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高考数学高频错题试卷及答案

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【易错题】高考数学试卷(附答案)

【易错题】高考数学试卷(附答案)

【易错题】高考数学试卷(附答案)一、选择题1．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．2,0,23．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．564．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．32 5．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．277．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l αβ= ，则M l ∈；④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1B ．2C ．3D ．48．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒> D ．22a b a b >⇒>9．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A x <<B 5x <C ．2x <<D 5x <<11．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A B ．2C ．6D ．512．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题13．函数()23s 4f x in x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 14．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.15．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 16．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．17．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.18．已知1OA =，3OB =0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 19．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ . 20．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数2()log 2x f x =⋅的最大值和最小值． 22．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为g t ，求g t 的表达式. 23．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 24．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．25．已知0,0a b >>. (1)211a b≥+ ；(2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x -所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：M ＝{x|x 2＋2x ＝0，x ∈R}＝{0，-2}，N ＝{x|x 2－2x ＝0，x ∈R}＝{ 0，2}，所以M N ⋃={-2,0,2}，故选D ．考点：1、一元二次方程求根；2、集合并集的运算．3．C解析：C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.4．B解析：B 【解析】等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,故选B .5．A解析：A 【解析】 试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．6．B解析：B 【解析】 【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．8．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误．故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得0x <<x 的取值范x << A. 考点：余弦定理.11．D解析：D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．12．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅，代入夹角公式即可.【详解】设,a b 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥， 所以222a ba b ==⋅，则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.二、填空题13．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1解析：1 【解析】 【详解】化简三角函数的解析式， 可得()22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos 12x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 14．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去解析：【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容解析：2 【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知OB =，所以22222a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.16．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间解析：6π-. 【解析】分析：由对称轴得ππ()6k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT ω=；(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.17．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径3393【解析】 【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABCh S ⨯⨯代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.18．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则解析：3 【解析】因为30AOC ∠=，所以3cos cos30OC OA AOC OC OA⋅∠===⋅，从而有222223||2m OA n OB mn OA OB OA=++⋅⋅⋅．因为1,3,0OA OB OA OB ==⋅==，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3m n = 19．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：【解析】【分析】 【详解】 ∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)444a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的解析：18【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.【详解】函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增 ()210a f x x x '∴=-+≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x >根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x =18a ∴≥，故实数a 的最小值是18本题正确结果：18 【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.三、解答题21．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础． 22．（1）2()210f x x x =-（2）223268,,22535(),,2225210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【解析】(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是0,5，所以可设()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a 值，从而求出f(x)的解析式.（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =2,a ∴=2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈（2）由（1）知22525()2102.22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭，开口向上，对称轴为52x = ①当512t +≤，即32t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2221101268g t t t t t ∴=+-+=--②当52t ≥时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-③当512t t ≤≤+，即3522t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭23．（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果.【详解】 （1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 23321112233b c a c a b a a b b c c =++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c======时，等号成立． 所以239a b c ++≥.【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．24．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】 由不等式的解集和方程的关系，可知12，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12，2； 由根与系数的关系得55221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-． 所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<<所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.25．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 已知0,0a b >>直接对11a b+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．【详解】证明：(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()2222244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+≥=----，当且仅当11a b ==-+或11a b ==--【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。

高考数学(理科)高频错题测试卷及答案

高考数学(理科)高频错题测试卷及答案

高考数学（理科）高频错题测试卷及答案（2套）测试题一满分：150分时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、单选题(本题共12题，每小题5分，共60分) 1．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2857】 已知复数112izi+=-，其中为虚数单位，则z 的虚部为( )A ．15 B ． -15C ．-15i D ．15i 2．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.2899】 “2x ≠2”是“2x ≠1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.5179】 下列说法正确的是( ) A ．若，则B ．若，则向量与夹角为锐角C ．“”的否定是“”D ．在中，若，则4．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.5893】 函数的部分图像可能是( )A ．B ．C ．D ．5．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.6251】 已知0.257log 2,log 2,0.5a b c ===，则a ,b,c 的大小关系为( )A ．b<a <cB ．a <b<cC ．c<b<aD ．c<a <b6．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1071】 关于函数有下述四个结论:( ) ①f(x) 在区间(-1,3) 单调递增 ②()y f x =的图像关于直线x=1对称③()yf x =的的图像关于(1,0)对称 ④()f x 的值域为R其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.3768】 下列函数中，以为周期且在(0，)上单调递增的是( )A ．B ．C ．D ．8．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.2368】 执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为100，则输出S 的值为( ) A ．3B ．43C ．12D ．129．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.5132】将6名公务员(4男2女)平均分成两个小组，分别安排到甲、乙两个地区进行扶贫工作，若女公务员不能分在同一组，则不同的分配方案种数为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．10 10.【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.6491】 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象(部分图象如图所示)，则()y f x =的解析式为( )A ．()2sin(2)6f x x π=+B ．()2sin()6f x x π=+C ．()2sin(4)6f x x π=+D ．()2sin()6f x x π=-11．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.4035】已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =．函数|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．3B ．4C ．5D ．612．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1754】若为函数相邻的两个极值点，且在处分别取得极小值和极大值，则定义为函数f(x) 的一个极优差．函数的所有极优差之和为( ) A ．B ．C ．D ．第II 卷(非选择题)二、填空题(本题共4题，每小题5分，共20分) 13．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.6786】n S 是等比数列{}n a 的前项和，221063,a a a ==，则6S =___________． 14．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.5614】如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile 的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30︒、相距20 n mile 的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB 前往处救援，则cos θ的值为________________． 15．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.4928】 若a 是第三象限角，且，则=_____________．16．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.2943】已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意*n ∈N ，均有()()1221n n n a a a a a ++⋅⋅⋅+=+，若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则122020111S S S ++⋅⋅⋅+=________．三、解答题(第17题10分，第18-22题每题12分，共70分) 17．【2019年山西省名校试题】【年级得分率：0.3056】 在梯形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=90°，∠BAD=45°，AB=2，AD=3， (1)求对角线AC 长； (2)求sin ∠CAD 的值。

【易错题】高考数学试卷(含答案)

【易错题】高考数学试卷(含答案)

【易错题】高考数学试卷(含答案)一、选择题1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对3．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确说法的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．355．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A 2 B 3 C 5 D ．66．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22D ．328．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A ．乙、丁可以知道自己的成绩B ．乙可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．丁可以知道四人的成绩9．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（） A ．3- B ．3 C ．12 D ．12- 10．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0 11．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A 513x <<B 135x <C ．25x <<D 55x << 12．在[0,2]π内，不等式3sin x <的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.14．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.16．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ．17．若,满足约束条件则的最大值 ． 18．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.20．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，C 是锐角，且27a =，1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 三、解答题 21．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.22．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆的面积为3，求b ，c .23．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC（Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.24．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()1()f x g x x x=-，求()g x 的极值； （2）证明：2()1x f x e x +<-.（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 32 4.48e ≈ 27.39e ≈）25．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证：(1)DE∥平面BCP ；(2)四边形DEFG 为矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出．【详解】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1，圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2，∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．A解析：A【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．考点：空间两点间的距离.3．A解析：A【解析】【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的.【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定;(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．4．C解析：C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r r r n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r r r T C x += 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.5．B解析：B【解析】【分析】 本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可．【详解】结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()22202222cos45a c a ++-=+⋅,解得c e a== 故选B.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．6．A解析：A【解析】【分析】当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系.【详解】当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.7．C解析：C【解析】【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0，两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程.圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =，所以公共弦长为：l ==.故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．A解析：A【解析】【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.9．B解析：B【解析】【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴23πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2， 故选B ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．10．C解析：C【解析】分析：连结MN ，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN ，由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()33BC MN ON OM ==-，由题意可知： 2211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，结合数量积的运算法则可得： ()2333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．11．A解析：A【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得5x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得013x <<x 的取值范513x << A.考点：余弦定理.12．C解析：C【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论．【详解】解：在[0，2π]内，若sin x3＜，则43π＜x53π＜，即不等式的解集为（43π，53π），故选：C．【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．二、填空题13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．14．1和3【解析】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.15．【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x ）r ＝3rxr ∵含有x2的系数是54∴r ＝2∴54可得6∴6n ∈N*解得n ＝4故答案为4【点睛】本题考解析：4【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =（3x ）r ＝3r r n x r ． ∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =54，可得2n =6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积解析：2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.17．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法解析：【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法18．【解析】【分析】由条件得MN则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN可得即α=loβ=lo所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】【分析】由条件,得M12,33⎛⎫⎪⎝⎭,N21,33⎛⎫⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】由条件,得M12,33⎛⎫⎪⎝⎭,N21,33⎛⎫⎪⎝⎭,可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo231 3g,β=lo132 3g.所以αβ=lo231 3g·lo1312 233·21 333lg lgglg lg==1.【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和10【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++20．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理解析：【解析】【分析】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B=，故sin2sin2B C =，于是得到B C =或2B C π+=，再根据1cos 3A =可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求出b c ==【详解】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C C B B=， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠， ∴sin cos sin cos B C C B=， ∴sin2sin2B C =，又,B C 为三角形的内角，∴B C =或2B C π+=， 又1cos 3A =， ∴BC =，于是b c =． 由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-即(222223b b b =+-，解得b =，故c =∴11sin223ABCS bc A∆===故答案为．【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2nna=，21nnb=-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由a1+a2+a3+…+a n＝2b n①，n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1＝2b n﹣1②，①﹣②可得：a n＝2（b n﹣b n﹣1）（n≥2），{a n}公比为q，求出a n，然后求解b n；（2）化简2211log lognn nca a+=（n∈N*），利用裂项消项法求解数列的和即可．【详解】（1）由a1+a2+a3+…+a n＝2b n①n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1＝2b n﹣1②①﹣②可得：a n＝2（b n﹣b n﹣1）（n≥2），∴a3＝2（b3﹣b2）＝8∵a1＝2，a n＞0，设{a n}公比为q，∴a1q2＝8，∴q＝2∴a n＝2×2n﹣1＝2n∴()1231212222222212nn nnb+-=++++==--，∴b n＝2n﹣1．（2）证明：由已知：()22111111n n1nn nclog a log a n n+===-++．∴1231111111111223n n11nc c c cn++++=-+-++-=-<++【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.22．(1)3Aπ=(2)b c==2【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)由3sin cos c a C c A =-及正弦定理得3sin sin cos sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0A π<<，故3A π=. (Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =3,故bc =4， 而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2 23．（1）详见解析；（2）43131. 【解析】【分析】（1）连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ，则四边形11A ACC 是正方形，点M 是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ 是平行四边形，从而11B Q C M ，由此能证明1B Q 平面11A ACC ．（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值．【详解】证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ．因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点，又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC ，且12MQ BC =， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C ，且11MQ B C =，所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M ，因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ，故1B Q 平面11A ACC ．（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，则()3,1,0A -，()13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ， 所以()113,2,0B A =-，()10,1,2B B =-．设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =，则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即32020x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则()4,23,3m = 平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =，所以4431cos ,31m nm n m n ===． 故二面角11A BB C --的平面角的余弦值为431．【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.24．（1）见解析；（2）见证明【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）()()21ln 1(0)f x x g x x x x x x =-=->，()22ln 'x g x x -=，当()20,x e ∈，()'0g x >，当()2,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x ∴在()20,e 上递增，在()2,e +∞上递减，()g x ∴在2x e 取得极大值，极大值为21e ，无极大值. （2）要证f （x ）+1＜e x ﹣x 2．即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”，故xlnx ≤x （x ﹣1），e x ﹣x 2﹣xlnx ≥e x ﹣2x 2+x ﹣1，故只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），则k ′（x ）＝e x ﹣4x+1，令F （x ）＝k ′（x ），则F ′（x ）＝e x ﹣4，令F ′（x ）＝0，解得：x ＝2ln2，∵F ′（x ）递增，故x ∈（0，2ln2]时，F ′（x ）≤0，F （x ）递减，即k ′（x ）递减， x ∈（2ln2，+∞）时，F ′（x ）＞0，F （x ）递增，即k ′（x ）递增，且k ′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k ′（0）＝2＞0，k ′（2）＝e 2﹣8+1＞0， 由零点存在定理，可知∃x 1∈（0，2ln2），∃x 2∈（2ln2，2），使得k ′（x 1）＝k ′（x 2）＝0，故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）＝0或k （x 2），由k ′（x 2）＝0，得＝4x 2﹣1，k （x 2）＝﹣2+x 2﹣1＝﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞0，故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．25．(1)见解析； (2)见解析.【解析】【分析】（1）根据DE 平行PC 即可证明（2）利用PC ，可知DE 与FG 平行且相等，即可证明.【详解】证明：(1)因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE∥PC.又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE∥平面BCP.(2)因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG 为矩形．【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.。

【易错题】数学高考试题(附答案)

【易错题】数学高考试题(附答案)

【易错题】数学高考试题(附答案)一、选择题1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．352．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i4．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6B ．32C ．10D ．425．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．137．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦8．若奇函数()f x 在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]--上 （ ） A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值0 9．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．410．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的，则双曲线的渐近线方程为（） A．y =B．y =C ．y x =±D ．2y x =±11．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>12．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，a =b=1,则c =_____________17．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．18．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 19．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________. 20．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C是锐角，且a =1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 三、解答题21．已知()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.22．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？23．已知函数()()2f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．()1求()f x 的单调区间；()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且14EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积. 25．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．D解析：D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．3．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.4．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-．则22224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.6．C解析：C【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.7．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。

【易错题】高考数学试卷含答案

【易错题】高考数学试卷含答案

【易错题】高考数学试卷含答案一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14- B ．14 C ．23- D ．232．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．3．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．35 4．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 5．在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，32BC =，则AC =（ ）A ．3B ．3C ．23D ．436．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．107．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．238．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．27 9．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 10．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．11．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 12．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．以上均有可能二、填空题13．若双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________. 14．曲线21y x x =+在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于1[0,]2的概率为 ． 16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =，b=1,则c =_____________17．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n +的最小值为 18．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 19．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点,且满足CNCD BM BC =，则AM AN ⋅的取值范围是_________．20．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____. 三、解答题21．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）． （1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线（t 为参数）距离的最小值．22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =25. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.23．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1-（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 24．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.25．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A. 2．A解析：A【解析】【分析】【详解】 由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.3．C解析：C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r r r n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r r r T C x += 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.4．B解析：B【解析】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B.考点：集合的运算.5．C解析：C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果.【详解】解：在ABC ∆中， 可得sin sin BC AC A B=,即sin 60sin 45AC，即22，解得AC =故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.6．C解析：C【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9.故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．7．C解析：C【解析】【分析】由题意，求得(),()P AB P A 的值，再由条件概率的计算公式，即可求解.【详解】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．B解析：B【解析】【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值.【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ，其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯，可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．C解析：C【解析】【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．10．A解析：A【解析】【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ．【详解】2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．11．C解析：C【解析】分析：写出103152r rr r T C x -+=，然后可得结果 详解：由题可得()5210315522r r rr r r r T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭ 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

【易错题】数学高考试题(带答案)

【易错题】数学高考试题(带答案)

【易错题】数学高考试题(带答案)一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．232．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－14．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 5．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小6．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34 B ．16C ．1112D ．25247．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A ．2B ．3C ．22D ．329．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A ．513x <<B ．135x <<C ．25x <<D ．55x <<12．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.17．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 19．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.20．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2 b |= ______ .三、解答题21．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，()1,d k =(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.23．已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值. 24．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.25．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()14πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.2．D解析：D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．3．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知()()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算4．A解析：A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑6．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 7．A解析：A 【解析】 【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ． 【详解】2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ， 故选A 【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．8．C解析：C 【解析】 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =，所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．D解析：D 【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.10．A解析：A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.11．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得5x >；设x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得013x <<，所以实数x 的取值范围是513x <<，故选A. 考点：余弦定理.12．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=，所以所求平均数为()121012101210121012020202a a ab b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+考点：样本平均数二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3 【解析】 【分析】 【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．14．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．15．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 解析：64【解析】 【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===16cos 22223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：1(,)9-+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．17．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积解析：2918【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考点：平面向量的数量积.18．【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以-1为首项以2 解析：63-【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以66(12)6312S --==--，故答案是63-. 点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：【解析】试题分析：()f x 的定义域为()()10,,'f x ax b x +∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x+-=.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1x a=-.因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 20．【解析】【分析】【详解】∵平面向量与的夹角为∴∴故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：3【分析】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b ==， ∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=.∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=故答案为23.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2) a a a =⋅ 常用来求向量的模．三、解答题21．（1）6x π=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈-- 【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；（3）计算由()()0a d b c +⋅+=得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．【详解】（1）()sin 1,1b c x +=--，()//a b c +， ()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-. （2）∵()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+. x R ∈，1sin 1x ∴-，()04f x ∴，()f x ∴的最小值为0.（3）∵()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--，若()()a d b c +⊥+，则()()0a d b c +⋅+=，即()()()3sin sin 110x x k +--+=， ()22sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--， ∴存在[]5,1k ∈--，使得()()a dbc +⊥+【点睛】本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．22．（I ）丙级；（Ⅱ）①；②. 【解析】（I）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。

【易错题】数学高考试卷(带答案)

【易错题】数学高考试卷(带答案)

【易错题】数学高考试卷(带答案)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825C ．1D ．16253．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10B ．11C ．12D ．154．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．23B ．43C ．32D ．35．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±6．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16 C ．1112D ．25247．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，78．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A 2 B 3C 5 D 7 9．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称10．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．14B ．12C ．22D 211．在ABC ∆中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c+==-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形12．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm.14．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 15．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 17．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）18．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____． 19．若45100a b ==，则122()a b+=_____________．20．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 22．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.23．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程． （2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值．24．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．A解析：A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有14C 4=个；第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有04C 1=个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．4．C解析：C 【解析】函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w kk k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥ 故选C5．A解析：A 【解析】 【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.6．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 7．B解析：B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan BE a EAB AB ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.9．C解析：C 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】 解：()23x f x x+=0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()()2233x x f x f x xx+-+-===-，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．10．C解析：C【解析】由题得(1)111122222i i i i z i z i -+====+∴==+. 故选C. 11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由1lg lg()lgsin b A c+==-lglg 22b bc c =⇒=且sin A =A 为锐角，所以45A =，由b =，根据正弦定理，得sin )cos sin B C B B B ==-=+，解得cos 090B B =⇒=，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.12．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅，代入夹角公式即可.【详解】设,a b 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥， 所以222a ba b ==⋅，则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.二、填空题13．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：423【解析】 【分析】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=⨯= ,解之得23r =， 因此,此圆锥的高2222242cm 332h l r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故答案为:23． 【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．14．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个 解析：322+【解析】21a b +=，则1111223+322b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为322+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==．故答案为．16．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2axg x a x x-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102a <<. 17．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16【解析】 【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.18．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计 解析：1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值.【详解】由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2【解析】【分析】根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果．【详解】45100a b ==，4log 100a ∴=，5log 100b =，10010010012log 42log 5log 1001a b∴+=+==， 则1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故答案为2【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．20．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：1015π 【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+， 计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==.故答案为101.5π 【点睛】 本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.三、解答题21．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x ++=；（2【解析】【分析】 （1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈- 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.22．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.23．（1）20x y ++=（2）【解析】【分析】【详解】Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．于是可设直线AC 的方程为y x n =-+． 由2234{x y y x n+==-+，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232n x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以122n y y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S AC =．由（Ⅰ）可得2223162-+==n AC ，所以2(316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭，故当0n =时，有max 16==S 24．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由不等式的解集和方程的关系，可知12，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12，2；由根与系数的关系得55221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-． 所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<<所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.25．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，根据独立重复试验次发生次的概率公式可得结果；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在的频率为：；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，的分布列为：012的数学期望.。

高三数学试卷全错题及答案

高三数学试卷全错题及答案

一、选择题1. 下列各式中，正确的是（）A. 2√3 > 3√2B. 2^3 = 3^2C. (√2)^2 = 2D. 2^2 < 3^2答案：C解析：选项A，两边平方得12 < 18，正确；选项B，2^3 = 8，3^2 = 9，错误；选项C，(√2)^2 = 2，正确；选项D，2^2 = 4，3^2 = 9，错误。

故选C。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(2)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：将x = 2代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1，得f(2) = 2^2 - 2×2 + 1 = 1。

故选A。

3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°答案：B180° - ∠A - ∠B = 180° - 60° - 45° = 75°。

故选B。

4. 下列各式中，正确的是（）A. 1/2 + 1/3 = 5/6B. 1/2 - 1/3 = 1/6C. 1/2 × 1/3 = 1/6D. 1/2 ÷ 1/3 = 1/6答案：C解析：选项A，1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6，正确；选项B，1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6，正确；选项C，1/2 × 1/3 = 1/6，正确；选项D，1/2 ÷ 1/3 =1/2 × 3/1 = 3/2，错误。

故选C。

5. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 27答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d。

【1月刊】2024年1月山东省高三高频错题数学+答案解析

【1月刊】2024年1月山东省高三高频错题数学+答案解析

【1月刊】2024年1月山东省高三高频错题（累计作答64159人次，平均得分率17.32%）一、单选题：本题共16小题，每小题5分，共80分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数，若，，，则()A. B.C. D.2.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数，则下列论述正确的是()A.，且，使B.，，当时，有恒成立C.使有意义的必要不充分条件为D.使成立的充要条件为4.已知直线l与圆相切，与抛物线相交于A，B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，则直线l的方程为()A.或B.或C.或D.或5.已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为()A. B. C. D.6.已知，，则()A. B. C. D.7.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.意思是说有三百七十八里路，由于脚痛，每日行程是前一日的一半，如此六日走完.则下列说法：①此人第四天走了二十四里路；②此人第二天走的路程比后五天走的路程之和少九十里；③此人第二天走的路程占全程的；④此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍.其中所有正确说法的序号是()A.①③B.①②④C.②③④D.③④8.若复数z满足，则()A. B. C. D.9.已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则()A. B. C. D.10.甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则()A.两两不互斥B.C.与B是相互独立事件D.11.已知函数若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.12.已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为若的重心G在双曲线上，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.13.已知，，，则()A. B. C. D.14.小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电，在购买第一个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款年12月1日最后一次还款，月利率为按复利计算，则小李每个月应还()A.元B.元C.元D.元15.将函数的图象向右平移a个单位长度为常数，且，得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为A. B. C. D.16.记为等比数列的前n项和，，若对任意的N，都有，则的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共10小题，共50分。

【1月刊】2024年1月广东省高三高频错题数学+答案解析

【1月刊】2024年1月广东省高三高频错题数学+答案解析

2024年1月广东省高三高频错题（累计作答69850人次，平均得分率20.55%）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则()A. B. C. D.2.已知函数若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.3.已知，，，则()A. B. C. D.4.若正项递增等比数列满足：，则的最小值为()A. B.2 C. D.45.函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则()A. B. C. D.6.的值为()A. B. C. D.7.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升．某同学制作了一个高为40cm 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为()A. B. C. D.8.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则()A. B. C. D.9.已知函数，若函数在R上有两个零点．则a的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共15小题，共75分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

10.已知，是双曲线的左、右焦点，是C上一点.若C的离心率为，连接交C于点B，则()A.C的方程为B.C.的周长为D.的内切圆半径为11.若是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，，都有，则下列说法正确的是()A.一定为正数B.2是的一个周期C.若，则D.若在上单调递增，则12.已知矩形ABCD，，，将沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是()A.三棱锥的外接球的体积不变B.三棱锥的体积的最大值为C.当三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为D.异面直线AB与CD所成角的最大值为13.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，，点E是棱PB上一点不包括端点，F是平面PCD内一点，则()A.一定存在点E，使平面PCDB.一定存在点E，使平面ACEC.的最小值D.以D为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为14.已知函数，则()A.的最大值为1B.C.在上单调递增D.的图象关于直线对称15.已知是定义在R上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是()A.当时，B.C.的图像关于点对称D.函数有3个零点16.如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是()A.三棱锥的体积为1B.平面EFGC.异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D.过点作正方体的截面，所得截面的面积是17.已知函数的一条对称轴方程为，相邻的一个对称中心为，则下列说法正确的是()A.，B.函数在上单调递减C.将函数的图象向右平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象D.若方程，有两个不相等的实根，则实数m的取值范围是18.已知m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是()A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则19.已知圆，直线，则下列说法正确的是()A.直线l恒过定点B.直线l被圆C截得的弦最长时，C.直线l被圆C截得的弦最短时，D.直线l被圆C截得的弦最短弦长为20.在的展开式中，下列说法正确的是()A.常数项是1120B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为25621.下列结论正确的是()A.是第二象限角B.若为锐角，则为钝角C.若，则D.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为22.已知曲线：，：，则()A.的长轴长为B.的渐近线方程为C.与的离心率互为倒数D.与的焦点相同23.如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中正确的是()A.B.平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角24.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则()A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为C. D.的面积为三、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分。

【易错题】数学高考试题(附答案)

【易错题】数学高考试题(附答案)

【易错题】数学高考试题(附答案)一、选择题1．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 2．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．54钱 B ．43钱C ．32钱 D ．53钱 5．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．47．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>11．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．若三点1 (2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m的值为．14．已知函数21,1()()1a x xf xx a x⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x=-，若函数()()y f x g x=-恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围为______．15．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=_________．16．已知圆C经过(5,1),(1,3)A B两点，圆心在x轴上，则C的方程为__________．17．已知1OA=，3OB=，0OA OB•=，点C在AOB∠内，且AOC30∠=，设OC mOA nOB=+，(,)m n R∈，则mn=__________．18．已知集合P中含有0,2,5三个元素,集合Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素为a+b,其中a∈P,b∈Q,则集合P+Q中元素的个数是_____.19．函数y=232x x--的定义域是 .20．已知实数,x y满足不等式组201030yx yx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx的取值范围为__________．三、解答题21．如图，在几何体111ABC A B C-中，平面11A ACC⊥底面ABC，四边形11A ACC是正方形，1l//B C BC，Q是1A B的中点，1122,3AC BC B C ACBπ==∠=（I）求证：1//QB平面11A ACC（Ⅱ）求二面角11A BB C--的余弦值.22．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，S是11B D的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .23．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大24．已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.25．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，ACBD P =，11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线. 26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.2．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()22x xe ef x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22x xe ef x x x --=+-为奇函数，排除D 选项根据解析式分母不为0可知,定义域为{}1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．3．C解析：C 【解析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．6．C解析：C【分析】 由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值． 【详解】 由由4παβ+=，得到1tanαβ+=（）， 所以11tan tan tantan tan αβαβαβ++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-，则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ． 【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D求得函数值为0,,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题11．B解析：B 【解析】得到的偶函数解析式为sin 2sin 284y x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，显然.4πϕ= 【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦选择合适的ϕ值通过诱导公式把sin 24x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦转化为余弦函数是考查的最终目的. 12．B解析：B 【解析】 【分析】本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．， 【详解】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B ． 【点睛】本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.15．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==．故答案为．16．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径=22(2)10x y -+=.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 17．3【解析】因为所以从而有因为所以化简可得整理可得因为点在内所以所以则解析：3【解析】因为30AOC ∠=，所以3cos cos30OC OAAOC OC OA ⋅∠===⋅，从而有222232||2OA n OB mn OA OB OA =++⋅⋅⋅．因为1,3,0OA OB OA OB ==⋅=2=，化简可得222334m m n =+，整理可得229m n =．因为点C 在AOB ∠内，所以0,0m n >>，所以3m n =，则3m n = 18．8【解析】【详解】由题意知a ∈Pb ∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的解析：8【解析】【详解】由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．19．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-考点：函数定义域20．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单解析：1 ,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】作出可行域，yx表示(),x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组201030yx yx y-⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC（包括边界），所以yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B，，所以122OA OBk k==，，故1,22yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.三、解答题21．（1）详见解析；（2）3131.【解析】【分析】（1）连接1AC ，1A C交于M点，连接MQ，则四边形11A ACC是正方形，点M是1AC 的中点，推导出四边形11B C MQ是平行四边形，从而11B QC M，由此能证明1B Q平面11A ACC ．（2）以C 为原点，CB ，1CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A BB C --的平面角的余弦值．【详解】证明：（1）如图所示，连接1AC ，1A C 交于M 点，连接MQ ．因为四边形11A ACC 是正方形，所以点M 是1AC 的中点，又已知点Q 是1A B 的中点，所以MQ BC ，且12MQ BC =， 又因为11B C BC ∥，且112BC B C =，所以11MQ B C ，且11MQ B C =，所以四边形11B C MQ 是平行四边形，故11B Q C M ，因1B Q ⊄平面11A ACC ，1C M ⊂平面11A ACC ， 故1B Q 平面11A ACC ．（2）如图所示，以C 为原点，1,CB CC 分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1122AC BC B C ===，则)3,1,0A -，)13,1,2A -，()0,2,0B ，()10,1,2B ， 所以()113,2,0B A =-，()10,1,2B B =-．设平面11A BB 的法向量为(),,m x y z =，则111·0·0m B A m B B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即32020x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取4x =，则(4,23,3m = 平面1CBB 的一个法向量()1,0,0n =，所以431cos ,31m nm n m n ===． 故二面角11A BB C --431．【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.22．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B .（2）连接,,SD F G 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=，∴平面//EFG 平面11BDD B .【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.23．(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【解析】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a 的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可. 24．(1){1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平方，因式分解转化为证明()()22110a b -->，最后根据条件221,1a b >>确定()()22110a b -->成立.【详解】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-；当112x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >.综上所述，{1M x x =<-或}1x >.（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤，要证()()()f ab f a f b >--成立， 只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证222210a b a b --+>,即证()()22110a b -->.由（1）知，{1M x x =<-或}1x >，∵a b M ∈、，∴221,1a b >>，∴()()22110a b -->成立.综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证.【详解】证明：（1）EF 是111D B C ∆的中位线，11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈.又Q EF ∈，Q β∴∈，则Q 是α与β的公共点，a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线.【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.26．（1）2n n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简2211log log n n n c a a +=（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可． 【详解】（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ，∴a 1q 2＝8，∴q ＝2∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n∴()1231212222222212n n n nb +-=++++==--，∴b n ＝2n ﹣1． （2）证明：由已知：()22111111n n 1n n n c log a log a n n +===-++． ∴1231111111111223n n 11n c c c c n ++++=-+-++-=-<++ 【点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.。

【易错题】高考数学试卷(含答案)

【易错题】高考数学试卷(含答案)

【易错题】高考数学试卷(含答案)一、选择题1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．352．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”3．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35C ．25D ．154．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±5．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称6．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．14B ．12C ．2 D ．27．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<10．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．511．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UAB =（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 16．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________． 17．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 18．函数2()log 1f x x =-________．19．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.20．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 三、解答题21．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，()1,d k =(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.23．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .24．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．25．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且14EC BC =，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A3．B解析：B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．A解析：A 【解析】 【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得43b a =，问题得解． 【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =-=由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PFc a =+，所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =， 所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=± 故选A 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．5．C解析：C 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可． 【详解】解：()f x =0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()f x f x x-===，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．6．C解析：C 【解析】由题得(1)111122222i i i i z i z i -+====+∴==+. 故选C. 7．A解析：A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 【详解】先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D求得函数值为0,,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性,难度较易.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.10．A解析：A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．A解析：A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.12．A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是．二、填空题13．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．14．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．15．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=- 求得3152P ⎛-⎝⎭，所以1521512PF k == 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个 解析：322+【解析】21a b +=，则1111223+322b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b+的最小值为322+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.17．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容 解析：2【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线. 18．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.19．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30【解析】 【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可.【详解】如图所示,在Rt ACD 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m =在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴103BC m =.在ABC 中,22210103103cos 210103ACB +-∠==⨯⨯30ACB ∠=︒.故答案为：30【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.20．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：278【解析】 试题分析：原式=344332542727log log 134588-⎡⎤⎛⎫+⨯=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 考点：1.指对数运算性质.三、解答题21．（1）6x π=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈-- 【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；（3）计算由()()0a d b c +⋅+=得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．【详解】（1）()sin 1,1b c x +=--，()//a b c +， ()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-. （2）∵()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+. x R ∈，1sin 1x ∴-，()04f x ∴，()f x ∴的最小值为0.（3）∵()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--，若()()a d b c +⊥+，则()()0a d b c +⋅+=，即()()()3sin sin 110x x k +--+=， ()22sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--， ∴存在[]5,1k ∈--，使得()()a d b c +⊥+【点睛】本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）111632132C A DE V -=⨯⨯⨯⨯= 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC 1交A 1C 于点F ，则DF 为三角形ABC 1的中位线，故DF ∥BC 1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC 为等腰直角三角形，由D 为AB 的中点可得CD ⊥平面ABB 1A 1．求得CD 的值，利用勾股定理求得A 1D 、DE 和A 1E 的值，可得A 1D ⊥DE ．进而求得S △A 1DE 的值，再根据三棱锥C-A 1DE 的体积为13•S △A1DE •CD ，运算求得结果 试题解析：（1）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点又D 是AB 中点， 连结DF ，则BC 1∥DF ． 3分因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1不包含于平面A 1CD ， 4分所以BC 1∥平面A 1CD ． 5分（2）解：因为ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ．由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ．又AA 1∩AB=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1． 8分由AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A 1E=3，故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 10分所以三菱锥C ﹣A 1DE 的体积为：==1． 12分 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积23．（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P （m ，n ），则需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（） 由NP 2NM =得0002x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22x 122y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.24．（1）13； （2）()1E X =. 【解析】【分析】（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】 （1）由已知有1123432101()3C C C P A C ⋅+==， 所以事件A 的发生的概率为13； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；2223342104(0)15CC C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C ⋅+⋅===； 11342104(2)15C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：X0 1 2 P415 715 415 数学期望为4740121151515E X. 【点睛】 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．25．（1）证明见解析；（2）112. 【解析】【分析】（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ；（2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积．【详解】连接PF ，BD,∵PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，∵底面ABCD 是菱形，3BAD π∠=，∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点，∴BF ⊥AD ，又PF ，BF ⊂平面PBF ，PF ∩BF ＝F ，∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ，∴AD ⊥PB ．（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ⊂平面PAD ，∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PF ⊥平面ABCD ，连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=13CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ⊂面GED ，则面GED⊥平面ABCD ，此时CG=13CP, ∴四面体D CEG -的体积111311223382312D CEG G CED CED V V S GH PF --==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112D CEG V -=. 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．。

【1月刊】2024年1月江苏省高三高频错题数学+答案解析

【1月刊】2024年1月江苏省高三高频错题数学+答案解析

【1月刊】2024年1月江苏省高三高频错题（累计作答36425人次，平均得分率19.14%）一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知双曲线C ：的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是，，离心率为2，点P 在C 上，若直线，的斜率之和为，的面积为，则()A.1B.C.D.22.临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望．某寝室的5位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有3位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为()A.B.C.D.3.四面体ABCD 的所有棱长都是3，点M ，N ，P 分别在棱AB ，AD ，CD 上，，，，平面MNP 交BC 于点Q ，则BQ 的长为()A. B.C.D.14.若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，，则的取值范围是()A. B.C. D.5.若函数的值域为则实数m 的可能值共有()A.1个 B.2个C.3个D.4个6.已知函数的导函数为，且对任意的实数x 都有是自然对数的底数，且，若关于x 的不等式仅有1个整数解，则实数m 的取值范围是()A.B.C.D.二、多选题：本题共11小题，共55分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

7.三棱柱中，，点O 是的外心，平面ABC ，，二面角为，则下列选项中正确的是()A.三棱柱的侧面积为B.与所成角的余弦值为C.点到平面的距离为D.若四棱锥各顶点都在同一球面上，则该球的半径为8.已知在三棱锥中，，，，，设二面角的大小为，M是PC的中点.当变化时，下列说法正确的是()A.存在，使得B.存在，使得平面PABC.点M在某个球面上运动D.当时，三棱锥外接球的体积为9.在三棱锥中，对棱所成角为，平面ABC和平面BCD的夹角为，直线AB与平面BCD所成角为，点P为平面ABC和平面BCD外一定点，则下列结论正确的是()A.过点P且与直线所成角都是的直线有2条B.过点P且与平面ABC和平面BCD所成角都是的直线有3条C.过点P且与平面ABC和平面BCD所成角都是的直线有3条D.过点P与平面BCD所成角为，且与直线AB成的直线有2条10.已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中m 的可能取值有()A. B. C. D.11.已知函数，下列说法正确的是()A.对于都存在零点B.若恒成立，则正实数a的最小值为C.若图像与直线分别交于A，B两点，则的最小值为D.存在直线与的图像分别交于A，B两点，使得在A处的切线与在B处的切线平行12.已知函数，若，且，则()A. B.C.D.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，，点C 在底面圆周上，且二面角为，则()A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为C.D.的面积为14.已知函数的定义域为R ，，则()A. B. C.是偶函数D.为的极小值点15.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度单位，记作和氢氧根离子的物质的量的浓度单位，记作的乘积等于常数已知pH 值的定义为，健康人体血液的pH 值保持在之间，那么健康人体血液中的可以为参考数据：，()A.B.C.D.16.已知A ，B 为圆上的两点，P 为直线上一动点，则()A.直线l 与圆O 相离B.当A ，B 为两定点时，满足的点P 最多有2个C.当时，的最大值是D.当PA ，PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点17.A ，B 为随机事件，已知，，下列结论中正确的是()A.若A ，B 为互斥事件，则B.若A ，B 为互斥事件，则C.若A ，B 是相互独立事件，D.若，则三、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

【2月刊】2024年2月湖南省高三高频错题数学+答案解析

【2月刊】2024年2月湖南省高三高频错题数学+答案解析

【2月刊】2024年2月湖南省高三高频错题（累计作答22096人次，平均得分率22.64%）一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线C ：，过坐标原点O 作两条相互垂直的直线分别与抛物线C 相交于，两点均与点O 不重合若直线MN 恒过点，则的最小值为()A. B.C. D.2.设，为椭圆与双曲线的公共焦点，椭圆和双曲线在第一象限内交于点M ，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为()A. B.C. D.3.定义在上的函数满足，且时，若关于x 的方程有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是()A. B.C. D.4.已知，则()A.B.C.D.25.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有()A.56种B.68种C.74种D.92种6.已知集合，则()A.B.C.D.7.在室温下，某型号硅二极管的伏安特性曲线可用公式来表示，其中I 是导通电流，规定时视为二极管关断，否则视为二极管开通，U 是加在二极管两端的电压.若在室温下，分别在该型号二级管两端加正向电压即和反向电压即，则此时二极管的状态分别为()A.开通、开通B.关断、关断C.开通、关断D.关断、开通二、多选题：本题共6小题，共30分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

8.已知函数，若关于x的方程有3个实数解，，，且，则()A.的最小值为4B.的取值范围是C.的取值范围是D.的最小值是139.已知双曲线的左右焦点分别为，，点与位于双曲线右支上的关于y轴对称，点与关于x轴对称，，M为双曲线上一动点不与，，重合，且直线与的斜率均存在，则()A. B.C.四边形的面积为D.直线与的斜率之积为310.如图，已知四棱锥的外接球的直径为4，四边形ABCD为正方形，平面平面APB，G为棱PC的中点，，则()A.平面PCDB.C.AC与平面PBC所成角的正弦值为D.四棱锥的体积为11.已知复数､，以下四个说法中正确的是()A.B.若，则C.D.若是方程的虚根，则､互为共轭复数12.若在中，，则()A. B.C.D.13.如图，正方形的边长为2，O 为边的中点，射线绕点O 按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为x ，射线扫过的正方形内部区域阴影部分的面积为，则下列说法正确．．的是A. B.在上为减函数C.D.图象的对称轴是三、填空题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

【3月刊】2024年3月河南省高三高频错题数学+答案解析

【3月刊】2024年3月河南省高三高频错题数学+答案解析

【3月刊】2024年3月河南省高三高频错题（累计作答27172人次，平均得分率23.13%）一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算机是20世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于工作和生活之中，在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．已知一个十进制数N可以表示成二进制数…N，且…，其中，…，记，，，…，中1的个数为，若，则满足的n的个数为()A.126B.84C.56D.362.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数称为Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为参考数据：，()A. B. C. D.3.已知F是抛物线C：的焦点，过点F且斜率为2的直线l与C交于A，B两点，若，则()A.4B.3C.2D.14.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，则()A. B. C. D.5.若复数z满足，则在复平面内z的共轭复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知，，，则()A. B. C. D.7.已知正方体的棱长为1，P ，Q 分别为棱，上的动点，则四面体PQAD 的体积最大值为()A. B.C.D.8.已知椭圆C 的左、右焦点分别为，，P ，Q 为C 上两点，，若，则C 的离心率为()A. B.C.D.9.函数的大致图象为()A. B.C. D.10.已知全集Z ，集合Z ，，则集合为()A.B.C. D.11.分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形;同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形，则第5次分形后图形长度为()A. B. C. D.12.立德中学高一班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布，则下列判断错误的是()A.B.C.D.13.将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥衔接处不重合，则该无底圆锥的体积为()A. B. C. D.14.已知数列满足，，，则该数列的前18项和为()A.2101B.1067C.1012D.2012二、多选题：本题共8小题，共40分。

【2月刊】2024年2月湖北省高三高频错题数学+答案解析

【2月刊】2024年2月湖北省高三高频错题数学+答案解析

【2月刊】2024年2月湖北省高三高频错题（累计作答6192人次，平均得分率34.19%）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为()A.2B.C.1D.2.若角的终边落在直线上，则的值为()A.1B.2C.D.3.函数的图象可能是()A. B.C. D.4.已知，则()A. B. C. D.5.已知，分别是椭圆的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.6.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则的值是()A. B. C.2 D.127.已知等差数列的前n项和为，若，，则()A.182B.128C.56D.428.已知，，，则下列结论正确的是()A. B. C. D.9.已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为.()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

10.已知点，，动点P在圆上，则()A.直线AB截圆C所得的弦长为B.的面积的最大值为15C.满足到直线AB的距离为的P点位置共有3个D.的取值范围为11.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为和，母线长为l，球的表面积与体积分别为和，圆台的表面积与体积分别为和则下列说法正确的是()A. B. C. D.的最大值为12.已知函数的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有()A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

13.已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为__________.14.已知集合，集合，则以集合A为定义域，集合B为值域的函数的个数为__________用数字作答15.在等比数列中，，，则__________.四、解答题：本题共6小题，共72分。

【易错题】数学高考试卷(含答案)

【易错题】数学高考试卷(含答案)

【易错题】数学高考试卷(含答案)一、选择题1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．352．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50πC ．125πD ．都不对3．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).ABC D ．6 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．276．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n α，则m n ⊥；③若,m n 是异面直线，m α⊂，m β，n β⊂，n α，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④7．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．14B ．12C ．2D8．<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,<k+1. 那么当n=k+1时=<所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 310．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<11．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1B ．﹣2C ．6D ．212．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．322± 二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．16．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.17．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 18．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba的取值范围是__________． 20．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.三、解答题21．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.22．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 23．已知函数2()sin()sin 32f x x x x π=-.(1)求()f x 的最小正周期和最大值；(2)求()f x 在2[,]63ππ上的单调区间24．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.25．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )bx x =，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系4．B解析：B 【解析】 【分析】本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()2222222cos45a c a ++-=+⋅,解得ce a== 故选B.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．5．B解析：B 【解析】 【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】①若m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；②若n α，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m β，n β⊂，n α时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.7．C解析：C【解析】 由题得22(1)111112()()12222222i i i i z i z i -+====+∴=+=+. 故选C. 8．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下： 在（2）中假设n k = 时有21k k k +<+ 成立，即2(1)(1)(1)1k k k +++<++成立，即1n k =+时成立，故选D ． 点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.9．B解析：B 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B ．考点：由三视图求面积、体积．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.【详解】由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，()()032f f ''∴<<，()()()()323232f f f f --=-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，()()()()03322f f f f ''∴<<-<.故选：B . 【点睛】本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.11．C解析：C 【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．12．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为解析：-1 【解析】 【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1z x y 2=-+的最小值． 【详解】画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数1z x y 2=-+过点A 时取得最小值，由{x 0x y 10=--=，解得()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1z x y 2=-+的最小值为1-．故答案为1-． 【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．16．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：1(,)9-+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．17．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a<<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a =时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102a <<. 18．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：【解析】【分析】【详解】因为ABC ∆为锐角三角形，所以02202B A A B πππ⎧<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以0463A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩， 所以(,)64A ππ∈，所以sin 2cos sin b B A a A ==，所以(2,3)b a ∈. 20．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：1015π 【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 53SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+， 计算得，28110112020R =+= ，所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.三、解答题21．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭； (2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.22．（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果.【详解】 （1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故()2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 23321112233b c a c a b a a b b c c =++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c======时，等号成立． 所以239a b c ++≥.【点睛】 本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．23．（1）f (x )的最小正周期为π，最大值为22- （2）f (x )在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【解析】【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值． （2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，即可求得()f x 在2[,]63ππ上的单调区间．【详解】解：（1）函数2()sin()sin cos sin cos2)2f x x x x x x x π=-=+1sin 22sin(2)23x x x π==-，即()sin(2)3f x x π=-故函数的周期为22T ππ==，最大值为1． （2）当2[,]63x ππ∈ 时，[]20,3x ππ-∈， 故当0232x ππ-时，即5[,]612x ππ∈时，()f x 为增函数； 当223x πππ-时，即52[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数； 即函数()f x 在5[,]612ππ上单调递增；在52[,]123ππ上单调递减． 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．24．（1）见解析；（2）.3 【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】（1）PB 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则1124BN BO BD ==， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB 中，有14BN BD =，14PM PD =， MN PB ∴． PB ⊄平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故PB 平面MEF ；（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE 与Rt CDF ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ⋂＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ，则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．可知PM PN ⊥，则在Rt MND 中，1PM PN ＝，=MN ==在MND 中，332MD DN=＝，，由余弦定理，得222623MN DN MD cos MND MN DN +-∠==⋅． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为6．【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型.25．(1) T π= ；26k x ππ=+（k Z ∈）. (2) 5(,]6ππ--，[,]36ππ-和2[,]3ππ 【解析】【分析】（1）化简得()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数在R 上的增区间为[,36k k ππππ-+] （k Z ∈），再给k 赋值与定义域求交集得解.【详解】解：（1）()23sin cos cos f x a b x x x =⋅=+ 3111cos2sin 22262x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的周期22T ππ==, 令262x k πππ+=+（k Z ∈），即26k x ππ=+（k Z ∈） 所以()f x 的对称轴方程为26k x ππ=+（k Z ∈）. （2）令222262k x k πππππ-≤+≤+ （k Z ∈） 解得36k x k ππππ-≤≤+ （k Z ∈），由于(],x ππ∈- 所以当1,0k =-或1时，得函数()f x 的单调递增区间为5,6ππ⎛⎤--⎥⎝⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

【1月刊】2024年1月浙江省高三高频错题数学+答案解析

【1月刊】2024年1月浙江省高三高频错题数学+答案解析

【1月刊】2024年1月浙江省高三高频错题（累计作答51242人次，平均得分率22.98%）一、单选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则()A.B.C.D.2.已知函数若函数恰有4个零点，则k 的取值范围是()A. B.C.D.二、多选题：本题共26小题，共130分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

3.若实数，，满足，以下选项中正确的有()A.mn 的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为4.已知函数，则下列说法正确的是()A.若函数的图象关于点中心对称，则B.当时，函数过原点的切线有且仅有两条C.函数在上单调递减的充要条件是D.若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或5.如图，已知正方体的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，交平面于点E ，点F 为棱CD 的中点，则()A.，E，O三点共线B.异面直线BD与所成的角为C.点到平面的距离为D.过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为6.已知向量，的夹角为，，，，则()A.在方向上的投影向量的模为B.在方向上的投影向量的模为C.的最小值为D.取得最小值时，7.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则()A. B.C. D.8.下列结论正确的是()A.若，都是第一象限角，且，则B.函数的最小正周期是C.函数的最小值为D.已知函数的图象与x轴有四个交点，且为偶函数，则方程的所有实根之和为49.已知双曲线，P是该双曲线上任意一点，，是其左、右焦点，则下列说法正确的是()A.该双曲线的渐近线方程为B.若，则或12C.若是直角三角形，则满足条件的P点共4个D.若点P在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切.10.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅地震的能量单位：焦耳是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中M为地震震级．下列说法正确的是.()A.若地震震级M增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍B.若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍C.若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量E也增加到原来的倍D.若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍11.下列物体中，能够被整体放入棱长为单位：的正方体容器容器壁厚度忽略不计内的有()A.直径为的球体B.所有棱长均为的四面体C.底面直径为，高为的圆柱体D.底面直径为，高为的圆柱体12.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交该抛物线于，两点，点，则下列结论正确的是()A.B.C.若三角形的面积为S，则S的最小值为D.若线段中点为Q，且，则13.现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是()A.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B.若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C.若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D.若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种14.已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有()A.B.若，则是等腰三角形C.若，则D.若是锐角三角形，则15.已知函数，则下列说法正确有()A.时，B.在定义域内单调递增时，C.时，有极值D.时，的图象存在两条相互垂直的切线16.下列说法正确的是()A.样本数据5，9，10，13，9，7，3，6的上四分位数为B.若随机变量服从两点分布，若，则C.若随机变量服从正态分布，且是偶函数，则D.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于117.下列结论中错误的命题的是A.函数是指数函数B.函数既是偶函数又是奇函数C.函数的单调递减区间是D.所有的单调函数都有最值18.有一组样本数据，，，，由这组数据得到新的样本数据，，，，则下列说法正确的有()A.新样本数据的极差是原样本数据极差的2倍B.新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍C.新样本数据的中位数是原样本数据中位数的2倍D.新样本数据的平均数是原样本数据平均数的2倍19.已知数列的前n项和为，且满足，，，则下面说法正确的是()A.数列为等比数列B.数列为等差数列C. D.20.已知点P在圆上，点，，则()A.点P到直线AB的距离最大值为B.满足的点P有3个C.过点B作圆O的两切线，切点分别为M、N，则直线MN的方程为D.的最小值是21.据新华社电，记者3月12日从中国卫星导航系统管理办公室了解到，北斗三号全球卫星导航系统自2020年建成开通以来，运行连续稳定可靠，持续提供功能强大的卫星导航服务，高精度、短报文等特色服务能力已得到充分验证.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数，近似模拟其信号，为的导函数，则下列说法正确的是()A.为偶函数B.的图象关于点对称C.的最小正周期是D.的最大值为522.已知点P在圆上，点，，则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当最小时，D.当最大时，23.函数的大致图象可能是.()A. B.C. D.24.已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有()A.若直线CA的斜率为，BD的斜率，则B.存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形C.取值范围为D.周长的最大值为25.下列命题为真命题的是()A. B. C. D.26.下列说法正确的是()A.对集合A，B，“”是“”的充要条件B.对任意实数a，b，“”是“”的既不充分又不必要条件C.对定义在R上的函数，“”是“函数为奇函数”充分不必要条件D.“角为第一象限角”是“角为锐角”的必要不充分条件27.已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是()A.将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上的单调递减区间为D.若函数为偶函数，则的最小值为28.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是()A.异面直线AC与所成的角为B.直线与平面所成角为C.二面角的正切值为D.四面体的外接球的体积为三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

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高考数学高频错题试卷及答案满分：150分 时间：120分钟姓名： 班级： 考号：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、单选题(本题共12题，每小题5分，共60分)1．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.5556】已知集合A ＝{x ｜x 2＋2x －15≤0}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈N }，则A∩B ＝( ) A ．{－1，1，3} B ．{－1，1} C ．{－5，－3，－1，1，3} D ．{－3，－1，1} 2．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.5556】 已知复数z 满足(3)13z i i -=-，则z =( )A ．3i --B ．3i -+C ．6i --D ．6i +3．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.3889】已知向量(3,1)b =，问量a 为单位向量，且1a b ⋅=，则2a b -与2a 的夹角余弦值为( ) A ．12B ．33C ．12-D ．33-4．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2778】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．175．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2501】 已知函数()xx f x ee -=-(e 为自然对数的底数)，若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<6．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.6667】已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－(ω＞0)在［－3π，2π］上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．［23，2］B ．(0，23］C ．［23，1］D ．(0，2］7．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.6296】 已知是定义在R 上的偶函数，且在(-∞，0］上是增函数.设c=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c<b< aB. a <b<c C a <c<.b 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的正弦值．20．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.4198】某市交通局为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的措施，将市区公交站点的重新布局和建设作为重点项目．市交通局根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该方案进行调查，并根据调查结果决定是否启用该方案．调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该方案进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，低于60分认为不满意，不低于60分认定为满意(其中［60，70)内认定为基本满意，［70，80)内认定为满意，不低于80分认定为非常满意)；③市民对公交站点布局的满意率不低于70％即可启用该方案；④用样本的频率代替概率．(1)从该市100万市民中随机抽取4人，求至少有3人满意该方案的概率，并根据所学统计学知识判断该市是否可启用该方案，说明理由．(2)现采用分层抽样从评分在［50，60)与［80，90)内的市民中共抽取7人，并从中抽取3人担任群众督查员，记X 为群众督查员中评定为满意的人数，求随机变量X 的分布列及其数学期望EX ． 21．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.3272】 已知椭圆C ：22221x y a b ＋＝(a ＞b ＞0)的离心率为32，且椭圆C 上的点到直线y ＝2的最长距离为22＋．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点Q(2，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在直线y ＝2上是否存在点P ，使直线PA 与直线PB 的斜率之和是直线PQ 的斜率的2倍?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.4037】 已知函数)(x f ＝252ln x x x -+．(1)求)(x f 的极值；(2)若)(1x f ＝)(2x f ＝)(3x f ，且321x x x <<，证明：313<-x x参考答案1．【答案】A 【解析】因为 {}A={x|-5x 3},B {x |x 2n 1,n N}1,1,3,5,≤≤==-∈=-⋯所以{}3,1,1-＝B A ．2．【答案】D【解析】由题意得，1333iz i i--==--，所以6z i =+，故选D ． 3．【答案】A【解析】记OA a =，2OC a =，OB b =，由||1a =，||2b =，且1a b ⋅=知60AOB ︒∠=，∴2a b BC -=，||||2OC OB ==，60BOC ︒∠=，∴OBC ∆为正三角形，OBC ∆，∴2,260a b a ︒<->=，选A ．4．【答案】B【解析】∵123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a += ∴由1()2n n n a a S +=得443302n ⨯=，∴15n =，故选:B ． 5．【答案】D【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<，选D ． 6．【答案】B.【解析】因为x y cos ＝在[]0,π-上单调递增，所以wx y cos ＝在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,w π上单调递增，所以)0)(3cos(2)(>-w wx x f π＝在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-w w 3,32ππ上单调递增，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-w w 3,322,3ππππ，解得203ω<≤． 7．【答案】A 【解析】由题意可知在(,0]-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.因为0.30.30.8888100102log log 4log 1,1log 0.125log 0.2log 1093-=<<=--=<<= 1.122>所以 1.180.8|log 0.2||log 4||2|,c b a <<<<故． 8．【答案】C 【解析】设的中心为1，矩形的中心为2， 过1作垂直于平面的直线1，过2作垂直于平面的直线2， 则由球的性质可知，直线1与2的交点即几何体外接球的球心. 取的中点(图略)，连接12由条件得1212.连接因为12，从而1.连接 则为所得几何体外接球的半径，又1则2+1263， 故所得几何体外接球的表面积等于252π． 9．【答案】D【解析】因⊥β.所以a cos A-bcos B=0，所以bcos B=a cos A ，由正弦定理可知sin Bcos B= sin Acos A.所以sin 2A=sin2B.又A ，B ∈（0，π），且A+ B ∈（0，），所以2A=2B.或2A+2B= π.所以A= B ，或A+B=，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D ． 10．【答案】B【解析】方程ln 1ln 1()()()(1)1x x f x g x a x x++=⇔++=至少有三个不等的实根 令ln 1()x t x x +=得2()(1)1(1)10a t t t a t a ++=⇔+++-=① 冈为2ln ()x t x x -'=，所以ln 1()x t x x+=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减且()t x 的最大值(1)1t =，x 轴是()t x 的渐近线．所以方程①的两个根1t ，2t 的情况是：（ⅰ）若12,(0,1)t t ∈且12t t ≠，则()f x 与()g x 的图像有四个不同的公共点则12121212000(1)(1)0(1)(1)0t t t t t t t t ∆>⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪-+-<⎪-->⎪⎩a ⇔无解 （ⅱ）若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点，则a 无解（ⅲ）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点令2()(1)1h t t a t a =+++-则(0)01011(1)02102h a a h a ⎧<-<⎧⇔⇔-<<⎨⎨>+>⎩⎩． 11．【答案】A【解析】因为(,0)2π∈-α，3cos()65+=πα，所以(,)636+∈-πππα， 若(0,)66+∈ππα，33cos()65+>>πα，所以不符合，所以(,0)63+∈-ππα，4sin()65+=-πα所以03341334cos cos ()66552x -⎡⎤==+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦ππαα． 12．【答案】D【解析】()f x 的定义域是(1,3)-，1()ln 3x f x x +=-，令：14()1(0,)33x t x x x +-==-∈+∞-- 所以()t x 在(1,3)-单调递增，()ln ()f x t x =在(1,3)-单调递增，且值域为R又因为2(1)ln 2x f x x ++=-，2(1)ln2xf x x--=+ 所以(1)(1)f x f x +=--，(1)(1)f x f x +≠-所以①③④正确，②是错误的． 13．【答案】1y =-【解析】()22sin 2f x x x '=+，∴(0)0f '=，又(0)1f =- 故()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为1y =-．14．【答案】632【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2106a a =，即73226333()==q q a q a a ⋅⋅⋅∴3==2a q ，又132=a a q ，∴112a =，∴66161(1)63(1)12a q S a q q -==-=-． 15．【答案】725-【解析】依题意α为()f x 极值点，()0f '=α，∴4cos 3sin 0+=αα∴4tan 3=-α，∴221tan 7cos 21tan 25-==-+ααα． 16．【答案】[-1.0）[2.3）【解析】由f 2(x)-f （x ）=2，得[f(x)-2][f(x)+1]=0，解得f （x ）=2或f （x ）=-1.当f （x ）=2时，-[x]=2，解得[x]2=2或[x]=-1.当[x]=2时，解得x [2.3）；当[x]=-1时，解得x [-1，0）；当f （x ）=-1时，-[x]=-1.无解. 综上，方程f 2(x)-f(x)=2的解集是[-1.0）[2，3）． 17．【答案】（1）3π；（2）233【解析】（1）由余弦定理，得cos C=2221222a b c ab ab ab +-==又C （0，），所以C=3π（2）2222222222sin sin sin (2sin 2sin ),sin 2sin sin 2sin 2sin sin sin sin 4sin cos sin 4cos 2cos 4cos 2cos 0B AC A C B C A A C B C A A A Cb c a a A b A a A b a A -=-+-=+-=+-====由得得再有正弦定理得，所以所以或2222222cos4.,3331123,,222233b a a b ab a b a c B ac ππ=+-====+=∆=⋅⨯=当时，因为联立可得所以b 所以所以ABC 的面积S=① 当cos A=0时，因A (0,)π∈，所以A=2π，所以b=23tan3π=, 所以△AC 的面积S=12 bc= 1223⋅⋅= 233 综上，△ACB 的面积为23318．【答案】（1）存在，=-；（2）【解析】（1）由= ，得=（+1）（）-（，因为，所以=（+1）-（要使数列{}是等比数列，需使-（=0对任意n N 恒成立，所以-（=0.解得=- 此时.且首项=0+1=1所以存在=-，使得数列{}是首项为1.公比为的等比数列 （2）由（1）知，=1，所以=2令，得=2，即，所以，=-2() 因为，所以=2=-，所以数列{}是以为首项，-2为公比的等比数列； 所以.即2"所以即19．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：因为点E 为AD 的中点AD=2BC ，所以AE=BC ，因为AD//BC ，所AE ∥BC ，所以四边形ABCE 是平行四边形．因为AB=BC ，所以平行四边形ABCE 是菱形，所以BE AC ⊥. 因为平面BEFG 平面ABCD ， 且平面BEFG 平面ABCD=BE.所以AC ⊥平面BEFG ，因为AC ⊆平面ACF ， 所以平面ACF ⊥平面BEFG.（2）记AC ，BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知OP BE AC ,,两两垂直，故以O 为坐标原点，以射线OP OC OB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -.因为底面ABCD 是等腰梯形，422,＝＝＝∥BC AB AD BC AD ，所以四边形ABCE 是菱形，且︒∠60＝BAD ，所以)2,0,1(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,1(),0,3,0(----F D E B A 则1,3,02,0,2(3,3,0)AB BF BD --＝（，）， ＝（）， ＝.设平面ABF 的法向量为）＝（111,,z y x m ， 则{111130,220,m AB x y m BF x z ⋅+⋅-+＝＝＝＝不妨取11-＝y ，则），，＝（313-m . 设平面DBF 的法向量为）＝（222,,z y x n ， 则{2222330,220,m BD x y m BF x z ⋅-+⋅-+＝＝＝＝不妨取12＝x ，则），＝（1,3,1n 故.35105573,cos ＝＝＝⨯⋅><n m n m n m 记二面角D BF A --的大小为θ， 故.357043531sin ＝＝-θ 20．【答案】（1）启用该方案，见解析；（2）分布列见解析，【解析】（1）由题意可得被调查者不满意的频率是5110)15.005.0(＝⨯+，则满意的频率为54，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人满意该方案的概率为54，记事件A 为“抽取的4人至少有3人满意该方案”，则.62551251)54()54()(334444＝＝C C A P + 分角度1：根据题意，60分或以上被认定为满意，在频率分布直方图中. 评分在[60，100]的频率为7.05410)004.002.0032.0024.0(>⨯+++＝，故根据相关规则该市应启用该方案.角度2：由平均分为709.7004.0952.08532.07524.06515.05505.045>⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝，故根据相关规则该市应启用该方案.（2）因为评分在[50，60）与评分在[80，90）的频率之比为3：4.所以从评分在[50，60）内的市民中抽取3人．评分在[80，90）内的市民中抽取4人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.,354)3(,3518)2(,3512)1(,351)0(37343724133711233733＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝C C X P C C C X P C C C X P C C X P ⋅⋅则X 的分布列为：X 0 1 2 3 P351 35123518 354 X 的数学期望.712354335182351213510＝＝⨯+⨯+⨯+⨯EX21．【答案】（1）.12822＝y x +；（2）存在，点)2,4(P【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为c ，由题意可得22222232b c a a b c ⎧++⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝＝解得，故椭园c 的方程为.12822＝y x +（2）（i ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)2,(),,(),,(),2(02211x P y x B y x A x k y ＝＝＝-，则22,2,20202101-----x k x x y k x x y k PQ PB PA ＝＝＝.联立整理得，＝081616)14(2222-+-+k x k x k 则.14816141622212221+-⋅⋅++k k x x k k x x ＝＝故,)(2))(22()44(2222222102120212100202101202101x x x x x x x kx x x k kx x k x x kx k x x kx k x x y x x y k k PB PA ++-++++-+--++--+--+--+＝＝＝整理得.248244)4(42160202200020--+-+-+-+x x k x x k x k x k k PB PA ＝）（）（＝ 因为220-x k PQ ＝，所以.248)2(44)4(4)2(160202200020--+-+-+-x x k x x k x k x ＝ 整理得0)4(2)2)(4(000＝x k x x -+--，即[]02)2()4(00＝---k x x ，解得.40＝x (ii)当直线l l 的斜率不存在时，经检验)2,4(P 也满足条件,故存在点)2,4(P ，使得。

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