求正余弦函数的单调区间
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
正弦余弦函数的性质
y=sinu y=|sinu|
2 3 x [k , k ], k Z y为增函数 4 4 x [k , k ], k Z y为减函数 4 4
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
17 cos( 17 )=cos 4 4
, ] 上是增函数 2 2
(2) cos( 23 ) - cos( 解： cos( 23 )=cos 23 5 5
0
) - cos( 从而 cos( 23 5
17 ) 4
=cos
cos
3 5
4
<cos 4
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
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给送到了姑素家大长老大夫人那里,由她带晴文婷给带大了."
正余弦函数的单调性和最值练习
∴sin－π 12＜sin －π 18， ∴g－π 12＜g－π 18， ∴f－π 18＞f－π 12.
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数学 必修4
第一章 三角函数
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[规律方法] 求三角函数值域或最值的常用方法
(1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A| ＋k，最小值为－|A|＋k(其中 A，ω，k 为常数，A≠0，ω≠0)．
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsin x＋C 或 y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)的最大、最小 值，利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值的求法来求．(换元法)
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第一章 三角函数
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◎ 变式训练 3.若函数 y＝a－bcos x(b＞0)的最大值为32，最小值为－12，求函数 y＝－4acos bx 的最值和最小正周期.
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解析： (1)∵函数 f(x)＝sin x－1 与 g(x)＝sin x 的单调区间相同， ∴f(x)＝sin x－1 的增区间为 2kπ－π2 ，2kπ＋π2 (k∈Z). 减区间为2kπ＋π2 ，2kπ＋32π(k∈Z).
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第一章 三角函数
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[思想方法] 三角函数相关的恒成立问题 ◎若cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0恒成立，求实数m的取值范围. 【分析】 本题主要考查三角函数的性质与一元二次不等式的知识，可将原 不等式化为sin2θ－2msin θ＋2m＋1＞0，令sin θ＝t，由于－1≤sin θ≤1，故－1≤t≤1 ，只要求出使函数f(t)＝t2－2mt＋2m＋1(－1≤t≤1)的最小值大于0的m的取值范围 即可.
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]
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这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
高中数学三角函数的单调性知识分析
高中数学三角函数的单调性知识分析卢玉玺(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大 风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以 三角函数中的单调性 类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁正弦函数的单调区间在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２ɤｘɤｋπ＋１１π１２(ｋɪＺ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋɪＺ).同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我们可知２ｋπ－π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀在求三角函数的单调区间时ꎬ当不好直接对题目进行分析时就可以先借助诱导公式对其变形处理ꎬ然后再根据相应原理进行解题分析ꎬ以此提高我们的解题效率ꎬ让我们更准确地找出问题的解答策略.㊀㊀二㊁正切函数的单调区间本部分中我将以数形结合思想为例ꎬ带领大家探究利用数形结合思想求正切函数单调区间的具体方法.例２㊀求函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的单调区间.思考方式:我们可以发现题目中的正切函数是一个绝对值函数ꎬ因而在此题中我们就可以利用数形结合的方法进行求解.在解题中ꎬ我们可以先根据题目要求及已有数学经验作出ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的函数图象ꎬ因为函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜是一个偶函数ꎬ所以它的图象应该关于ｙ轴对称.通过作图分析的方式我们可以知道:当ｘ>０时ꎬｙ＝ｔａｎｘꎬ其增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ当ｘ<０时ꎬｙ＝－ｔａｎｘꎬ其减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.故此题的答案应为:ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.方式评注㊀在三角函数的单调性类题目中这种图象４２解题的方法较为常见ꎬ在如例题中的题目里ꎬ同学们就可以利用图象的方法ꎬ通过作图分析ꎬ从左到右观察图象ꎬ按照 图象中呈上升趋势的区间为增区间㊁呈下降趋势的区间为减区间 这一理念进行题目求解.㊀㊀三㊁余弦函数的单调区间三角函数的单调性部分是三角函数的主要性质之一ꎬ本部分中ꎬ我将与同学们一起探索余弦函数的单调区间求取方法.例３㊀求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的单调区间.思考方式㊀本题中的函数是一个余弦函数ꎬ我们可以利用余弦函数的单调性进行求解.在解题过程中我们可以先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后根据余弦函数的单调增区间求解方法就可以得到２ｋπ－πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ(ｋɪＺ)ꎬｋπ－７π１２ɤｘɤｋπ－π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的增区间应为[ｋπ－７π１２ꎬｋπ－π１２](ｋɪＺ).在求函数的单调递减区间时ꎬ我们也可以用这种方法ꎬ先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后通过对题目的分析可得２ｋπɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋π(ｋɪＺ)ꎬｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的减区间应为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀对于一些比较复杂的函数ꎬ同学们就可以使用这种方法先将原函数中的式子视为一个整体ꎬ然后再利用相关定理求解.总之ꎬ在高中数学中三角函数的单调性部分的解题过程中ꎬ同学们应该注意挖掘典型题目的具体特征ꎬ并不断总结㊁不断反思ꎬ以期形成一套完整的数学解题思路ꎬ并合理地通过知识迁移及相关题目的变式练习将自己的思路运用到实际解题中ꎬ以此达到事半功倍的学习效果.㊀㊀参考文献:[１]孙月.对高中函数单调性的解析策略研究[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１５(１０):６８.[２]张先龙ꎬ肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计 以函数的单调性新授课为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(ｚ１):１６－１９.[责任编辑:李㊀璟]一题多解一题多变在切线方程中的运用探究伍锡浪(江西省九江第一中学㊀３３２０００)摘㊀要:本文通过对２０１３年高考数学山东卷理科第２２题的研究ꎬ引发了对圆锥曲线的切线方程的探究ꎬ体现了导数的工具性作用ꎬ进一步表明了数学教学中应提倡一题多解一题多变的探究ꎬ从而大力提高学生的探索能力和创造能力.关键词:一题多解ꎻ一题多变ꎻ圆锥曲线ꎻ切线方程ꎻ斜率ꎻ导数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２５－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:伍锡浪ꎬ江西省九江人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:江西省教育科学 十三五 规划２０１８年度ꎬ课题«一题多解一题多变在教学中的运用研究»编号:１８ＰＴＹＢ０３６㊀㊀«普通高中数学课程标准(实验)»指出: 学生的数学学习活动不应只限于接受㊁记忆㊁模仿和练习ꎬ高中数学课程还应倡导自主探究㊁动手实践㊁合作交流㊁阅读自学等学习数学的方式. 这就要求我们在教学中重在为学生创设良好的思维情境ꎬ让学生在自主探究和合作交流的过程中体验数学发现和创造的历程ꎬ学会研究问题㊁解决问题ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.从而大力提高学生的探索能力和创造能力.㊀㊀一㊁真题铺路㊀引出课题(２０１３年高考数学山东卷理科第２２题)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ离心率为３２ꎬ过点５２。
三角函数的单调区间公式
三角函数的单调区间公式三角函数的单调区间公式1、在0°~90°，正弦函数y=sin x从0递增到1：2、在90°~180°，正弦函数y=sin x从1递减到0：3、在180°~270°，正弦函数y=sin x从0递减到-1：4、在270°~360°，正弦函数y=sin x从-1递增到0：5、在0°~90°，余弦函数y=cos x从1递增到0：6、在90°~180°，余弦函数y=cos x从0递减到-1：7、在180°~270°，余弦函数y=cos x从-1递增到0：8、在270°~360°，余弦函数y=cos x从0递增到1：9、在0°~90°，正切函数y=tan x从0递增到无穷大：10、在90°~180°，正切函数y=tan x从无穷大递减到0：11、在180°~270°，正切函数y=tan x从0递减到无穷大负值：12、在270°~360°，正切函数y=tan x从无穷负大增动0：在数学中，三角函数是一组非常重要的函数，它们需要更具体的说明，即相应的函数的单调区间的范围。
这些单调区间的范围，也就是函数y = sin x, y = cos x和y = tan x的单调区间是其中三种最常见的三角函数。
关于三角函数的单调区间的公式有一对数学的一对概念，它们是：1、函数的单调性：2、函数的极值点：具体到三角函数，它们的单调性指的是它们在某一区间上在增加或减小，而极值点指的是在某一区间上他们的值没有继续增加或减少了。
根据上述概念，三角函数的单调区间可以总结为：1、在0°~90°，正弦函数y=sin x从0递增到1：2、在90°~180°，正弦函数y=sin x从1递减到0：3、在180°~270°，正弦函数y=sin x从0递减到-1：4、在270°~360°，正弦函数y=sin x从-1递增到0：5、在0°~90°，余弦函数y=cos x从1递增到0：6、在90°~180°，余弦函数y=cos x从0递减到-1：7、在180°~270°，余弦函数y=cos x从-1递增到0：8、在270°~360°，余弦函数y=cos x从0递增到1：9、在0°~90°，正切函数y=tan x从0递增到无穷大：10、在90°~180°，正切函数y=tan x从无穷大递减到0：11、在180°~270°，正切函数y=tan x从0递减到无穷大负值：12、在270°~360°，正切函数y=tan x从无穷负大增动0：由于三角函数的单调性和极值点的关系，所以可以用来推导各种需要求解三角函数的实际问题中依据函数计算出函数值。
求三角函数的单调性的基本方法[推荐]
![求三角函数的单调性的基本方法[推荐]](https://img.taocdn.com/s3/m/e3a81160580102020740be1e650e52ea5518cefc.png)
求三角函数的单调性的基本方法[推荐] 三角函数的单调性是函数在其定义域内的特定区间内单调增加或减少的特性。
对于三角函数，如正弦函数(sine function)、余弦函数(cosine function)和正切函数(tangent function)，它们的单调性取决于其角度或弧度的值。
为了理解和确定三角函数的单调性，我们可以采用以下的基本方法：方法一：使用函数图像对于三角函数，其图像是理解其单调性的直观且有效的方式。
通过绘制函数的图像，我们可以清晰地看到函数在哪些区间内是单调增加或减少的。
例如，正弦函数的图像呈现了周期性的变化，其在每个周期内都有一段上升和下降的区间，这就是正弦函数的单调性。
方法二：利用三角恒等式和三角函数的性质除了观察图像，我们还可以利用三角恒等式和三角函数的性质来理解和确定函数的单调性。
例如，我们知道正弦函数在任何角度下都有定义，但在0到π/2（弧度）之间是单调增加的，而在π/2到π（弧度）之间是单调减少的。
这是因为正弦函数在这个范围内的导数（也就是变化率）是正的（增加）和负的（减少）。
方法三：利用导数判断对于一般函数，我们可以通过求导数来判断其单调性。
对于三角函数，我们也可以通过求导数来判断其单调性。
例如，我们可以求正弦函数的导数，然后观察其在哪个区间内为正（即函数在此区间内单调增加），在哪个区间内为负（即函数在此区间内单调减少）。
这种方法可以与第一种方法（使用函数图像）相互验证。
结论：理解和确定三角函数的单调性需要综合运用以上三种方法。
通过绘制函数图像、掌握三角恒等式和三角函数的性质、以及利用导数判断函数的单调性，我们可以更全面地理解三角函数的性质，从而更好地解决涉及三角函数的数学问题。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要了解所研究的三角函数的定义和基本特性，例如正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域、值域和周期等。
2.其次，我们可以绘制出该函数的图像，通过观察图像的形状和变化趋势来初步判断其单调性。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)[学习目标]1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． [知识链接]1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期答 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)， 所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)也是周期函数，最小正周期也是2π|ω|.2．观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质：续表续表要点一 求正、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式． 跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )， 亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )． 亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z . ∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为 u ＝cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )． 要点二 正、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°； 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 要点三 求正、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性． 跟踪演练3 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D. 2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25πD ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2 x －4sin x ＋5的值域． 解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1) g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内． g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2,10]．所以y＝f(x)的值域为[2,10]．1．求函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.一、基础达标1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么()A．sin α>sin βB．sin β>sin αC．sin α≥sin βD．sin α与sin β的大小不定答案D3．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是()A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.答案 34解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )． 整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案 C解析 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间． 9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋a sin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{ a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ，∴{ b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{ a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π； 当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π.12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的解析式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π) 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
正余弦函数的性质(最值与单调性)
k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减
上时，曲线逐渐下降， 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究： 探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1； 都是增函数，其值从－1增大到 ； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到 减小到－ 。 减函数，其值从 减小到－1。
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性பைடு நூலகம்比较下列各组数的大小： ：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：
y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增 （1）化未知为已知 增
正余弦函数的单调性
π
π 5π [− + kπ， + kπ ]，k ∈ Z − 8 8
观察正弦函数和余弦函数的图象
正弦函数
y 1
-2π π -π π
o -1
π
2π π
3π π
4π π
x
单调区间有 π π π 3π 3π 5π 5π 7π 7π 9π 9π 11π [− , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 1 3 因为 0 < π < π < π 4 5 4 ，且函数
y = cos x，x ∈ [0，π ] 是减函数，所以 是减函数， 1 17 3 23 cos π < cos π 即 cos(− π ) < cos(− π ) 4 4 5 5
二层练习 3.求下列各函数的单调递减区间 求下列各函数的单调递减区间 (1)
10π [ + 4kπ， + 4kπ ] 3 3
(k ∈ Z )
(2) y = 1 − cos(2 x +
π
4
)
解: 由 − π + 2kπ ≤ 2 x + ≤ π + 2kπ， 4 5π π 得 − + kπ ≤ x ≤ − + kπ， 8 8
所以该函数的单调递减区间是: 所以该函数的单调递减区间是
[ , ] 2 2
π 3π
0.9π < 1.3π sin 0.9π > sin 1.3π
不查表比较下列各组数的大小
(3) cos 0.9π与 cos 0.3π
余弦函数单调区间有
[−π ,0]
[0,π ]
第二课时 单调性与最值
训练 3 已知函数 y＝a－bcos2x＋π6(b>0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a，b的值； 解 易知－1≤cos2x＋π6≤1. 因为 b>0，所以－b<0， 所以ymax＝b＋a＝32， ymin＝－b＋a＝－12. 所以 a＝21，b＝1.
索引
(2)求函数 g(x)＝－4asinbx－π3的最小值，并求出对应的 x 的取值集合. 解 由(1)知 g(x)＝－2sinx－π3， 因为 sinx－π3∈[－1，1]，
1.用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果 式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数；然后整体代换， 将“ωx＋φ”看成一个整体“z”，利用正(余)弦函数的单调性，求原函数的单调 性. 2.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，注明k∈Z.
A.－
23，
3 2
B.－ 23，1
C.－1，
3 2
D.－1，12
解析 当 0≤x≤π2时，π6≤2x＋π6≤67π，
∴－1≤
cos2x＋π6≤
3 2.
索引
(2)函数y＝sin2x－4sin x的最大值为____5____. 解析 y＝sin2x－4sin x＝(sin x－2)2－4. ∵－1≤sin x≤1， ∴当sin x＝－1时，y取到最大值(－3)2－4＝5.
索引
∴sin
4π 45<sin
1310π，
从而－sin
44π5>－sin
11π 30 .
∴sin
49π 45 >cos
13π 15 .
索引
(2)cos－253π与 cos－147π.
正、余弦函数的单调性与最值
函数 名称
图象与 性质
性质分类
定义域 相
同
值域
处 周期性
y＝sinx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
y＝cosx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
正、余弦函数的所有性质都是针对自变量x本身而言 的．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于原点成中心对称， 其图象在对称中心和对称轴处对应的分别为函数的零点和 最值点．正弦函数有单调区间，但并不是定义域上的单调 函数，即：它在整个定义域内并不单调．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
【名师点拨】
(1)对于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx类型的函数求 值域时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时一定 要注意函数的定义域．
(2)对于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C或y＝Acos2x＋Bcosx ＋C类型的函数求值域时，可采用换元法求解．
已知函数 y＝2acos2x－3π＋b 的定义域是 0，π2，值域是[－5,1]，求 a，b 的值．
【名师点拨】
求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)的单调区间，一定要注意到函数中A与ω的符 号．如果ω<0，一般利用诱导公式将x的系数化为正数， 再求解．
正弦、余弦、正切函数图象及其性质
函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。
当ω＜0时，要特别注意。
如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。
人教A版必修1第5章三角函数：4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
人教A版必修1第5章三角函数：4.2 第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值（同步讲义）(教师独具内容)课程标准：1.掌握正弦函数、余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性和最值．教学难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值.【知识导学】知识点正弦函数、余弦函数的性质【新知拓展】(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x 轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )(2)存在x ∈R 满足sin x ＝ 2.( )(3)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)在下列区间中，函数y ＝sin x 单调递增的是( )A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π](2)函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B.y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) (3)函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 答案 (1)C (2)C (3)⎣⎡⎦⎤2π3，π题型一 正弦函数、余弦函数的单调区间【例1】求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3； (3)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；(4)y ＝cos2x . [解] (1)由题意可知函数y ＝sin x 2的单调递减区间即为y ＝1－sin x 2的单调递增区间， 由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得 4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )，所以函数y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )． (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π(k ∈Z )， 故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )． (3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤2x ＋π4<2k π＋π(k ∈Z )， 即k π＋π8≤x <k π＋3π8(k ∈Z )， 故所求单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z )． (4)函数y ＝cos2x 的单调递增区间由下面的不等式确定：2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 金版点睛求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的单调减区间．当A <0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．最后，需将最终结果写成区间形式．【跟踪训练1】求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3；(2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 解 (1)当2k π－π≤x 2＋π3≤2k π，k ∈Z 时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π－8π3，4k π－2π3，k ∈Z . 当2k π≤x 2＋π3≤2k π＋π，k ∈Z 时， 函数单调递减，故函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z . (2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 令z ＝2x －π4，则y ＝－3sin z . 要取y ＝－3sin z 的增区间即取y ＝sin z 的减区间，即2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )， ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 要取y ＝－3sin z 的减区间即取y ＝sin z 的增区间，即2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， ∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 题型二 比较三角函数值的大小【例2】比较下列各组数的大小：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5与cos ⎝⎛⎭⎫－17π4；(2)sin194°与cos160°； (3)sin1，sin2，sin3.[解] (1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋7π5＝cos 7π5， cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－6π＋7π4＝cos 7π4， ∵π<7π5<7π4<2π，∴cos 7π5<cos 7π4， 即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. (2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.(3)∵1<π2<2<3<π， 又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3.0<π－3<1<π－2<π2， 而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.金版点睛比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．【跟踪训练2】(1)两个数cos ⎝⎛⎭⎫－7π8和cos 7π6的大小关系是________； (2)按由小到大的顺序排列下列数：cos 32，sin 110，－cos 74.写在横线上为________________． 答案 (1)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8<cos 7π6(2)cos 32<sin 110<－cos 74解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π8＝－cos π8，而cos 7π6＝－cos π6，∵0<π8<π6<π2，∴cos π8>cos π6，∴－cos π8<－cos π6，∴cos ⎝⎛⎭⎫－7π8<cos 7π6.(2)sin 110＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－110≈cos1.47，－cos 74＝cos ⎝⎛⎭⎫π－74≈cos1.39，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos1.5<cos ⎝⎛⎭⎫π2－110<cos ⎝⎛⎭⎫π－74，即cos 32<sin 110<－cos 74.题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题【例3】求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，∴当t ＝－1时，y 取得最大值10，当t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．[条件探究] (1)将本例(1)改为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，再求值域； (2)若将本例(1)改为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，值域又如何？ 解 (1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3， 由余弦函数的图象及其单调性可知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1. ∴所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，1.(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 由正弦函数的图象及其单调性可知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，1.金版点睛三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．附：形如y ＝A sin x ＋B C sin x ＋D 或y ＝A cos x ＋B C cos x ＋D(A 2＋C 2≠0)的最大值最小值可解出sin x 或cos x 后利用其有界性来求． 【跟踪训练3】(1)已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值；(2)求函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以sin x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ×⎝⎛⎭⎫－32＋b ＝－5，2a ＋b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，2a ×⎝⎛⎭⎫－32＋b ＝1， 解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋54.因为－π4≤x ≤π4，－22≤sin x ≤22， 所以当x ＝－π6，即sin x ＝－12时，函数取得最大值，y max ＝54； 当x ＝π4，即sin x ＝22时，函数取得最小值，y min ＝12－22. 随堂水平达标1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－54，－1C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 答案 C解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，故选C. 2．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°答案 C解析 ∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 C解析 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间．4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 5．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，求ω的值． 解 由题意可知f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增且2sin π3ω＝2，即sin π3ω＝22， 所以有π3ω＝2k π＋π4(k ∈Z )，即ω＝6k ＋34(k ∈Z )， 因为0<ω<1，所以ω＝34.。
正余弦函数的奇偶性与单调性
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 9 8 (1) si n 与 si n ; 8 7 25 13 ( 2) cos 与 cos( ) 8 9 9 8 3 解： 2 8 7 2 3 y sin x在 ， 上 单调 递减 2 2 9 8 sin sin . 8 7
探究三
例2: 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：. 25 13
( 2) cos 与 cos( )
必须将角化为 25 ( 2) cos cos cos ， 同一单调区间 8 8 8 13 5 4 cos( ) cos cos . 8 9 9 4 又0 , 而y cos x在 区 间0， 上 是 减 函 数 8 9 4 4 即 cos cos , cos cos . 8 9 8 9 5 13 于是 cos cos( ). 8 9
4
,
而f( ) 4 f (
cos
4
1 sin
4
2 2 2
2 1
) f( )且f ( ) f( ). 4 4 4 4
练习二
2. 比 较 下 列 各 组 数 的 大 ： 小 （1） sin(
16
)和 sin(
2
13
);
24 17 ( 2) cos( )和 cos( ). 5 4
y
1 -3
5 2
(4-4)
y=cosx (xR)
2
-2
3 2
-
余弦函数的增减区间
余弦函数的增减区间
余弦函数是几何或微积分中非常重要的函数，在这里我们将讨论其增减区间。
余弦函
数对π的变化很敏感，它沿着π/2，2π，3π/2和4π这四个特殊的角度改变它的增减
性质。
一般来说，在角度的范围内，从0°到π/2°，余弦函数从0上升到1，这是一个连
续的增加，因此这一范围内的函数都是单调递增的。
在π/2°到π°的角度范围内，余
弦函数从1下降到零，这是一个连续的减少，因此这一角度范围内的函数都是单调递减的。
在φ = π°到3π/2°的角度范围内，余弦函数从0上升到-1，这也是一个连续的增加，因此这一范围内的函数也是单调递增的。
在3π/2°到2π°的角度范围内，余弦函数从-
1下降到0，这是一个连续的减少，因此这一角度范围内的函数都是单调递减的。
从上面简单的分析可以得出，余弦函数在0°到π/2°和3π/2°到2π°角度范围
内都是单调递增的，而在π/2°到π°和π到3π/2°角度范围内都是单调递减的。
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求正弦、余弦函数的单调区间
三维目标：
1、知识与技能
理解正弦函数、余弦函数的性质，并能在解题中应用。
2、过程与方法
根据正弦曲线和余弦曲线，总结出这两种函数的单调性，进一步体验“形”对“数”的体现作用。
3、情感、态度与价值观
感受数形结合思想的重要作用，养成多动手、多观察、勤思考、善总结的习惯。
教学重点
求正弦、余弦函数的单调区间
教学难点
求复合型正弦、余弦函数的单调区间
预习案
1、请在下列直角坐标系中分别画出y=sinx和y=cosx的图象
y=sinx y=cosx
1
2、观察两个函数的图象，分别写出函数的单调区间
（1）y=sinx的单调增区间为；
y=sinx的单调减区间为；（2）y=cosx的单调增区间为；
y=cosx的单调减区间为；
探究案
的单调增区间；
例题求函数y=sin x+π
6
的单调减区间；
变式1 求函数y=sin2x+π
6
的单调减区间；
变式2 求函数y=−sin2x+π
6
变式3 求函数y=sin −2x+π
6
的单调减区间；
变式4 求函数y=sin2x+π
6
在区间 −π，π 上的单调增区间；
变式5 求函数y=sin2x+π
6
+1区间 −π，π 上的单调区间；
习题案
1、使函数y=sin −2x+π
6
为增函数的区间是（）
A、0，π
3B、π
12
，7π
12
C、π
3
，5π
6
D、π
6
，π
2、函数y=3sin x−π
4
的一个单调递减区间是（）
A、 −π
4，π
2
B、 −π
4
，3π
4
C、 −3π
4
，π
4
D、 −5π
4
，−π
4
3、下列关于函数y=4sin x，x∈ −π，π 的单调性的叙述正确的是（B ）
A、在 −π，0上是增函数，在0，π 上是减函数
B、在 −π
2，π
2
上是增函数，在 −π，−π
2
及π
2
，π 上是减函数
C、在0，π 上是增函数，在 −π，0上是减函数
D、在 −π，−π
2及π
2
，π 上是增函数，在 −π
2
，π
2
上是减函数
3
4、求下列函数的单调区间
1y=cos（−2x+π）
2y=sin（2x−π4）
3y=cos 1
2
x−
π
6
，x∈ −π，π。