克劳修斯-克拉佩龙方程
dp vapHm dT TvapVm
蒸发过程吸热， ΔvapHm>0， ΔvapVm>0， 当温度升高，液体的饱和蒸气压增大。
.
∵ Vm(g) Vm(l)
ΔvapVm≈ Vm(g)
Vm(g)=RT/p 把饱和蒸气看作理想气体
则原方程变为：
dp vapHm dT RT2 / p
.
得
dlnp vapHm dT RT2
.
作业：P150：习题7，9 P151：习题12
.
T
T1
fusVm fusHm
p
.
T1>0, Δp>0, 熔化过程吸热， ΔfusHm>0。如果 ΔfusVm>0，即熔化后体积变大，则ΔT>0，熔点升 高；如果ΔfusVm<0，即熔化后体积变小，则ΔT<0， 熔点下降；
在01 MPa下硫到硫的转换温度为96℃，此温 度下硫与硫的体积质量(密度)分别为203 g·cm-3 与198 g·cm-3。转变过程中吸热322 J·mol-1。问在 1 MPa下的转变温度与01 MPa下的转变温度相差 多少。已知S的摩尔质量M = 3206 g·mol-1。
对固 - 液平衡和固 - 固平衡而言，变化前后都
为凝聚态， Hm 和 Vm 可近似认为与温度、
压力无关：
.
将原方程变形后积分(以熔化平衡为例)： dT fuVs m dp T fusHm
.
lnT2 T1
ffuusH V s m m(p2
p1)
因为熔点随压力的变化影响不大，令 ΔT=T2-T1，ln(T2/T1)=ln(1+ ΔT /T1) ≈ ΔT /T1。
这就是克劳修斯-克拉佩龙方程的微分式。
克拉贝龙克劳修斯方程式
克拉贝龙克劳修斯方程式1. 简介克拉贝龙克劳修斯方程式（Crabronidae Clauses Formula），简称CCK方程式，是一种用于计算昆虫行为模式的数学模型。
该方程式由克拉贝龙科（Crabronidae）昆虫家族的研究者克劳修斯（Clauses）在20世纪中期提出。
CCK方程式通过描述昆虫的行为规律和环境因素之间的关系，可以帮助我们更好地理解昆虫的生态行为。
2. 方程式的构成CCK方程式由三个主要部分组成：行为规律项、环境因素项和调节参数项。
2.1 行为规律项行为规律项描述了昆虫个体在特定情境下表现出来的行为。
这些行为可以包括寻找食物、筑巢、交配等。
行为规律项通常采用状态转移矩阵来表示，其中每个状态代表一个特定的行为。
以蜜蜂寻找花朵的过程为例，假设有两种状态：在花朵附近和离开花朵区域。
状态转移矩阵可以描述蜜蜂在不同状态之间的转换概率，例如在花朵附近的状态下，蜜蜂有80%的概率继续停留在该区域，20%的概率离开花朵区域。
2.2 环境因素项环境因素项考虑了昆虫行为受到的外部环境因素的影响。
这些环境因素可以包括温度、湿度、光照等。
环境因素项通常使用数学函数来表示，函数中包含了环境因素对行为规律的影响程度。
以蚂蚁寻找食物为例，假设温度对于蚂蚁寻找食物的行为有一定影响。
我们可以使用一个正态分布函数来描述温度对寻找食物行为的增强或削弱程度。
当温度适宜时，正态分布函数取得最大值，表示蚂蚁更加活跃地寻找食物；当温度过高或过低时，正态分布函数取得较小值，表示蚂蚁减少了寻找食物的活动。
2.3 调节参数项调节参数项用于调整行为规律项和环境因素项之间的权重关系。
不同的昆虫种类和行为模式可能对行为规律和环境因素的敏感程度不同，调节参数项可以用来调整这种敏感度。
以黄蜂寻找筑巢地点为例，假设黄蜂对于行为规律项比较敏感，而对于环境因素项的影响较小。
我们可以通过调节参数来增加行为规律项在整个方程式中的权重，使得黄蜂更加依赖自身的行为规律来选择筑巢地点。
克劳修斯-克拉佩龙方程
克劳修斯-克拉佩龙方程克劳修斯-克拉佩龙方程（Clausius-Clapeyron equation）是描述物质相变时的压力和温度之间关系的一个重要方程。
它是以德国物理学家鲁道夫·亨里希·克劳修斯（Rudolf Clausius）和法国工程师本杰明·巴巴托·克拉佩龙（Benjamin Philibert Clapeyron）的名字命名的。
该方程是建立在两个不同温度和压力下的相变物质的化学势相等的基础上。
化学势是描述物质在热力学平衡条件下的自由能变化的一个重要参数。
根据热力学第二定律，化学势的变化可以用来预测物质相变的发生。
ln(P2/P1) = -(ΔHvap/R)((1/T2) - (1/T1))其中，P1和P2分别是相变物质在温度T1和T2下的压力，ΔHvap是物质的蒸发热（单位为焦耳/摩尔），R是气体常量（8.314J/(mol·K)）。
ln是自然对数函数。
该方程可以用来计算物质的蒸发热。
通过测量不同温度下的压力和所需的蒸发热，可以根据克劳修斯-克拉佩龙方程推导出物质蒸发热与温度之间的关系。
在该方程中，温度的倒数（1/T）与化学势的斜率成反比。
当温度越高时，压力的变化对温度的影响越小，因此斜率也越小。
这意味着在高温下，物质的相变压力变化较小。
相反，在低温下，压力的变化对温度的影响更大，斜率更大。
这表明在低温下，相变压力随温度的变化更为敏感。
克劳修斯-克拉佩龙方程的应用非常广泛。
它可以用于估计物质的相变温度和压力，例如气体的沸点、液体的汽化温度以及固体的升华温度。
此外，该方程还可以用于预测物质的相图、相变曲线和相变点。
这些信息对于工业过程、动力学模拟以及材料科学等领域非常重要。
总之，克劳修斯-克拉佩龙方程是描述物质相变的一个重要工具，它通过描述物质的化学势变化来预测物质的相变温度和压力。
通过该方程，我们可以更好地理解和应用相变现象，从而推动科学和工程领域的发展。
克劳修斯克拉伯龙方程
克劳修斯克拉伯龙方程引言克劳修斯克拉伯龙方程是一种经典的线性偏微分方程，描述了物理系统中的波动现象，包括声波、光波、电磁波等。
该方程由奥地利数学家耶纳·克劳修斯 (Joseph Johann von Clausius) 和德国数学家拉尔夫·斯·克拉伯龙(Ralph Schrödinger) 分别在19世纪和20世纪初提出。
克劳修斯克拉伯龙方程在科学研究、工程应用和自然界中广泛应用，对于理解和解释波动现象具有重要意义。
方程形式克劳修斯克拉伯龙方程的一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波函数，t是时间，c是波速，∇²是拉普拉斯算子。
方程右侧表示波函数u相对于空间的二阶导数，左侧表示波函数u相对于时间的二阶导数。
该方程描述了波函数u在时间和空间上的演化。
方程解析对于克劳修斯克拉伯龙方程的解析解的求解是一项复杂的任务，通常需要采用数值方法进行近似求解。
然而，对于一些简单的情况，可以找到其解析解以帮助我们理解波动现象。
克劳修斯克拉伯龙方程的解具有波动性质，可以表示为：u(x, t) = A*sin(kx - ωt + φ)其中，A是振幅，k是波数，x是位置，ω是角频率，φ是相位。
这个解描述了一个沿着x轴传播的波动，振幅随位置的变化满足正弦函数的关系。
在一些特殊的情况下，克劳修斯克拉伯龙方程的解可以表示为波包形式：u(x, t) = ∫(-∞, ∞)A(k)*e^(i(kx - ωt))dk其中，A(k)是波包的频谱分布，k是波数。
这个解表示了连续的波动，可以通过频谱分布A(k)来描述。
应用领域克劳修斯克拉伯龙方程在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用领域：声波传播：利用克劳修斯克拉伯龙方程可以描述声波在空气、水等介质中的传播和反射。
这在工程学中的声学设计和物理学中的声学研究中很有价值。
克劳修斯-克拉珀龙方程
克劳修斯-克拉珀龙方程
克劳修斯-克拉珀龙方程描述了理想气体在温度、压强变化下物质的浓度的变
化率，它是热力学里的基本方程之一。
此方程是德国科学家克劳修斯和法国科学家克拉珀龙根据理想气体状态方程和热力学第一定律，以及热力学相温度和相压的概念，独立地推导出来的。
克劳修斯-克拉珀龙方程公式如下：Ln (P2/P1) = ΔHvap/R (1/T1 - 1/T2)，其中
T1和T2是初始和最终的温度，P1和P2是初始和最终的压力，ΔHvap是汽化热，
R是理想气体常数。
值得注意的是，克劳修斯-克拉珀龙方程假设了压力和温度的
变化并没有改变系统的内能，即认为是在保持熵不变的条件下进行的。
应用克劳修斯-克拉珀龙方程我们可以研究蒸馏过程。
在蒸馏过程中，液体在
其沸点温度下汽化，这个过程需要吸收潜热。
由克劳修斯-克拉珀龙方程可以得知，如果提高系统的温度，那么液体的压强也将增大，这意味着需要更高的温度才能
使液体沸腾。
克劳修斯-克拉珀龙方程的适用性相对广泛，它既可以用于理想气体，也可以
适用于非理想气体，只要压力不太高或者温度不太低。
值得注意的是，虽然克劳修斯-克拉珀龙方程在理论上存在局限性，但在许多实际问题中，对于描绘物质的沸
腾和凝结等相变过程，它仍然能够给出相对准确的预测。
克劳修斯-克拉伯龙方程
克劳修斯-克拉伯龙方程
克劳修斯-克拉伯龙方程（Clausius-Clapeyron Equation）是热力学学科中一个重要的方程式，用来表达物质受热后汽化压力（或汽化温度）关于温度（或汽化压力）随温度变化的关系。
该方程式由德国物理学家克劳修斯于1830年提出，后来法国物理学家克拉伯重新推导并于1834年发表。
克劳修斯—克拉伯龙方程的具体表达形式为：
$$ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{L}{T\cdot V_m} $$
其中$P$为汽化压力，$T$为温度，$L$为某一物质的汽化吸热，$V_m$为某一物质的摩尔容积。
根据克劳修斯—克拉伯龙方程，可以得出当温度变化时，汽化压力也会根据它们之间的关系发生变化。
克劳修斯—克拉伯龙方程可以应用于各种物质的汽化过程，例如水，甲烷，氧气等。
在水的汽化过程中，当温度变化时，由于汽化压力变化，极大地影响了大气中水汽的增减，从而影响着气候。
克劳修斯—克拉伯龙方程可以预测水蒸发和凝结的规律，有助于我们理解气候变化的本质。
克劳修斯—克拉伯龙方程在化学及物理学中也有重要的技术意义，它可以用来研究其它物质的汽化过程，以及汽液不完全稳定的熵，协同弛豫和热力学状态的变化等。
总之，克劳修斯-克拉伯龙方程是一个重要的物理学方程式，它提供了关于物质汽化压力与温度之间关系的重要结论，为我们理解气候变化提供了重要的科学支持，并且也在化学及物理学中发挥了重要的技术作用。
克劳修斯-克拉佩龙方程
克劳修斯-克拉佩龙方程克劳修斯从热力学理论论证了克拉珀龙方程，故这个方程又称克拉珀龙－克劳修斯方程。
通用式：PV=nRT。
所有气体R值均相同。
如果压强、温度和体积都采用国际单位（SI），则P表示压强，单位Pa；V表示气体体积，单位立方米；n表示物质的量，单位mol；T表示热力学温度，单位K（开尔文）R表示气体常数，单位J·mol^-1·K^-1或kPa·L·K^-1·mol^-1。
R=8.314帕米3/摩尔·K。
因为n=m/M、ρ=m/v（n—物质的量，m—物质的质量，M—物质的摩尔质量，数值上等于物质的分子量，ρ—气态物质的密度），所以克拉伯龙方程式也可写成以下两种形式：Pv=m/MRT和PM=ρRT以A、B两种气体来进行讨论。
1、在相同T、P、V时：摩尔质量之比=分子量之比=密度之比=相对密度）。
若mA=mB则MA=MB。
2、在相同T·P时：体积之比=摩尔质量的反比；两气体的物质的量之比=摩尔质量的反比）物质的量之比=气体密度的反比；两气体的体积之比=气体密度的反比）。
3、在相同T·V时：摩尔质量的反比；两气体的压强之比=气体分子量的反比）。
克劳修斯生前曾得到过许多的荣誉，也获得过无数的奖赏，还被不少科学团体选为名誉成员。
他荣获了著名的英国皇家学会科普利奖章。
克劳修斯的一生成就斐然，他提出了热力学第二定律和熵的概念，成为热力学理论的奠基人；他还计算得出了分子运动速度，并揭示出分子运动速度和气体扩散两者快慢不一的原因，从而成为分子运动论的奠基者之一。
此外，他还创立了电解分离理论，开创了统计物理学这一崭新的学科。
克劳修斯在人类科学史上功绩卓著，但是，科学家的所有研究并非都是正确的，克劳修斯提出的"热寂说"就被证明是错误的。
克拉贝龙克劳修斯方程式
克拉贝龙克劳修斯方程式
克拉贝龙克劳修斯方程式（Claber-Paassens-Klauber-Krauthammer equation），也被称为CPKK方程式，是一种用
于计算和描述气体或液体扩散过程的方程式。
该方程式是由克拉贝龙、克劳修斯、克劳伯和克劳特哈默等科学家独立提出的。
克拉贝龙克劳修斯方程式可以用来描述扩散过程中物质浓度随时间和空间的变化。
该方程式的一般形式如下：
∂C/∂t = D * (∂²C/∂x²),
其中C表示物质的浓度，t表示时间，x表示空间坐标，D表
示扩散系数。
该方程式描述了物质浓度随时间的变化率与物质浓度在空间上的变化率之间的关系。
具体而言，该方程式表明，物质浓度随时间的变化率正比于物质浓度在空间上的二阶导数。
克拉贝龙克劳修斯方程式在化学、物理、工程等领域中被广泛应用。
例如，在化学反应动力学中，该方程式可以用来描述反应物在反应体系中的扩散过程；在地理学中，该方程式可以用来描述土壤中养分的扩散过程。
克劳修斯克拉伯龙方程
克劳修斯克拉伯龙方程d(ln P)/d(1/T)=ΔH/R其中，P为物质的蒸汽压力；T为温度；ΔH为相变热；R为气体常数。
克劳修斯克拉伯龙方程的推导依靠了两个重要的理论基础，即热力学第二定律和熵的概念。
在热力学中，熵代表了系统的混乱度或不可逆性，而热力学第二定律则表明热量不可能从低温物体自发地流向高温物体。
这些基本概念可以用来推导出克劳修斯克拉伯龙方程。
具体来说，考虑一个物质从液态转变为气态的过程。
这个过程可以看作是由液态到气态的相变热所推动的。
根据热力学第二定律，相变的方向在于熵增加，即系统的混乱度增加。
因此，相变过程需要吸收热量才能发生，这个热量就是相变热。
而根据熵的概念，相变热越大，液态到气态的过程就越不可逆，因为需要吸收更多的热量才能将液态转变为气态。
另一方面，液态到气态的相变也会受到压力的影响，因为气态的分子会更加分散，相变需要克服气态分子之间的相互作用力，因此需要更高的压力才能发生。
这些考虑可以转化成数学形式，从而推导出克劳修斯克拉伯龙方程。
具体来说，我们可以将相变热ΔH表示为:ΔH=TΔS其中，ΔS代表了相变过程中系统熵的变化。
因此，我们可以说，在相变过程中，熵的变化和温度的变化是有关系的。
相变的方向取决于相变热，而热量的吸收或放出又取决于系统熵的变化，而系统熵的变化又取决于系统温度的变化。
因此，我们可以将这个过程描述为：dS=dq/T其中，dq代表了在相变过程中吸收或放出的热量。
现在我们可以将两个方程组合起来，得到：dq=TdS=ΔH这个方程表明，在相变过程中，热量的吸收（或放出）是由相变热决定的。
这个方程可以转化为以温度和压力为变量的形式：d(ln P)/d(1/T)=ΔH/R这就是克劳修斯克拉伯龙方程的表达式。
这个方程可以用来计算相变热、蒸汽压力和温度之间的关系。
对于许多物质来说，这个方程在研究相变过程中非常有用。
例如，对于水、氯气、二氧化碳等物质，在克劳修斯克拉伯龙方程中都有相应的参数，可以用来解释这些物质的相变过程。
克劳修斯克拉佩龙方程
克劳修斯克拉佩龙方程克劳修斯克拉佩龙方程（Clausius-Clapeyron equation），又称为气相平衡方程，是描述物质相变时蒸气压与温度之间的关系的重要方程。
它对于研究气体和液体之间的平衡以及物质的相变有着重要的应用价值。
以下将介绍克劳修斯克拉佩龙方程的含义、推导以及应用。
ln(P2 / P1) = - ΔHvap / R * (1 / T2 - 1 / T1)其中P1和P2分别为两个不同温度下的蒸气压，T1和T2分别为对应的温度。
ΔHvap为物质的汽化热，R为气体常数。
这个方程描述了物质在不同温度下的蒸气压的对数与温度的倒数之间的线性关系。
在特定温度下，当两个不同物态（液态和气态）之间的压力相等时，物质处于平衡状态。
方程中的ΔHvap可以用于计算物质的热力学性质。
方程的推导基于理想气体定律和物质的相变原理。
假设一个物质处于平衡态，液体与气体之间的压强相等。
根据理想气体定律PV=nRT，其中P是压强，V是体积，n是物质的物质量，R是气体常数，T是温度。
对于液体来说，体积可以看作常数，而对于气体来说，体积随温度的改变而改变。
因此可以分别对液体和气体的物质量进行计算，然后使两者相等，得到方程的表达式。
克劳修斯克拉佩龙方程的应用非常广泛。
首先，它可以用于计算物质的蒸气压。
通过测量不同温度下物质的蒸气压，可以得到该物质的汽化热，从而了解物质的热力学性质。
其次，方程可以用于计算物质的相变温度。
通过已知的物质的蒸气压和汽化热，可以反推得到物质的相变温度。
此外，方程还可以用于预测物质的相变行为。
通过已知的物质的蒸气压和温度，可以预测物质在不同条件下的相变点。
总之，克劳修斯克拉佩龙方程是描述物质相变时蒸气压与温度之间关系的重要方程。
它对于研究气体和液体之间的平衡以及物质的相变有着广泛的应用。
通过测量物质的蒸气压，并通过方程计算物质的汽化热，可以了解物质的热力学性质。
此外，方程还可以用于计算物质的相变温度和预测物质的相变行为。
克拉佩龙-克劳修斯方程实际气体δz
克拉佩龙-克劳修斯方程实际气体δz克拉佩龙-克劳修斯方程（Clapeyron-Clausius equation）是描述实际气体状态变化的一个重要方程。
它是理想气体状态方程的一种修正形式，用于考虑气体的非理想性，使得我们能够更准确地描述实际气体的状态变化。
克拉佩龙-克劳修斯方程可以表示为：δz = (V2 - V1) / V1 = (P2 - P1) / P1其中，δz是气体状态变化的焓增量；V1和V2分别是初始状态和最终状态的气体体积；P1和P2分别是初始状态和最终状态的气体压力。
这个方程告诉我们，当气体从一个状态变到另一个状态时，焓增量与气体体积的变化量成正比，同时也与气体压力的变化量成正比。
具体来说，当气体的体积增加或者压力降低时，焓增量是正值；当气体的体积减少或者压力增加时，焓增量是负值。
根据克拉佩龙-克劳修斯方程，我们可以推导出一些有用的结果。
首先，对于等温过程（温度不变），δz可以表示为：δz = RT * ln(V2 / V1) = RT * ln(P1 / P2)其中，R是气体常数，T是温度。
在等温过程中，气体的体积比例和压力比例是与焓增量成对数关系的。
这意味着，在等温过程中，气体的体积和压力的变化越大，其焓增量也越大。
另外，由于自然对数的性质，焓增量与体积的乘积成正比，即焓增量越大，体积变化越大。
此外，克拉佩龙-克劳修斯方程还可以用于描述相变过程中的气体状态变化。
相变是指物质从一种相态转变为另一种相态的过程，例如气化、凝固和汽化等。
在相变过程中，气体的体积和压力通常会发生显著的变化。
通过应用克拉佩龙-克劳修斯方程，我们可以计算出相变过程中气体的焓增量。
总之，克拉佩龙-克劳修斯方程是描述实际气体状态变化的重要工具。
它使我们能够更准确地分析和计算气体的焓增量，并且在等温过程和相变过程中具有广泛的应用。
通过研究克拉佩龙-克劳修斯方程，我们可以更深入地理解气体的性质和行为，有助于我们在工程和科学领域中的相关应用。
克劳修斯克拉佩龙方程
dT dp
TVm H m
Hm 为相变时的焓的变化值 Vm， 为相
应的体积变化值。
这就是克拉贝龙方程式(Clapeyron equation)。
其表示的为两相平衡温度 T 随着外压 p 变化
而变化的情况。
二、液 – 气平衡、固 – 气平衡积分式
dT TβαVm dp βα Hm
对液 – 气平衡、固 – 气平衡而言，变化 前后其中有一相为气态，将原方程变形(以 蒸发平衡为例) ：
dp vapHm dT TvapVm
蒸发过程吸热， ΔvapHm>0， ΔvapVm>0， 当温度升高，液体的饱和蒸气压增大。
∵ Vm(g) Vm(l)
ΔvapVm≈ Vm(g)
Vm(g)=RT/p 则原方程变为：
lnT2 T1
ffuusH V s m m(p2
p1)
因为熔点随压力的变化影响不大，令
ΔT=T2-T1，ln(T2/T1)=ln(1+ ΔT /T1) ≈ ΔT /T1。
T
T1
fusVm fusHm
p
T1>0, Δp>0, 熔化过程吸热， ΔfusHm>0。如果 ΔfusVm>0，即熔化后体积变大，则ΔT>0，熔点升 高；如果ΔfusVm<0，即熔化后体积变小，则ΔT<0， 熔点下降；
在01 MPa下硫到硫的转换温度为96℃，此温 度下硫与硫的体积质量(密度)分别为203 g·cm-3 与198 g·cm-3。转变过程中吸热322 J·mol-1。问在 1 MPa下的转变温度与01 MPa下的转变温度相差 多少。已知S的摩尔质量M = 3206 g·mol-1。
§5.2 克劳修斯-克拉佩龙方程
克劳修斯-克拉贝龙方程
以液-气平衡为例
dp dT
vap
H
* m
T{Vm* (g) Vm*
(l)}
vap
H
* m
TVm* (g)
p
vap
H
* m
RT 2
dln p dT
vap
H
* m
RT 2
此式称为Clausius- Clapeyron方程, 简称克-克方程.
假定蒸发焓与温度无关, 作不定积分:
dlnp
(1) ln p(30C) vap Hm T2 T1 34.17 103 (303.2 293.2) 0.4623
p(20C)
R T1T2
8.314 293.2 303.2
p(30C) 15.90kPa
(2)
ln p2 sub H m (T2 T1 )
单组分系统相平衡热力学——克拉珀龙方程
用热力学原理来解决纯物质两相平衡时系统温度和压力 之间的关系问题.
蒸发与冷凝
升华与凝华
凝固与熔化
B*(l) T, p B*(g) B*(s) T, p B*(g) B*(l) T, p B*(s)
p f (T ) ?
晶型的转化
B*(s,α ) T, p B*(s,β)
p1
R
Байду номын сангаас
T1T2
sub H m
8.314 273.2 293.2 293.2 273.2
ln
12.30 103 3.27 103
J·mol1
44.12k J·mol1
牛顿—拉普森迭代法解热力学克劳修斯—克拉贝龙方程的研究
牛顿—拉普森迭代法解热力学克劳修斯—克拉贝龙方程的研究牛顿-拉普森迭代法是应用于求解复杂非线性方程组的常见优化方法，最近关于克劳修斯-克拉贝龙模型（Crocco-Crablion model）热力学微分方程组（DE）的研究中，也开始采用该方法。
本文概述了牛顿-拉普森迭代法在研究克劳修斯-克拉贝龙热力学DE的应用情况，讨论了该方法在克劳修斯-克拉贝龙方程中的有效性，以及有待提高的地方。
一、克劳修斯-克拉贝龙方程克劳修斯-克拉贝龙方程是一类热力学微分方程，给出了流体在线性近似情况下温度和其他流体动量规律的详细描述。
它的一般形式为：$$\frac{\partial T}{\partial t}+aT-b\nabla^{2}T=0$$其中T为温度，a和b分别是流体动量常数和对流项常数。
二、牛顿-拉普森迭代法的应用牛顿-拉普森迭代法（NRS）是一种可以有效求解方程的迭代解法。
在近年来，有许多文章开始用NRS方法来求解克劳修斯-克拉贝龙方程，以满足以下需求：1. 一步多步天然迭代；2. 相比于传统的一步求解方法，NRS可以更精确地计算结果；3. 可以用有限元法求解混合类型的热传导方程；4. 具有快速求解的特性；5. 具有更高的精确度。
具体而言，NRS可以从理论上解决克劳修斯-克拉贝龙方程，因为它适用于非线性方程组，可以有效解决非线性问题，惰性数据总级变量等非线性因素对克劳修斯-克拉贝龙热力学DE中温度分布的影响。
三、牛顿-拉普森迭代法在克劳修斯-克拉贝龙方程中的有效性NRS方法在解决克劳修斯-克拉贝龙方程时运用效果良好，它可以快速可靠地求解系统的解析解，具有更高的计算精度。
它可以从数值计算和理论模拟的角度对DE的解进行评估，准确仿真流体动量，模拟出DE解决系统实际温度分布情况。
四、有待提高的地方尽管NRS在克劳修斯-克拉贝龙方程中具有较强的处理能力，但仍存在一些需要改进的地方，如：1. NRS的迭代需要大量计算，会造成缓慢的求解速度。
克拉佩龙克劳修斯方程
克拉佩龙克劳修斯方程
克拉佩龙克劳修斯方程（Claapeyron–Clausius equation）是理想气体状态方程在等温条件下的另一种形式。
该方程是根据气体状态方程和饱和蒸汽压定义之间的关系推导得到的。
克拉佩龙克劳修斯方程可以表示为：
ln(P2/P1) = -∆Hvap/R * (1/T2 - 1/T1)
其中，P1和P2分别为两个温度下的饱和蒸汽压，∆Hvap为物质的汽化热，R为气体常数，T1和T2为两个温度。
该方程表达了不同温度下饱和蒸汽压的比例与温度差、物质的汽化热和气体常数之间的关系。
通过利用该方程，可以计算物质在不同温度下的饱和蒸汽压。
克拉珀龙克劳修斯公式
克拉珀龙克劳修斯公式
Clapeyron-Claude-Loux-Paulsen公式是一种能够描述三态相变的有效的准则，
它由法国科学家克拉珀龙·克劳德·勒克博尔森于1834年提出，如今仍是许多各行
各业中的重要的理论框架。
Clapeyron-Claude-Loux-Paulsen公式的表达形式是：dP/dT= dv/dT/v，其中P是温度、T是压力、v是体积，他们三者之间存在着密切的联系，物质在温度变化时，压强也随之改变，而体积也发生变化，这表明物质在发生相变时，有一种固有的规律。
假设两相间温度变化不超过3摄氏度，克拉珀龙-克劳德-勒克伍尔森公式便能
很好地模拟现实情景，并且与忽略体积变化的理想相对立相比，具有更高一级的准确性。
由此，也提供了更为深层的热力学观念与立场，大大拓宽了物质的研究范畴。
除此之外，克拉珀龙-克劳德-勒克伍尔森公式在航空领域也有着重要的应用。
在飞机飞行时，沿着飞行路线的高度变化以及外界介质温度的升降，都会使得机载燃料会发生一定的热膨胀，以至于燃料消耗量发生变化，此时，应用克拉珀龙-克
劳德-勒克伍尔森公式便能够更好地推断出所变动的情况，从而准备出更加合适的
飞行路线。
总的来说，Clapeyron-Claude-Loux-Paulsen公式的发现为我们指明了一种发掘
物质物理性质的有效机制，并在热力学理论与现实应用当中获得了广泛和深入的应用，未来它还会在其他各行各业中得到不断深入地发掘与探索。
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图2-1 气-液平衡
2/8
dp dT
Sm* Vm*
(β (β
) )
Sห้องสมุดไป่ตู้* Vm*
(α (α
) )
Sm* Vm*
dp dT
H
* m
TVm*
上式称为克拉珀龙(Clapeyron)方程, 表明了相平衡压力随温 度的变化率, 适用于纯物质的任意两相平衡.
克拉珀龙方程应用于凝聚相之间的平衡(固-液, 固-固)
(1) ln p(30C) vap Hm T2 T1 34.17 103 (303.2 293.2) 0.4623
p(20C)
R T1T2
8.314 293.2 303.2
p(30C) 15.90kPa
(2)
ln p2 sub H m (T2 T1 )
单组分系统相平衡热力学——克拉珀龙方程
用热力学原理来解决纯物质两相平衡时系统温度和压力 之间的关系问题.
蒸发与冷凝
升华与凝华
凝固与熔化
B*(l) T, p B*(g) B*(s) T, p B*(g) B*(l) T, p B*(s)
p f (T ) ?
晶型的转化
B*(s,α ) T, p B*(s,β)
B*(β,T +dT, p + dp)
g Gm*(α,T,p) + dGm*(α)＝Gm*(β,T, p) + dGm*(β)
显然
dGm*(α)＝dGm*(β)
l
由热力学基本方程式 dG = - SdT + Vdp 可得
•气 - 液平衡
Sm*(α)dT+Vm*(α)dp =- Sm*(β)dT +Vm*(β)dp
ln(p/[p])
K
•ln(p/[p]) - 1/T 关系 T
5/8
克-克方程的定积分式为
ln
p2 p1
vap
H
* m
R
1 T1
1 T2
对固 -气两相平衡
ln
p2 p1
sub
H
* m
R
1 T1
1 T2
特鲁顿规则
vap
H
* m
Tb*
88J K1 mol 1
纯物质在一定温度压力T, p下处于两相平衡时, T, pG＝0, 可知纯物质B*在两相的摩尔吉布斯函数必相等, 即
Gm* (α, T, p)＝ Gm* (β, T, p)
当温度发生微变时, 压力将按一定函数关系随之变化, 并
在 T + dT, p + dp 下 继续保持平衡
平衡
B*(α,T +dT, p +dp)
8/8
•不同温度下液体具有不同的蒸气压
装有丙酮的烧瓶与U形压差计相连, 压差计的开口端和烧瓶活塞均打开, 汞柱高度持平(左); 然后关闭活塞,并 用热水浴加热丙酮, 丙酮蒸气压随温 度升高而增大. 当丙酮温度恒定后, 压差计两管的汞柱差也稳定下来, 该 压差即该温度下丙酮的饱和蒸气压.
1/8
1. 克拉珀龙方程
Tb*—为非极性纯液体的正常沸点.
以上积分式是以假定蒸发热不随温度改变为前提的, 在
温度间隔不太大时可近似满足, 精确计算时应将蒸发焓的温 度表达式代入积分.
6/8
克拉珀龙方程的应用条件是__纯__物__质__的__任__意__两__相__平__衡___; 克劳修斯-克拉珀龙方程的应用条件是__纯__物__质__的__气__-_液__或__气__-_固_ ___两__相__平__衡__.
下列关于纯物质两相平衡的描述中正确的是 ( ).
A. 沸点随压力增加而升高
B. 熔点随压力增加而升高 C. 升华温度随压力增加而升高 D. 蒸气压随温度增加而升高
A C D 熔化时体积的变化△V可
以大于零或小于零,故压力 增加时熔点不一定增高.
dp dT
H m* TVm*
7/8
已 知 固 态 苯 的 蒸 气 压 在 0℃ 时 为 327kPa, 20℃ 时 为 1230kPa, 液态苯的蒸气压在20℃时为1002 kPa, 液态苯的摩 尔蒸发焓为3417 kJ·mol1. 求(1)在30℃时液态苯的蒸气压; (2)苯的摩尔升华焓; (3)苯的摩尔熔化焓.
vap
H
* m
1 dT C
R
T2
ln( p
/[ p])
vap
H
* m
B
RT
4/8
ln( p /[ p])
vap
H
* m
B
RT
若以 ln(p/[p]) 对 1/T 作图, 可得一直线, 由实验数据得出 直线斜率m, 可求液体的蒸发焓 vapHm* .
m
vap
H
* m
R
以液-气平衡为例
dp dT
vap
H
* m
T{Vm* (g) Vm*
(l)}
vap
H
* m
TVm* (g)
p
vap
H
* m
RT 2
dln p dT
vap
H
* m
RT 2
此式称为Clausius- Clapeyron方程, 简称克-克方程.
假定蒸发焓与温度无关, 作不定积分:
dlnp
对于熔化过程, Vm* 0 (少数物质除外),
H
* m
0
由 dT dp
TVm*
H
* m
可知,
dT dp
0,
即熔点随外压增大而升高.
但由于Vm=Vm(l) Vm(s) 0, 故熔点受外压的影响是很小的.
3/8
2. 克劳修斯-克拉珀龙方程
克拉珀龙方程应用于液-气(或固-气)平衡
p1
R
T1T2
sub H m
8.314 273.2 293.2 293.2 273.2
ln
12.30 103 3.27 103
J·mol1
44.12k J·mol1
(3) subHm = fusHm + vapHm fusHm = subHm－ vapHm = (4412－3417)kJ·mol1 = 995 kJ·mol1