逆命题与逆定理课时练习题
13.5互逆命题与互逆定理
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可 以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假 命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命 题，且是定理． 注意2： 逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题 注意3： 不是所有的定理都有逆定理
例题3 下列定理有没有逆定理？为什么？
对顶角相等.
逆命题： 如果一个三角形的每个角都等于60°， 那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等.
条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等.
逆命题： 如果两个三角形的对应角相等， 那么这两个三角形全等.
（4）如果 a=b，那么 a = b
6、到一个角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上. 逆命题： 角平分线上一点到角两边的距离相等.
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的 两个端点的距离相等. 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题： 到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上.
如何写出原命题的逆命题？
原命题 原命题的条件 原命题的结论
逆命题
逆命题的条件
逆命题的结论
例1.写出下列各命题的逆命题.
（1）如果|a|=|b|，那么a=b
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
（2）同位角相等
逆命题：相等的角是同位角，
练习1、写出下列命题的逆命题，并 判断其真假.
1、同旁内角互补，两直线平行. 逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真 2、有两个角相等的三角形是等腰三角形. 逆命题：如果一个三角形是等腰三角形， 那么它有两个角相等. 真
逆命题
命题
⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
条件
结论
真假
真 真 真 假
两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝ b
说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
做一做:下列说法哪些正确，哪些不正确？ （1）每个定理都有逆定理。× （2）每个命题都有逆命题。√ （3）假命题没有逆命题。
× ×
（4）真命题的逆命题是真命题。
练习.说出下列命题的逆命题，并判断真假： (1)如果a=0,那么ab=0；
(2)如果x=4，那么x2=16； (3)面积相等的三角形是全等三角形； (4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个 角是锐角； (5)在一个三角形中，等角对等边;
小结
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么 这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
每个命题都有它的逆命题；但每个真命题的逆命题不一定
是真命题，也说明定理的逆命题不一定是真命题；
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么它是原定理的逆定理，
12.4逆命题、逆定理
李金柱
知识回顾
下列句子是命题的是
A.画∠AOB=45° B. 小于直角的角是锐角吗？
（D ）
C.连结CD
D. 30°角所对的直角边等于斜边一半
什么叫命题？ 判断一件事情的语句叫做命题
命题通常由两部分组成，是哪两部分？
题设（条件）和结论
自主学习
19.3 逆命题和逆定理(基础练+提升练)(原卷版)
19.3 逆命题和逆定理（基础练+提升练）一、单选题1．（2021上·上海·八年级校考期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）2．（2022上·上海·八年级专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．等边三角形是轴对称图形C．全等三角形的对应角相等D．全等三角形的对应边相等3．（2022上·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（）=A．同旁内角互补，两直线平行B．若22=，则a ba bC．锐角与钝角互为补角D．相等的角是对顶角4．（2022上·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列命题中，逆命题是假命题的是（）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角5．（2023上·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（）A．对顶角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等D．邻补角互补6．（2020上·上海·八年级校考期中）下列定理中，没有逆定理的是（）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等7．（2021上·上海浦东新·八年级校考期中）在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等；C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等；D．两个相等的角是对顶角．8．（2022上·上海徐汇·八年级统考期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（）（1）全等三角形的对应边相等；（2）对顶角相等；（3）等角对等边；（4）全等三角形的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行B．在一个三角形中，等边对等角C．全等三角形三条对应边相等D．全等三角形三个对应角相等二、填空题10．（2022上·上海·八年级阶段练习）写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如三、解答题(2)写出此命题的逆命题；(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．13．（2022上·全国·八年级专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假．(1)内错角相等．(2)若两个角相加等于180°，则这两个角互为邻补角．14．（2022上·八年级课时练习）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)内错角相等，两直线平行．(3)对顶角相等．15．（2020下·江苏泰州·七年级统考期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，B F∠+∠=︒；∠=∠．求证：180∠+∠=︒，23B1180（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．16．（2020下·陕西渭南·八年级统考期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠1是∠ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A+∠B．17．（2022上·浙江·八年级专题练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．18．（2022上·八年级课时练习）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．。
逆命题与逆定理测试卷及答案
Ⅲ.（一）必记概念1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的 .（二）必记定理1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边（简写成“”）.2．等腰三角形的性质定理，等腰三角形的两个底角（简写成“”）.3．等腰三角形的、、互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）.4．斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形．5．角平分线上的点到这个角的相等．6．到一个角的两边距离相等的点在 .7．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离．8．到一条线段的两个端点的距离相等的点，在 .9．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 .10．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是 .逆命题与逆定理单元小节测试卷（120分 100分钟）一、基础题（8题7分，其余每题各4分，共35分）1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例．2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．3．已知：如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．求证：AB=AE．4．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD=CD ．求证：AB=AC ．5．已知：如图，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交CD 于F ，且AC=FD ．求证：△ABF 是等腰直角三角形．6．判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形．（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=1.5，b=2.5；（3）a=45，b=1，c=32.7．在△ABC 中，AC=2a ，BC=a 2+1，AB=a 2-1，其中a ﹥1，△ABC 是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？8．如图，在四边形ABCD 中，AB=1，BC=3，CD=DA=2，∠D=90°，求∠BAD 的度数.二、学科内综合题（5分）9．已知等腰△ABC 的底边BC=8cm ，且|AC-BC|=2cm ，则腰AC 的长为（ ）A ．10cm 或6cmB ．10cmC ．6cmD ．8cm 或6cm三、学科间综合题（5分）10．一平面镜以与水平成45°角固定在水平桌面上，如图，小球以1米／秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去，则小球在平面镜里所成的像（ ）A．以1米／秒的速度，做竖直向上运动B．以l米／秒的速度，做竖直向下运动C．以2米／秒的速度，做竖直向上运动D．以2米／秒的速度，做竖直向下运动四、应用题（10分）11．如图，河南区一个工厂在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，到河上公路桥较近桥头（图中A点）的距离与到公路东侧学校（图中B点）的距离也相等，试在图上标出工厂的位置．五、创新题（每题10分，共40分）（一）教材中的变型题12．（课本原题）（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD为∠BAC的平分线．求证：D 在AB的垂直平分线上．（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线，交AB于D,交AC于E,∠EBC=30°求∠A的度数.（二）一题多解13．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求∠A的度数．（三）一题多变14．如左图所示，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交AC 于E ，垂足为D ，△ABE 的周长是15cm ，BD=6cm ，求△ABC 的周长．（1）一变：如右图所示，在△ABC 中AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，D 为垂足，交AC 于E ．若AB=a ，△ABC 的周长为b ，求△BCE 的周长．（四）开放题15．如果两个等腰三角形 ，那么这两个等腰三角形全等．（只填一种能使结论成立的条件即可）六、中考题（13分）16．（2分）如下图左，Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，AE 平分∠BAC ，那么下列关系不成立的是（ ） A ．∠B=∠CAE B ．∠DEA=∠CEA C ．∠B=∠BAE D ．AC=2EC17．（2分）如上图中所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ．给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP.当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论始终正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2分）如上图右所示，△ABC 中，AB=AC ，要使AD=AE ，需要添加的一个条件是 .19．（2分）若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是 .20．（2分）如下图，AM 是△ABC 的角平分线，N 为BM 的中点，NE ∥AM ，交AB 于D ，交CA的延长线于E，下列结论正确的是（）A．BM=MC B．AE=BD C．AM=DE D．DN=BN21．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．30°B．75°C．30°或60°D．75°或15°七、实验题（12分）22．把18根火柴首尾相接围成一个等腰三角形，试问最多能围成种不同的等腰三角形.加试题：竞赛趣味题（6分）（2002，全国初中数学联赛预赛）已知：如下图左，AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．35-5Ⅵ.探究题1．如上图右，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC.（1）从这4个条件中选出2个条件，能判定△ABC是等腰三角形的方法用种.（2）选择（1）中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.2．已知a、b、c是直角三角形的三条边，c是斜边，且a、b、c都是正整数.当a=5时，b、c只能是12，13；当a=7时，b，c只能是24，25；当a=9时，b，c可以是40，41，也可以是12，15.你能求出当a=15时，b，c可能取的值吗？课堂内外勾股计算尺如下图，两把直尺，在尺上各贴一条坐标纸.以一个端点为0，以1mm为单位长，在0的右方1mm处标上1，表示12；在0的右方4mm处标上2；表示22；在0的右方9mm处标上3，16mm处标上4，分别表示32，42等等.用这种尺，可以在已知直角三角形两边的情况下，求出第三边.例如，已知两条直角边a=3，b=4，求斜边.先将上尺的0与下尺的3对齐，在上尺找到4，4在下尺所对的数5，便是所求的c的长.如果已知斜边c=5，一条直角边a=3，求另一条直角边，仍然是先将上尺的0与下尺的3对齐，然后在下尺上找到5，5在上尺上所对的数，就是另一条直角边的长.请你用勾股计算尺，求一条直角边长是5，斜边长为13的直角三角形的另一条直角边长.必记答案:1．也相等；等角对等边2．相等；等边对等角3．顶角的角平分线；底边上的中线；底边上的高 4．全等5．两边的距离 6．这个角的平分线上 7．相等8．在这条线段的垂直平分线上9．斜边的平方10．直角三角形单元小节测试答案:一、1．不一定全等，反例如图D27-2-2.2．（1）逆命题：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β是邻补角.这是假命题.（2）逆命题：如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的内角相等.这是真命题.3．证明：由∠ACD=∠ADC，得AC=AD.再由△ABC≌△AED，得AB=AE.4．证明：由已知，可得DE=DF.于是可证Rt△BDE≌Rt△CDF，∠B=∠C.故AB=AC.5．证明：由EF垂直平分AB，可得FA=FB.再由Rt△BDE≌Rt△CDF，可得∠CAF=∠DFB.而∠CAF+∠CFA=90°，故∠DFB+∠CFA=90°，∠AFB=90°，即△AFB为等腰直角三角形.6．（1）是；（2）是；（3）不是.7．解：是.因为AC2+AB2=(2a)2+(a2-1)2=(a2+1)2=BC2，因此，△ABC是直角三角形，且BC边所对的角是直角.8．解：连结AC.由CD=DA=2，∠D=90°，得AC=22，∠CAD=45°.由AC2+AB2=(22)2+12=9=BC2，得∠CAB=90°.故∠BAD=135°.二、9．A 点拨：当AC﹥BC时，|AC-BC|=AC-BC=2cm，所以AC=10cm.当AC﹤BC时，|AC-BC|=BC-AC=2cm，所以AC=6cm.因此腰AC的长为10cm或6cm.本题用到绝对值方程知识，体现了代数与几何的综合.三、10．B四、11．点拨：用交轨法.工厂的位置是公路与河岸夹角的角平分线与连结河上公路桥较近桥头与公路东侧学校的线段的垂直平分线的交点.五、（一）12．（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°.∴∠BAD=∠ABC.∴BD=AD.∴D在AB的垂直平分线上.（2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE.∴∠A=∠EBD.∵∠ABC=∠A+30°，又∵AB=AC ，∴∠C=∠A+30°.∴∠A+30°+∠A+30°+∠A=180°（三角形的内角和定理）.∴∠A=40°.（三）13．解法一：∵AB=AC.∴∠C=∠ABC.同理∠C=∠BDC ，∠A=∠AED ，∠EBD=∠EDB.∵∠A=180°-2∠C=180°-2∠BDC ，∠BDC=∠EBD+∠A=∠EBD+∠AED ，∠AED=∠DBA+∠EDB=2∠DBA.，∴∠A=180°-2∠BDC=180°-2∠A-2∠DBA=180°-2∠A-∠A.∴A=45°.解法二：设∠A=x.依题意，有∠AED=∠A=x ，∠DBA=21∠AED=21x ， ∠C=∠BDC=∠A+∠DBA=23x ，∠ABC=∠C=23x. ∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+23x+23x=180°.∴x=45°.∴∠A=45°. 点拨：“等腰三角形的两底角相等”是等腰三角形的常用性质之一，它在几何计算中应用较广，常与“三角形的内角和等于180°”一起使用，用来求三角形的某些内角的度数.本例提供的两种解法，都运用了上述的知识点，但解法二显然比较简捷，它是通过设未知数，利用等腰三角形的性质，找到图中某个三角形（如本题中的△ABC ）的各个内角与未知数间的关系，再利用“三角形内角和等于180°”列方程来解，这种几何问题的代数解法值得同学们借鉴.（三）14．解：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BE=EC ，BC=2BD=2×6=12（cm ）. ∵△ABE 的周长是15cm ，即AE+BE+AB=15cm ，∴CE+AE+AB=15cm ，即AE+BE+AB=15cm ，又∵BC=12cm ，∴△ABC 的周长是27cm.（1）∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE.∵AB=a ，△ABC 的周长为b ，∴AC+BC=AE+CE+BC=b-a ，即BE+CE+BC=b-a.∴△BEC 的周长为b-a.（四）15．腰与顶角分别对应相等（腰与底角分别对应相等，或腰与底边分别对应相等） 六、16．D 17．C 18．略. 19．120° 20．B 21．D七、22．4 点拨：设每根火柴的长度为1，且腰长为x ﹥0，x 可取5，6，7，8. 加试题：B 点拨：当P 为AB 的中点时，CD 取得最小值5.故选B.Ⅵ.1．（1）①③，①④，②③，②④（2）选择①④，可证∠OBC=∠OCB ，∠ABC=∠ACB.2．解：当a=15时，a 2=c 2-b 2=(c-b)(c+b)=152，152=225=1×225=3×75=5×45=9×25=15×15.当225=1×225时，c-b=1，c+b=225，故b=112，c=113.同理，还可得b=36，c=39，或b=20，c=25，或b=8，c=17.。
2.5逆命题和逆定理
B
C D E
举反例说明下列命题的逆命题是假命题：
(1)如果一个整数的个位数字是5， 那么这个整数能被5整除． (2) 对顶角相等．
本节课你学到什么？
作业：
(1)同位角相等； 相等的角是同位角. （假） 0 (2)等边三角形有一个角是600； 有一个角是60 的三角形是等边 （假） 三角形. （真） (3)轴对称图形是等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形. (4)飞机是会飞的交通工具. 会飞的交通工具是飞机. （假）
判断下列说法是否正确？请说明理由.
（3）真命题的逆命题是真命题
A
O
B
课内练习2
求证:三角形的三条边的垂直平分线交于一点.
已知: △ABC中, AB和AC边的中垂线交于点P.
求证:点P在BC边的中垂线上.
证明:连接AP,BP,CP. ∵PD、PE分别AB、AC的中垂线 ∴AP=BP, AP=CP ∴BP=CP ∴点P在BC的中垂线上. B D A E
P
C
例2
命题 ⑴两直线平行，同位角相等. 条件 结论 真假 真
两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行.
⑶如果a＝b，那么a2＝b2. ⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
同位角相等 a＝b
a2＝b2
两直线平行 a2＝b2
a＝b
真 真
假
新知学习
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么 这两个命题叫做互逆命题.
命题
⑴两直线平行，同位角相等. ⑵同位角相等，两直线平行. ⑶如果a＝b，那么a2＝b2. ⑷如果a2＝b2，那么a＝b.
条件
两直线平行 同位角相等 a＝ b a2＝b2
逆命题和逆定理同步练习含答案
逆命题和逆定理 同步练习【课堂训练】1.下列命题中，假命题．．．是（ ）A ．两点之间，线段最短 B ．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D ．对角线相等的四边形是矩形 2. 下列命题中正确的是（ ） A ．矩形的对角线相互垂直 B ．菱形的对角线相等 C ．平行四边形是轴对称图形D ．等腰梯形的对角线相等3. 分析下列命题：①四边形的地砖能镶嵌（密铺）地面；②不同时刻的太阳光照射同一物体，则其影长都是相等的；③若在正方形纸片四个角剪去的小正方形边长越大，则所制作的无盖长方体形盒子的容积越大． 其中真命题．．．的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04. 在下列命题中，是真命题的是（ ）A ．两条对角线相等的四边形是矩形 B ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5. 已知下列命题：①若00a b >>，，则0a b +>； ②若a b ≠，则22a b ≠；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④平行四边形的对角线互相平分． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）（1）若样本数据3、6、a 、4、2的平均数是4，则其方差为2（2）“相等的角是对顶角”的逆命题 （3）对角线互相垂直的四边形是菱形（4）若二次函数23(1)y x k =-+图象上有三个点1)y ，（22y ，），1()y ，则321y y y >> A ．1个B ．3个C ．2个D ．4个8.已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： ． 【课后训练】1．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做________．2．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的________，这两个定理叫做_________．3．每个命题都有它的________，但每个真命题的逆命题不一定是真命题． 4．线段垂直平分线性质定理的逆定理是_____________________． 5．命题“对顶角相等”的逆命题是_____________________，是_____命题． 6．下列说法中，正确的是（ ）A ．每一个命题都有逆命题B ．假命题的逆命题一定是假命题C ．每一个定理都有逆定理D ．假命题没有逆命题 7．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）A ．如果a=b ，那么a 2=b 2 B ．平行四边形是中心对称图形 C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D ．内错角相等8．下列定理中，有逆定理的是（ ）A ．四边形的内角和等于360°B ．同角的余角相等C ．全等三角形对应角相等D ．在一个三角形中，等边对等角 9．写出下面命题的逆命题，并判断其真假．10．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．（1）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形．（2）三角形的中位线平行于第三边．11．写出符合下列条件的一个原命题：（1）原命题和逆命题都是真命题．（2）原命题是假命题，但逆命题是真命题．（3）原命题是真命题，但逆命题是假命题．（4）原命题和逆命题都是假命题．12．已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，①AB∥CD，②AO=CO，③，AD=BC，④∠ABC=∠ADC．（1）请从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为真命题，请对你所构造的一个真命题给予证明．（2）能否从以上条件中选取两个作为命题的条件，结论为四边形ABCD是平行四边形，并使构成的命题为假命题？若能，请写出一个满足条件的假命题，并举反例说明．参考答案1. 答案：D2. 答案：D3. 答案：C4. 答案：C5. 答案：B6. 答案：47. 答案：B8. 答案：如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直参考答案:1．互逆命题2．逆定理，互逆定理3．逆命题4．到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上5．如果两个角相等，那么它们是对顶角；假6．A 7．C 8．D9．（1）真，如果x（x-2）=0，那么x=2；假（2）真，三边对应相等的两个三角形全等；真（3）真，在一个三角形中，等角对等边；真（4）真，等边三角形是等腰三角形；假（5）假，如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角；假10．（1）等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，证明略（2）平行于三角形一边的线段是三角形的中位线，是假命题，反例略11．略12．（1）答案不唯一，如选①和②等，证明略（2）如选①和③，反例略逆命题和逆定理同步练习一、选择题1.下列四句话中，正确的是（）A、任何一个命题都有逆命题B、任何一个定理都有逆定理C、若原命题为真，则其逆命题也为真D、若原命题为假，则其逆命题也假A、假命题的逆命题定是假命题B、定理一定有逆定理C、真命题的逆命题定是真命题D、命题一定有逆命题3.下列命题中，错误的是（）A、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等B、到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C、任何命题都有逆命题D、任何定理都有逆定理4.下列说法错误的是（）A、任意一个命题都有逆命题B、定理“全等三角形的对应角相等”有逆定理C、正方形都相似是真命题D、“画平行线”不是命题5.下列说法错误的是（）A、任何命题都有逆命题B、定理都有逆定理C、命题的逆命题不一定是正确的D、定理的逆定理一定是正确的6. 下列说法正确的是（）A、每个命题都有逆命题B、每个定理都有逆定理C、真命题的逆命题是真命题D、真命题的逆命题是假命题7. 下列说法中正确的是（）A、每个命题都有逆命题B、每个定理都有逆定理C、真命题的逆命题是真命题D、假命题的逆命题是假命题A、真命题的逆命题是真命题B、每个定理都有逆定理C、每个命题都有逆命题D、假命题的逆命题是假命题9. 下列说法正确的是（）A、每个命题都有逆命题B、真命题的逆命题是真命题C、假命题的逆命题是真命题D、每个定理都有逆定理二、填空题1.请写出定理：“全等三角形三个角相等”的逆定理，并判断命题的真假．，.2.请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理..3. 写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆定理是= .4. 写出你熟悉的一个定理：，写出这个定理的逆定理：．5. 是定理“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”的逆定理.6.命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除”的逆命题是，这个逆命题为（填“真命题”或“假命题”）7. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是命题．（填“真”或“假”）三、解答题1.请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假；若是真命题，请写出已知、求证、证明；若是假命题，则请举反例证明．2.已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．（1）写出逆命题；（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．3. 请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．参考答案一、选择题1.解：A、命题的逆命题就是把原命题的题设和结论互换，故任何命题都有逆命题，故本选项正确，B、定理，逆定理都是真命题，但定理的逆命题不一定都是真命，故本选项错误，C、若原命题为真，则其逆命题不一定为真，故本选项错误，D、若原命题为假，则其逆命题不一定为真，故本选项错误．故选A．2. 解：A、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：两个角相等三角形是等腰三角形，它的逆命题是真命题，本选项错误；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，本选项错误；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，它是假命题而不是真命题，本题错误；D、命题一定有逆命题，本选项正确；故选D．3. 解：A、∵角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这是正确的，故本选项错误；B、到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，这是正确的，故本选项错误；C、任何命题都有逆命题，这是正确的，故本选项错误；D、∵任何定理不一定有逆定理，这是错误的，故本选项正确．故选D．4. 解：A、命题都有题设和结论，交换题设和结论，就得到逆命题，正确；B、定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是对应角相等的三角形全等，错误；C、所有正方形都相似，正确；D、画平行线是作图，没有题设与结论，不是命题，正确．故选B．5. 解：A正确；B错误，正确的命题才是定理，定理的逆命题不一定是正确的，故不能说定理都有逆定理；C正确；D正确；故选B．6. 解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．D、真命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．故选A．7. 解：A、每个命题都有逆命题，正确；B、每个定理都有逆定理，错误，只有正确的命题才是定理，错误；C、真命题的逆命题不一定是真命题，错误；D、假命题的逆命题不一定是假命题，错误．故选A8. 解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误，B、每个定理都有逆命题，故本选项错误，C、每个命题都有逆命题，故本选项正确，D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误，故选：C．9. 解：A、正确；B、错误，不能确定；C、错误，不能确定；D、错误，不能确定．故选A．二、填空题1.解：定理：“全等三角形三个角相等”的逆定理是三个角对应相等的两个三角形全等，三个角对应相等的两个三角形不一定全等，∴该命题为假命题，故答案为：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题．2.有两个角相等的三角形是等腰三角形．3. 到角的两边距离相等的点在角平分线上4. 两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行．5. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补6. 如果一个数能被5整除，那么这个数能被10整除假命题7.对应角相等的三角形全等假三、解答题1.2.3.。
逆命题与逆定理
每一个命题都有逆命题
但是原命题正确，它的逆命题未必正确． 真 例如: “对顶角相等”是________命题(真或假) 的逆命题为“__________________”， 相等的角是对顶角 此命题是________命题(真或假)． 假 一个假命题的逆命题可以是真命题 假 例如: “相等的角是对顶角”是____命题(真或假) 对顶角相等 的逆命题为“_______________”， 真 此命题是_____命题(真或假)．
学习目标
理解逆命题与逆定理的概念，会识 别互逆命题，并知道：原命题成立 时，其逆命题不一定成立；原命题 不成立时，其逆命题也有可能成立。
回顾
命题 真命题 假命题
可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题 正确的命题称为真命题， 错误的命题称为假命题．
回顾
题设 结论
形式:
(已知事项)
命题的组成
快乐检测
2． 举例说明下列命题的逆命题是假命题： （1） 如果一个整数的个位数字是5， 那么这个整数能被5整除； （2） 如果两个角都是直角， 那么这两个角相等． 解：（1）逆命题：如果一个整数能被5整除 ， 那么这个整数的个位数字是5； 举反例： （2）逆命题：如果两个角相等， 那么这两个角直角． 举反例：
(由已知事项推出的事项) 结论 题设 “如果……，那么……”
互逆命题： 命题
逆命题
成果展示
（原命题） “两直线平行，内错角相等” 互逆命题 “内错角相等，两直线平行” ． （逆命题） 这两个命题的题设和结论恰好互换了位置
互逆命题： 原命题 逆命题 互逆命题的题设和结论恰好互换 命题“两直线平行，内错角相等”的 两直线平行 题设为_____________________； 内错角相等 结论为_____________________． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行 _____________________________．
2018秋八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理13.5.3角平分线习题课件新版华东师大版
在这个角的平分线上．
推理格式：如图②，∵PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，PD＝PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上．
图①
图②
2. 三角形的三条角平分线相交于 一点到
三边的距离
一点
，并且这
相等．
知识点
角平分线的性质
1. 下 列 关于 三 角形的 角 平分线 的 说法错 误 的是 ( D ) A．两条角平分线的交点在三角形内 B．两条角平分线的交点在第三个角的平分线上 C．两条角平分线的交点到三边的距离相等 D．两条角平分线的交点到三顶点的距离相等
3. 如图，若点 P 到 BE、BD、AC 的距离恰好相等， 则点 P 的位置：①在∠B 的平分线上；②在∠DAC 的平 分线上；③在∠ECA 的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、 ∠ECA 三条角平分线的交点．上述结论中，正确的有 ( D ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D ．4 个
第 3 题图
第 5 题图
6. 如图所示，DE⊥AB 于点 D，CE⊥BC 于点 C， 且 DE＝CE，则下列结论不一定正确的是( A．BE 平分∠ABC B．EB 平分∠CED C．AE＋DE＝AC D．∠A＝∠ABE
D )
第 6 题图
1. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一动点，若 PA＝2，则 PQ 的最小值为 ( B ) A．1 C ．3 B．2 D．4
BD＝CD， 中，∵ DE＝DF，
∴Rt△ BED≌Rt△ CFD(H. L. )，∴BE＝CF.
9. 如图，在 Rt△ ABC 中，AD 为斜边 BC 上的高， BE 平分∠ABC 交 AD 于点 F，交 AC 于点 E，EG⊥BC 于点 G. 求证：AF＝AE＝EG.
逆命题与逆定理(基础)巩固练习
逆命题与逆定理（基础）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．下列语句不是命题的是（）.A．两点之间，线段最短 B．不平行的两条直线有一个交点C．x与y的和等于0吗？ D．对顶角不相等2.在下列定理中，没有逆定理的是（）.A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．直角三角形两个锐角互余C．全等三角形对应角相等D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等3．如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B＝40°，则∠ADC等于（）.A.50° B．60° C．70° D．80°4. 在下列真命题中，逆命题也是真命题的是（）.A．若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．对顶角相等C．相反数的绝对值相等 D．等腰三角形的底角相等5．等腰三角形ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于G，已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC 为（）A．5 B．7 C．10 D．96．（2016•湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2二.填空题7．把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…．”的形式_________ .8．（2015•广陵区一模）如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，若∠A=40°，则∠EBC=°．9. 三角形的三条交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E，则∠EBC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD 的面积是．12．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若AB ＝5，AC＝4，则△AMN的周长是．三.解答题13．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．14．已知：如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．15．如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D．求证：点D在线段AB的垂直平分线上．【答案与解析】一.选择题1．【答案】C；【解析】C选项不是判断性语句，其他三项无论正确与否都是对一件事情做出了判断，是命题.2．【答案】C；【解析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．3．【答案】D；【解析】连接BD、AC．设∠1＝x．根据线段垂直平分线的性质，得AD＝BD，BD＝CD．根据等边对等角，得∠1＝∠2＝x，∠4＝∠ABD＝40°+x．根据三角形的内角和定理，得∠ADB＝180°﹣2∠4＝100°﹣2x，∠BDC＝180°﹣2x，进而求得∠ADC．【解析】有两个角相等的三角形必是等腰三角形．5．【答案】B；【解析】解：设AB的中点为D，∵DG为AB的垂直平分线∴GA=GB （垂直平分线上一点到线段两端点距离相等），∴三角形GBC的周长=GB+BC+GC=GA+GC+BC=AC+BC=17，又∵三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC，∴AB+BC=17，∴BC=17﹣AB=17﹣10=7．故选B．6．【答案】C；【解析】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C．二.填空题7．【答案】如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等；8．【答案】30；【解析】解：∵DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°．故答案为：30．9．【答案】边的垂直平分线；【解析】角平分线的性质．10．【答案】24°；【解析】根据相等垂直平分线性质得出AE＝BE，求出∠A＝∠ABE＝33°，根据三角形的内角和定理求出∠ABC，相减即可求出答案．11．【答案】1mn2；【解析】过点D作边AB边上的高，根据角平分线的性质得，此高长等于线段CD的长，再根据三角形面积公式可得所求面积．【解析】由在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC ，易证得△MBE 与△NCE 是等腰三角形，即ME ＝MB ，NE ＝NC ，继而可得△AMN 的周长等于AB+AC ＝9．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM=CM ，BN=CN ，∴△CMN 的周长=CM +MN +CN=AM +MN +BN=AB ，∵△CMN 的周长为15cm ，∴AB=15cm ；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF +∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF ，∠BNE=∠MNF ，∴∠AMD +∠BNE=∠MNF +∠NMF=110°，∴∠A +∠B=90°﹣∠AMD +90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM ，BN=CN ，∴∠A=∠ACM ，∠B=∠BCN ，∴∠MCN=180°﹣2（∠A +∠B ）=180°﹣2×70°=40°．14. 【解析】解： 如图，过点C 作CH ⊥OA 于点H ，作CI ⊥OB 于点I ，则在△OME 与△OND 中，有：=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩OM ON MOE NOD OD OE所以△OME ≌△OND ．∴OME OND S S ∆∆=, 即11OM CH ON CI 22=,∴CH ＝CI ．∴点C 在∠AOB 的平分线上（角平分线的判定定理）．15.【解析】证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠ABC ＝×60°＝30°．∴∠A ＝∠ABD ，∴DA＝DB．∴点D在AB的垂直平分线上．。
第04讲 逆命题与逆定理(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第04讲逆命题与逆定理1．理解定理、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例．考点命题、定理、证明【题型1 命题的辨析】【典例1】（2023春•太和县期末）下列语句是命题的是（）A．你喜欢数学吗？B．小明是男生C．太和香椿D．加强体育锻炼【变式1-1】（2023春•江都区期末）下列选项是命题的是（）A．作直线AB∥CD B．今天的天气好吗？C．连接A、B两点D．同角的余角相等【题型2 命题的改写】【典例2】（2023春•江津区期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．【变式2-1】（2023春•鼓楼区校级期末）把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式为．【变式2-2】（2023春•新华区期末）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”写出“如果…，那么…”的形式是：在同一平面内，如果，那么．【变式2-3】（2023春•昆明期末）把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式．【题型3 命题真假的判断】【典例3】（2023春•西城区期末）下列命题中，是假命题的是（）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．同旁内角互补，两直线平行C．如果a＝b，b＝c，那么a＝cD．负数没有平方根【变式3-1】（2023春•永川区期末）有下列四个命题，其中所有正确的命题是（）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直④在同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直．A．①②B．①④C．②③D．③④【变式3-2】（2023春•广陵区期末）下列命题是真命题的是（）A．同角的补角相等B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．若a2＝b2，则a＝bD．同位角相等【变式3-3】（2023春•顺义区期末）下列命题是真命题的是（）A．一个正数与一个负数的和是负数B．两个锐角的和是钝角C．同角（或等角）的余角相等D．有理数的绝对值是正数【变式3-4】（2023春•沙坪坝区校级期末）下列语句：①在同一平面内，若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A．①②是真命题B．②③是真命题C．①③是真命题D．以上结论皆是假命题【题型4 命题的解答题综合】【典例4】（2023春•盐山县期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．（1）如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．证明：∵EF∥CD（已知）∴∠BEF＝（）∵∠B+∠BDG＝180°（已知）∴BC∥（）∴∠CDG＝（）∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）（2）拓展：如图，请你从三个选项①DG∥BC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．①条件：，结论：（填序号）．②证明：．【变式4-1】（2023春•吉林月考）如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．【变式4-2】（2022秋•惠济区校级期末）如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．条件为：（填序号）．结论为：（填序号）．【变式4-3】（2023春•双辽市期中）（1）如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．【题型5 判断逆命题的真假判】【典例5-1】（2023春•南山区期中）下列命题的逆命题正确的是（）A．两条直线平行，内错角相等B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等C．全等三角形的对应角相等D．若两个实数相等，则它们的平方也相等【典例5-2】（2023春•泉州期末）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，说明它是假命题的反例可以是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝40°，∠2＝40°D．∠1＝∠2＝45°【变式5-1】（2023•凤台县校级三模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足a+c＝b．且bc+ac﹣ab＝0．则下列命题为假命题的是（）A．若b＞c＞0．则a＞0B．若c＝1．则a（a﹣1）＝1C．若a2﹣c2＝2，则ac＝2D．若bc＝1，则a＝1【变式5-2】（2022秋•宁波期末）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（）A．∠1＝91°，∠2＝50°B．∠1＝89°，∠2＝1°C．∠1＝120°，∠2＝40°D．∠1＝102°，∠2＝2°【变式5-3】（2023春•浦城县期中）下列各命题的逆命题成立的是（）A．对顶角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是90°，那么这两个角相等1．（2022•上海）下列说法正确的是（）A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题2．（2022•无锡）下列命题中，是真命题的有（）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A．①②B．①④C．②③D．③④3．（2022•梧州）下列命题中，假命题是（）A．﹣2的绝对值是﹣2B．对顶角相等C．平行四边形是中心对称图形D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b4．（2022•盘锦）下列命题不正确的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B．负数的立方根是负数C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360°5．（2022•台州）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（）A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PCB．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝ACC．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PCD．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC6．（2021•浙江）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣7．（2022•无锡）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题：．1．（2023•吉阳区一模）下列命题是真命题的是（）A．邻补角相等B．两直线平行，同旁内角互补C．内错角相等D．垂直于同一条直线的两直线平行2．（2023春•大名县期末）对于命题“如果a2＞b2，那么a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝4，b＝﹣3B．a＝﹣3，b＝4C．a＝﹣4，b＝3D．a＝4，b＝3 3．（2023春•红安县期末）下列命题中是假命题的是（）A．两点的所有连线中，线段最短B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．等式两边加同一个数，结果仍相等D．不等式两边加同一个数，不等号的方向不变4．（2023春•盐山县期末）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③同旁内角互补；④垂直于同一条直线的两条直线垂直．其中的假命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（2023春•鼓楼区校级期末）下列命题属于真命题的是（）A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等6．（2023春•清丰县校级期末）下列命题中：①两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，②同位角相等，③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其中是真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．（2023春•郾城区期末）下列命题中是真命题的是（）A．在同一平面内的三条直线a、b、c，若a⊥b，b∥c，则a⊥cB．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．平行于同一条直线的两条直线互相垂直D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行8．（2022秋•李沧区期末）要说明命题“若|a|＞5，则a＞5”是假命题，可以举的一个反例是（）A．a＝5B．a＝﹣5C．a＝6D．a＝﹣6 9．（2023春•舞阳县期中）如图，下列命题：①若∠1＝∠2，则∠D＝∠4；②若∠C＝∠D，则∠4＝∠C；③若∠A＝∠F，则∠1＝∠2；④若∠1＝∠2，∠C＝∠D，则∠A＝∠F；⑤若∠C＝∠D，∠A＝∠F，则∠1＝∠2．其中正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4 10．（2023春•盐城期末）“对顶角相等”的逆命题是．（用“如果…那么…”的形式写出）11．（2022秋•宁德期末）“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是命题．（填“真”或“假”）12．（2023春•东海县期末）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）13．（2023春•吴忠期末）命题“等角的余角相等”的题设是，结论是．14．（2021秋•渠县期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．15．（2022春•前进区期末）（1）完成下面的推理说明：已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：AB∥CD．证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），∴∠1＝∠，∠2＝∠（）．∵BE∥CF（），∴∠1＝∠2（）．∴∠ABC＝∠BCD（）．∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）．∴AB∥CD（）．（2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．。
八年级数学逆命题、逆定理同步练习
13.9逆命题、逆定理1．下列语言是命题的是( )A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等2．下列命题中真命题的个数是( )①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10；、②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2；③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41；④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A．1个B．2个c．3个D．4个3．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．直角都相等B．钝角都小于180。
C．如果x2+y2=0，那么x=y=0D．对顶角相等4．下列说法中，正确的是( )A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题D．定理、公理都应经过证明后才能用5．下列这些真命题中，其逆命题也真的是( )A．全等三角形的对应角相等B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形C．等边三角形是锐角三角形D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半6．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，10 D．8，39，407．证明一个命题是假命题的方法有__________．8．将命题“所有直角都相等”改写成“如果……那么…”的形式为___________。
9．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。
10．如图1所示，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b＝4，ab=1，c=14。
试判断△ABC的形状．11．下列说法中，正确的是( )A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题12．下列定理中，没有逆定理的是( )A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行13．已知：如图2所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．14．如图3所示，△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是多少?15．下列命题中的真命题是( )A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角16．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个17．小明家、小红家、学校的距离如图4所示，学校在小明家的正东方向，那么小红家在小明家哪个方向?18．某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子．如图5所示，一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行，在A处测得黑匣子B在北偏东60。
2.5 逆命题和逆定理 练习卷A答案
2.5 逆命题和逆定理练习卷A答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．故答案为：C．【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．2.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：命题“锐角小于90度”的逆命题是小于90°的角是锐角.故答案为：D.【分析】如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，即可求解。
3.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】A. 将27开立方,没有做出判断，不是命题；B. 任意三角形的三条中线相交于一点吗? 没有做出判断，不是命题；C. 锐角小于直角，将锐角和直角比较，作出了大小判断，故是命题；D. 做一条直线和已知直线垂直，没有做出判断，不是命题；故选C.【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断.4.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2是假命题的反例可以是：a＝﹣1，b＝﹣2，因为﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，所以C正确；故选：C．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．5.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：当a=3，b=2时，a>b，而a2=9,b2=4,a2>b2成立，故A选项无法确定原命题是假命题；当a=−3，b=2时，a<b，a,b的数值不符合条件，所以无法确定原命题是假命题；当a=3，b=−1时，a>b，而a2=9,b2=1,a2>b2成立，故C选无法确定原命题是假命题；当D. a=−3，b=−4时，a>b，而a2=9,b2=16,a2<b2，故D选项能确定原命题是假命题；故选：D．【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a>b，但a2>b2不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．6.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】分析选项A、B、C，可知这3个选项均为正数，若a>0，则a>−a，这是个真命题，然而若a<0，则a<−a，故若要证命题“对于任意实数a，a＞-a”是假命题，只需要a为负值即可，综上，只有D选项符合题意。
27.2.4逆命题、逆定理
回顾
思考
平行四边形的性质
A C A
O
定理:平行四边形的对边相等. ∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴AB=CD,BC=DA. 定理:平行四边形的对角相等.
′
D
∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
D C
B
定理:平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴CO=AO,BO=DO. M A 推论:夹在两条平行线间的平行 线段相等. P B ∵MN∥PQ,AB∥CD, ∴AB=CD.
A
1
2
B
P D
3
E
C
4.已知:如图, AC,BD是□ ABCD的两条 对角线, AE⊥BD,CF⊥BD垂足分别是 E,F. 求证:AE=CF.
A
F E
D
B
C
回顾
思考
矩形的性质,推论
A D
定理:矩形的四个角都是直角.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.
B A C D
定理:矩形的两条对角线相等.
勾股定理的逆定理 如果三角形的 一条边的平方等于另外两条边的平 方和，那么这个三角形是直角三角 形．
设三角形三边长分别是下列各组数，试 判断各三角形是不是直角三角形．如果 是直角三角形，请指出哪条边所对的角 是直角． （1）7， 24， 25； （2）12， 35， 37； （3）35， 91， 84．
∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. B ∴AC=BD. 推论(直角三角形性质):直角三角形 A 斜边上的中线等于斜边的一半. 在△ABC中,∠ACB=900, 1 ∵AD=BD, CD AB.
2
逆命题与逆定理
逆命题与逆定理知识点：一、命题1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．例：“两直线平行，内错角相等”的题设是______，结论是_____它是命题。
练习1．命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是_____，结论是______．二、互逆命题1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．2．说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．例1．指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．（1）两直线平行，同旁内角互补；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）对顶角相等．（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”． 名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．练习1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________．2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A 与∠B 互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题．3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________．写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。
逆命题和逆定理
同位角相等 a＝b
a2＝b2
两直线平行 a2＝b2
a＝b
真 真
假
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么 关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
(2).如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
例2
说出命题“如果一个四边形是平行四边形，
那么它的一条对角线把它分为两个全等三角形” 的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。 逆命题是 “ 如果四边形被它的一条对角 线分成两个全等三角形，那么这个四边形是 平行四边形”
解
这个逆命题是假命题，举反例证明如下：
×
（4）真命题的逆命题是真命题。×
例1 说出定理“线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明 这个逆命题是真命题。 这个定理的逆命题是: 到一条线段两个端 点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
圆既是中心对称，又是轴对称的图形。是真 命题 ⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 平行四边形有一组对边平行且相等。是真命 ⑶磁悬浮列车是一种调整行驶时不接触地面的交 题 通工具。
高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列 车。是假命题
平行四边形的两组对边分别相等。 (平行四边形的性质定理) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理 叫互逆定理。
初二数学逆命题与逆定理试题
初二数学逆命题与逆定理试题1.（2014•金华模拟）要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2B．a=0，b=﹣1C．a=﹣1，b=﹣2D．a=2，b=﹣1【答案】D【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．解：∵a=1，b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．故选：D．点评：此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．2.（2013•温州模拟）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°【答案】A【解析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解：用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°．故选：A．点评：此题主要考查了反证法，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．3.（2013•北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°【答案】D【解析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．故选D．点评：正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，会运用反证法证明命题的真假．4.（2013•江东区模拟）要说明命题：“一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形”是假命题，可以举的反例是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．直角梯形【答案】A【解析】根据等腰梯形的性质举出反例即可得出答案．解：“一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形”是假命题，可以举的反例是：等腰梯形．故选：A．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解题关键．5.（2012•温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2B．a=﹣1C．a=1D．a=2【答案】A【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．点评：此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．6.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交【答案】D【解析】用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与b不平行，即a与b相交．解：∵原命题“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立，即假设“a与b相交”．故选D．点评：此题考查了反证法证明的步骤：（1）假设原命题结论不成立；（2）根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不成立；（3）原命题正确．7.用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交【答案】D【解析】根据反证法的步骤，直接得出即可．解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．故选：D．点评：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8.下列能够说明“任何数的立方都是非负数”是假命题的反例是（）A．﹣3B．0C．D．3.5【答案】A【解析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．解：A、﹣3，∵（﹣3）3=﹣27＜0，∴可以用来说明命题“任何数的立方都是非负数”是假命题，所以﹣3是说明“任何数的立方都是非负数”是假命题的反例；B、0，∵03=0，∴不能作为假命题的反例；∴0不是说明“任何数的立方都是非负数”是假命题的反例；C、，∵=＞0，∴不是说明“任何数的立方都是非负数”是假命题的反例；D、3.5，∵3.53＞0，∴3.5不是说明“任何数的立方都是非负数”是假命题的反例．故选：A．点评：此题主要考查了反证法的意义，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．9.用反证法证明：a，b至少有一个为0，应该假设（）A．a，b没有一个为0B．a，b只有一个为0C．a，b至多一个为0D．a，b两个都为0【答案】A【解析】根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容．解：由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”，故选A．点评：此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．10.用反证法证明“a＞b”时应假设（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a≤b【答案】D【解析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．解：a，b的大小关系有a＞b，a＜b，a=b三种情况，因而a＞b的反面是a≤b．因此用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．故选D．点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．。
2.4 逆命题和逆定理(原卷版)
2.4 逆命题和逆定理
考查题型二互逆定理
4．下列说法正确的是（）
A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题D．定理的逆命题一定是真命题5．下列定理中，没有逆定理的是（）
A．同角的余角相等
B．等腰三角形两个底角相等
C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
D．两直线平行，同旁内角互补
6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
已知：如图，点E，F分别在求证：__________．
证明：
12．作图：已知直线l1∥l2∥l3，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．
(1)完成作图并写出已知，求证；
(2)证明△ABC为等边三角形．
13．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．
逆命题：______．
已知：______．
求证：______．
14．如图所示，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①∠A=∠C，②AD=CB，③AE=CE．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．
（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；
（2）请选择其中一个真命题加以证明．。
华师大版-数学-八年级上册-逆命题与逆定理 作业
19.4逆命题与逆定理一、填空题（每小题2分，共20分）1.＿＿＿＿＿＿叫做命题.命题由＿＿＿＿和＿＿＿＿两部分组成.2.命题“如果两直线平行，那么内错角相等”中，题设是＿＿＿，结论是＿＿＿.3.将命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4.命题有＿＿＿命题和＿＿＿命题，但是，定理一定是＿＿＿命题.5.“垂直于同一直线的两直线平行”这一命题中，题设是__________________________，结论是_____________________．6．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________________________．7．命题“对顶角相等”的逆命题是______________________________________________，是________命题．(填“真”或“假”)8．定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”的逆定理是_______ 9.对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b，②b∥c，③a⊥b，④a∥c，⑤a⊥c，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题_________．10.命题“如果同一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”是命题. (填“真”或“假”)二、选择题（每小题3分，共30分）11.下列语句中不是命题的是（）A. 两点之间线段最短B.连结A、B两点C. 两条直线相交有且只有一个交点D.对顶角角不相等12.下列四个命题中，真命题是（）A. 一个角小于它的补角B. 内错角相等C. 一个锐角不等于它的补角D. 一个锐角的补角等于这个角的余角的2倍的和13. 下列说法中，错误的是（）A.所有定义都是命题．B.所有定理都是命题．C.所有公理都是命题．D.所有命题都是定理．14.“对顶角相等”是（）A. 定理B. 定义C. 互逆定理D. 假命题15. “过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”是一条（）A.定义．B.公理．C.逆定理．D.推论．16. 两条直线相交成四个角，则下列命题中正确的是（）A. 如果有两个角相等，那么这两条直线垂直B. 如果有两个角互补，那么这两条直线垂直C.如果有一对对顶角互补，那么这两条直线垂直D.如果与两对角相等，那么这两条直线垂直17. 下列命题中，是假命题的是（）A.两直线相交，只有一个交点．B.不相等的角不是对顶角．C.大于90o的角是钝角．D.邻补角也是补角．18.“两条直线相交，只有一个交点”这命题中题设是（）A. 两条直线B. 交点C. 两条直线相交D.只有一个交点19.下列各语句中，属于定义的是（）A.直线外一点到直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离B.两点确定一条直线C.凡直角都相等D.平行线的同位角相等20.平面内有三条直线L1,L2,L3，如果L1⊥L2，L2∥L3，那么L1,与L3的位置关系是（）A. 平行B.相交C.重合D.垂直三、解答题（共30分）21.把下列命题写成“如果……那么……”的形式.（5分）（1）同旁内角相等，两直线平行.（2）凡直角都相等.（3）两个角的和是180º，那它们就是邻补角.（4）等角的余角相等.（5）垂线段最短.22.写出下列命题的题设和结论部分.（5分）（1）在同一平面内不平行的两条直线必定相交.CO A B D E F （2）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（3）两条直线相交，只有一个交点.（4）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.（5）钝角大于它的补角23.写出下列命题的逆命题（10分）（1）同位角相等，两直线平行.（2）矩形的对角线相等（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形24.请说出命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”的逆命题，这个逆命题是真命题吗?请证明你的判断．（10分）四、探究题（每题10分，共20分）25. 四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看.已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图1）；求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAB ·S △OCD .D B OC AE F图1 图2(2)在三角形中（如图2），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.26. 芳芳和妈妈一起去青岛旅游，她们站在海边，看到海中有一座小岛，芳芳想马上知道这座小岛的长度.她们是这们做的：（如图所示）设小岛长为AB，在岸上任意选择两点P、Q，并各钉一个木橛为标志，然后在PQ上找出M、N两点，使AM、BN都与PQ垂直。