不定积分练习题及答案
《高等数学》(上)题库 第四章 不定积分 参考答案
某某学院《高等数学》（上）题库 第四章 不定积分 参考答案一、选择题1. 在区间),(b a 内，如果)()(x x f ϕ'='，则一定有（ B ）. A.)()(x x f ϕ= B.)()(x x f ϕ=+ C C.[][]'='⎰⎰dx x dx x f )()(ϕ D.⎰⎰'=')()(x d x f d ϕ2. 设)(),(x G x F 都是)(x f 的原函数，则必有( B ).A. 0)()(=-x G x FB. C x G x F =-)()(C. 0)()(=+x G x FD. C x G x F =+)()(3. 若)(x f 为可导、可积函数，则（ A ）.A. [])(])(x f dx x f ='⎰B. []f(x)f(x)dx d =⎰C. ⎰=')()(x f dx x fD.)()(x f x df =⎰4. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).A. cos x +1B. -cos x + CC. cos x + CD. sin x +C5. 如果()f x =2x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为 (D ).A. 2xB. 2x +1C. 2x -1D. 2x +C6. 若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(（ C ）A ．C x +-1；B ．C x +-；C ．C x +；D ．C x +-2)1(217. 幂函数的原函数一定是（ D ）.A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.幂函数或对数函数8. 若⎰+=-C e dx x f x )(，则=')(x f （ D ）.A.x xe --B.x e x -2C.x eD.x e -9.（ D ）是函数x x f 21)(=的原函数A ．x x F 2ln )(=B ．221)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F ln 21)(= 10.若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ C ）A ．x 2sin 4B ．x 2cos 2C ．x 2sin 4-D ．x 2cos 2-11.下列等式中（ D ）是正确的A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()(C ．Cx f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+--=-'C x f dx x f x )1(21)1(22 12.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （ A ）A ．C x F +-)(cosB ．C x F +)(cosC ．C x f +-)(sinD ．C x F +)(sin13.下列函数中，（ B ）不是x 2sin 的原函数。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
不定积分例题及答案_理工类
第4章不定积分内容概要名称主要内容不设 f x ，x I ，若存在函数F x ，使得对任意x I 均有F x f x 定积或dF x f xdx ，则称F x 为f x 的一个原函数。
分的f x 的全部原函数称为 f x 在区间I 上的不定积分，记为概念 f xdx F x C 注：1）若（f x 连续，则必可积；2 ）若F x G x 均为 f x 的原函数，则（ F x G x C 。
故不定积分的表达式不唯一。
性 d f xdx f x 或d f xdx f xdx ；dx 性质1：质不性质2：F xdx F x C 或dF x F x C ；定积性质3：f x g xdx f xdx g xdx ，为非零常数。
分计设 f u 的原函数为 F u ，u x 可导，则有换元公式：算第一换元方积分法法（凑微分法）f x xdx f xd x F x C 第二类设x t 单调、可导且导数不为零，f t t 有原函数F t ，换元积分法f xdx f t t dt F t C F 1 则x C 分部积分法u xv xdx u xdv x u xv x v xdu x 有理函数积若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。
本章在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。
从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。
这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！dx★1 x 2 x 5 1思路: 被积函数x 2 ，由积分表中的公式（2）可解。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
最新不定积分习题与答案
精品文档不定积分（Ａ）１、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１）?dx2?dx)(x?22x1?４）３）2x??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７）２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５）?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７）3x3x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９）dx?3?dxxcos21?2x12）11 ）3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13)??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15)3x1??dxdx)x?(x12x?117) 18)x2arccos arctanx10精品文档．精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１）?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３）2x24x?dx dx??32)1(x?x21?６）５）dxdx??22?1?x1?x1?x７）８）４、求下列不定积分（分部积分法）??xdxarcsinxsinxdx１）２）x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１）3x?2?dx210??3xx２）dx?2)?x(x1 3 ）（Ｂ）2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。
13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。
时函数值为精品文档．精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。
不定积分例题及答案
求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C--=-+⎰ ★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰ ★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x Cx x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++★(8)23(1x+⎰思路:分项积分。
不定积分100题
不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。
(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。
(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。
(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。
(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。
(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。
不定积分例题及参考答案
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x -=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
(整理)§4不定积分习题与答案.
3、 (1) ln csct cot t c
（ 2） 2( x cos x sin x ) c
x2 4
2
（ 3） 2(tan
arccos ) c
2
x
a2
x
(4) (arcsin
2
a
x a2
a2
x2)
c
x
(5)
c
1 x2
(6) 2x ln(1 2x) c
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1 (7) (arcsin x ln x
(3) ln x 1 ln( x 2 1) c 2
(4) ln x
1 ln x 1
1 ln( x2
1)
1 arctanx
c
2
4
2
1 x2 1
3
2x 1
(5) 2 ln x2 x 1
arctan 3
3
c
1、 设曲线 y
(B)
f ( x) ，由导数的几何意义： y
11 ， dx
ln x
c ，点 (e2 ,3) 代入即可。
１） (3 2x) 3dx
dx
２）
3 2 3x
３） sin t dt t
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dx
４）
x ln xln(ln x)
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５）
dx
cos x sin x
７） x cos(x2 ) dx
dx
６）
ex e x ８） 3 x3 dx
1 x4
９）
sin x
3
dx
cos x
10）
1 x dx
9 4x2
dx
x2 )
c
3
经济数学不定积分习题答案
P81 习作题5.11.求下列不定积分()()22311+3=3x dx dx x dx x x C +=++⎰⎰⎰()121322231122=33ln 23x x dx xdx x dx dx x x x C x x ⎛⎫++=++=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()()()()21c o s1113s i n 1c o s c o s s i n 22222x x dx dx x dx dx xdx x x C -==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰（4）解法1：()222cot csc 1csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰ 解法2：2cot xdx ⎰ 22222cos sin 1sin sin 1sin cot xdxx xdx x dx dxx x x C=-==-=--+⎰⎰⎰⎰P86习作题5.21. ()()()()()5561112+1=2+12+1=21212x dx x d x x C ++⎰⎰()()222112222x x x e dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰()111213x x x e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰()()()()22314ln ln ln ln 3dxx x d x x C x ==+⎰⎰()sin sin sin 5cos sin x x x e xdx e d x e C ==+⎰⎰()()3222236cos cos cos cos sin =1sin sin sin sin sin 1sin sin 3xdxx xdxxd xx d x d x xd xx x C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()1171ln 1111x x x x x x x e dx de d e e C e e e ==+=+++++⎰⎰⎰ ()()()21cos 6111118sin 31cos 6cos 66sin 622212212x xdx dx x dx dx xd x x x C -==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰P86—2—(1)：⎰则21x t =-，2dx tdt =原式=()2221t t dt -⎰ =()422t t dt -⎰ =()422t dt t dt -⎰⎰ =532253t t C -+ =()()5322221153x x C +-++ P86—2—(2)：23,,2t t x dx tdt +== 原式=1t dt t +⎰=111t dt t +-+⎰ =11dt dt t -+⎰⎰ =()111t d t t -++⎰ =()ln 1t t C -++)ln1C -+ P86—3—(1)：解法1:()()()()()22222223222ln 11ln 121ln 1ln 121ln 1221xxdx x dx x x x d x x x x dx x +=+⎡⎤=+-+⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()32221ln 1221x x x x x dx x ⎡⎤+-=+-⎢⎥+⎣⎦⎰ ()()()()222222211ln 1212111ln 12x x xdx d x x x x x C ⎡⎤=+-++⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=++-+⎣⎦⎰⎰解法2:()2ln 1x xdx +⎰ ()221ln 12x dx =+⎰ ()()221ln 112x d x =++⎰ ()()()()()()()()22222222211ln 11ln 1211ln 12211ln 12x x x d x x x xdx x x x C ⎡⎤=++-++⎣⎦⎡⎤=++-⎣⎦⎡⎤=++-+⎣⎦⎰⎰ P86—3—(2)：()()22222ln 1ln 21ln ln 21ln 211ln 22x xdxxdx x x x d x x x xdx x x C ==-=-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ P86—3—(3)：()22ln 1ln 11ln ln 11ln 1ln 1x dxx xd xx d x x x x dx x xx C x=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-+=-++⎰⎰⎰⎰ P86—3—(4)：()222222x xx x x x x e dxx de x e e dx x e xe dx------=-=--=-+⎰⎰⎰⎰()()2222222222x xx x x x x x x x e xde x e xe e dxx e xe e Cx x e C---------=--=---=---+=-+++⎰⎰ P86—3—(6)：()()()()()22222cos 11cos 221cos 221sin 241sin 2sin 2411sin 2sin 224211sin 2cos 242x xdx x x dx xdx x xdx x xd x x x x xdx x x x xd x x x x x C =+=+=+=+-⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ P105—1—(1)：22222122x dx x xdx x dx x C x-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=-+⎰⎰⎰P105—1—(2)：523223x dxx C --==-+⎰⎰P105—1—(3)： ()()2cos 21cos 21cos 21sin 2x dxx dx dx xdx x x C +==+=++⎰⎰⎰⎰ P105—1—(4)：解法1:2cot xdx ⎰()2csc 1x dx =-⎰2csc cot xdx dxx x C=-=--+⎰⎰ 解法2：2cot xdx ⎰22222cos sin 1sin sin 1sin cot x dx xx dx xdx dx xx x C=-==-=--+⎰⎰⎰⎰ P105—1—(5)：解法1：333x x x e dxe e dx e C---==+⎰⎰解法2：()3-333x x x e dxe d x e C--=-=+⎰⎰ P105—1—(6)：()()2222222211111111arctan dx x x x x dx x x dx dx x x x C x ++-=+=-+=--+⎰⎰⎰⎰P1053.(1) 解法1:t =，则323,3x t dx t dt =-=- 原式2233=32t dt tdt t C t -=-=-+⎰⎰ =233(3)2x C --+ 解法2:233(3)2x C =-=--+ (2)sin 21sin 2tan 2(2)cos 22cos 2x x xdx dx d x x x==⎰⎰⎰ 12=-1(cos 2)cos 2d x x ⎰1ln cos 22x C =-+ (3)222211()22x x x xe dx e d x e C ---=--=-+⎰⎰ (5)ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰ 5.(1)法一：t =，则322,3x t dx t dt =-=原式424333=3(2)44t t dt t C x C ⋅=+=++⎰法二：433(2)(2)4x x C =+=++(2) 解法1:t=，则65,6x t dx t dt==原式52234611 =6611t dt t tdt dt t t t t-+==+++⎰⎰⎰()()11161t tdtt+-+=+⎰()()()()1611161111t dt dttt d t d tt⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--++⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()2161ln12t t C⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦))2316ln1C=++解法2:t=，则65,6x t dx t dt==原式52234611 =6611t dt t tdt dt t t t t-+==+++⎰⎰⎰()()11161t tdtt+-+=+⎰()()16111611t dt dtttdt dt d tt⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰()216ln12t t t C⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦)6ln1C=+(3)t=，则21,2x t dx tdt=-=原式21=2211t t ttdt dtt t--=++⎰⎰2=211t t dt dt t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭⎰⎰ ()()()()()()()()))2221111=2111111214ln 1214ln 111121*********t t dt dt t t t t dt dt dt t t t dt dt t t t t t t d t d t t CC t ⎛⎫-++-- ⎪++⎝⎭+-+⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--++-++-+=-⎢⎥+⎣⎦=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6（1）sin cos (cos cos )x xdx xd x x x xdx =-=--⎰⎰⎰sin cos x x x C =-+(2)233311ln ln (ln ln )33x xdx xdx x x x d x ==-⎰⎰⎰ 3331111(ln )(ln )333x x x dx x x C x =-⋅=-+⎰ （4）arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ 22211arctan arctan 121x x x dx x x dx x x=-=-++⎰⎰ 2211arctan (1)21x x d x x=-++⎰ 21arctan ln(1)2x x x C =-++ （5t =，则2,2x t dx tdt ==原式=22t t e tdt tde =⎰⎰2()t t te e dt =-⎰()()2121t e t C C =-+=-+。
大一不定积分习题及答案
大一不定积分习题及答案大一不定积分习题及答案大一的不定积分是数学系学生必修的一门课程，它是微积分的重要组成部分。
不定积分是求解函数的原函数的过程，也被称为反导数。
在学习不定积分的过程中，习题是非常重要的，通过解答习题，可以加深对知识点的理解和掌握。
下面将介绍一些常见的大一不定积分习题及其答案。
1. 求解∫(2x + 3)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(2x + 3)dx = ∫2xdx + ∫3dx。
对于∫2xdx，根据幂函数的不定积分公式，可以得到∫2xdx = x^2 + C1，其中 C1为常数。
对于∫3dx，根据常数函数的不定积分公式，可以得到∫3dx = 3x +C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 x^2 + 3x + C，其中 C = C1 + C2。
2. 求解∫(sinx + cosx)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(sinx + cosx)dx = ∫sinxdx + ∫cosxdx。
对于∫sinxdx，根据三角函数的不定积分公式，可以得到∫sinxdx = -cosx + C1，其中 C1 为常数。
对于∫cosxdx，同样根据三角函数的不定积分公式，可以得到∫cosxdx = sinx + C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 -cosx + sinx + C，其中 C = C1 + C2。
3. 求解∫(e^x + 2x)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(e^x + 2x)dx = ∫e^xdx + ∫2xdx。
对于∫e^xdx，根据指数函数的不定积分公式，可以得到∫e^xdx = e^x + C1，其中 C1 为常数。
对于∫2xdx，根据幂函数的不定积分公式，可以得到∫2xdx =x^2 + C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 e^x + x^2 + C，其中 C = C1 +C2。
4. 求解∫(1/x)dx解答：对于∫(1/x)dx，根据分式函数的不定积分公式，可以得到∫(1/x)dx = ln|x| + C，其中 ln|x| 表示以 e 为底的自然对数。
(完整版)不定积分例题及答案理工类吴赣昌(可编辑修改word版)
第 4 章不定积分知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！d ⎡⎰ ⎤ ⎡⎰ ⎤ 性质 1： f (x )dx = f (x ) 或 d f (x )dx = f (x )dx ；dx ⎣⎦⎣⎦性质 2： ⎰ F '(x )dx = F (x ) + C 或⎰ dF (x ) = F (x ) + C ； 性质 3：⎰[f (x ) ± g (x )]dx =⎰ f (x )dx ± ⎰ g (x )dx ，,为非零常数。
设 f (u ) 的 原函数为 F (u ) ， u =(x ) 可导，则有换元公式：⎰ f ((x ))'(x )dx = ⎰ f ((x ))d(x ) = F ((x )) + C设 x =(t ) 单调、可导且导数不为零， f [(t )]'(t ) 有原函数 F (t ) ，则⎰ f (x )dx = ⎰ f ((t ))'(t )dt = F (t ) + C = F (-1(x )) + Cx 2 xx 2x⎰ x1 ★(1)⎰思路: 被积函数1 = x- 5 2，由积分表中的公式（2）可解。
解 ：⎰dx= ⎰ x 1- 52 2dx = - 3 - 3 x 2+ C★(2) ⎰( -dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
11-11- 1 3 41解： ⎰ ( 3 x - )dx = ⎰ (x 3 - x 2 )dx = ⎰ x 3dx - ⎰ x 2dx = x 3 - 2x 2 + C 4★(3) ⎰（2x+ x 2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
x2x22x1 3解： ⎰（2 + x ）dx = ⎰ 2 dx + x dx = + x + Cln 2 3★(4)⎰x (x - 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
不定积分测验题及答案
不定积分测验题一、 选择题：1、 设)(,)(21x F x F 是区间I 内连续函数)(x f 的两个不同的原函数，且0)(≠x f ,则在区间I 内必有（ ）（A ） C x F x F =+)()(21；（B ） C x F x F =⋅)()(21；（C ） )()(21x CF x F =；（D ） C x F x F =-)()(21.2、若,)()('x f x F =则⎰)(x dF =（ ）（A ）)(x f ； （B ） )(x F ；（C ）C x f +)(； （D ） C x F +)(.3、)(x f 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在（A ） 有极限存在；（B ） 连续；（C ）有界；（D ）有有限个间断点4、下列结论正确的是（ ）（A ） 初等函数必存在原函数；（B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；（C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；（D ） C B A ,,都不对 .5、函数2)()(x x x f +=的一个原函数=)(x F ( ) (A)334x ; (B)234x x ; (C))(3222x x x +; (D))(322x x x + .6、已知一个函数的导数为x y 2='，21==y x 时且,这个函数是（ ）（A ）;2C x y +=（B ）;12+=x y （C ）C x y +=22; （D ）.1+=x y7、下列积分能用初等函数表出的是（ ）（A ）⎰-dx e x 2； （B ）⎰+31xdx ； （C ）⎰dx x ln 1； （D ）⎰dx xx ln . 8、⎰+=,)()(C x F dx x f 且,b at x +=则⎰=dt t f )(（ ）（A ）C x F +)(； （B ）C t F +)(;（C ）C b at F a ++)(1;（D ）C b at F ++)(.9、⎰=dx xx 2ln （ ） （A ）C xx x ++1ln 1; （B ）C xx x ++-1ln 1; （C ）C xx x +-1ln 1； （D ）C xx x +--1ln 1.10、⎰=+10)14(x dx （ ） （A ）C x ++9)14(191； （B ）C x ++9)14(1361； （C ）C x ++-9)14(1361； （D ）C x ++-11)14(1361.二、求下列不定积分：1、⎰dx xx 1cos 12; 2、⎰++522x x dx ; 3、⎰++++dx xx x 2215)1ln(; 4、⎰+)1(2x x e e dx ;测验题答案一、1、D ；2、D ；3、B ；4、D ；5、D ；6、B ；7、D ；8、B ；9、D ； 10、C.二、1、C x+-1sin ； 2、C x ++21arctan 21； 3、C x x ++++322]5)1[ln(32； 4、C e e x x +---)arctan(；。
不定积分练习题及答案(可打印修改)
2
2
2
2
22) ln 1 e2x ex c 23) x cot x ln sin x x ln csc x cot x c sin x
24) 1 (x 1)96 3 (x 1)97 3 (x 1)98 1 (x 1)99 c 25)e2x tan x c
96
97
98
9
26) arctan x 1 (arctan x)2 1 ln x2 c
1 arcsin
x c
2
(B) arcsin x c
(D) arcsin(2x 1) c
(C) 2arcsin(2x 1) c
16、若f在(x上) 的[某a,b原] 函数为零，则在上必有__[a_,_b]
( A) f (x)的原函数恒等于零；的(B不) f定(x积) 分恒等于零；
(C) f (x)恒等于零；不(D恒) f等(x于) 零, 但导函数恒为零。f '(x)
f
1 (x)
dx
__________;
9、、 f '(ln x) 1 x, f (x) ________;
10、、、、、、、f、、(、x) (a,b)
(a,b) f (x) ______;
( A)、、、、、、、、、、、、、、、、、 (B)
(C)
(D)
11、、、 xf (x)dx x sin x sin xdx, f (x) ______;
arctan x
(26)
dx
x2 (1 x2 )
arctan ex
(27)
dx
e2x
(28)设f求(s：in2 x) x , sin x
x f (x)dx 1 x
(29)已知f的(x一) 个原函数为求：ln2 x, xf '(x)dx
(整理)4不定积分习题与答案.
学习资料收集于网络，仅供参考1 1)1、求下列不定积分 1) dx 3) (x _2)2dx 5) 7)第四章不定积分xx23-52 ,dx3x (2ex 3)dx x2、求下列不定积分（第一换元法） 1)(3 _2x)3dx 3 5 7)xcos(x 2)dx9)sin x cos xdx11)2x2-113) sin 2xcos3xdx15)—X102arccosx17)—x3、求下列不定积分（第二换元法）dxx d x 2(A)2)4)6)8)dx2「 X2dx1 xcos2xJ 2 i2dx cos xsin x2)dx32 -3x4)dxx In xln(In x)6)8)dx x . x e e10) . ------------ 2dx 丁9 —4x 2 12)cos 3 xdx14) tan 3 xsecxdx16)3cos 2x 4sin218)册喻'dx *x(1+x)■2) sin - xdx-dx x学习资料收集于网络，仅供参考2x4)------------- dx, (a 0)、a - x4、求下列不定积分(分部积分法) 1) xSnxdx 2) arcs in xdx3)x 2 In xdx 4)_2x .x , e sin dx25) x 2 arcta nxdx 6) x 2cosxdx7)In 2xdx8)2 2xx cos dx25、求下列不定积分(有理函数积分)3,dx3)x(x 2 1)(B)1、一曲线通过点(e 2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,线的方程。
132、 已知一个函数F (x)的导函数为 ----------- ，且当X = 1时函数值为，试求此函数。
U1—X 223、证明：若f (x)dx 二 F (x) • c ，贝U1f (ax b)dx F (ax b) c,(a = 0)。
asin x4、 设f (x)的一个原函数为 ，求xf (x)dx 。
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不定积分练习题
2
11sin )_________
2x
dx -=⎰一、选择题、填空题：
、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：
3sin(ln )______x dx =⎰、
2
224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()
7(),_________;1
8()arcsin ,______()x x x
e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e
xf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____;
9'(ln )1,()________;
10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c
ϕ+++
13()[()]()()[()]()()
()()
()
()()d
A d f x dx f x
B f x dx f x dx dx
C df x f x
D df x f x c
====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln )
14(),_______11
()
()ln ()()ln x f x f x e dx x
A c
B x c
C c
D x c
x
x
-==++-+-+⎰、设则：
15______1
()
arcsin ()()2arcsin(21)2
()arcsin(21)A c B c
C x c
D x c =+-+-+
16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；
恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。
二、计算题：
2
1
(1)(2)(3)(2)
dx x x -⎰⎰
2
44
51
sin 2(4)(5)(6)2
cos sin x x
dx dx x x x x
----⎰
⎰
32
2
2ln 1
arcsin (7)(8)(9)(ln )
x x
dx dx dx x x x
+⎰
⎰
42cos sin sin cos sin (10)(11)(12)1sin sin cos 1cos x x x x x dx
dx
dx x x x
x
-⋅+++⎰⎰⎰
42
ln (13)(14)(15)1sin (1)dx x
dx x
x --⎰
⎰
22
11sin cos (16)(17)(18)41sin x x e x x
dx
dx e x
-++++⎰⎰
2
232
2
ln(1)(19)arctan (20)(21)tan 11x x x xdx dx xdx x
x
+++⎰⎰⎰
3
100
(22)(23)(24)1cos (1)
x
x dx
dx x
x +-⎰⎰ 22
22
2arctan arctan (25)(tan 1)(26)(27)(1)
x
x
x
x e e x dx dx dx x x e
++⎰⎰⎰
2(28)(sin ),()sin x f x f x dx x =
设 2(29)()ln ,'()f x x xf x dx ⎰已知的一个原函数为求：
22tan 1322
22111)(sin )2)3)[sin(ln )cos(ln )]4)222
115)236)()7)8)(1)9)3
10)11)12)13)14)15)16)x x x x
x x c x c x x c e c x F ax b c e c x c e x c
a B C C D C D C
---++-+-++-+++-+--+++答案：
一、选择题、填空题
3
2
421111)ln ln 22)442(2)4)
5)2ln 13ln 22
1146)ln 2sin 17)8)(tan )2ln 3
19)arcsin 10)arctan(sin )x x c c
x x c x c x x c x c c x c
x x x c x c
x ---++-+++++-+--+-++-++++
二、计算题：32111)(sin cos )sec()tan()244111112)(sin 2)sin 13)[tan )]2232ln 14)ln ln 1)1111
16)arctan ln ln(4)2ln 22481x x x x x x c x x x c x x c
x x x c c x e x e c c
ππ---+-+--+++-+-++--+++
+222229698)
)arctan(sin )21111
19)arctan ln(1)(arctan )20)ln (1)21)tan ln cos 2222
23)cot ln sin ln csc cot sin 1324)(1)(1)9697x x x c x x x x c x c x x c
x
e c x x x x x c
x
x x ---+++-+-++++++-++--+---
-79899222
22231
(1)(1)25)tan 989arctan 1126)(arctan )ln 221111
27)arctan arctan 22228)29)2ln ln x x x x x x c e x c
x x x c
x x e x e e c
c x x c
--------++--+++---+--+
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