定积分练习题

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定积分练习题(打印版)

定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{2} (3x - 2) dx$。

二、换元积分题1. 计算定积分 $\int e^{2x} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $\ln 2$。

2. 计算定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $1$。

三、分部积分题1. 计算定积分 $\int x e^x dx$，上下限为 $0$ 到 $1$。

2. 计算定积分 $\int \sin x \cos x dx$，上下限为 $0$ 到$\pi$。

四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 $x^2 + y^2 = 1$ 在第一象限内围成的面积。

2. 利用定积分计算抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 4$ 所围成的面积。

五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 $a(t) = 2t$，计算从 $0$ 到 $1$ 秒内物体的位移。

2. 假设一物体的力 $F(x) = 3x + 1$，计算从 $0$ 到 $2$ 米内物体所做的功。

六、综合题1. 利用定积分计算函数 $y = \sqrt{x}$ 与 $x$ 轴，以及直线$x = 1$ 所围成的面积。

2. 利用定积分计算函数 $y = \ln x$ 与 $x$ 轴，以及直线 $x = e$ 所围成的面积。

七、挑战题1. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx$。

2. 计算定积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx$。

答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。

定积分练习题

第九章定积分练习题§1定积分概念习题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示（2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ；（2）⎰+-102211dx x x ；（3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ；（5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限：（1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。

证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。

常用积分练习题

常用积分练习题积分是微积分中重要的概念，它在求取函数面积、曲线长度、物理量等方面有广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握积分运算，以下是一些常见的积分练习题，希望对大家的学习能有所帮助。

【题目一】计算下列定积分：(1) $\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx$(2) $\int_1^2 \frac{1}{x}dx$【解答一】(1)$$\int_0^1 (2x^2+3x+1)dx =\left.\frac{2}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+x\right|_0^1 =\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+1 - (0) = \frac{13}{6}$$(2)$$\int_1^2 \frac{1}{x}dx = \left.\ln|x|\right |_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2$$【题目二】计算下列定积分：(1) $\int_0^{\pi} \sin xdx$(2) $\int_0^{\pi} \cos^2 xdx$【解答二】(1)$$\int_0^{\pi} \sin xdx = \left. -\cos x\right |_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2$$(2)$$\int_0^{\pi} \cos^2 xdx = \left. \frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)\right|_0^{\pi} = \frac{1}{2}(\pi+\sin(\pi)\cos(\pi)) - (0+\sin(0)\cos(0)) =\frac{\pi}{2}$$【题目三】利用积分计算长度，计算曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度。

【解答三】曲线$y=x^3$在区间$[0, 1]$上的长度可以用积分来表示：$$\text{长度} = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中$f'(x)$表示曲线对应的导数。

定积分练习题

定积分练习题一、填空题1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ _______.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ ______.6.比较大小，120d x x ⎰ _______130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰ ______1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰____320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰ _____523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）10.120d sin d d x x x =⎰ .11.2dsin d d x x x =⎰ .12.20d sin d d xt t x =⎰ .13.02d sin d d x x x x =⎰ .14.220d sin d d x t t x =⎰ .15.()2de d x t t -=⎰________________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.17.20d d t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰____________________.19.求极限203sin d limx x t t x→=⎰____________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→=⎰.21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于____________________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =___________________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰______________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = . 27.由圆x =0x =所围成图形的面积A = . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = .二、单项选择题1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（）.（A ）大于零；（B ）小于零；（C ）等于零；（D ）不能确定.2.下列等于1的积分是（）.（A ）10d x x ⎰；（B ）10(1)d x x +⎰；（C ）11d x ⎰；（D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d x x e e x -=⎰（）.（A ）1e e +；（B ）2e ；（C ）2e ；（D ）1e e -.4.220(sin +cos )d 22x xx π=⎰（）.（A ）2π；（B ）12π+；（C ）2π-；（D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（）.（A ）0；（B ）-1；（C ）1；（D ）2.6.10d x m e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（）. （A ）m n >；（B ）m n <；（C ）m n =；（D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（）.（A ）11230d d x x x x ≤⎰⎰；（B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰；（D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（）.（A ）203gt ；（B ）20gt ；（C ）202gt ；（D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，其中（）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点；（B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点；（C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点；（D ）ξ是[,]a b 的中点. 10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xa x f t t ϕ=⎰，则（）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数；（B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数；（D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0ba f x x =⎰且()f x 在[,]ab 连续，则（）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =；（C ）存在唯一的一点x 使()0f x =；（D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（）.（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（）.（A ）311d 2x x-⎰；（B ）30ln d x x ⎰；（C ）04tan d x x π⎰；（D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（）.（A ）-1；（B ）0；（C ）1；（D ）2.15.02sin xd t dt dx =⎰（）.（A ）2sin x ；（B ）2sin x -；（C ）22sin x x -；（D ）2sin t -. 16.定积分()()d ba x a xb x --=⎰（）.（A ）3()6b a -；（B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -；（D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aa f x x -=⎰ （）.（A ）02()d af x x ⎰；（B ）0；（C ）0[()()]d a f x f x x +-⎰；（D ）0[()()]d af x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且60()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （）.（A ）0；（B ）4；（C ）8；（D ）16. 19.222d x e x --=⎰（）.（A ）4222d u eu --⎰；（B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰；（D ）222d x e x --⎰. 20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A =（）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π. 25.设ln 1()()xx F x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +；（B ）1(ln )()f x f x +；（C ）2111(ln )()f x f x x x -；（D ）1(ln )()f x f x -.26.下面命题中错误的是（）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d ba f x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界；（C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积；（D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积.27.下列积分值为零的是（）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰；（B ）220cos d x x x π⎰；．（C ）222sin d x x x ππ-⎰；（D ）022cos d x x x π-⎰.28.下列反常积分收敛的是（）.（A ）1x +∞⎰；（B ）211d x x +∞⎰；（C ）11d x x+∞⎰；（D ）1d x e x +∞⎰.29.下列反常积分收敛的是（）.（A ）ln d e x x x +∞⎰；（B ）1d lne x x x+∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰；（D ）e x +∞⎰. 30.1211dx x -=⎰（）. （A ）2；（B ）-1；（C ）；（D ）不存在.三、判断题1.定积分的定义()()01lim nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰中要求[,]a b 是任意分割，但i ξ必须是1[,]i i x x -的中点. （）2.定积分的几何意义是相对应的各曲边梯形面积之和. （）3.220sin 22sin 2xxdx x xdx πππ-=⎰⎰. （）4.定积分的值是一个确定的常数. （）5.若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰.（）6.若[,][,]c d a b ⊂，则()()d bcaf x dx f x dx <⎰⎰. （）7.若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则函数()f x 在区间[,]a b 上有界.（）8. 11211112dx x x --=-=-⎰. （）9.2200xdx ππ==⎰⎰. （）10.若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分必等于零.（）四、计算题1.10(23)d x x +⎰． 2.2211()d x x x x-+⎰． 3.0(cos )d x x e x π-+⎰．4.x x x d )123(1024⎰-+．5.x a x a x a d ))((0⎰+-．6.x xx d )11(94+⎰．7.x x d 1123⎰--+． 8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 9.(sin cos )d x x x π-⎰．10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰． 11.x x d )sin 21(0⎰-π． 12.222cos d x x ππ-⎰．13.2(1cos )d πθθ-⎰． 14．π220cosd 2θθ⎰． 15.40sec tan d x x x π⎰．16.⎰+33/121d x x ． 17.⎰-21021d x x ．18.10⎰．19.221d 4x x +⎰． 20.2120d 1x x x +⎰．21.322d x ⎰． 22.x x x d 12134⎰-． 23.4120d 1x x x +⎰．24.212212d (1)x x x x ++． 25.11d (21)ex x x +⎰．26.221d (1)xx x + 27.251(1)d x x -⎰． 28.⎰-324)28(d x x． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ．30.41x ⎰． 31.120arctan d 1xx x +⎰． 32.1d e x x⎰． 33.ln30 d 1xx e x e +⎰．34.2d x xe x ． 35.⎰+302d 1x x x ． 36.20sin cos d t t t π⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．38.20x π⎰． 39.102d x x e x ⎰．40.51x ⎰．41.41x ⎰． 42.x x xd 191⎰+．43.x xx d 4511⎰--． 44.x x d tan 302⎰π． 45.224cot d x x ππ⎰．五、证明题1．证明下列不等式：x x x x d cos d sin 4040⎰⎰≤ππ． 2．证明下列不等式：x x x x d )1(d e 11⎰⎰+≥．3．证明：当0=x 时，函数t t x I xt d e )(02⎰-=取得最小值.4.求证：1212141≤+≤⎰dx x. 5．证明不等式4/1022e 2d e e 22---≤≤-⎰x xx．6.设()f x 是以l 为周期的连续函数，证明：()d a l af x x +⎰的值与a 无关.7.设n 4 0()tan f n xdx π=⎰（n 为正整数），证明：1(3)(5)4f f +=． 8．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=aa x x a f x x f 0d )(d )(.9．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰=2020d )(cos d )(sin ππx x f x x f10．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰+=+x x x x x x/112121d 1d )0(>x .11．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .12．证明等式0()d [()()]d a aaf x x f x f x x -=-+⎰⎰13．⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x xf ．14．设函数)(x f 在闭区间]10[，连续，且1)(<x f ，证明方程-x 21d )(0=⎰x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根. 15.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xa F x f t t x a=-⎰，证明在(,)a b 内()0F x '≤. 16.已知()f x 是连续函数，证明：20()d [()(2)]d a af x x f x f a x x =+-⎰⎰．17.设连续函数()f x 是奇函数，证明： 0() d x f t t ⎰是偶函数．18.若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()0sin d 3f x f x x x π''+=⎡⎤⎣⎦⎰．19.设01()0()0xt f t dtx F x xx ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 在[)0,+∞上连续，单调递增，且(0)0f ≥，证明：()F x 在[)0,+∞上连续且单调递增。

(完整版)定积分练习题

一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a 0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案：－47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为。

定积分典型例题20例标准答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解（1）()f x ¢=422x x xee---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续．分析要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例15 计算3sin x xdx pò．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-．例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1）而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò，（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò．（1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =．（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。

定积分练习题

定积分练习题1基础题：一．选择题、填空题 1．下列等于1的积分是（）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10212．dx x |4|12⎰-=（）A ．321B ．322C ．323D ．325 3．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（）A ．4B ．2C ．25D ．3 4．dx e ex x⎰-+1)(=（）A ．ee 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-5.若1xm e dx =⎰，11e n dx x =⎰，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定6．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③1202(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（）A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④7.0(sin cos sin )xy t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（）A ．1B ．2C ．72-D ．08. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，117()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是．9．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （）。

(A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .10．设⎪⎩⎪⎨⎧π<≤π=其余0x 3x sin )x (f ，则=⎰π02cos )(xdx x f ( ) （A ）43 （B ）43-（C ）1 （D ）－111．⎰202sin πdx x dxd =________ 12. 定积分 dx x x ⎰-π3sin sin 等于_______13. 定积分dx x x ⎰-π3cos cos 等于( )（A ） 0 （B ）23（C ） 34（D ） 34-14. 定积分⎰-2|cos sin |πdx x x 等于( )（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 15.定积分dx x x ⎰-2223}1,,max{等于( )（A ） 0 （B ） 4 （C ）316（D ）129716.设,2arcsin )(,)1ln()(202dt tx g dt t x f xx ⎰⎰=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小17. ⎰-=xttdt ex F 0,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值(B) )2(πF 为极大值,但无最小值(C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2(πF 为最小值,)0(F 为最大值综合题：11222520022(1)(2)ln(1)(3)(4cos )2x dx x dxx x x x dx x x -+--+--⎰⎰⎰212(8)()[0,2](2)1'(2)0()4''(2)f x f f f x dx x f x dx===⎰⎰已知函数在上二阶可导，且：，及，求：221sin (13)lim()xxx t dt tdt xx→++⎰⎰求极限2330(15)()ln 40:xt dy y y x x e dt y dx-=-++=⎰设隐函数由方程所确定，求2202(1)0(16)(),()00'(0).x t e dt x f x A f x x x A x f ⎧-⎪≠==⎨⎪=⎩⎰设问当为何值时，在点处可导，并求出定积分练习题2一．计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；（5）π220cos 2d θθ⎰（6）⎰+10)32(dx x ；（7）⎰+-102211dx x x ；（8）⎰2ln e e x x dx ；（9）⎰--102dx e e x x ；（10）⎰302t a n πx d x （11）⎰+94;)1(dx x x （12）⎰+40;1xdx（13）⎰eedx x x 12)(ln 1 （14）⎰205;2s i n c o s πx d x x （15）⎰20;s i n πx d x e x （16）⎰+202;s i n 1c o s πdx x x （17）⎰-+10;x x e e dx二．求下列极限：（1）⎰→x x dt t x 02;cos 1lim（2）.)(02222lim dte dt e x t xt x ⎰⎰∞→三．证明题1'()(,)(()'())()()xadf x x t f t d t f x f a dx-∞+∞-=-⎰（）设在上连续，证明：。

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案例 1 求 Iim 42(3n τ 32n^ JH 3n 3).n厂n分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限•解将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为.* ,然后把1的一个因子-乘n n n nn入和式中各项•于是将所求极限转化为求定积分•即Iim A (V n 4 5+⅛2n 2切|+卅)=1计气卩弋F + 山 +；F )=[坏dx=3 •n -r ,n n n I n∖ n 042 -----------------2例 2 [J 2x —xdx= ______________•2 ry解法1由定积分的几何意义知， 0J 2x —X 2dx 等于上半圆周(x —1)2+y 2=1 ( y ≥0)与X 轴所围成的图形的面积.故$ 2χ 一χ2d χ= •■■02解法2本题也可直接用换元法求解.令x_1 = Sint (丄兰t ≤三),则2 2这是求变限函数导数的问题，禾U 用下面的公式即可d V(X)— f (t)dt = f[v(x)]v(x) - f[u(x)]u (X) • dxU(X )丄2-e;可得.Xf (X) = 0f (t)dt Xf(X) •X 3丄解对等式；f(t)dt =x 两边关于X 求导得3 2f (x -1) 3x =1,4_..1 —sin 2tcostdt =2 :、1 —sin 2tcostdt2522例3(1)若f (x) e 丄Xdt ,则 f (X) =— ； (2)若 f(x)=Xxf (t)dt ,求 f (X )=— •■:'≡. 2 -= 2 02COs tdt=- 分析(2) 由于在被积函数中 X 不是积分变量，故可提到积分号外即Xf (X)=X Of (t)dt ,则V(X) 例4设f (x)连续，且X 3 -1O f (t)dt =X ,贝U f(26)=------ 2-XdX =例7已知两曲线y =f (X)与y =g(χ)在点(0,0)处的切线相同，其中arcs inx 十2g(x) = 0e dt , X [-1,1],试求该切线的方程并求极限Iim nf (-3). n 性 n分析两曲线y =f(χ)与y =g(χ)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件 f (0^g (0).解由已知条件得12X 2= (2) Iim =0 .x-⅛ Si nx注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则.故 f(x 3-1)=13X 2 3 1,令X 46得x=3 ,所以f(26)冷1例5函数F(x) = j (3 _4)dt (x >0)的单调递减开区间为F(X)= 31 1 1x ，令F(X z O 得X 3 ,解之得。

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案例1求lim 丄(循2丁2『L Vn 3) •n n分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.解将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为％ -,然后把1丄的一个因子-乘nn n nn入和式中各项•于是将所求极限转化为求定积分•即lim A (习n 2 ^2n 2 LVn 3) = lim -(^—L ^—) = VXdx - • n nnnn,n ,n ° 42 -- ------ r例 2o (2x x dx = ___________• 2 . ________解法1由定积分的几何意义知， °. 2x x 2dx 等于上半圆周(x 1)2 y 2 1 ( y 0)与x 轴所围成的图形的面积.故2,2x x 2dx = _ • 0 2'1 sin 2tcostdt = 2。

2J sin 2t costdt =2 ： cos 2 tdt^22x 2 2x例 3 (1)若 f (x) x e 七 dt ，则 f (x) = ________; (2)若 f (x) 0 xf (t)dt ,求 f (x)=分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可(1) f (x) =2xe x e x可得xf (x) = 0 f (t)dt xf (x) •x 1例 4 设 f(x)连续，且。

f(t)dt x ，贝U f (26) = _________________O Ax 1解对等式0 f(t)dtx 两边关于x 求导得3 2f(x 1) 3x 1,解法2本题也可直接用换元法求解.令x 1= Sint (2 t 2)，则d v(x)dx u(x)f(t)dt f[v(x)]v(x) f[u(x)]u (x) • (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即xf (x) x 0 f (t)dt ，则x 2dx =3 1 令x 1 26得x 3，所以f (26)27故f(x 3 1) 丄3x 例5函数F(x)F (x)1 1，令F (x) 0得r 3，解之得xx1 10 x -，即(0,-)为所求.9 9f (x)x0 (1 t)arctan tdt 的极值点.f (x) = (1 x)arctan x .令 f (x) = 0，得 x 1 , x 0.列表如下:x(,0)0 (0,1) 1(1,)f (x)-0 +f (x)的极大值例7已知两曲线y f (x)与y g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中arcs inxg(x) 0t 2e dt , x [ 1,1],试求该切线的方程并求极限 lim nf (?).n n分析两曲线y f (x)与y g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件f(0) g(0)，f (0)g (0) •解由已知条件得f(0)g(0)°e " dt且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知f (0)g(0)(arcsin x)2e1 x 2故所求切线方程为 y x .而lim nf (-) n nIim3nf(-) n3 0 nf(0) 一 3f (0) 3 •x 22sin tdtlim 0；x 0分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则. 0X 22sin tdt lim ------------------ = lim = ( 2) lim= ( 2)x 0：t (t sin t)dt x 0( 1) x (x sinx) 、7 x 0x sinx ' 丿2x(sin x 2)22 2(x ) 34x(x 0)的单调递减开区间为x 1(3点，x 0为极小值点.由题意先求驻点.于是12x=(2) lim =0 . x 0sinx注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则.1 x t 2例9 试求正数a 与b ，使等式lim -------------------- dt 1成立.x 0x bsin x 0 ‘ ―t 2分析易见该极限属于 0型的未定式，可用洛必达法则.1 x 2lim.a x 01 bcosx21 x lim3x 0x 2故f(x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.2例11计算1|x|dx .分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分.2 220 2x 0 x 251|x|dx = 1( x)dx 0xdx = [ y] 1 [y]0 =-.在使用牛顿-莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如[-]32丄，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数」2在x 0处间断且在被x 6 x 2lim__ x 0x bsin x 0 . a 2x_ _t 「dt = lim _— =lim 1f 2 x 01 bcosx x op x 2x 2limx 01 bcosx由此可知必有 lim(1 bcosx) 0，得 b 1 .又由得a 4 .即a 4 , si nx1xlim a x 01 cosxb 1为所求. 例10设f (x)sin t 2dt , g(x) x 3 x 4，则当0 时，f (x)是 g(x)的( ). A .等价无穷小.B .同阶但非等价的无穷小.解法1由于lim 型 lim si 门伽浪)cosxx 0g(x) x 0C .高阶无穷小.D .低阶无穷小.mo Hx3x 2 4x 3cosx3 4xmo Hxsin (sin x)x解法2 将sin t 2展成t 的幕级数, 1 2 3 3!(t)f (x) 0 sin x 2 [t 2 再逐项积分，得到1 si n 42L ]dt 1 . 3 一 sin xlim 少 x 0g(x).31sin x(- lim -1 . 4sin x 4234x x1 lim -x 01 ■ 4 . sin x L 42 1 xUdx x积区间内无界例12设f(x)是连续函数，且f(x) 1x 3 0 f(t)dt ，则 f (x)所以分析本题只需要注意到定积分因f (x)连续，f (x)必可积,从而a 1—,所以 4例13 计算12x21 分析 bf (x)dx 是常数(a, b 为常数).从而f (x) x 3a ，且f(x) x1 21[―X 2 3ax]0 23 2 .10 f (t)dt 是常数，记 10 f (t)dt a ，则1 o(x3a)dx3a a ,x dx. 1 1 x 2由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性. I 2x 2 x ------ dx = II 1 x 2 I 2x 2----- dxII .1 x 2 ___ dx .由于 11 1 x 2一是偶函数，而 1 1 x 2 旦古函数, 是奇 2 x 111=dx 2 x0,I2x 2 xII1 x 2dx = 4 由定积分的几何意义可知例14计算肿(x 2 011 x 20 1x 2dx 1 2x 2 1 dx = 4 1x 2 (11x 2) 0x _= dx 1 1 x 2t 2)dt ，其中分析要求积分上限函数的导数, 元使被积函数中不含，然后再求导. 由于 x 2 otf(xx 2dx = 4 dx 4；FVdx故令x 2xdx 01 4 dx 0 f(x)连续. 但被积函数中含有 x ,因此不能直接求导，必须先换2 1 x2 2 2t )dt = 2 0f(x t )dt .2 20时u x ；当t x 时u 0，而dtx2 2 1tf(x t)dt=；222d 1 x tf(x t)dt= dx [2 0x 2f (U)( du)=idu ，所以x 2f (u)du ,f (u)du] =£ f(x 2) 2x = xf (x 2).错误解答 — tf(x 2 t 2)dtxf(x 2 x 2) xf(O).dx 0错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式d x(x) a f (t)dt f (x)dx a中要求被积函数f(t)中不含有变限函数的自变量 x ，而f (x 2 t 2)含有x ，因此不能直接求导，而应先换元. 15 计算 3 xsinxdx .分析被积函数中出现幕函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法.=1ln21 In3 .417计算2e si nxdx .分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法. 解由于 02e x sin xdx；sin xde x [e x sinx]〕2e x cosxdxe^2e x cos xdx ,(1)而02 *cosxdx2cos xde x[e x cosx](?o2e x ( sin x)dx2e x sin xdx 01 , (2)将(2)式代入(1)式可得?e x s in xdx e 2[2 e x sin xdx 1],故2 e xsin xdx1 ~2-(e 2 1). 21例 18 计算 xarcsinxdx .解 3 xs in xdx 3 xd(0 0 '3cosx) [x ( COSX )]oo3( cos x) dx616计算0兽dx .3cosxdx¥ 6分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法.1x)d(-3 xJdx= 1ln(1 0(3 x)2'1Fln(1x)】1(3 x) (1 x)dx1 In2 21 xarcsin xdx分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解. 解由于 0 [ f (x) f (x)]cos xdx 0 f (x)d sinxcosxdf (x){ f (x)sin x 00 f (x)sin xd" {[ f (x)cosx]° 0f (x)sin xd 冷f ( ) f (0) 2 .故 f (0) 2 f ( )2 3分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算.解 dxtdx1 t 11 解2= lim 2= lim ()dxx 4x 3 t 0 x 4x 3 t 2 0 x 1 x 31 x 1 t 1 t 1 1 =lim [In ]0= lim (In In ) t2 x3 t 2 t 3 3分析被积函数中出现反三角函数与幕函数乘积的情形，通常用分部积分法.1解xarcs in xdx1x20arcsinxd (一2x1[ arcsinx]。

定积分计算平均数练习题

定积分计算平均数练习题一、基础题1. 计算函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 [1, 3] 上的平均数。

2. 计算函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 在区间 [0, 4] 上的平均数。

3. 计算函数 $ f(x) = \sin x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的平均数。

4. 计算函数 $ f(x) = e^x $ 在区间 [0, 1] 上的平均数。

5. 计算函数 $ f(x) = \ln x $ 在区间 [1, e] 上的平均数。

二、提高题1. 计算函数 $ f(x) = x^3 3x $ 在区间 [1, 2] 上的平均数。

2. 计算函数 $ f(x) = 2x^2 + 4x + 1 $ 在区间 [2, 3] 上的平均数。

3. 计算函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在区间 [1, 3] 上的平均数。

4. 计算函数 $ f(x) = \cos x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{3}]$ 上的平均数。

5. 计算函数 $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ 在区间 [0,1] 上的平均数。

三、综合题1. 计算函数 $ f(x) = \sin^2 x $ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的平均数。

2. 计算函数 $ f(x) = e^{x^2} $ 在区间 [1, 1] 上的平均数。

均数。

4. 计算函数 $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 4} $ 在区间 [0, 3] 上的平均数。

5. 计算函数 $ f(x) = \sqrt{x^3 + 2x} $ 在区间 [1, 4] 上的平均数。

四、应用题1. 计算速度函数 $ v(t) = 3t^2 2t + 1 $ 在时间区间 [0, 2] 内的平均速度。

2. 计算密度函数 $ \rho(x) = \frac{1}{x+1} $ 在区间 [1, 4] 内的平均密度。

定积分练习题

定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。

3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。

4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。

5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。

7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。

8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。

9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。

三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。

11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。

12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。

13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。

14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。

四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。

（完整版）定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。

(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。

4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。

5．1lim22xdtarctgt xx 。

6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。

7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。

8．2221limnn nnn。

9．求nk nknknnen e 12lim 。

10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。

11．若2ln 261xtedt ，求x 。

12．证明：212121222dxeex。

13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。

定积分期末考试题及答案

定积分期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则定积分∫abf(x)dx的值：A. 总是存在B. 可能不存在C. 总是不存在D. 无法确定答案：A2. 计算定积分∫01x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A3. 函数f(x)=x^3在区间[-1, 1]上的定积分值为：A. 0B. 2C. -2D. 1答案：A4. 若∫abf(x)dx =∫abg(x)dx，则f(x)和g(x)在区间[a, b]上的关系是：A. 相等B. 相等或相反C. 相等或相等的常数倍D. 无法确定答案：C5. 定积分∫0π/2</s up>cos(x)dx的值是：A. 1B. 0C. π/2D. -1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 定积分∫01(2x+1)dx的值为______。

答案：3/22. 函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上的定积分值是______。

答案：8/33. 计算定积分∫0πsin(x)dx的值是______。

答案：24. 定积分∫-11|x|dx的值为______。

(完整版)定积分测试题及答案.doc

定积分测试题及答案班级：姓名：分数：一、选择题：（每小题 5 分）1 1-x 2dx （）1.A.0B.1C.D 42(2010 ·山东日照模考 )a ＝ 2xdx ，b ＝ 2e xdx ，c ＝2sinxdx ，则 a 、b 、c的大小关系是 ()A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b3.(2010 山·东理，由曲线y ＝ 2，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为 ()7) x1 11 7 A. 12B.4C.3D.124．由三条直线 x ＝0、x ＝2、y ＝0 和曲线 y ＝ x 3所围成的图形的面积为()418A ．4B.3C. 5D ．65.(2010 湖·南师大附中 )设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线 OP ，直线 y ＝x 2 及直线 x ＝2 所围成的面积分别记作 S 1，S 2.如图所示，当 S 1＝S 2 时，点 P 的坐标是 ()4 164 16 4 15 4 13 A.3，9B.5，9C.3，7D.5，76．(2010 ·湖南省考试院调研 )1 -1(sinx ＋1)dx 的值为 ( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线 y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是 ()3πA ．2πB ． 3πC. 2D ．π8．函数 F(x)＝ xt(t －4)dt 在[－1,5]上 ()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－ 32332C ．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值S n ＝2n 2＋n ，函数 f(x)＝ x1 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 t dt ，若13，则 x 的取值范围是 ()f(x)<a3－A. 6 ，＋∞B ．(0，e 21)C ．(e 11，e)D ．(0，e 11)10．(2010 ·福建厦门一中 )如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝sinx(0≤x ≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()123πA. D.4．·吉林质检函数x ＋2 －2≤x<0的图象与 x 轴所围 ) f(x) ＝π 11 (20102cosx 0≤x ≤2成的图形面积 S 为()31A. 2B ．1C ．4D.212．(2010 ·吉林省调研 )已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)，曲线 y ＝x 2(x ≥0)与 x 轴，直线 x ＝1 构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 内的概率是 () 11 1 2A. 2B. 4C.3D.5二、填空题：（每小题 5 分）13.sinxdx= ______________14.物体在力 F(x)=3x+4 的作用下，沿着与 F 相同的方向，从 x=0 处运动到 x=4 处，力 F 所做的功为 ______________21x )dx15. (x______________116. 1e x )dx(e x ______________17.(2010 芜·湖十二中 )已知函数 f(x)＝3x 2 1＋2x ＋1，若 -1 f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a ＝________.18．(2010 ·安徽合肥质检 )抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝1 围成的封闭4图形的面积为3，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则 l 的方程为 ______．19．(2010 ·福建福州市 )已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域 (图1中阴影部分 )的面积为12，则 a 的值为 ________．20．如图所示，在区间 [0,1] 上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1＋S2最小为 ________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12 C 13.2 14.40 15 23 + ln 2 16.e- 1e 17.-1 或31 18.16x-8y+1=0 19.-1 20. 41。

定积分典型例题20例标准答案

定积分典型例题20例答案例1求lim —(召帚十丁2『+|||十诉3).n厂n分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限. 数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.1 1 11 1 解将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为厨=丄，然后把冷二丄丄的一个因子-乘nnn nn入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即lim 12(V n r +^2^ +H|+阳) = lim 丄品+常？+川+芒)=佼dx=3.n -；•： n 2n；：n n .n " n 04例 2 f J‘2x — x 2dx = _____ .解法1由定积分的几何意义知，J2x -x 2dx 等于上半圆周(x-1)2+y 2=1 ( y 兰0)x 2,2x例 3 (1)若 f(x) = [ e^dt ,贝U f (x) =—; (2)若 f(x) = [ xf (t)dt ,求「(x)=这是求变限函数导数的问题，禾U 用下面的公式即可d v(x)£ u(x )f (t)dt = f[v(x)]v(x) -f[u(x)]u (x).可得xf (x) = 0 f (t)dt xf (x).例 4 设 f(x)连续，且[f(t)dt=x ，贝U f (26)=f(t)dt =x 两边关于 x 求导得32f(x -1) 3x =1,31若对题目中被积函解法2本题也可直接用换元法求解.令TTTTx_1 = si nt (一二兰 t 兰二),贝 V7Tdx = 2_.. 1 -sin 21 costdt= 2/"22=2 02cos tdt分析 (2) 4(1) f(x)=2xe 」 _x2—e ;由于在被积函数中 x 不是积分变量，故可提到积分号外即xf (x) =x 0 fx 3 _L与x 轴所围成的图形的面积.故x 2dx =—2「sin t令x ^=26得“3，所以f(26^-x1例5函数F(x) = [ (3 —丄)dt (x >0)的单调递减开区间为 __________ .1 1 11 解 F(x)=3 _,令F (x) ::: 0得_ 3，解之得0叮x 叮，即(0,)为所求.i ：?xx 9 9x例 6 求 f (x) = ] (1 _t)arctan tdt 的极值点.解由题意先求驻点.于是 f (x) = (1 _x)arctanx .令f(x) = 0，得x =1 , x =0 .列表如下:与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中arcs inx十2g(x) = 0 e~ dt , x [-1,1],3试求该切线的方程并求极限lim nf (-). y n分析两曲线y =f(x)与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件f (0) =g (0).解由已知条件得故x =1为f (x)的极大值点，X = 0为极小值点. 例7已知两曲线y = f (x)f(°)=g(0),f(°) =g(°)二Jdt =0 ,212x 小=(-2) lim = 0 .t si nx注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则.且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知-(arcsi nx)2ef (0)二g (0) —2⑷一X=1.x =0故所求切线方程为 y =x .而护33f( ) -f(0) ―n ------ =3f (0) 3-0 n2、 0 sin 2tdt例8 求nm ---- -------------- ；分析该极限属于唁型未定式，可用洛必达法则.X?! sin tdt解x 叫=[t(t —si2x(sin x 2)2(x 2)24x 3=忸百==(一2)x m 占；=(一2)恢一沁分析易见该极限属于 -型的未定式，可用洛必达法则.1「 x 2-^lima x —01 -cosx即a = 4 , b =1为所求.Sinx234例 10 设 f (x) = 0 sint dt , g(x) =x x ,则当 x —： 0 时，f (x)是 g(x)的(A .等价无穷小.B .同阶但非等价的无穷小.C .高阶无穷小.D .低阶无穷小.2解法 1 由于 lim 竺=lim sin (sin2X)c osxT g(x) x-° 3x +4x2cosx sin (sin x)= lim lim 2 ----- x 03 4x x_Q x1 x 21 lim2 3x 0x 23故f (x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.选B .解法2将sint 2展成t 的幕级数，再逐项积分，得到sinx21 2 3 1 3 1 7f(x)=[ [t --(t ) +HOd^-sin x —42Sin x+||| ,3! 3 42则2例11 计算.」x|dx .被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分.注在使用牛顿-莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如fgdx=[-丄]32= 一，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数在x=0处间断且在被试求正数a 与b ，使等式lim1 x t 2、[d\ -1成立.x -bsinx 0. t 21 x -bsinx 2由此可知必有 |im(1 -bcosx) = 0 , lim a x 01 - bcosx得 b =1 . 又由•"a"，得a =4 ).lim f(x)x 0g(x) .3, 1 sin x(- = lim 3 sin 4x ll|分析解2.」x|dx = 解xlimx)01 - b cosxt 2dt =「一 sin x11) 42 3 4 x x420 2二(-x)dx 0 xdx =[2x x 6 x积区间内无界•例12 设f(x)是连续函数，且f (x) =x+3.0 f(t)dt，贝U f (x) = _______ .b分析本题只需要注意到定积分af(x)dx 是常数(a, b 为常数).1 1解因f (x)连续，f(x)必可积，从而0 f (t)dt 是常数，记0f(t)dt=a ，则1 1f(x)=x+3a ，且[(x+3a)dx = ] f (t)dt =a .所以1 2 1 1[x 3ax]0 =a ，即卩 3a = a , 2 21 3 从而a ，所以 f (x) =x 一44212x 2x』1%1-x 2分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性.由定积分的几何意义可知 fj 1 —x 2dx=昱,故4d x c c例14 计算一 tf (x 2-t 2)dt ，其中f(x)连续. dx 0分析要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ,因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含 x ，然后再求导.解由于tf(x 2-t 2)dt = l 0f(x 2-t 2)dt 2.故令 x 2 -t 2 = u ，当 t = 0 时 u = x 2 ；当 t = x 时 u = 0，而 dt 2- -du ，所以x221 0 1 x 2[tf(x —t )dt =? [2 f(u)(-du)=? J 0 f (u)du ,故d x22 d 1 x1 2 2—0 tf (x -t )dt = —[- f (u)du] =- f(x ) 2x= xf(x ).dx 0dx 2 0错误解答 —tf (x 2-t 2)dt 二xf(x 2-x 2) =xf(0).例13 计算2 212x 2x12x2 1xdx =dx dx由于2x 21 . 1 -是偶函数，而1 . 1_x 2是奇函数，有T .1-x 2dx =0, 于是dx = 4x 21 1 -x 2dx = 41X (1-J-X)dx = 4 1dx_4 11 一 x 2dxi o J o -12x 2丄1 1x 2-x1dx =4 0JIdx - 44= 4— 7：1 2x 2xdx 0错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式d xG(X) a f(t)dt = f(X)dx曷中要求被积函数f(t)中不含有变限函数的自变量X，而f(X2—t2)含有X，因此不能直接求导，而应先换元.分析被积函数中出现幕函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法.n n nj x d( _ co sx ：)[x ( -co)s 03) ] 03-( codSx=_—+616计算1ln』dx.0 (3-x)2分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法.-ln(1 +x) “/ 丄 1 r 1 I “ 丄r1 1rdx= |n(1 x)d( ) = [ ln(1 x)]° -(3-x) 03-x，3-x 0(3-x)=-l n2 —1 1(二—)dX2 4 01 X3 — x」ln 2 -丄1 n3 .2 4JE17计算? e x sin xdx •分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法._J[ _JT _JE解由于02e x sinxdx = 02sin xde X=[e x sinx]o - 02e X cosxdxn TL=e2-『e x cos xdx , (1)而2 x 2 x x 2 2 x0 e cosxdx = 0 cosxde [e cosx]o —0 e (-sin x)dx2e x sin xdx T , (2)将(2)式代入(1)式可得Tl H2 x 2 ，- 2 x0 e sin xdx = e [ 0 e sin xdx -1],故窶1厘02e x sin xdx ^[(e 21).15计算Tt[3 xsin jr解03xs in x df cOSXdX 撐在1例18 计算o xarcsinxdx .分析被积函数中出现反三角函数与幕函数乘积的情形，通常用分部积分法.xarcs in xdx1 2 2 =0 arcsinxd (才)=[乡 arcsinx]0 i x 2-0 — d (arcsinx) 令 x 二sint ，贝U1 x 20 F 2x----- dx .—件丁 '“si nt 0 1 _si n 2t 也 costdt 0 cost 2sin2tdt 扌1「cos2t 0 2 将（2）式代入（1）式中得d ^[2- 4 sin 2t 2]04 (2)fx arcsi nxdx=2L 0 8 例19设f （x ） [0,二]上具有二阶连续导数, f 5)=3 且貞 f (x) + f Ir (x)]cos xdx = 2，求 f r (C). 分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解.由于 [[f (x) + f '(x)]cos xdx = [ f (x)d sin x +[cosxdf (x)={ [f (x)sin x ”一 f (x)sin xdx} +{[ f (x)cos x]石 +「f "(x)sin xdx} --f (二)-f(0) =2 . f （0） = -2 _ f （二）=_2 _3 = -5 . dx计算 =0 x 2 +4x +3分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算. 1 t 1 2 °（x 1 t 1 例20 t dx 1 2 = lim 0 x 4x 3 — ;2 =lim 1[l t r ：：2l n3 2 n2Ll]0=lim l(ln x 3 t 」‘2 t 3 1 )dx x 31 -In )3。

定积分期末考试题及答案

定积分期末考试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项是定积分的基本性质？A. ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b]g(x) dxB. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[b,a] f(x) dxC. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dxD. ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(-x) dx答案：A2. 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么下列哪个陈述是正确的？A. ∫[a,b] f(x) dx 总是存在B. ∫[a,b] f(x) dx 可能不存在C. ∫[a,b] f(x) dx 等于0D. ∫[a,b] f(x) dx 等于f(a) + f(b)答案：A二、填空题1. 定积分∫[0,1] x^2 dx 的值为 ______ 。

答案：1/32. 若∫[a,b] f(x) dx = 5，且 f(x) = 2x + 1，求 a 的值，当 b = 2。

答案：-1三、解答题1. 计算定积分∫[1,4] (3x^2 - 2x + 1) dx。

解：首先确定被积函数的原函数，即 F(x) = x^3 - x^2 + x。

然后根据定积分的定义，计算 F(4) - F(1)。

F(4) = 4^3 - 4^2 + 4 = 64 - 16 + 4F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1因此，∫[1,4] (3x^2 - 2x + 1) dx = F(4) - F(1) = 64 - 16 + 4 - (1 - 1 + 1) = 522. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，求在区间 [0, 3] 上的定积分，并求出曲线 y = f(x) 与 x 轴围成的面积。

解：首先计算定积分∫[0,3] (x^2 + 3x + 2) dx。

原函数为 F(x) = (1/3)x^3 + (3/2)x^2 + 2x。

积分问题练习题

积分问题练习题一、基础练习1. 求下列定积分的值：a) ∫(2x - 3)dxb) ∫(3x^2 + 2x - 1)dxc) ∫(4sinx + 5cosx)dx2. 求下列不定积分：a) ∫(3x^2 + 2x - 1)dxb) ∫(6x^3 + cosx)dxc) ∫(e^x + ln x)dx3. 求下列定积分：a) ∫[a, b] (x^3 - 2x^2 + 3x - 4)dxb) ∫[0, 2π] sin2xdxc) ∫[-1, 1] |x|dx二、进阶练习1. 求下列带参数的积分：a) ∫[m, n] (mx^2 - 1)dx （其中m和n为常数）b) ∫[a, b] (ax^2 + bx + c)dx （其中a、b、c为常数）c) ∫[0, π/2] sin^kxdx （其中k为正整数）2. 求下列定积分：a) ∫[0, 1] x^ndx （其中n为正整数）b) ∫[0, π/4] tanxdxc) ∫[-∞, ∞] e^(-x^2)dx3. 已知函数f(x)在区间[0, π]上连续且单调递增，且f(0) = 0，f(π) = 1。

证明函数g(x) = ∫[0, x] f(t)dt在[0, π]上为单调递增函数。

三、挑战练习1. 计算下列积分：a) ∫[0, 1] e^x(x - 1)dxb) ∫[0, π/2] sin^3xdxc) ∫[1, e] lnxdx2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且单调递增。

证明在该区间上存在唯一的实数c，使得∫[a, b] f(x)dx = f(c)(b - a)。

3. 求函数f(x) = ∫[0, x] (x - t)f(t)dt的表达式。

结束语：以上就是一些关于积分的问题练习，通过这些练习，相信您对积分的求解有了更深入的理解。

希望您能够灵活运用所学知识，解决更加复杂的积分问题。

如果有任何疑问，请随时向我提问。

祝您学业进步！。

定积分练习题

定积分练习题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

解：首先，我们可以使用不定积分的方式计算该定积分。

对函数$f(x) = x^2$ 进行不定积分，得到原函数 $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C$，其中 $C$ 为常数。

然后，我们可以应用定积分的性质，即 $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$。

将 $F(x)$ 代入上述公式，我们得到：$\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 + C -\frac{1}{3} \cdot 0^3 - C$可简化为：$\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$因此，定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$ 的结果为 $\frac{1}{3}$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{4} (2x+1) dx$。

解：我们可以先将被积函数 $2x+1$ 展开，并应用定积分的性质进行计算：$\int_{1}^{4} (2x+1) dx = \int_{1}^{4} 2x dx + \int_{1}^{4} 1 dx$对于第一项，我们可以使用不定积分的方式进行计算。

对函数 $f(x) = 2x$ 进行不定积分，得到原函数 $F(x) = x^2 + C$，其中 $C$ 为常数。

因此，第一项可以表示为：$\int_{1}^{4} 2x dx = [x^2]_{1}^{4} = 4^2 - 1^2 = 15$对于第二项，我们可以应用定积分的性质，即 $\int_{a}^{b} 1 dx =x \Big|_{a}^{b} = b - a$。

因此，第二项可以表示为：$\int_{1}^{4} 1 dx = 4 - 1 = 3$将两项结果相加，我们得到：$\int_{1}^{4} (2x+1) dx = 15 + 3 = 18$因此，定积分 $\int_{1}^{4} (2x+1) dx$ 的结果为 18。