复变函数第8讲3

n1 n!
收敛,
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
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3) 因
(1)n n1 n
收敛;
1 2n
n1
也收敛,
故原级数收敛. 但因为 (1)n 条件收敛,
n1 n
所以原级数非绝对收敛.
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3.复变函数项级数
设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
则a称为复数列{an}当n时的极限,
记作
lim
n
n
此时也称复数列{n}收敛于.
4
2.复数项级数
1) 定义 {an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
方法2: 根值法
如果 lim n n
cn
0,
那末收敛半径
R 1.
1 , 0 ;
即
R
,
0;
0, .
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例2 求下列幂级数的收敛半径
1)
n1
zn n3
(并讨论在收敛圆周上的情形);
2) (z 1)n (并讨论 z=0,2 时的情形); n1 n
3) (cosin)zn
i
e
n
;
2)n n cos in
8
[解] 1) 因
n
1
1 n
i
e
n
1
1 n
cos
n
i sin
n
an
1
1 n
cos
n
,
bn
1
1 n
sin
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列 1
1 n
i
e
n
收敛,且有
lim
n
n
1.
9
2) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散.
一、重点与难点
重点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点：函数展开成洛朗级数
2
为复常数
n
an 为函数 fn (z)
n1
复数项级数 复数列 收敛半径的计算 函数项级数
收敛条件
充必绝条 要要对件 条条收收 件件敛敛
收敛半径R
运算与性质
幂级数
泰勒级数
洛朗级数
f (z) 在 z0 解析
复变函数
3
1.复数列 设{an}(n=1,2,...)为一复数列,
o
R. .
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
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例1 求幂级数
zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn
1
z
z2
zn
1 zn 1 z
,(z
1)
20
sn
1
z
z2
zn
1 zn 1 z
,(z
10
例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收
敛?
1)
n1
1 n
1
i n
;
2) (8i)n ;
n0 n!
3)
n1
(1)n
n
1 2n
i
11
[解] 1) 因
1
an
n1
n1
n
发散
bn
n1
n1
1 n2
收敛
故原级数发散.
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2) 因
(8i)n 8n n! n!
, 由正项级
数的比值审敛法知 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
n0
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[解] 1)
因为lim n
cn1 cn
lim
n
n
n
2
3
1,
或
lim
n
n
|
cn
|
lim
n
n
1 n3
lim n
1 n n3
1
所以收敛半径 R=1, 也就是原级数在圆|z|=1
内收敛, 在圆周外发散. 在圆周|z|=1 上, 级
数
n1
zn n3
n1
1 n3
是收敛的,
因为这是一个
p
级数, p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处
n1
n1
n1
必要条件
n收敛
n1
lim
n
n
0
6
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛, 那末称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
n绝对收敛 an与bn绝对收敛.
n1
n1
n1
绝对收敛 条件收敛
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例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
1)n
1
1 n
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
级数最前面 n 项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为这级数的部分和.
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4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
1)
当|
z
| 1时,由于 lim n
zn
0,
从而有
lim
n
sn
1 1 z
,
即
|
z
|
1时级数
n1
z
n收敛,
和函数为 1 1
z
,
当| z | 1时,由于n 时zn不趋于零,级数发散.
收敛范围为 | z | 1,在此范围内绝对收敛,并有
1 1 z z2 zn 1 z
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4)收敛半径的求法
方法1: 比值法 那末收敛半径
n0
cn(z a)n
的级数称为幂级数.
当 a 0 时,
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn .
n1
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2)收敛定理 ----阿贝尔Abel定理
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那末对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0 级数发散, 那末对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
处收敛的.
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2) lim cn1 lim n 1, 即 R=1.
c n n
n n 1
在收敛圆|z1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
(1)n 1 , 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成
n1
n
为 1 , 发散. 这个例子表明, 在收敛圆周
n1 n
上即有级数的收敛点,也有级数的发散点.
部分和 其最前面 项的和 sn 1 2 n
称为级数的部分和.
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2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn}收敛,那末级数 n收敛,
n1
则级数
n1
n
称为收敛,
并且极限
lim
n
sn
s称
为级数的和.如果数列{sn }不收敛, 则级数
n 称为发散.
n1
充要条件 n收敛 an与 bn都收敛
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3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.
(2) 对所有的正实数除z 0 外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
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y
收敛圆
收敛半径
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3)
因为cn
cosin chn
1 (en en ), 2
所以
lim
n
cn1 cn
lim
n
en1 en
en1 en
e
故收敛半径R 1 e
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5)幂级数的运算与性质
(1)设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2 .