贝塞尔曲线
贝塞尔曲线 坐标 算法
贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。
它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。
贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。
2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。
•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。
•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。
在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。
3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。
要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。
3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。
要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。
4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。
我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。
首先，我们需要确定曲线上的一系列点。
可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。
在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。
贝塞尔曲线 正态曲线
贝塞尔曲线正态曲线
（原创版）
目录
1.贝塞尔曲线的定义和特点
2.正态曲线的定义和特点
3.贝塞尔曲线和正态曲线的关系
4.贝塞尔曲线和正态曲线在实际应用中的例子
正文
贝塞尔曲线是一种以数学家贝塞尔的命名的曲线，它是由两个或两个以上的基函数通过加权求和而得到的。
它的形状可以由控制点来改变，因此具有非常丰富的变化。
贝塞尔曲线在计算机图形学、动画制作等领域有着广泛的应用。
正态曲线，也被称为钟形曲线，是一种常见的概率分布曲线。
它的特点是在均值附近密集分布，离均值越远，分布的密度就越小。
正态曲线在统计学、概率论等领域有着重要的地位。
贝塞尔曲线和正态曲线在某些情况下有着密切的关系。
例如，在计算机图形学中，贝塞尔曲线可以用来生成逼真的正态分布的随机数据。
而在统计学中，正态分布常常用来描述贝塞尔曲线的性质。
在实际应用中，贝塞尔曲线和正态曲线都有广泛的应用。
例如，在计算机动画中，贝塞尔曲线可以用来绘制优美的运动轨迹，而正态曲线可以用来模拟物体的随机运动。
在统计学中，正态分布常常用来描述各种自然现象和人类行为的分布，如身高、体重、考试成绩等。
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贝塞尔曲线控制
贝塞尔曲线控制
贝塞尔曲线是一种用于描述二维或三维图形的曲线，由法国数学家皮埃尔-弗朗索瓦-
米歇尔·贝塞尔在19世纪中叶发明。
它被广泛应用于计算机图形学、艺术设计、动画制作等领域中。
贝塞尔曲线的特点是可以通过调整控制点来实现曲线的弯曲程度和方向。
控制点是曲
线上的点，通过改变控制点的位置和个数，可以改变贝塞尔曲线的形状。
贝塞尔曲线有三种类型：一阶贝塞尔曲线、二阶贝塞尔曲线和三阶贝塞尔曲线。
其中，一阶贝塞尔曲线由两个控制点确定，二阶贝塞尔曲线需要三个控制点，三阶贝塞尔曲线需
要四个控制点。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线被广泛应用于绘制图形、动画制作和游戏开发等方面。
它可以通过编程实现和各种图形软件进行绘制。
具体地，贝塞尔曲线的控制可以通过以下几种方式来实现：
1. 鼠标交互式控制：使用鼠标移动控制点的位置来改变曲线形状，一般用于绘制简
单的图形。
2. 编程控制：在程序中使用贝塞尔曲线公式计算曲线的路径和形状，可以实现更加
复杂的曲线图形。
3. 外部文件控制：使用外部文件保存曲线的控制点信息，程序读取该文件并进行曲
线绘制。
4. 脚本控制：使用脚本编写控制点的运动轨迹，如动画制作中可以使用贝塞尔曲线
控制物体的运动路径。
总之，贝塞尔曲线控制是计算机图形学与艺术设计等领域中不可或缺的技术手段，具
有广泛的应用前景。
ae中贝塞尔曲线
AE中贝塞尔曲线在Adobe After Effects（AE）中，贝塞尔曲线是一个非常重要的概念，它用于创建和编辑动画和运动路径。
在这篇文章中，我们将来详细介绍AE中的贝塞尔曲线。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国数学家Pierre Bézier创建。
它被广泛应用于计算机图形学、计算机动画和计算机视觉等领域。
在AE中，贝塞尔曲线用于定义物体的运动路径、形状和动画。
二、贝塞尔曲线的构成贝塞尔曲线由一系列点组成，这些点被称为控制点。
每个控制点都有两个“把手”，一个在控制点的左边，一个在右边。
通过调整控制点的位置和把手的角度和长度，可以改变贝塞尔曲线的形状。
三、贝塞尔曲线的类型在AE中，有两种类型的贝塞尔曲线：Bezier曲线和B-spline曲线。
1. Bezier曲线：Bezier曲线是最常用的贝塞尔曲线类型。
它由两个端点和两个控制点组成。
这两个控制点定义了曲线的形状，而两个端点则确定了曲线的起点和终点。
在AE中，Bezier曲线通常用于创建动画和运动路径。
2. B-spline曲线：B-spline曲线是一种更复杂的贝塞尔曲线类型。
它由多个控制点组成，这些控制点可以沿着曲线移动，从而改变曲线的形状。
B-spline曲线在处理复杂形状和动画时非常有用。
四、如何创建和编辑贝塞尔曲线1. 创建贝塞尔曲线：在AE中，可以通过以下步骤创建贝塞尔曲线：a. 选择一个图层或物体，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的空对象。
b. 在时间轴中选择空对象，然后按下“Ctrl”键并单击时间轴中的空白区域。
这将创建一个新的贝塞尔曲线。
c. 在时间轴中选择贝塞尔曲线，然后使用“Ctrl”键拖动控制点以调整曲线的形状。
2. 编辑贝塞尔曲线：在AE中，可以使用以下方法编辑贝塞尔曲线：a. 拖动控制点：选择控制点并拖动它们可以改变曲线的形状。
当鼠标放在控制点的把手上时，会出现一个红色线条，表示可以调整把手的角度和长度。
匀速贝塞尔曲线
匀速贝塞尔曲线贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔于19世纪提出。
贝塞尔曲线可以用来描述平滑的路径，广泛应用于计算机图形、动画、游戏开发等领域。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线分为很多种类，其中最常见的是均匀速度贝塞尔曲线。
均匀速度指的是曲线上的任意两点之间，移动速度是恒定的。
这是一个很重要的特性，能够保证动画的流畅性和真实感。
均匀速度贝塞尔曲线由一个起始点、一些控制点以及一个终点决定。
起始点和终点是曲线的端点，而控制点则用于控制曲线的形状。
通常情况下，我们使用三个控制点（P0、P1和P2）来定义一个二次贝塞尔曲线，使用四个控制点（P0、P1、P2和P3）来定义一个三次贝塞尔曲线。
通过这些控制点，我们可以调整贝塞尔曲线的形状和曲率。
起始点和终点确定了曲线的起点和终点，而控制点则决定了曲线在两个端点之间的弯曲方式。
通过调整控制点的位置，我们可以创建出各种不同形状的曲线，如圆形、椭圆形、螺旋等。
贝塞尔曲线的生成算法也相对简单。
对于二次贝塞尔曲线，可以使用如下公式计算曲线上的点位置：```B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2(1 - t)t * P1 + t^2 * P2 (0 ≤t ≤ 1)```对于三次贝塞尔曲线，公式稍微复杂一些，但基本原理是一样的。
可以看到，贝塞尔曲线的生成过程中的一个重要因素是参数t的取值。
参数t的取值决定了曲线上的点的位置，范围通常为0到1之间。
我们可以通过等间距地取一系列t的值，然后根据公式计算出对应的点坐标，从而绘制出整条曲线。
在实际应用中，均匀速度贝塞尔曲线有着广泛的应用。
它可以用于动画制作，实现弧线运动、平滑过渡等效果。
在游戏开发中，可以用贝塞尔曲线来描述角色的移动路径，实现更加自然的行动。
此外，它还可以应用于字体设计、UI界面等方面。
总之，均匀速度贝塞尔曲线是一种强大而灵活的数学工具，在计算机图形学和动画制作中有着广泛的应用。
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
并满足方程 Q"(0) 2P"(1) P'(1)。
我们将 、 Q"(0) P"(1) 和 P'(1) ，Q0 Pn 、 Q1 Q2 (Pn Pn1) 代入，并整理，
可以得到：
Q2
2
2
n 1
1
Pn
2 2
2
n
1
A([P(t)] A n Pi Bi,n (t) A[Pi ]Bi,n(t)
i0
即在仿射变换下，的形式不变。
计算机图形学
3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使
用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。
(i 0,1,..., n)
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernsteini t i (1 t)ni
(Cni 1
C i1 n1
)t
i
(1
t
)
ni
(1 t)Cni 1t i (1 t)(n1)i tCni11t i1(1 t)(n1)(i1)
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
P1
P11
贝塞尔曲线介绍
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线跟PS里的钢笔的意思大概差不多，不过贝塞尔曲线没有选取的功能。
在这里，要切记，不要和轮廓工具弄混，前者是通过调节点调节形状，后者是调节形状轮廓的粗细以及样式。
补充几点：
1、在任意工具情况下，在曲线上双击都可以换为形状工具对曲线进行编辑；
2、在曲线上用形状工具双击可以增加一个节点；
3、在曲线的节点上双击形状工具可以删除一个节点；
4、位图可以用形状工具点击再拖动某一点可以进行任意形状的编辑；
5、用形状工具同时选中几个节点可以进行移动；
6、在微调距离中设定一个数值再用形状工具选中曲线的某一节点敲方向箭头可以进行精确位移；
7、将某一个汉字或字母转换为曲线就可以用形状工具进行修理如将“下”的右边的点拿掉等。
贝塞尔曲线 t
贝塞尔曲线 t贝塞尔曲线是计算机图形学中广泛应用的曲线类型之一，它是由法国数学家皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）在20世纪50年代提出的。
贝塞尔曲线以其简洁的数学原理和优秀的平滑性在计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）和动画等领域发挥着重要作用。
贝塞尔曲线通过控制点的位置和权重来定义曲线的形状。
曲线可以是一条直线，也可以是一条光滑的曲线。
贝塞尔曲线的形状由控制点的数量和位置决定，控制点越多，曲线的形状越复杂。
贝塞尔曲线有几种不同的类型，包括一次贝塞尔曲线、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。
一次贝塞尔曲线由两个控制点定义，通常被用于绘制直线。
二次贝塞尔曲线由三个控制点定义，它可以绘制出一条光滑的曲线，但是不能绘制出复杂的形状。
三次贝塞尔曲线由四个控制点定义，它可以绘制出非常复杂的形状，例如圆弧、S形线等。
贝塞尔曲线的计算公式非常简洁，可以通过线性插值和加权平均的方式轻松计算出曲线上的点。
对于一次贝塞尔曲线，曲线上的点可以通过如下公式计算得出：P(t) = (1 - t) * P0 + t * P1其中，P(t)是曲线上的点，P0和P1分别是起点和终点的控制点，t是一个介于0和1之间的参数，用于描述曲线上的位置。
对于二次贝塞尔曲线，曲线上的点可以通过如下公式计算得出：P(t) = (1 - t)² * P0 + 2 * t * (1 - t) * P1 + t² * P2其中，P(t)是曲线上的点，P0、P1和P2分别是起点、控制点和终点的位置，t是一个介于0和1之间的参数。
对于三次贝塞尔曲线，曲线上的点可以通过如下公式计算得出：P(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * t * (1 - t)² * P1 + 3 * t² * (1 - t) * P2 + t³ * P3其中，P(t)是曲线上的点，P0、P1、P2和P3分别是起点、两个控制点和终点的位置，t是一个介于0和1之间的参数。
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线(Béziercurve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。
贝塞尔曲线于1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔
（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由PauldeCasteljau于1959年运用deCasteljau演算法开发，以稳定数值的方法求出贝兹曲线。
贝塞尔曲线详解
贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。
贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。
控制点是曲线上的点，它们决定了曲线的形状。
权重值是一个数值数组，它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。
贝塞尔曲线的公式如下：B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中，B(t)是曲线上的点，t是参数，Pi是控制点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是一个多项式函数，它的形式如下：Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中，C(n,i)是组合数，ti是t的i次方，(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。
二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。
例如，如果有3个控制点，那么曲线的阶数为2。
2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。
3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。
4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。
权重值越大，曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。
5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。
这意味着，如果修改了一个控制点的位置或权重值，只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段，而不会影响整个曲线。
三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。
它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面，例如二维图形、三维模型和动画。
贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具，例如Photoshop和Illustrator。
2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。
例如，它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形，以及建筑物的立面和室内设计。
贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。
3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。
贝塞尔曲线玩法
贝塞尔曲线玩法贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线，由法国的数学家贝塞尔发明。
其优秀的特性，如任意阶数、曲线平滑、变形自然等，使它被广泛应用在计算机图形学中。
下面我们来探讨一下贝塞尔曲线的一些玩法与应用。
一、Bezier Curve的基本概念Bezier Curve，中文翻译为贝塞尔曲线，是由一些基于控制点来描述曲线的连续函数。
在计算机图形学界，Bezier曲线有着广泛的应用，如二维绘图，三维模型构建等。
下面，我们来说说Bezier曲线的基本概念：1.控制点Bezier曲线的形状和特性由一组控制点决定。
控制点决定着曲线起点、终点，以及曲线的形状与方向。
控制点的数量通常与曲线的阶数相等。
2.阶数Bezier曲线的阶数由控制点的数量决定。
例如，如果控制点数量为4，则Bezier曲线的阶数为3（n-1）。
当阶数为3时，Bezier曲线也被称为二次Bezier曲线或三次Bezier曲线。
3.点集形式Bezier曲线可以表示成点集的形式，其中一个控制点是Bezier曲线的起点，最后一个控制点是Bezier曲线的终点。
而其余的控制点可以看做是曲线上的中间点。
二、贝塞尔曲线的应用1.平滑曲线在绘制平滑曲线时，常常使用Bezier曲线来完成。
在二维绘图中，利用Bezier曲线可以绘制出一些基本的形状，如椭圆、圆弧等。
利用多条Bezier曲线的组合，可以快速实现对复杂曲线的绘制。
2.模型构建在3D计算机图形学中，Bezier曲面经常用作3D模型构建的基础。
对象为Bezier曲面的控制网格，其内部可由Bezier曲线组成。
通过控制点的移动，可以快速改变其表面曲率，实现3D模型快速构建。
3.路径动画路径动画是一种基于贝塞尔曲线的动画形式。
它指定了一个目标的路径，例如一个移动物体的运动轨迹，然后让目标沿着路径移动。
在游戏中，常常使用路径动画来为角色、弹道和粒子效果设置动画路径。
4.平滑编辑另一个应用Bezier曲线的领域是平滑编辑。
nurbs曲线和贝塞尔曲线
nurbs曲线和贝塞尔曲线一、简介在计算机图形学和三维建模领域，NURBS曲线和贝塞尔曲线是两种常用的曲线表示方法。
它们在实际应用中具有一定的联系，但也存在明显的区别。
本文将对这两种曲线进行简要介绍，并分析它们之间的联系与区别。
二、NURBS曲线1.定义与特点URBS（Non-Uniform Rational B-Spline）曲线是一种非均匀有理贝塞尔曲线。
它通过基函数和控制点加权求和来表示一条曲线。
NURBS曲线具有以下特点：- 参数化表示，易于调整曲线形状- 具有良好的连续性，可以轻松实现平滑过渡- 具有较高的计算效率，适用于实时渲染和交互式设计- 局限性：处理复杂曲线时，计算量较大，容易出现过拟合现象2.在三维建模中的应用URBS曲线在三维建模中的应用广泛，如汽车、飞机等复杂几何体的建模。
通过调整基函数和控制点，可以轻松地实现曲面的生成和调整。
3.NURBS曲线的优势与局限性优势：- 参数化表示，易于调整曲线形状- 具有良好的连续性，可以轻松实现平滑过渡- 适用于复杂曲面的建模局限性：- 处理复杂曲线时，计算量较大- 容易出现过拟合现象三、贝塞尔曲线1.定义与特点贝塞尔曲线（Bézier curve）是一种通过基函数和控制点加权求和的曲线表示方法。
它具有以下特点：- 非参数化表示，直接控制曲线形状- 具有良好的连续性，可以实现平滑过渡- 计算效率较高，适用于实时渲染和交互式设计- 局限性：在处理复杂曲线时，控制点数量较多，计算量较大2.在三维建模中的应用贝塞尔曲线在三维建模中也具有广泛的应用，如角色建模、场景搭建等。
通过调整控制点，可以实现曲线的平滑过渡和复杂形状的生成。
3.贝塞尔曲线的优势与局限性优势：- 非参数化表示，直接控制曲线形状- 具有良好的连续性，可以实现平滑过渡- 适用于简单和复杂曲线的建模局限性：- 在处理复杂曲线时，控制点数量较多，计算量较大四、比较与总结1.NURBS曲线与贝塞尔曲线的异同- 相同点：两者都具有良好的连续性和较高的计算效率，适用于三维建模中的应用- 不同点：NURBS曲线是参数化表示，易于调整曲线形状，但处理复杂曲线时计算量较大；贝塞尔曲线是非参数化表示，直接控制曲线形状，但在处理复杂曲线时计算量较大。
svg 贝塞尔曲线 方程
svg 贝塞尔曲线方程SVG贝塞尔曲线是一种在二维坐标系中表示平滑曲线的方法，它通过控制点来调整曲线的形状。
SVG贝塞尔曲线有两种类型：二次贝塞尔曲线（Quadratic Bezier Curve）和三次贝塞尔曲线（Cubic Bezier Curve）。
1. 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线是由两个控制点定义的，一个是起始点（Start Point），另一个是结束点（End Point）。
这两个点之间的线段被称为“手柄”，用于调整曲线的形状。
二次贝塞尔曲线的方程如下：B(t) = (1 - t)² * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t² * P2其中，t是一个介于0和1之间的参数，表示从起始点到结束点的相对位置；P0、P1和P2分别是起始点、中间点和结束点的坐标。
通过改变t的值，可以得到曲线上不同的点。
2. 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线是由三个控制点定义的，分别是起始点（Start Point）、中间点（Control Point）和结束点（End Point）。
这三个点之间的线段被称为“手柄”，用于调整曲线的形状。
三次贝塞尔曲线的方程如下：B(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * (1 - t)² * t * P1 + 3 * (1 - t) * t² * P2 + t³ * P3其中，t是一个介于0和1之间的参数，表示从起始点到结束点的相对位置；P0、P1、P2和P3分别是起始点、中间点、结束点和另一个控制点的坐标。
通过改变t的值，可以得到曲线上不同的点。
除了二次和三次贝塞尔曲线外，SVG还支持更高阶的贝塞尔曲线，如四次、五次等。
这些高阶贝塞尔曲线的方程可以通过递归或矩阵运算得到。
总之，SVG中的贝塞尔曲线是一种强大的绘图工具，通过控制点的位置和切线方向，可以生成各种平滑的曲线。
在实际应用中，可以根据需要选择合适的贝塞尔曲线类型和阶数，以满足不同的绘图需求。
贝塞尔曲线
8.4 Bezier曲面
利用Bezier曲线的性质，张量积形式的Bezier曲面的定 义可以如下定义。两组正交的Bezier曲线的控制顶点 可作为矩形网格。设Pij (i=0,…,n; j=0,…,m)为空间点列， 这些点生成的n+1行、m+1列的矩形网格称为特征网格， 其中在第i+1行、第j+1列的点是Pij。相应的m×n次张量 积形式的Bezier曲线为
4、仿射不变性 Bezier曲线的形状和位置仅与控制点的位置有关。这 是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点 Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选择 5、凸包性 由于Ｂernstein多项式的性质， Bezier曲线落在控制点 的凸包内 6、交互能力 移动第k个结点，对Bezier曲线在t=k/n处的影响最大．
13 23
P03 P(u,1) P33
P02
P12
P22 P32
P(0,v)
P11
P21 P31
P(1,v)
P01 P10 P20
P(u,0) P00 P30
是k次Bernstein基函数。在一般实际应用中，n,m不大于4。 Bezier曲线的变差缩小性质不能推广到曲面。但是，其它许 多性质可推广到Bezier曲面。
根据上述定义， 1.Bezier曲面的几何位置依赖于控制顶点，而与坐标系 无关（几何不变性）； 2.Bezier曲面有关于参数的对称性； 3.Bezier曲面有凸包性。 P P
证明：
k (1 − t ) Bk ,n (t ) = Cn t k (1 − t ) n+1−k =
n + 1 − k ( n + 1)! k t k (1 − t ) n+1−k = 1 − Bk ,n+1 (t ) n + 1 k!( n + 1 − k )! n +1
贝塞尔曲线 c++
贝塞尔曲线 c++贝塞尔曲线是计算机图形学领域中常用的一种曲线，它可以用来描述平面或三维空间中的曲线路径。
其优点是可以通过少量的控制点来描述出复杂的曲线形状，并且可以被用于曲线的插值和逼近。
在数学上，贝塞尔曲线是由一系列点和辅助点确定的一条曲线。
这些点通常被称为控制点，辅助点用于确定曲线的形状。
贝塞尔曲线通过这些控制点来实现平滑的曲线过渡，它的理论基础是贝塞尔曲线的几何构造。
贝塞尔曲线的数学描述如下：B(t) = Σ(i=0 to n) Cn,i (1-t)n-i ti其中，B(t) 是贝塞尔曲线在参数 t 处的坐标。
Cn,i 是 binomial cofficient，计算公式为：其中，n 是控制点的数量减一，i 是在曲线上的特定位置，t 是介于 0 和 1 之间的参数。
贝塞尔曲线的实现需要在程序中对控制点进行存储，通常可以使用三维坐标系来描述控制点的位置。
在 C++ 中可以用如下结构体来描述控制点：struct Point {float x, y, z;};控制点的坐标可以通过用户输入或者程序生成的方式进行设置。
为了计算贝塞尔曲线的坐标，可以设置一个 t 值范围，将其分成若干个时间片段，依次计算每个点的坐标值，并将其连成曲线。
C++ 代码如下：#include<graphics.h>#include<conio.h>// 计算阶乘函数int factorial(int n) {if (n == 1 || n == 0)return 1;elsereturn n * factorial(n-1);}// 计算贝塞尔曲线的坐标Point calculateBezier(Point* controlPoints, float t, int n) {Point point = {0, 0, 0};for (int i = 0; i <= n; i++) {float bernstein = Bernstein(n, i, t);point.x += controlPoints[i].x * bernstein;point.y += controlPoints[i].y * bernstein;point.z += controlPoints[i].z * bernstein;}return point;}// 绘制控制点for (int i = 0; i <= n; i++)circle(controlPoints[i].x, controlPoints[i].y, 2);getch();closegraph();return 0;}这段程序将创建一个二维图形窗口，并在其中绘制用控制点定义的贝塞尔曲线。
simulink 贝塞尔曲线
Simulink贝塞尔曲线1. 什么是贝塞尔曲线贝塞尔曲线是一种数学曲线，由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在1962年提出。
它通过控制点来定义曲线的形状，具有可调整的灵活性，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和工程领域。
贝塞尔曲线可以是一维、二维或三维的，但在Simulink中主要使用二维的贝塞尔曲线。
它由一系列控制点和连接这些控制点的插值点组成。
2. Simulink中的贝塞尔曲线Simulink是一种用于建模、仿真和分析动态系统的环境。
它提供了一个图形化界面，使用户能够通过将各种模块连接起来来构建系统模型。
在Simulink中，可以使用Bezier Curve Generator模块来生成贝塞尔曲线。
该模块允许用户指定控制点，并根据这些控制点生成相应的贝塞尔曲线。
3. 如何使用Simulink创建贝塞尔曲线以下是使用Simulink创建二维贝塞尔曲线的步骤：步骤1：打开Simulink首先，打开Simulink软件。
步骤2：创建模型在Simulink中，选择”File” -> “New” -> “Model”来创建一个新的模型。
步骤3：添加贝塞尔曲线生成器模块在左侧的模块库浏览器中，找到Bezier Curve Generator模块。
将其拖动到模型窗口中。
步骤4：设置控制点双击Bezier Curve Generator模块，在弹出的对话框中设置控制点。
可以通过手动输入或导入数据来指定控制点的位置。
步骤5：连接输出将Bezier Curve Generator模块的输出连接到所需的其他模块或范围。
这样就可以将生成的贝塞尔曲线用于进一步的仿真、分析或可视化。
步骤6：运行仿真点击Simulink界面上的”Run”按钮来运行仿真。
系统将根据指定的控制点生成相应的贝塞尔曲线，并输出结果。
4. 贝塞尔曲线应用案例贝塞尔曲线在计算机图形学和计算机辅助设计中有广泛应用。
以下是几个常见的应用案例：4.1 图像编辑与绘制贝塞尔曲线可以用于图像编辑和绘制工具中，如Photoshop和Illustrator。
贝塞尔曲线的理解
贝塞尔曲线的理解Bezier曲线的由来1962年，法国⼯程师贝塞尔发表，他运⽤贝塞尔曲线来为汽车的主体进⾏设计Bezier曲线的作⽤Bezier曲线是⽤⼀系列点控制曲线状态的。
主要分为数据点：确定曲线的起始和结束位置控制点：确定曲线的弯曲程度举例理解：想在AC（起始点和结束点）之间画⼀个曲线，⽤B点（控制点）控制这个曲线的弯曲程度但是控制点是可以多个的，⽐如两个控制点。
以此类推，可以有很多个。
起点和终点都只有⼀个，但是控制点可以多个，甚⾄是0，0的时候就是直线啦！Bezier曲线的原理为什么⼏个点就可以得到⼀个曲线？先说⼀个控制点的情况，如图所⽰：1. A/B/C三点是确定的2. 在AB上任取⼀点D，得到ratio = AD/AB3. 再由BE/BC = ratio 得到E点4. 连接DE，同理DF/DE = ratio得到F5. ⽽F点就是曲线上的⼀点，当然凭着这⼀点是⽆法得到整条曲线的6. 于是，再来⼀遍，重新取D点得到新的F点，以此类推，如图那么两个控制点呢？道理是⼀样的，在AB上任取⼀点E，得到曲线上的J点。
AE/AB = BF/BC = CG/CD = EH/EF = FI/FG = HJ/HI最后来个炫酷的四个控制点：理解Bezier曲线的公式⼀次贝塞尔曲线⼀次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：B(t) = (1 - t) * P0 + tP1t表⽰在 P0P1/P0P1之间任取⼀点P2，t = P0P2/P0P1，也就是⽐例，公式⾥的P0和P1同步表⽰其x轴坐标或者y轴坐标。
已知P0的坐标是（a,b），P1的坐标是（c,d），那么假设P2的坐标是（x,y）(1-t)/(c-x) = t/(x-a) => x = (1-t)a + tc同理 y = (1-t)d + tb于是简写成 B(t) = (1 - t) * P0 + tP1⼆次贝塞尔曲线⼆次贝塞尔曲线（也是线性贝塞尔曲线）公式：t同上在P0P1上的点是A，在P1P2上的点是B，在AB上的点是C，C也就是曲线上的⼀点。
贝塞尔曲线
详细内容定义贝塞尔曲线(B6zier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点(也称锚点)以及两个相互分离的中间点，滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
依据四个位置任意的点坐标可绘制出一条光滑曲线[1]。
对于N次的贝塞尔曲线：设Δbｊ＝ｂj＋１-bｊ时，有旋转矩阵Ｍ，使得：Δｂｊ＝ＭｊΔｂ０ｉ＝０…，ｎ－１当ｔ∈［０，１］时，对于任意单位向量，矩阵Ｍ满足：则这条曲线是由一系列控制点ｂｉ定义的Ａ级贝塞尔曲线。
此时，旋转矩阵Ｍ满足以下两个条件：１）矩阵ＭＴ＋Ｍ－２Ｉ和ＭＴＭ－Ｉ的特征值必均为非负。
这里Ｉ为一个单位矩阵。
２）矩阵Ｍ必映射到单位球体外的任一点。
即：Ｍ的奇异值δ１，δ２应不小于１。
若旋转矩阵Ｍ是由旋转角θ＜π／２和一个尺度因子s组成，则满足下列条件：的矩阵Ｍ被称为Ａ级矩阵。
由Ａ级矩阵即可产生Ａ级贝塞尔曲线。
特性贝塞尔曲线是一种非常自由的曲线，通过改变其控制点的位置和权重就能改变线条的形状。
相对于传统的直线和圆弧相组合来表达曲线的方式，这是一个巨大的提高。
汽车设计中的曲面形状比较复杂，直线和圆弧不能满足其形状变化的要求。
贝塞尔曲线非常自由，我们可以通过改变控制点来改变线条的形状，有着非常良好的交互性，非常适合汽车曲面设计[2]。
贝塞尔曲线数学原理①线性贝塞尔曲线。
给定两点P0、P，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：B(t)=P0+(Pl—Po)t=(1-t)Po+tPl，t∈[0，1]且其等同于线性插值。
②二次方贝塞尔曲线。
给定三点Po、P、P：，二次方贝塞尔曲线由函数B(t)表示：B(t)=(1-t)2Po+2t(1-t)P1+tzp2，t∈[0，1]③三次方贝塞尔曲线。
Po、P、P、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P。
走向P，并从P2的方向来到3。
一般不会经过P，或P2，这两个点只是在那里提供方向资讯。
bezier曲线的原理
bezier曲线的原理
bezier曲线的原理概括如下：
控制点：贝塞尔曲线的形状由一系列控制点来定义。
通常情况下，贝塞尔曲线由起始点、终止点和中间的控制点组成。
插值：贝塞尔曲线通过插值的方式连接这些控制点，生成一条平滑的曲线。
不同类型的贝塞尔曲线（如一阶贝塞尔曲线、二阶贝塞尔曲线、三阶贝塞尔曲线等）使用不同数量的控制点来定义。
递归计算：贝塞尔曲线的生成过程是通过递归计算来实现的。
通过不断将控制点的线性组合作为新的控制点，可以生成出任意次数的贝塞尔曲线。
参数方程：贝塞尔曲线通常使用参数方程来描述，参数方程可以根据参数t的取值，计算出曲线上的点的坐标。
参数t的取值范围一般是[0, 1]，当t在这个范围内变化时，曲线上的点也会相应地变化。
平滑性：贝塞尔曲线具有良好的平滑性，可以通过调整控制点的位置和数量来控制曲线的形状，使其满足设计需求。
总的来说，贝塞尔曲线的原理基于控制点的插值和递归计算，通过参数方程描述曲线的形状，具有良好的平滑性和灵活性，适用于各种图形设计和计算机图形学应用中。
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贝塞尔曲线
20世纪70年代，雷诺汽车公司的Pierre Bezier 和雪铁龙汽车公司的Paul de Casteljau 各自独立地推导出了CAD/CAM 中广泛应用的贝塞尔曲线，这些参数多项式是一类逼近样条。
与贝塞尔曲线紧密相关的是伯恩斯坦多项式，这里将Bernstein 多项式记作,()i n B x ，该多项式定义如下：
,()(1),01i n n i i n B x x x x i -⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭ (1.1) 其中i=0,1,2,…n 。
在Mathematica 中构造该函数可以使用语句：
Bernstein[x_,i_,n_]:=ExpandAll[Binomial[n,i]∗x^i ∗(1−x)^(n −i)]
Casteljau 最开始是使用递归方法隐式地定义的，该递推关系如下：
0,0,,11,1()1
()(1)()()i n i n i n B x B x x B x xB x ---==-+ (1.2)
其中i=1,2,3,…n-1。
通常，n 阶伯恩斯坦多项式一共有(n+1)个，例如四阶的伯恩斯坦多项式为：
234
0,4234
1,4234
2,434
3,444,4()1464()412124()6126()44()B x x x x x B x x x x x B x x x x B x x x B x x =-+-+=-+-=-+=-= (1.3)
除此之外，还有其他一些性质：
非负性
多项式在[0,1]上是非负的，这个结论是显然的，对于四阶伯恩斯坦多项式，函数图形如下：
规范性
,0()1n i n i B x ==∑ (1.4) 原因很简单，对于二项式：
0()n n i n i i n x y x y i -=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑ (1.5) 令x=x ，y=1-x ，代入得证。
导数 ,1,1,1()(()())i n i n i n d B x n B x B x dx ---=- (1.6) 基
n 阶伯恩斯坦多项式组成阶数小于等于n 的所有多项式的一个基空间。
根据该性质，所有n 阶多项式都可以被n 阶伯恩斯坦多项式线性表示。
如果给定一个控制点集P ，其中P i =(x i ,y i )，则贝塞尔曲线被定义为：
,0()()n i i n i P x PB x ==∑
(1.7)
该公式中的控制点是表示平面中的x 和y 坐标的有序对。
x 坐标和y 坐标可单独由该式推导出。
例如求控制点(1,2)、(2,-3)、(3,1)、(4,-2)所表出的贝塞尔曲线，则：
0,31,32,33,30,31,32,33,31*()2*()3*()4*()2*()3*()1*()2*()
Px B t B t B t B t Py B t B t B t B t =+++=-+- (1.8)
展开有： 2321521361710Py t Px t t t t =++≤=-≤-其中
(1.9)
在Mathematica 中绘制图形命令：
ls = ListLinePlot[{{1, 2}, {2, -3}, {3, 1}, {4, -2}}, Axes -> False];
g = ParametricPlot[{1 + 3 t, 2 - 15 t + 27 t^2 - 16 t^3}, {t, 0, 1}];
Show[ls, g]
绘制图形如下：
显然控制点集的第一个点和最后一个点就是贝塞尔曲线的端点。
另外一个性质是，贝塞尔曲线在端点的切线，是平行于过端点和相邻控制点的连线，即有： '10'1P (0)()
P (1)()n n n P P n P P -=-=- (1.10)
对于前面的一个例子，可以检验一下，在t=0时，曲线的斜率是:
002
''-15+54t 48||53t t t t y t k x ==-===- (1.11)
而：P 0=(1,2)，P 1=(2,-3)，所以连线斜率为：
32521k --==-- (1.12)。