复变函数第8讲3
复变函数ppt课件
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
复变函数-第8章
设 u ( x, y ) ≡ a ∈ R, 根据C-R方程求它的共轭调和函数 v( x, y ).
∂v ∂u = = 0, ∂y ∂x ∂v ∂u =− = 0. ∂x ∂y
⇒ v ( x, y ) ≡ b ∈ R ⇒ f ( z ) ≡ a + ib.
10
§8.2 平均值定理与极值定理
1. 平均值定理
6
不唯一
例8.1.1 构造一个实部为 u ( x, y ) = x 3 − 3 xy 2 + y 的解析函数. 解: 由于
∂ 2u ∂ 2u + 2 = 6x − 6x = 0 2 ∂x ∂y
所以 u ( x, y ) 在整个平面上调和. 下面求函数 v( x, y ) , 使得函 数 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 满足看柯西-黎曼方程. 由于
e
f (z)
=e
u ( z ) + iv ( z )
=e
u( z)
e
iv ( z )
=e
u(z)
实指数函数
再由实指数函数的单调性知 u ( z ) 的极值只能在边界上取到. 15
§8.3 泊松(Poisson)积分公式与狄利克雷 (Dirichlet) 问题
1. 泊松积分公式
u ( x, y ) = u ( z ) = u (r , θ ) = u (re iθ ) ∈ R
∂ 2u ∂ 2u 调和函数是拉普拉斯方程 + 2 = 0 的二次连续可微解. 2 ∂x ∂y
上节已经证明解析函数的实部和虚部都是调和函数. 同时也 讨论了, 给定一个调和函数如何构造其共轭调和函数. 为了 方便起见, 有时利用 u (z ) 来代替 u ( x, y ) . 定理 8.2.1 (平均值定理)如果函数 u (z ) 是圆 | z − z0 |< R 内的 一个调和函数, 在闭圆 | z − z0 |≤ R 上连续, 则
复变函数与积分变换第八章
证明
令
二、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
性质 设当 t < 0 时
则对任一非负实数 有
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 因此，本性质也可以直接表述为：
这一约定。
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
解 方法一 已知 根据延迟性质有
方法二
方法一 先充零再平移 方法二 先平移再充零
两种方法为什么会得到不同的结果？
一、Laplace 变换的引入
1. Fourier 变换的“局限性”？
广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。
广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如
积分在
上处处发散.
根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在
上, 积分
收敛, 而在
上，积分
处处发散. 在收敛区域内，
Laplace变换的像函数
虚轴
析函数.
是s的解
Os
实轴
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1) [1]= [ ] (2) [ ]
解 (2)
含脉冲函数的 拉氏变换问题
四、几个常用函数的 Laplace 变换
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 等价于函数
比如
类似于幂级数中
，有下面定理.
定理8.2 如果
在
处收敛，则这个积分在 由这个积分确定的函数
复变函数-清华大学精品课件
复变函数与积分变换（B）
3
3
即0
1, 1
1 2
3 2
i, 2
1 2
3 i.
2
40
§4 区 域
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域
41
1. 区域的概念
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模：| z || OP | r x 2 y2 ,
记作
辐角 : Argz
z 0 OP 0
y
P(x,y)
z r
o
x
x
15
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义.
14
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弹性力学课件：第八章复变函数解
第六章平面问题——的复变函数解弹性力学解法的限制边界条件的描述和表达多连域变形单值连续条件应用复变函数数学基础目录§6.10应力函数的复变函数形式§6.11应力与位移的K-M函数表示§6.12多连域应力与位移单值条件§6.13保角变换§6.14孔口问题应力函数可以用两个解析函数表示§6.10应力函数的复变函数形式古尔萨（Goursat ）公式应力解法)()()()(),(2f f z z z z z z z z U χχϕϕ+++=或者)]()(Re[),(f z z z z z U χϕ+=ϕf (z)和χ(z)均为单值解析函数。
克罗索夫－穆斯赫利什维利函数简称K-M 函数——应力函数——复变函数描述§6.11应力与位移的K-M 函数表示罗克索夫公式应力分量的复变函数表达——ϕf (z)和y (z)表示的应力分量)('Re 4])(')('[2f f f z z z y x ϕϕϕσσ=+=+)]()('[2z Ψz Φz +=])()([2z Φz Φ+=)](')(''[22f z z z i xy x y y ϕτσσ+=+-)('d )(d )(f f z z z z Φϕϕ==z z z Ψd )(d )(y =引入•位移的复变函数表达)()(')(13)i (2f f z z z z vv v u G y ϕϕ--+-=+•已知ϕf (z)和y (z), 可以确定位移分量。
•对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比作对应的替换则可。
K-M 函数ϕf (z)和y (z)描述的面力边界条件。
sF F z z z z sy sx AB d )i (i )()(')(f f +=++⎰y ϕϕ边界点的确定函数K-M 函数由内向边界趋近值•求解弹性力学平面问题•——给定边界条件下求解双调和方程•变换为在给定的边界条件下寻找解析函数•确定K-M 函数ϕf (z)和y (z)，则应力、位移和应变就可以完全确定。
复变函数与积分变换课程8-3
称为 傅里叶变换，简称傅氏变换。
f (t ) 1 F ( )e jtd
2
称为 傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换。
1 e it d (t )
2
e jt d 2 (t )
Байду номын сангаас
例1 已知抽样信号f (t ) sin 2t 的频谱
t
为
F (
)
1, ||2 0, ||2
求信号 g(t ) f ( t )的频谱 G( ) .
2
解：
2, ||1 0, ||1
性质四 微分性质 若 lim f (t ) 0 ，则
|t |
当 | t | 时 | f (t )e jt || f (t ) | 0
从而 f (t )e jt 0
f (t )e jt
|
j
f (t )e jt dt
性质四 微分性质 若 lim f (t ) 0 ，则
|t |
一般地，若 lim f (k)(t) 0 (k 0,1, , n 1),
则
|t|
性质五 积分性质
主要内容
一、傅氏变换的基本性质
一、傅氏变换的基本性质
性质一 线性性质
F ( ) f (t )e jtdt
性质一 线性性质
f (t ) 1 F ( )e jtd
2
性质一 线性性质
1 1 () j
性质二 位移性质 F ( ) f (t )e jtdt
设 g(t) t f (t)dt 若 lim g(t ) 0 ，则
复变函数 全套课件
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
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复数函数与积分变换
14.计算以下积分.
15.求以下卷积.
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复数函数与积分变换
16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
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18.试求以下积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ(t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条 件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.
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复数函数与积分变换
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定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，假设存在两个常数M>0及σ>0, 对于一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，那么称f(t)为指数级函数，σ 为其增长指数.
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复数函数与积分变换
(2) 原函数的微分性质
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这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
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复数函数与积分变换
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
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复数函数与积分变换
定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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复数函数与积分变换
例8.20 此题也可用留数理论来做.
8复变函数课后题答案（中国石油大学）
习题八答案 1． 求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。
()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。
令 则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。
复变函数--第八章
例8.6 求单位脉冲函数 d (t) 的Laplace变换.
解 因为
所以
d (t) f (t)dt f (0),
L [d (t)] L [d (t)]
d (t )estdt 0
d
(t )estdt
1.
例8.7 求 f (t ) etd (t ) etu(t ) ( 0)
的Laplace变换(其中 u(t)为单位阶跃函数).
cos
t
]
0
omega/(s^2+osm2 ega^22,)
于是
L
[sint]
s2
2
(Re s 0).
类似可得 L
[cost]
s2
s
2
(Re s 0).
例8.4 求 f (t) t ( 1)的Laplace变换.
解 如果是正整数 m, 则由分部积分法, 易
求得
L
t m
m! sm1
(Re s 0).
当 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
L
[t ]
1 s 1
(
1)
(Re s 0),
其中 ( 1) xe xdx 是函数. 0
8.1.2 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f (t)是以T 为周期的函数, 即
f (t T ) f (t) (t 0),
s 收敛，则由这个积分确定的函数
F (s) f (t )estdt, 0
称为函数 f (t) 的Laplace变换, 并记做 L [ f (t)], 即
L [ f (t)] F (s) f (t)estdt. 0
F(s)称为 f (t) 的像函数，f (t) 称为 F(s) 的像原函数.
复变函数第8讲
敛法知
8n 收敛, n1 n!
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
18
3) 因 (-1)n 收敛;
n1 n
1 也收敛,
2n
n1
故原级数收敛. 但因 (-1)n
n1 n
为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛.
19
§2 幂级数
20
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复 变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表 达式
26
如果级数 cn z0n发散,且如果 | z || z0 | n0
用反证法,设级数 cn zn反而收敛,则根据 n0
前面的结论可导出 cn z0n收敛,与所设 n0
矛盾. 因此只能是 cn zn发散 n0
27
2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可 以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数 来说, 它的收敛情况不外乎三种: i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据 阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对 收敛. ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这 时, 级数在复平面内除原点外处处发散. iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使
n1
n1
an |an |成立
n1
n1
[证]
由于 | an |
an2 bn2 ,
n1
n1
而 | an | an2 bn2 ,| bn | an2 bn2
8
可知级数| an |及| bn |都收敛,因而
n1
n1
an和bn也都收敛,则an是收敛的.
n1
n1
n1
n
n
而又因 ak |ak |,因此
n0
cn (z - a)n (4.2.2)
复变函数8-17
第一章复数与复变函数1.1复数1.1.1复数及其代数运算1.复数概念，i虚数单位复数：z=x+iy（x，y），x，y分别称为实部与虚部，x=Re（z），y=Im（z）x=0，y，z=iy，纯虚数；y=0，z=x实数复数的相等，复数等于零，复数不可比较大小，只能说相等与否。
共轭复数：实部相等，虚部互为相反数，及x+iy与x-iy互为共轭复数，记。
2.复数的代数运算：加减乘除满足定理：（1）交换律（2）结合律（3）分配律注意：（1）z+0=z ，0*z=0 （2）z*1=z ，z*=1（3）若，则，中至少有一个为零，反之亦然；（4）（5）共轭复数运算性质：（1）（2）（3）（4）1.1.2复数的几何表示1.复平面：x轴定义为实轴，y轴虚轴；z=x+iy与一对有序实数（x，y）唯一确定。
xOy定义为复平面2.复数的模与辐角复数的向量表示；复数的模：向量z的长度为复数z的模，记(1)(2)，z(3)，，(4)(5)推论：（6）复数的辐角：Argz，无穷多个，相差2π的整数倍。
辐角主值：-π，称为辐角主值，记argz1.1.3复数四则运算的几何意义直角坐标与极坐标的关系：z=x+iy，z=r（），复数z的三角表达式。
讲解例题：复数乘除法的几何表达：（），（）（）（）（）定理1.1 两个非零复数乘积的模它们模的乘积，乘积的辐角等于它们辐角的和。
定理1.2 两个非零复数商的模它们模的商，商的辐角等于被除数与除数的辐角差。
复数的代数表达：z=x+iy复数的三角表达：z=r（）欧拉公式：复数的指数表达：z=r（）（）习题讲解：1.1.4扩充复平面1.复数的球面表示（概念的理解）2. “无穷远点”的概念。
扩充复平面：包含无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。
无穷远点是唯一的。
3.复数复数与扩充复平面上的无穷远点相对应。
复数的实部、虚部、辐角均无意义。
z=的运算规定（了解）1.2复数的乘幂与方根1.2.1复数的乘幂复数的指数表达：z=r，对于任何整数n，复数z的乘幂下列公式都成立：当r=1时，（）欧拉公式：即可得出：（）（）1.2.2复数的方根（w，），复数w为复数z的n次根，记作w=，或者w=。
《复变函数》(西安交大 第四版)第八讲.ppt
(1) sin z 1 z2 z4 (1)n z2n
z
3! 5!
(2n 1)!
特点：没有负幂次项
ez
(2)
1
zn
z n1
1 1
z
z n1
z z n0 n! n0 n! z
Hale Waihona Puke 2!n!特点：只有有限多个负幂次项
1
(3)e z
1 z1
1
z2
1
zn
2!
n!
特点：有无穷多个负幂次项
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
第八讲 留数
§5.1 孤立奇点
1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系
1. 定义
定义 若f (z)在z0处不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内解析,则称z0为f (z)的孤 ~~~立~~~奇~~点~.
例如
1
f (z) ez
----z=0为孤立奇点
f (z)
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本~~~性~~奇~~点~ 。
3. 性质
z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
z0为f (z)的m (m 1) 级极点
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
f (n)(z0 ) 0 (n 0,1,2,, m 1),
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
复变函数课件
2. 映射的概念
如用z平面上的点表示自变量 的值, 而用另一个平面w 如用 平面上的点表示自变量z的值 而用另一个平面 平面上的点表示自变量 的值 平面上的点表示函数w的值 则函数w=f(z)在几何上就 的值, 平面上的点表示函数 的值 则函数 在几何上就 可以看做是把z平面上的一个点集 定义集合)变到 平面上的一个点集G(定义集合 变到w平 可以看做是把 平面上的一个点集 定义集合 变到 平 面上的一个点集G*(函数值集合 的映射 或变换 这个 函数值集合)的 面上的一个点集 函数值集合 映射(或变换). 映射通常简称为由函数 由函数w=f(z)所构成的映射 如果 中 所构成的映射. 映射通常简称为由函数 所构成的映射 如果G中 的点z被映射 的点 被映射w=f(z)映射成 中的点w, 则w称为 的象 映射成G*中的点 称为z的 被映射 映射成 中的点 称为 (映象 而z称为 的原象 映象), 称为w的原象. 映象 称为
§5 复变函数
1. 复变函数的定义
是一个复数z=x+iy的集合 如果有一个确定的 的集合, 定义 设G是一个复数 是一个复数 的集合 法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数 中的每一个复数z, 法则存在 按照这一法则 对于集合 中的每一个复数 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应 则称复变数 是 与之对应, 就有一个或几个复数 与之对应 则称复变数w是 复变数z的函数 简称复变函数 的函数(简称复变函数), 复变数 的函数 简称复变函数 记作 w=f(z)
.
这就是说 lim u ( x, y ) = u 0 , lim v( x, y ) = v0
x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
充分性: 充分性
北京大学复变函数讲义第八章：Γ函数
再令 p = 1, 2, q = 3, 又得
1
ψ
= −γ − 2 ln 2
2
q−1
2πnp
πn
+ cos
ln 2 sin .
q
q
n=1
1
π
ψ
= −γ − − 3 ln 2
4
2
3
π
ψ
= −γ + − 3 ln 2
4
2
1
π3
ψ
= −γ − √ − ln 3
3
23 2
2
π3
ψ
= −γ + √ − ln 3
由此 上面公式在统计物理学中经常用到.
ln n! = ln Γ(n + 1) ∼ n ln n − n
3
Γ 函数的渐近展开 z 为实数 x 的情形,
∞
Γ(x + 1) = e−ttxdt.
0
假设 x > 0, 分析一下积分的被积函数, 它在 t = 0 时为 0, 随着 t 的增大而增大, 当 t = x 时达到极大, 而后又
n=0
q−1
s(t) = − tp−q ln(1 − tq) + ω−np ln(1 − ωnt)
n=0
= − tp−q ln 1 − tq − (tp−q − 1) ln(1 − t) 1−t
q−1
+ ω−np ln(1 − ωnt)
n=1
6
令 t → 1−, 得 将 p 换成 q − p 再两式相加
性质4: 倍乘公式
Γ(2z)
=
22z−1π−1/2Γ(z)Γ(z
+
1 )
(5)
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重点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点：函数展开成洛朗级数
2
为复常数
n
an 为函数 fn (z)
n1
复数项级数 复数列 收敛半径的计算 函数项级数
收敛条件
充必绝条 要要对件 条条收收 件件敛敛
收敛半径R
运算与性质
幂级数
泰勒级数
洛朗级数
f (z) 在 z0 解析
复变函数
3
1.复数列 设{an}(n=1,2,...)为一复数列,
25
3)
因为cn
cosin chn
1 (en en ), 2
所以
lim
n
cn1 cn
lim
n
en1 en
en1 en
e
故收敛半径R 1 e
26
5)幂级数的运算与性质
(1)设 f (z) anzn , R r1, g(z) bnzn , R r2 .
部分和 其最前面 项的和 sn 1 2 n
称为级数的部分和.
5
2) 复级数的收敛与发散
如果部分和数列{sn}收敛,那末级数 n收敛,
n1
则级数
n1
n
称为收敛,
并且极限
lim
n
sn
s称
为级数的和.如果数列{sn }不收敛, 则级数
n 称为发散.
n1
充要条件 n收敛 an与 bn都收敛
n1 n!
收敛,
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
13
3) 因
(1)n n1 n
收敛;
1 2n
n1
也收敛,
故原级数收敛. 但因为 (1)n 条件收敛,
n1 n
所以原级数非绝对收敛.
14
3.复变函数项级数
设 { fn(z)} (n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
级数最前面 n 项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为这级数的部分和.
15
4. 幂级数
1) 在复变函数项级数中, 形如
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2
o
R. .
x
注意 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出 一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.
19
例1 求幂级数
zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn
1
z
z2
zn
1 zn 1 z
,(z
1)
20
sn
1
z
z2
zn
1 zn 1 z
,(z
处收敛的.
24
2) lim cn1 lim n 1, 即 R=1.
c n n
n n 1
在收敛圆|z1|=1 上, 当 z=0 时, 原级数成为
(1)n 1 , 级数收敛; 当 z=2 时, 原级数成
n1
n
为 1 , 发散. 这个例子表明, 在收敛圆周
n1 n
上即有级数的收敛点,也有级数的发散点.
i
e
n
;
2)n n cos in
8
[解] 1) 因
n
1
1 n
i
e
n
1
1 n
cos
n
i sin
n
an
1
1 n
cos
n
,
bn
1
1 n
sin
n
.
m
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列 1
1 n
i
e
n
收敛,且有
lim
n
n
1.
9
2) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散.
n0
cn(z a)n
的级数称为幂级数.
当 a 0 时,
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn .
n1
16
2)收敛定理 ----阿贝尔Abel定理
如果级数 cnzn在 z z0( 0) 收敛, 那末对
n0
满足 z z0 的 z, 级数必绝对收敛, 如果在z z0 级数发散, 那末对满足 z z0 的 z, 级数必发散.
方法2: 根值法
如果 lim n n
cn
0,
那末收敛半径
R 1.
1 , 0 ;
即
R
,
0;
0, .
22
例2 求下列幂级数的收敛半径
1)
n1
zn n3
(并讨论在收敛圆周上的情形);
2) (z 1)n (并讨论 z=0,2 时的情形); n1 n
3) (cosin)zn
10
例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收
敛?
1)
n1
1 n
1
i n
;
2) (8i)n ;
n0 n!
3)
n1
(1)n
n
1 2n
i
11
[解] 1) 因
1
an
n1
n1
n
发散
bn
n1
n1
1 n2
收敛
故原级数发散.
12
2) 因
(8i)n 8n n! n!
, 由正项级
数的比值审敛法知 8n
如果任意给定 0, 相应地都能找到一个正数
N( ), 使 n 在 n N 时成立,
则a称为复数列{an}当n时的极限,
记作
lim
n
n
此时也称复数列{n}收敛于.
4
2.复数项级数
1) 定义 {an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列,
表达式
n 1 2 n
n1
称为复数项无穷级数.
n0
23
[解] 1)
因为lim n
cn1 cn
lim
n
n
n
2
3
1,
或
lim
n
n
|
cn
|
lim
n
n
1 n3
lim n
1 n n3
1
所以收敛半径 R=1, 也就是原级数在圆|z|=1
内收敛, 在圆周外发散. 在圆周|z|=1 上, 级
数
n1
zn n3
n1
1 n3
是收敛的,
因为这是一个
p
级数, p=3>1, 所以原级数在收敛圆上是处
1)
当|
z
| 1时,由于 lim n
zn
0,
从而有
lim
n
sn
1 1 z
,
即
|
z
|
1时级数
n1
z
n收敛,
和函数为 1 1
z
,
当| z | 1时,由于n 时zn不趋于零,级数发散.
收敛范围为 | z | 1,在此范围内绝对收敛,并有
1 1 z z2 zn 1 z
21
4)收敛半径的求法
方法1: 比值法 那末收敛半径
17
3)收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处 处收敛.
(2) 对所有的正实数除z 0 外都发散.
此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
18
y
收敛圆
收敛半径
n1
n1
n1
必要条件
n收敛
n1
lim
n
n
0
6
3)复级数的绝对收敛与条件收敛
如果 n 收敛, 那末称级数 n为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
n绝对收敛 an与bn绝对收敛.
n1
n1
n1
绝对收敛 条件收敛
7
例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
1)n
1
1 n