三角形内角和定理练习题讲解学习

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专题11.8 三角形内角和定理及其应用(拓展提高)(解析版)

专题11.8 三角形内角和定理及其应用（拓展提高）一、单选题1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:3:4，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】设三个内角分别为k 、3k 、4k ，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k ，再求解即可．【详解】解：设三个内角分别为k 、3k 、4k ，由题意得，k +3k +4k =180°，解得k =22.5°，所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，所以，这个三角形是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k 法”求解更简便． 2．如图，点A 和点B 恰好分别在GH 和EF 上，GH ∥EF 且BA 平分∠DBE ，若∠C ＝90°，∠CAD ＝32°，则∠BAD 的度数为（）A ．28°B ．29°C ．30°D ．31°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：90C ∠=︒，32CAD ∠=︒，903258ADC ∴∠=︒-︒=︒， //EF GH ，58DBE ADC ∴∠=∠=︒， BA 平分DBE ∠，1292ABE DBE ∴∠=∠=︒，直线//EF 直线GH ，29BAD ABE ∴∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．3．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若135∠=，那么2∠的度数是（）．A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得31∠=∠；结合题意，根据三角形内角和的性质，得4∠；再根据对顶角相等的性质计算，即可得到答案．【详解】如下图根据题意得：3135∠=∠=︒∴4180345100∠=︒-∠-︒=︒∵24∠∠=∴2100∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解．4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，则∠BOC 的度数是（）A ．130°B ．60°C ．80°D ．120°【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵∠BAC ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣80°＝100°，∵BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12×100°＝50°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣50°＝130°．故选：A ．【点睛】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 5．如图，延长ABC ∆的边AC 到点E ，过点E 作//DE BC ，BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠交BG 的反向延长线于点F ，已知34A F ∠=∠，则A ∠的大小为（）A ．75︒B ．74︒C ．72︒D ．70︒【答案】C 【分析】过点F 作FM ∥BC ，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠，然后结合三角形内角和定理可得()11+2=1802A ∠∠︒-∠，然后根据题意列方程求解．【详解】解：过点F 作FM ∥BC∵//DE BC ，∴////FM DE BC又∵BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠ ∴11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠ ∴()1111+2=+180222ABC ACB A ∠∠∠∠=︒-∠ 由题意可得：()34412A GFE ∠=∠=∠+∠∴312=4A ∠+∠∠，()3118042A A ∠=︒-∠，解得：72A ∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．6．如图，,AB BC AE ⊥平分BAD ∠交BC 于点E ，AE DE ⊥，1290∠+∠=︒，M ，N 分别是,BA CD 延长线上的点，EAM ∠和EDN ∠的平分线交于点F ．下列结论：①//AB CD ；②180AEB ADC ∠+∠=︒；③DE 平分ADC ∠；④F ∠为定值．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠F AD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠F AD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．二、填空题7．将一副三角板如图放置，若//AB CD ，则∠=CFE ________度．【答案】75【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．【详解】因为//AB CD ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，∠=CFE 90°-15°=75°．故CFE ∠的度数是75度．故答案为：75．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，已知//AB CD ，AC 与BD 交于点E ，BD CD ⊥于点D ，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】140°【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED 的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD 的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB 的度数，再根据补角的性质即可求解；【详解】∵ ∠1=50°，∴∠CED =50°，∵ 三角形内角和为180°，BD ⊥CD ，∴∠ECD =180°-90°-50°=40°，∵ AB ∥CD ，∴∠EAB =40°，∴∠2=180°-40°=140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 9．如图，ABC 中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将 ABE △沿着BE 翻折，翻折后ABE △的AB 边交AC 于点 D ，又将BCD △沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时 84CDB ∠=︒，则ABC 中ABC ∠=_______ ．【答案】81．【分析】在图(1)的ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得150B C ∠+∠=︒；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： 3B CBD ∠=∠，即可在CBD 中，得到另一个关于 B C ∠∠、度数的等量关系式，联立两式即可求得 B 的度数．【详解】解：在ABC 中，30A ∠=︒，则150B C ∠+∠=︒①；根据折叠的性质知：3B CBD ∠=∠，BCD C ∠=∠；在CBD 中，则有：18084CBD BCD ∠+∠=︒-︒，即：9136B C ∠+∠=︒ ②； ①-②，得：2543B ∠=︒，解得81B ∠=︒故答案为：81．【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．10．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，将三角形沿EF 对折，使点C 与边AB 上的D 点重合．若2EFD AED ∠=∠，则AED ∠的度数为____________．【答案】40°【分析】设∠EFD =2∠AED =2x ，由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，由三角形内角和定理得出∠CEF =150°-2x ，再由∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，列出方程即可求出∠AED =40°．【详解】解：设∠EFD =2∠AED =2x ．由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，在△DEF 中，∠DEF =180°-∠EDF -∠EFD =180°-30°-2x =150°-2x ， ∴∠CEF =150°-2x ，∵∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，∴150°-2x +150°-2x +x =180°，解得x =40°，即∠AED =40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．11．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB 上跑至B 点，向上跃起至最高点P ，然后落在点C 处，继续在水平面CD 上跃起落在点D ，若ABK ∠和KCD ∠的平分线的反向延长线刚好交于最高点P ，88BKC ∠=︒，则P ∠=_______度．【答案】46【分析】延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F ，利用角平分线的定义及平行线的性质可得13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠，1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒，求得268ABK DCK ∠+∠=︒，从而得到()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒，然后结合三角形内角和定理求解．【详解】解：延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F由题意可得：AB ∥CD ∥KM ，PE 平分∠ABK ，PF 平分∠DCK∴13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠ 1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒又∵∠BKC =88°∴1+2+180BKC ∠∠∠=︒180180180ABK DCK BKC ︒-∠+︒-∠+∠=︒，即268ABK DCK ∠+∠=︒∴()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒ ∴()1803446P ∠=︒-∠+∠=︒故答案为：46．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．12．如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为________．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．【详解】解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH =180°-∠AEF -∠BEG =87°∵ //AB CD∴∠EFG =∠AEF =36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH =12∠EFG =18° ∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =75°故答案为：75.︒【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．13．如图，BF 平分ABD ∠，CE 平分ACD ∠，BF 与CE 交于G ，若120BDC ∠=︒，90BGC ∠=︒，则A ∠的度数为________．【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC +∠DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC +∠ACB 的度数，从而求得∠A 的度数．【详解】解：连接BC ．∵∠BDC =120°，∴∠DBC +∠DCB =180°-120°=60°，∵∠BGC =90°，∴∠GBC +∠GCB =180°-90°=90°，∵BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，∴∠GBD +∠GCD =12∠ABD +12∠ACD =30°， ∴∠ABD +∠ACD =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠A =180°-120°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105°150° 【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵∠BAC=90°，∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α， ∵AI 、CI 分别平分∠PAC ，∠PCA ，∴∠IAC=12∠PAC ，∠ICA=12∠PCA ，∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA ） =180°-12（∠PAC+∠PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC ＜150°， ∴m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题15．如图，BD 是ABC ∠的平分线，//DE CB ，交AB 于点E ，150BED ∠=︒，60BDC ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】∠A =45°【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A 的度数即可．【详解】解：∵DE ∥CB ，∴∠BED +∠ABC =180°，∵∠BED =150°，∴∠ABC =30°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴1152CBD ABC ∠=∠=︒， ∵∠BDC =60°，∴∠C =105°，∴∠A =180°-∠ABC -∠C =45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C 的度数是解题关键．16．如图，在ABC 中，AE 平分∠BAC ，AD 是BC 边上的高．（1）在图中将图形补充完整；（2）当∠B ＝28°，∠C ＝72°时，求∠DAE 的度数；（3）∠DAE 与∠C ﹣∠B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）22°；（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，证明见解析【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）在ABC ∆中，利用三角形内角和定理可求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义可求出CAE ∠的度数，由AD 是BC 边上的高，可求出CAD ∠的度数，再结合DAE CAE CAD ∠=∠-∠即可求出结论；（3）根据题意可以用B 和C ∠表示出CAD ∠和CAE ∠，从而可以得到DAE ∠与C B ∠-∠的关系．【详解】解：（1）如图，（2）在ABC ∆中，28B ∠=︒，72C ∠=︒，18080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1402CAE BAC ∴∠=∠=︒， AD 是BC 边上的高，AD BC ∴⊥，9018CAD C ∴∠=︒-∠=︒，401822DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，理由：在ABC ∆中，AD ，AE 分别是ABC ∆的高和角平分线， 180CAB B C ∴∠=︒-∠-∠，90CAD C ∠=︒-∠，1(180)2CAE B C ∠=︒-∠-∠， 11(180)(90)()22DAE B C C C B ∴∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠．【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，BE 是ABC 角平分线，点D 是AB 上的一点，且满足DEB DBE ∠=∠．（1）DE 与BC 平行吗？请说明理由；（2）若50C ∠=︒，45A ∠=︒，求DEB ∠的度数．【答案】（1）//,DE BC 理由见解析；（2）42.5.︒【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE =∠EBC ，从而求出∠DEB =∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行即可证明；（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC =∠ADE ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得到答案．【详解】解：（1）DE ∥BC理由如下：∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC∵∠DEB =∠DBE∴∠DEB =∠EBC∴ DE ∥BC ；（2）在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C =180°∴∠ABC =180°-∠A-∠C =85°∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC =42.5°∴∠DEB =∠EBC =42.5°【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确识别图形是解题的关键．18．阅读下列材料，并完成相应任务．三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠∵180DAB BAC CAE ∠+∠+∠=︒∴180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，即三角形内角和是180︒证法二：如图3，延长BC 至M ，过点C 作//CN AB …证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：证明：∵CN ∥AB∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．19．如图，MN //PQ ，点A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转动的速度是a ︒/秒，射线BP 转动的速度是b ︒/秒，且a ，b 满足方程组32527a b a b -=⎧⎨+=⎩．（1）求a ，b 的值；（2）若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？【答案】（1）3a =，2b =；（2）至少旋转18秒时，射线AN 与射线BP 互相垂直．【分析】（1）解二元一次方程组，即可求得a 和b 的值；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x °+3x °=90°，求解即可．【详解】解：（1）32527a b a b -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：412a =，解得3a =，将3a =代入②得327b +=，解得2b =，所以原方程组的解为：32a b =⎧⎨=⎩，即3a =，2b =；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C ，连接AB ，如图，则∠BCA =90°，由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，∵MN//PQ，∴∠PBA+∠BAN=180°，∵∠BCA=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠PBC+∠NAC=90°，∴2x°+3x°=90°，x=，解得18答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．∠交CD于20．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分AEF ∠=∠．点M，且FEM FME（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；∠交CD于点H，过点H作（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分FEG∠=．∠=，EGFβ⊥于点N，设EHNαHN EMβ=︒，求α的度数；①如图2，当点G在射线FD上运动时，若56②当点G 在直线CD 上运动时，请直接写出α和β的数量关系．【答案】（1）AB ∥CD ，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=12β或α=90°-12β 【分析】（1）结论：//AB CD ．只要证明AEM EM D ∠=∠即可．（2）①依据平行线的性质可得124AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到1622HEN AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906228EHN ∠=︒-︒=︒；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=，当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．【详解】解：（1）结论：//AB CD ．理由：如图1中，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，AEM M EF ∴∠=∠，FEM FM E ∠=∠．AEM FM E ∴∠=∠，//AB CD ∴．（2）①如图2中，//AB CD ，56BEG EGF β∴∠=∠==︒，124AEG ∴∠=︒，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，1622HEN MEF HEF AEG ∴∠=∠+∠=∠=︒，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，9028EHN HEN α∴=∠=︒-∠=︒．②结论：12αβ=或1902βα︒=-．理由：①当点G 在F 的右侧时，可得12αβ=． //AB CD ，BEG EGF β∴∠=∠=，180AEG β∴∠=︒-，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，119022HEN MEF HEF AEG β∴∠=∠+∠=∠=︒-，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，1902EHN HEN αβ∴=∠=︒-∠=．②当点G 在F 的左侧时，可得1902βα︒=-．理由：//AB CD ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，M EH M EF H EF ∴∠=∠-∠1()2AEF FEG =∠-∠12AEG =∠1 2β=，又HN ME⊥，Rt EHN∴△中，90EHN MEH∠=︒-∠，即1902βα︒=-．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．。

鲁教版七年级三角形内角和定理练习50题及参考答案(难度系数0.36)

七年级三角形内角和定理（难度系数0.36）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.以点D为圆心，适当长为半径GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC 画弧，交DA于点G，交DC于点H.再分别以点G、H为圆心，大于12内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则△ADF的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】 D【考点】平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质2.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE平分∠ABC，则∠A的度数为（）A. 30°B. 32°C. 34°D. 36°【答案】 D【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质3.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠a的度数是( )A. 75°B. 60°C. 65°D. 55°【答案】A【考点】三角形的外角性质4.如图，是三个等边三角形（注：等边三角形的三个内角都相等）随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°【答案】 D【考点】三角形内角和定理5.如图，直角△ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，且∠ACB 的度数为 (5x −10)° ，则 x 的值可能是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】C【考点】三角形的外角性质，三角形相关概念6.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，则∠A 与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A. 2∠A=∠1-∠2B. 3∠A=2（∠1-∠2）C. 3∠A=2∠1-∠2D. ∠A=∠1-∠2【答案】 A【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质7.下列叙述中，正确的有（）①如果 2x =a,2y =b ，那么 2x−y =a −b ；②满足条件 (43)2n =(34)n−3 的n 不存在；③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；④ΔABC 中，若∠A+∠B=2∠C, ∠A-∠C=40°，则这个△ABC 为钝角三角形.（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】 B【考点】同底数幂的除法，负整数指数幂的运算性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理8.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；② CA平分∠BCG；③ ∠ADC=∠GCD；④ ∠CGE=2∠DFB；其中正确的结论是( )A. 只有①③B. 只有①③④C. 只有②④D. ①②③④【答案】B【考点】平行线的性质，三角形内角和定理9.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= ( )A. 115°B. 125°C. 130°D. 140°【答案】A【考点】三角形内角和定理10.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若∠A=60°，∠1=90°，则∠2的度数为（）A. 24°B. 25°C. 30°D. 35°【答案】C【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）二、填空题（共8题；共8分）11.如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为________.【答案】∠1+∠2- 32∠A=90°【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质12.∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为________.【答案】100°【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠P=20°，∠D=100°，则∠C=________°.【答案】120【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，多边形内角与外角14.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C的度数为=________．【答案】46°【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）15.如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1, ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2：⋯：∠An-1BC与∠An+1CD的平分线交与点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为________【答案】6【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质16.如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=________度．【答案】56【考点】角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质17.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠A＝50°，则∠1+∠2＝________°【答案】100【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题）18.如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=52°，则∠1+∠3=________°.【答案】98【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理三、解答题（共4题；共20分）19.如图，在ΔABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是ΔABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数。

第七章平行线的证明之三角形内角和定理练习北师大版2024—2025学年八年级上册秋季

第七章平行线的证明之三角形内角和定理培优练习北师大版2024—2025学年八年级上册秋季一、夯实基础1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°2．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，则图中与△B 互余的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，CD△AB ，△ACD ＝40°，则△B 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°4．如图，直线l 1△l 2，CD△AB 于点D ，△1＝50°，则△BCD 的度数为（）A ．50°B ．45°C ．40°D ．30°5．如图，已知AB△BD ，AC△CD ，△A ＝40°，则△D 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°6．若四个三角形分别满足以下条件：△△A ＝△B ＝△C ；△△A －△B ＝△C ；△△A ＝△B ＝2△C ；△△A△△B△△C ＝1△2△3，则其中直角三角形的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题5分，共20分）7．如图所示的三角板中的两个锐角的和等于度； 8．如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，△A ＝35°，则△BCD 的度数为；9．已知△A ＝37°，△B ＝53°，则△ABC 为三角形；（2题图）（3题图）（4题图）（5题图）（7题图）（8题图）10．已知在△ABC中，△A＝45°＋α，△B＝45°－α，则△ABC是直角三角形吗？；11．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED△AB，垂足为D．若△1＝△2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？12．如图，AB△CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，△BEF的平分线与△DFE 的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．13．（1）如图1，△ABC中，AD△BC于D，CE△AB于E．猜测△1与△2的关系，并说明理由；（2）如图2，△BAC是钝角，BD△CA交CA延长线于D，CE△BA交BA延长线于E．那么（1）中的结论是否还成立？二、能力提升1.一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝．2.如图，在△ABC中，AE是高，AD是∠BAC的角平分线，∠BAC＝70°，∠C＝60°．（1）求∠EAC的度数；（2）求∠DAE的度数．3.如图，△ABC的两个内角的平分线BO，CO相交于点O，两个外角的平分线BP，CP相交于点P，已知∠BOC＝120°，求∠P的度数．4.如图，BE为△ABC角平分线，与AC交于点F，CE为△ABC外角的平分线，BE与CE相交于点E．（1）若∠A＝80°，求∠E的度数；（2）若∠ACE＝70°，∠E＝30°，求∠A的度数．5.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ACD＝70°，∠BAC＝80°．求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数．6.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝70°．（1）求∠ABD的度数；（2）若CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝120°，求∠ACB的度数．7.如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度数；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．8.如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分．∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°．（1）求∠ACB的度数；（2）求∠DCE的度数．9.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．（1）若∠A＝42°，∠B＝66°，求∠DCE的度数：（2）若∠A＝α，∠B＝β，求∠DCE的度数（用含α，β的式子表示）．10.（1）[探究发现]如图①，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）[迁移拓展]如图②，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n 等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，试猜想∠P与∠A 之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）[应用创新]如图③，AD，BE相交于点C，∠ABC，∠CDE，∠ACE的平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝40°，则∠BPD＝．11.如图1，已知∠MON＝50°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动，点C为△ABO三条内角平分线交点，连结BC、AC．（1）如图2，当∠OAB＝70°，求∠ACB的大小．（2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，连结OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数．12.在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CD⊥BE，垂足为点D．（1）如图1，若点D在线段BE上，求证：∠2＝∠1+∠A；（2）如图2，若点D在BE的延长线上，则∠1，∠2和∠BAC有何数量关系，请说明理由．。

三角形内角和定理典型例题及练习》

三角形内角和定理典型例题及练习》三角形内角和定理典型例题及练
三角形内角和定理是数学中一个重要的几何定理，它可以帮助我们计算三角形内部的角度。

本文将介绍一些典型的例题，并提供相应的练题供大家练。

例题解析
例题一：
已知三角形ABC中，角A的度数为30度，角B的度数为60度，求角C的度数。

解析：
根据三角形内角和定理可得：
角A + 角B + 角C = 180度
代入已知数据可以得到：
30度 + 60度 + 角C = 180度
解方程可得：
角C = 180度 - 30度 - 60度 = 90度
所以角C的度数为90度。

例题二：
已知三角形DEF中，角D的度数为45度，角E的度数为60度，求角F的度数。

解析：
同样应用三角形内角和定理：
角D + 角E + 角F = 180度
代入已知数据得到：
45度 + 60度 + 角F = 180度
解方程可得：
角F = 180度 - 45度 - 60度 = 75度
所以角F的度数为75度。

练题
1.已知三角形XYZ中，角X的度数为40度，角Y的度数为70度，求角Z的度数。

2.已知三角形LMN中，角L的度数为90度，角M的度数为30度，求角N的度数。

3.已知三角形PQR中，角P的度数为60度，角R的度数为40度，求角Q的度数。

请完成以上练题，并将答案填写在下方。

练题答案
1.角Z的度数为70度。

2.角N的度数为60度。

3.角Q的度数为80度。

希望以上内容对大家的学习有所帮助，当遇到类似问题时能够快速应用三角形内角和定理进行计算。

《三角形的内角和及外角定理》热点专题高分特训(含答案)

A.40° B.24° C.50° D.45° 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理 8.如图，已知∠A=35°，∠B=20°，∠C=25°，则∠BDC 的度数为()
A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：角度的计算 6.如图，一个直角三角形纸片 ABC，剪去直角后，得到一个四边形 GBCH，则∠1+∠2=( )
A.90° B.180° C.240° D.270° 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和 7.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=62°，∠B=38°，∠BCD=140°，则∠D 的度数为) (
三角形的内角和及外角定理(人教版)
一、单选题(共 12 道，每道 8 分) 1.已知△ABC 中，∠B 是∠A 的 2 倍，∠C 比∠A 大 20°，则∠A 等于( ) A.30° B.40° C.60° D.80° 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形内角和 2.如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为( )
试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和 4.如图，在△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，∠AFD=158°，则∠EDF=( )
A.79° B.68° C.44° D.42° 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：角度的计算 5.如图，在△ABC 中，∠BAC=4∠1=4∠C，BD⊥CA 于点 D，则∠DBA=) (
A.40° B.45° C.50° D.55° 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：三角形的内角和 3.如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC，AD⊥BC 于点 D，若∠BAC=128°，∠C=36°，பைடு நூலகம்则∠DAE 的度数为( )

人教版数学八年级上册11.2《三角形内角和定理》典型例题

例析三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．三角形内角和定理应用广泛，下面以例说明．一、求三角形的内角例1 在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，那么∠A的度数为〔〕A．30° B．40° C．50° D．60°解：由三角形内角和定理，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，答案选D．例2 如图，∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______．54321解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，由三角形内角和定理，得∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°．说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．例3 △ABC中，假设∠A－2∠B＋∠C=0°，那么∠B的度数是〔〕A.30°B.45°C.60°D.75°解析：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°，可适当变形为∠A+∠C=180°－∠B，而条件∠A－2∠B＋∠C=0°，也可变形为∠A+∠C=2∠B，所以可知180°－∠B=2∠B，解此方程即可得到∠B=60°，答案选C．二、判断三角形的形状例4 一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是〔〕C B A 21O A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解：设三个内角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形内角和定理，得2k+3k+5k=180°．解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选D ．三、求角平分线的夹角例5 △ABC 中，∠A=60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，那么∠BOC 的度数为______．解：如图，由BO 平分∠ABC ，得∠1=12∠ABC ；由CO 平分∠ACB ，得∠2=12∠ACB ． ∴∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB) =12(180°-∠A) =12(180°-60°)=60°．所以∠BOC=180°-〔∠1+∠2〕=180°-60°=120°例6 ，如图，在△ABC 中，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，〔1〕假设∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE 的度数．〔2〕假设∠C ＞∠B ，试写出∠DAE 与〔∠C －∠B 〕的数量关系．〔不需要证明〕解析：(1)有三角形内角和180°，可知△ABC 中∠BAC=100°，AE 是∠BAC 的角平分线，所以∠EAC=50°，在△ADC 中，∠C=50°, ∠ADC=90°,由三角形内角和知∠DAC=180°－∠C －∠ADC=40°,∠DAE=∠EAC －∠DAC=50°－40°=10°(2)由〔1〕的求解过程可知，要求得∠DAE 的度数，需知道∠EAC 与∠DAC 的度数，而我们知道∠DAC=180°－∠C －∠ADC=90°－∠C ，∠EAC 的度数为1218011802-1180-90-212EAC BAC BAC B C EAC B C DAE EAC DACB C C C ∠=∠∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∠=︒-∠-∠︒∠=∠-∠B ，而，则（），所以（）（）（）。

三角形内角和定理

？？
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).
×
？。？
A
E
。 ×2
C D
1
B
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，ABCD
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，
A
B
C
D
证法1′：作BC的延长线CD，画CE∥BA，于是∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换). A 评：。图形相同，
＝１８０°－９０°－７２° ＝１８° （三角形内角和是180° ）

三角形内角和、外角定理(含详细解答)

三角形内角和、外角定理(含详细解答)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形内角和、外角和定理一．选择题（共10小题）1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36B．72C．108D．14410．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）A ．37B．57C．77D．97二．填空题（共4小题）11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度．12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是_________．13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_________度．14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=_________度．三．解答题（共16小题）15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于_________．（2）请证明以上命题．16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）结论：_________．19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．20．（2013?响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．三角形内角和、外角和定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．解答：解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．2．（2012?滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．专题：方程思想．分析：已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．解答：解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．点评：本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．3．（2012?河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．解答：解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．（2012?云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°考点：三角形内角和定理．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解答：解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67°﹣33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．5．（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6．（2012?梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵AD⊥BC，∠C=36°，∴∠CAD=90°﹣36°=54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．7．（2011?日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．故选B．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．8．（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7B．∠3=∠1+∠6C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，∵∠1=∠AOB，∵∠AOB+∠4+∠6=180°，∴∠1+∠4+∠6=180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．9．（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36B．72C．108D．144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，故选C．点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．10．（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数（）A ．37B．57C．77D．97考点：三角形内角和定理．专题：推理填空题．分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：①∠C＞90°，∴∠B＜153°﹣90°=63°，∴选项A、B合理；②∠B＞90°，∴选项D合理，∴∠B不可能为77°．故选C．点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．二．填空题（共4小题）11．（2014?抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．12．（2013?河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．考点：三角形内角和定理．分析：先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．点评：本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．13．（2008?安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=70度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形内角和定理求解．解答：解：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．点评：本题考查了平行线与三角形的相关知识．14．（2003?金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=30度．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．专题：压轴题．分析：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2．解答：解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∠AOB=120°，∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为：30°．点评：此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键．三．解答题（共16小题）15．（2014?六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：证明题．分析：（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．解答：解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．16．（2001?海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．解答：解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°又∵CD=CA∴∠CAD=∠D∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°在△ABC内∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．点评：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．17．（2000?内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．考点：三角形内角和定理．专题：数形结合．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．点评：此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．18．（2011?青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）结论：∠BOC=90°﹣∠A．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：压轴题．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．19．（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．专题：综合题；压轴题．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．点评：本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．20．（2013?响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解答：解：∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②把②代入①得：3∠2=60°，∠2=20°．∴∠DAC=120°﹣20°=100°．点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．解答：解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4=∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2=∠D+∠C，在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求∠1=39°，∠3=78°，所以∠DAC=24°，∠ADC=∠3=78°．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC﹣∠1=4∠1+63°﹣∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°﹣∠1=63°﹣39°=24°，∠ADC=∠3=78°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．解答：解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．解答：解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．点评：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：在△ADF中，由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠FAD=90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的关系，再代值求解即可．解答：解：由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①△ABC中，由三角形内角和定理得：∠C+∠B+∠BAC=180°，即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②②﹣①，得：∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°．点评：此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记此题的结论在解选择和填空题时会加快解题效率．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形外角的性质求出∠BDC的度数，与测量所得的度数对比即可得出结论．解答：解：如图，∠CDE是△ADC的外角，∠BDE是△ABD的外角，∵∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，∴∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠DAB，即∠BDC=∠B+∠C+∠A=25°+25°+90°=140°．检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格．点评：考查了三角形的外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗考点：三角形的外角性质．分析：连接AD并延长，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，然后求出∠1+∠2的度数，根据零件规定数据，只有140°才是合格产品．解答：解：如图，连接AD并延长，∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∵∠A=90°，∠B=30°，∠C=20°，∴∠BDC=∠1+∠2，=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=30°+90°+20°，=140°，∵140°≠142°，∴这个零件不合格．点评：本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．解答：解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和是180°，可分别求出∠1+∠2=∠3+∠4=145°，即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．解答：解：∵∠A=35°，在△ABC中，∠A+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°﹣∠A=145°，同理可证∠3+∠4=145°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=290°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．。

八年级数学：三角形内角和定理练习(含解析)

八年级数学：三角形内角和定理练习（含解析）学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°2．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A=90°﹣∠B；④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．①②B．③④C．①③④D．①②③3．已知,在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,则∠B=（）A．60°B．30°C．20°D．40°4．有一个外角等于120°,且有两个内角相等的三角形是（）A．不等边三角形B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定5．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°,（x﹣y）°,x°,且x＞y＞0,则该三角形有一个内角为（）A．30°B．45°C．90°D．60°6．在△ABC中,∠A=25°,∠B=63°,则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形7．如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE外点A'的位置,则下列结论正确的是（）A．∠1+∠2=∠A B．∠1+∠2=2∠A C．∠1﹣∠2=∠A D．∠1﹣∠2=2∠A8．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=2∠C；③∠A：∠B：∠C=1：2：3,能确定△ABC 为直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．0个9．如图,△ABC中,∠A=60°,将△ABC沿DE翻折后,点A落在BC上的点A′处,如果∠A′EC=70°,则∠A′DE的度数为（）A．50°B．60°C．75°D．65°10．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4,则它是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．钝角或直角三角形11．如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD,若∠B=30°,∠C=40°,则∠DAC的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．75°12．一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=45°,∠B=60°,则这个三角形残缺前的∠C 的度数为（）A．75°B．65°C．55°D．45°二．填空题（共8小题）13．在△ABC中,若∠A=78°,∠B=57°,则∠C= ．14．已知三角形的三个内角的度数比为2：3：4,则这个三角形三个内角的度数为．15．一个三角形的三个内角中最多有个钝角（或直角）．16．在△ABC中,∠C=60°,∠A=2∠B,则∠A= ．17．如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB= （度）．18．在直角△ABC中,∠C=90°,沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2= ．19．如图,是一个不规则的五角星,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）20．如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,若∠A=80°,则∠BOC= ．三．解答题（共4小题）21．如图,已知DF⊥AB于点F,且∠A=45°,∠D=30°,求∠ACB的度数．22．如图,在△ABC中,∠A=50°,过点C作CD∥AB,若CB平分∠ACD,求∠B的度数．23．如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,AE是∠BAC的平分线,AD是高．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠EAD的度数；（3）△ABC中,若∠B=α,∠C=β（α＜β）,请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α,β间的等量关系,并说明理由．24．如图,△ABC中AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=50°,∠C=70°．（1）∠BAC= °；（2）求∠DAE的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°,∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠DCB=78°=39°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°,故选：C．2．解：①因为∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°,∠C=90°,所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3,设∠A=x,则x+2x+3x=180,x=30°,∠C=30°×3=90°,所以△ABC是直角三角形；③因为∠A=90°﹣∠B,所以∠A+∠B=90°,则∠C=180°﹣90°=90°,所以△ABC是直角三角形；④因为∠A=∠B=∠C,所以三角形为等边三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．故选：D．3．解：∵在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,∴∠B=180°﹣60°﹣80°=40°．故选：D．4．解：当∠BAC的外角是120°时,则∠BAC=60°,∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=60°,即∠BAC=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形；当∠ABC的外角是120°时,∠ABC=60°,即∠C=∠ABC=60°,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴∠BAC=60°,∴∠BAC=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形；同样当∠ACB的外角是120°,也能推出△ABC是等边三角形；故选：C．5．解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°,（x﹣y）°,x°,三角形内角和为180°, ∴x+y+x﹣y+x=180,∴3x=180,x=60,故选：D．6．解：∵△ABC中,∠A=25°,∠B=63°,∴∠C=180°﹣25°﹣63°=92°,∴△ABC是钝角三角形．故选：C．7．解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到,∴∠A′=∠A,∵∠1=∠A+∠3,∠3=∠A′+∠2,∴∠1=∠A+∠A′+∠2,∴∠1﹣∠2=2∠A,故选：D．8．解：∵∠A+∠B+∠C=180°,∴若①∠A+∠B=∠C,则∠C=90°．三角形为直角三角形；②∠A=∠B=2∠C,则∠A=∠B=72°,∠C=36°．三角形不是直角三角形；③∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3,则∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°．三角形为直角三角形；故选B．9．解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°,又∵∠A′ED=∠AED=∠AEA′=55°,∠DA′E=∠A=60°,∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．故选：D．10．解：设三个内角分别为2k、3k、4k,则2k+3k+4k=180°,解得k=20°,所以,最大的角为4×20°=80°,所以,三角形是锐角三角形．故选：A．11．解：∵AB=BD,∠B=30°,∴∠ADB=75°,∵∠C=40°,∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=75°﹣40°=35°．故选：B．12．解：∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（45°+60°）=75°,故选：A．二．填空题（共8小题）13．解：由题可得,∠C=180﹣∠A﹣∠B=180°﹣78°﹣57°=45°,故答案为：45°．14．解：根据三角形的内角和定理,得三个内角分别是180°×=40°,180°×=60°,180°×=80°．15．解：假设三角形中,出现2个或3个钝角,那么三角形的内角和就大于180°,不符合三角形内角和是180°,因而假设不成立,所以一个三角形中最多有一个钝角．故答案为：1．16．解：设∠A=2x,则∠B=x,由三角形内角和等于180°,得：2x+x+60°=180°,解得x=40°．∴∠A=2x=2×40°=80°．故答案为：80°．17．解：由题意可得∠DAE=∠BAC﹣（90°﹣∠C）,又∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,∴90°﹣2∠B=∠B,则∠B=36°,∴∠BAC=2∠B=72°,∴∠ACB=180°﹣36°﹣72°=72°．故答案为7218．解：∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°,∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°,∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故答案是：270°．19．解：如右图所示,∵∠1=∠C+∠2,∠2=∠A+∠D,∴∠1=∠C+∠A+∠D,又∵∠1+∠B+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180°．20．解：∵在△ABC中,∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°,∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点,∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°,∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．故答案为：130°．三．解答题（共4小题）21．解：∵DF⊥AB于点F,∴∠AFE=90°,∵∠A=45°,∴∠AEF=45°,∴∠CED=∠AEF=45°．∴∠ACB=∠D+∠C ED=30°+45°=75°．22．解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠A=50°,∴∠B+∠ACB=130°．∵CD∥AB,∴∠DCB=∠B．∵CB平分∠ACD,∴∠DCB=∠ACB,∴∠ACB=∠B,∴2∠B=130°,∴∠B=65°．23．解：（1）∵∠B=30°,∠C=50°,∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°．又∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠BAC=×100°=50°．（2）∵∠B=30°,AD⊥BC,∴∠BAD=90°﹣30°=60°,∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣50°=10°．（3）∠DAE=（β﹣α）,理由如下：∵∠B=α,∠C=β,∴∠BAC=180°﹣α﹣β．又∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠BAC=90°﹣（α+β）．∵∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣α,∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α﹣[90°﹣（α+β）]=（β﹣α）．24．解：（1）∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°故答案为：60°（2）∵AE是∠BAC的平分线,∠BAC=60°∴∠BAE=30°∴∠AEB=180°﹣∠B﹣∠BAE=100°∵AD是BC边上的高,∴∠ADE=90°∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=100°﹣90°=10°答：∠DAE的度数是10°．。

应用三角形内角和定理及其推论解题例析

应用三角形内角和定理及其推论解题例析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

以上关于三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。

一、求角度的大小例1：在△ABC 中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3，则∠C=_______。

解：依题意，不妨设∠A=x ，则∠B=2x ，∠C=3x ，因此由三角形的内角和定理可得：x+2x+3x=180°，解之得：x=30°，故∠C=3x=90°。

例2：如图1，已知∠1=20°，∠=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为_______。

图1 图2 解：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°， ∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-( ∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°. 在△BDC 中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.例3：如图2，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于E ，交AC 于D 。

若∠B=53°，则∠CDE=_______.解：∵△ABC 是直角三角形，∠B=53°，∴由三角形内角和定理的推论1，得∠A=90°-53°=37°。

再由三角形内角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。

二、求多角的和例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E)的和为（） A.50° B.100° C.180° D.200°BCD1 1BCDAEA图3 图4解：由推论2知，∠2=∠B+∠D ，∠1=∠C+∠E ；又由定理知：∠1+∠2+∠A=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故本题应选C 。

(完整word)三角形内角和定理练习题

三角形内角和定理练习题1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是三角形。

2.如图,在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，它们相交于点I,已知∠A＝56°，则∠BIC ＝。

3。

如图，在△ABC中，∠B＝25°，延长BC至E，过点E作AC的垂线ED，垂足为O,且∠E＝40°，则∠A＝。

4.如图，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG,则∠BAC的度数为.5.若等腰三角形一腰上的高和另一腰上的高的夹角为58°,则这个等腰三角形顶角的度数是。

6.如图，将三角形纸片ABC的一角折叠，折痕为EF，若∠A＝80°，∠B＝68°，∠CFB＝22°，则∠CEA ＝。

7.在一个三角形中，三个内角中至少有个锐角，最多有个直角或钝角.8.如图,AB∥CD，若∠ABE＝135°，∠CDE＝110°，则∠DEF＝。

9。

如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD＝158°，则∠EDF等于( )A.64°B.65°C.67°D。

68°10。

如图,已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,则∠E是( )A.锐角B.直角C。

钝角 D.无法确定11。

如图,已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，AD∥BC,则△ABC的形状是（) A。

等边三角形 B.直角三角形C。

等腰三角形 D.任意三角形12.如图,在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，设∠BAC＝∠α，则∠D等于（)A。

180°—2∠α B。

180°—∠αC。

90°—∠α D.90°-2∠α13.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形的形状是( ）A.锐角三角形B。

直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形14。

如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°,则∠BDC的度数等于（）A。

三角形内角和、外角定理(含详细解答)

三角形内角和、外角和定理一．选择题（共10小题）1．（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形3．（2012•河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°4．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°5．（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°6．（2012•梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°7．（2011•日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°8．（2011•台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6 C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°9．（2011•台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36 B．72 C．108 D．14410．（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）A ．37 B．57 C．77 D．97二．填空题（共4小题）11．（2014•抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= _________度．12．（2013•河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是_________．13．（2008•安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_________度．14．（2003•金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=_________度．三．解答题（共16小题）15．（2014•六盘水）（1）三角形内角和等于_________．（2）请证明以上命题．16．（2001•海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．17．（2000•内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．18．（2011•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：_________．19．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．20．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．三角形内角和、外角和定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．解答：解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．2．（2012•滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形内角和定理．专题：方程思想．分析：已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型．解答：解：三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．故选：D．点评：本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×＞90°．本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为7×15°=105°．3．（2012•河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）A ．150°B．210°C．105°D．75°考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．解答：解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故选A．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）A ．40°B．45°C．50°D．55°考点：三角形内角和定理．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．解答：解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67°﹣33°=80°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．5．（2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）A ．360°B．250°C．180°D．140°考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．6．（2012•梧州）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（）A ．10°B．12°C．15°D．18°考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，再根据角平分线定义求出∠CAE，然后根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD，代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵AD⊥BC，∠C=36°，∴∠CAD=90°﹣36°=54°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，∴∠CAE=∠BAC=×128°=64°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=64°﹣54°=10°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．7．（2011•日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（）A ．70°B．80°C．90°D．100°考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．故选B．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理．8．（2011•台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A ．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6 C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，∵∠1=∠AOB，∵∠AOB+∠4+∠6=180°，∴∠1+∠4+∠6=180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．9．（2011•台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（）A ．36 B．72 C．108 D．144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，∵2（∠A+∠C）=3∠B，∴∠B=72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，故选C．点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．10．（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）A ．37 B．57 C．77 D．97考点：三角形内角和定理．专题：推理填空题．分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：①∠C＞90°，∴∠B＜153°﹣90°=63°，∴选项A、B合理；②∠B＞90°，∴选项D合理，∴∠B不可能为77°．故选C．点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．二．填空题（共4小题）11．（2014•抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．专题：几何图形问题．分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．解答：解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．12．（2013•河池）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．考点：三角形内角和定理．分析：先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．点评：本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．13．（2008•安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=70度．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：计算题．分析：把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形内角和定理求解．解答：解：由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．点评：本题考查了平行线与三角形的相关知识．14．（2003•金华）如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=30度．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．专题：压轴题．分析：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2．解答：解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∠AOB=120°，∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为：30°．点评：此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键．三．解答题（共16小题）15．（2014•六盘水）（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．考点：三角形内角和定理；平行线的性质．专题：证明题．分析：（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．解答：解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．16．（2001•海南）如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．解答：解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°又∵CD=CA∴∠CAD=∠D∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°在△ABC内∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．点评：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．17．（2000•内蒙古）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．考点：三角形内角和定理．专题：数形结合．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．点评：此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．18．（2011•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：∠BOC=90°﹣∠A．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：压轴题．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．19．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．专题：综合题；压轴题．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．点评：本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．20．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，求∠DAC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解答：解：∵∠BAC=120°，∴∠2+∠3=60°①∵∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1+∠2=2∠2②把②代入①得：3∠2=60°，∠2=20°．∴∠DAC=120°﹣20°=100°．点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．22．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4=∠A+∠2，∠2=∠D+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．解答：解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4=∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2=∠D+∠C，在△BEG中，∠B+∠E+∠4=180°，即∠B+∠E+∠A+∠D+∠C=180°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，试求∠DAC，∠ADC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求∠1=39°，∠3=78°，所以∠DAC=24°，∠ADC=∠3=78°．解答：解：∵∠1=∠2，∴∠3=∠1+∠2=2∠1=∠4，∴2∠3+∠CAD=2∠1+2∠2+∠BAC﹣∠1=4∠1+63°﹣∠1=3∠1+63°=180°，∴∠1=39°=∠2，∠3=∠4=78°，∴∠DAC=63°﹣∠1=63°﹣39°=24°，∠ADC=∠3=78°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．24．已知：如图所示，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．解答：解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．25．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．解答：解：∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．点评：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．26．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．分析：在△ADF中，由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠FAD=90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的关系，再代值求解即可．解答：解：由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①△ABC中，由三角形内角和定理得：∠C+∠B+∠BAC=180°，即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②②﹣①，得：∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°．点评：此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记此题的结论在解选择和填空题时会加快解题效率．27．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠C=25°，∠B=25°，检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形外角的性质求出∠BDC的度数，与测量所得的度数对比即可得出结论．解答：解：如图，∠CDE是△ADC的外角，∠BDE是△ABD的外角，∵∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠DAB，∴∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠DAB，即∠BDC=∠B+∠C+∠A=25°+25°+90°=140°．检验已量得∠BDC=150°，就判断这个零件不合格．点评：考查了三角形的外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．28．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？考点：三角形的外角性质．分析：连接AD并延长，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，然后求出∠1+∠2的度数，根据零件规定数据，只有140°才是合格产品．解答：解：如图，连接AD并延长，∴∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∵∠A=90°，∠B=30°，∠C=20°，∴∠BDC=∠1+∠2，=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C，=∠B+∠BAC+∠C，=30°+90°+20°，=140°，∵140°≠142°，∴这个零件不合格．点评：本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．29．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．解答：解：如图连接BE．∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形及三角形内角和定理，比较简单．30．如图，在三角形ABC中，∠A=35°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．分析：根据三角形的内角和是180°，可分别求出∠1+∠2=∠3+∠4=145°，即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数和．解答：解：∵∠A=35°，在△ABC中，∠A+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=180°﹣∠A=145°，同理可证∠3+∠4=145°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=290°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．。

三角形内角和外角练习题及作业

三角形有关的角习题课一、知识要点1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于______,即：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=_____理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角②一个三角形中最少有一个角不小于60°③等边三角形每个角都是60°2、直角三角形的性质与判定性质：直角三角形的两个锐角__________；判定：有两个角互余的三角形是_______________3、三角形的外角：三角形的一边与另一边的______________组成的角特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为_______________②三角形有____个外角,每个顶点处有____个外角,但算三角形外角和时,每个顶点处只算____个外角,外角和是指三个外角的和,三角形的外角和为________性质：三角形的外角等于与它______________的两个内角的和二、知识应用1、三角形内角和定理应用1已知两角求第三角 2已知三角的比例关系求各角 3已知三角之间相互关系求未知角2、三角形外角性质的应用1已知外角和它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”2可证一个角等于另两个角的_______3经常利用它作为中间关系式证明两个角相等．三、例题分析1、如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中∠A = 150°,∠B = ∠D = 40°则∠C=_______2、如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1＋∠2=_______3、△ABC中,∠B = ∠A + 10°,∠C = ∠B + 10°.求△ABC的各内角的度数4. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果∠α＝43°,求∠β的度数5、如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数变式：1如图①,五角形的顶点分别为A、B、C、D、E,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____2如图②,∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_____3如图③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____6、1如图1,BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BOC与∠A的关系是____________________________ 2如图2,BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线,则∠BOC与∠A的关系是____________________________ 3如图3,BO、CO分别是△ABC一个内角和一个外角的平分线,则∠BOC与∠A的关系是____________________________ 4请就图2及图2中的结论进行证明四、课外作业：A组题1、如图,已知点B、C、D、E在同一直线上,△ABC是等边三角形,且CG=CD,DF=DE,则∠E=______2、如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______3、把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角α=_______度．4、如图,∠1、∠2、∠3的大小关系为A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠35、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为A、30°B、60°C、90°D、120°6、如图,已知∠1=60°,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=A、360°B、540°C、240°D、280°7、如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=46°,∠1=52°,求∠2的度数．8、一个零件的形状如图,按规定∠A= 90°,∠B和∠C,应分别是32°,和21°,检验工人量得∠BDC = 148°,就断定这两个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由;9、如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢B组题10、在△ABC中,∠A等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于∠B的两倍,那么∠A=______,∠B=______,∠C=______11、若一个三角形的三个外角的度数之比为2:3:4,则与之对应的三个内角的度数之比为A．4:3:2 B．3:2:4 C．5:3:1 D．3:1:5循环题12、一组数据的最大值与最小值的差为80,若确定组距为9,则分成的组数为A．7 B．8 C．9 D．1213、若2-=,则3x-=________________x(1)914、在平面直角坐标系中,将点A-6,2向下平移3个单位,再向右平移2个单位得点A′的坐标为________________15、如图,边长为10的正方形ABCD沿AD方向平移a个单位,重叠部分面积为20,则a=16、已知,如图,CD平分∠ACB,AC∥DE,CD∥EF,求证：EF平分∠DEB．17、一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3,在前两天一共完成了120 m3,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务．问以后几天内,平均每天至少要挖土多少m3。

河北省华北油田三中八年级数学下册《6.5 三角形内角和定理的证明》练习题北师大版

河北省华北油田三中八年级数学下册《6.5 三角形内角和定理的证明》练习题北师大版本课时要求我们掌握“三角形内角和定理”的证明，能够进行与三角形内角和有关的证明和计算。

◆课前热身（上新课之前先来了解一下新知识吧！）1. 证明三角形内角和定理的一种思路是力求将三角形的三个内角转化到同一个顶点，再利用平角定义来证明。

你能想出多少种不同的方法?试举一种方法.2. 三角形按角分类如下:三角形◆课堂练兵（重点、难点可都在这里哦！）1. 在△ABC 中,∠A, ∠B,∠C 满足∠A=∠B+∠C,则此三角形必是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能2. 如图1，已知: AB ⊥BD, AC ⊥CD, ∠A=35°, 则∠D 的度数为( )A 35° B.65° C.55° D.45° 3. 在△ABC 中 (1) ∠C=90°, ∠A=30°, 则∠B= (2) ∠A=80°, ∠B=∠C, 则∠B= (3) ∠A －∠C=25°, ∠B －∠A=10°, 则∠B= 4. 如图2,已知:∠A=∠C.求证:∠ADB=∠CEB.5.如图3，在△ABC 中, ∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.◆课后作业（试试你的身手吧！） ※基础巩固篇（懂了，不等于会了！）1.△ABC 中,∠A+∠B=120°,∠C=∠A,则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰直角三角形；C.直角三角形D.等边三角形2.在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( )A.50°B.55°C.45°D.40°A DCB E图1EC B A图2AB CD图33.三角形中最大的内角一定是( )A.钝角B.直角；C.大于60°的角D.大于等于60°的角4. 若一个三角形的三个内角之比为4：3：2，则这个三角形的最大内角为 5在一个三角形中,最多有______个钝角,至少有______个锐角.6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,∠C=65°,AE ⊥BC 于E,AD 平分∠BAC,求∠DAE 的度数※能力提高篇（再接再厉，提高能力！）7.如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎,量得∠A=120•°,•∠D=105°,你能否求出两腰的夹角∠P 的度数.PDCB A8.我们已经证明了“三角形的内角和等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°= 2×180°,五边形的内角和等于540°=3×180°……”试猜想一下十边形的内角等于多少度?n 边形的内角和等于多少度?6.5 三角形内角和定理的证明课前热身 1.参照课本P 241联系拓广 2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形课堂练兵1.B2.A3.（1）60°（2）50°（3）75°4. ∵∠A+∠B+∠ADB=∠C+∠B+∠CEB又∵∠A=∠C,∠B=∠B∴∠ADB=∠CEB5. 解: 设∠A=x °, 则∠C=∠ABC =2x °∴x+2x=2x=180°(三角形内角和定理)解得， x=36∴∠C=2×36°=72°在△ABC 中,E D C BA∵∠BDC=90°(已知)∴∠DBC=180°- 90°- 72°(三角形内角和定理) ∴∠DBC=18°课后作业1.D2.C3.D4. 80°5.一个，两个6. ∵∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-66°=84°又∵AD平分∠BAC∴∠DAC=12∠BAC=12×84°=42°∵AE⊥BC∴∠EAC=90°-∠C=90°-66°=24°∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42°-24°=18°7. ∵∠PAD+∠BAD=180°∠PDA+∠ADC=180°∴∠PAD=180°-∠BAD=180°-120°=60°∠PDA=180°-∠ADC=180°-105°=75°又∵∠P+∠PAD+∠PDA=180°∴∠P=180°-∠PAD-∠PDA=180°-60°-75°=45°8. 十边形的内角和:(10-2)×180°=1440°n边形的内角和:(n-2)×180°.。

三角形内角和、外角练习题

三角形内角和、外角练习题1.三角形有内角和定理和外角性质。

内角和为180°，外角和为360°，这些是做题时常用的已知条件。

已知其中两个角的大小可以求出第三个角的大小。

2.一个三角形最多只有一个钝角或一个直角，最少有两个锐角。

3.内角和定理和外角性质是求角度和推理的基础。

外角性质可用于证明一个角等于另外两个角的和，作为中间关系式证明两个角相等，或证明角的不等关系。

4.作辅助线可以使问题更简单。

经典例题解析：1.已知三角形三个内角度数的比为1：5：6，求最大的内角度数。

根据内角和定理，三个内角的和为180°，设它们分别为x、5x、6x，则有x+5x+6x=180°，解得x=20°，最大的内角为6x=120°。

举一反三：在△ABC中，已知∠A=55°，∠XXX∠C大25°，求∠B的度数。

设∠B=x，∠C=y，则∠A+∠B+∠C=180°，代入已知条件得x+y=125°，又因为∠B比∠C大25°，所以x=y+25°，代入前面的式子得2y+25°=125°，解得y=50°，x=75°，即∠B的度数为75°。

又如：三角形中至少有一个角不小于60度。

2.已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。

证明∠BAC＞∠B。

根据外角性质，∠BAC=∠ACD+∠ACB，而CE是∠ACD的平分线，所以∠ACE=∠ECD=1/2∠ACD，又因为CE交BA延长线于点E，所以∠ACB=∠ACE+∠ECB，代入前面的式子得∠BAC=∠ACD+∠ACE+∠XXX∠ACD+1/2∠ACD+∠ECB=3/2∠ACD+∠ECB。

又因为∠XXX和∠ECB是同旁内角，所以∠XXX＜∠B，代入前面的式子得∠BAC＞∠B。

举一反三：如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来，根据外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠A+∠C，代入前面的式子得∠B＜∠1-∠A，∠C＜∠2-∠A，即可得到所求的关系。

三角形的内角和练习题

三角形的内角和练习题一、基础练习1、判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）一个三角形的内角和是180度。

（2）一个三角形的内角和等于3个直角。

（3）一个等边三角形的内角和等于一个等腰三角形的内角和。

2、一个三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=30度，B=80度，求C的度数。

二、提升练习1、一个三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=70度，B=90度，求C的度数。

2、一个等边三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=60度，求B 和C的度数。

3、一个等腰三角形的两个内角分别为A、B，已知A=80度，求B的度数（该三角形是等腰三角形，有两边长度相等）。

三、拓展练习1、一个四边形由两个等边三角形组成，它的四个内角分别为A、B、C、D，求A+B+C+D的度数。

2、一个五边形由三个等边三角形组成，它的五个内角分别为A、B、C、D、E，求A+B+C+D+E的度数。

3、一个n边形（n≥3）的所有内角之和是多少？在解答上述问题的过程中，我们可以使用三角形内角和定理以及多边形的内角和公式来进行计算。

我们还需要了解等边三角形和等腰三角形的性质，以便解决相关问题。

三角形的内角和教学设计一、教材分析三角形的内角和是义务教育课程标准实验教科书（人教版）四年级下册第8单元数学广角里的内容，本节课是在学生已经学习了三角形的概念及分类的基础上进一步研究三角形的有关知识，教材中安排了三部分内容：第一部分是例1通过测量计算三个内角的度数和，第二部分是例2通过撕拼、旋转、翻转等不同的方法验证三角形的内角和等于180度，第三部分是例3用已知的两个角度求出第三个角的度数。

通过这些活动，培养学生动手操作能力和数学思维能力。

同时，还体现了数学来源于生活，又应用于生活这一理念。

二、学情分析作为四年级的学生，他们已经具备了一定的观察、猜测、动手操作、积极思考的能力，因此他们可以根据自己的实际情况选择喜欢的方法来研究验证三角形的内角和。

北师大版八年级(上)数学《三角形内角和定理》同步练习4(含答案)

7.5 三角形内角和定理4一、七彩题:1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD•的度数．2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．二、知识交叉题:3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD 相交于点F，•∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A= ，则∠E是多少？三、实际应用题5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B 间的夹角）•就越大，如图所示，你如何证明．四、经典中考题6．（黄冈，3分）如图所示，∠1大于∠2的是（）7．（浙江，3分）如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°五、探究学习:1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．（1）三角尺旋转了多少度？（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数；2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，•小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．图1 图2 图3小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=•180°．你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．参考答案一、1．解法一：如图1，延长ED交BC于点F，因为AB∥DE，所以∠BFE=∠B=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠DFC=100°，所以∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-•100°=40°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．图1 图2解法二：如图2，过点C作CF∥DE，所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-140•°=40°（两直线平行，同旁内角互补）．因为AB∥DE，所以AB∥CF（•平行于同一条直线的两条直线互相平行），所以∠BCF=∠ABC=80°（两直线平行，内错角相等），所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°．2．解：如答图，延长CD交AB于E．因为∠C=21°，∠A=90°，所以∠BED=∠A+•∠C=90°+21°=111°．又因为∠CDB=∠B+∠BED，∠B=32°．所以∠CDB=32°+111°=143°≠148°，•故零件不合格．点拨：本题的巧妙之处在于通过作辅助线，•两次利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”，迅速求出∠CDB的值，然后与148°相比较，得出零件不合格．三、3．解：因为∠BDC是△ADC的一个外角，所以∠BDC=∠A+∠ACD．又因为∠A=62°，∠ACD=35°，所以∠BDC=∠A+∠ACD=62°+32°=97°．在△BDF中，∠ABE=20•°，•∠BDC=97°．所以∠BFD=180°-20°-97°=63°．4．解：因为∠ECD是△BCE的外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E．因为BE，CE•分别平行∠ABC，∠ACD，所以∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD．所以12∠ACD=12∠ABC+∠E，•所以∠ACO=•∠ABC+2∠E．又因为∠ACD是△ABC的外角．所以∠ACD=∠A+∠ABC．所以∠A+•∠ABC=•∠ABC+2∠E．所以∠A=2∠E，所以∠E=12∠A=12×50°=25°，若∠A=α，则∠E=12α．三、5．证明：如图，延长AD交BC于E，因为∠BEA>∠C，∠ADB>∠BEA，•所以∠ADB>∠C．四、6．C7．B 点拨：因为AB∥CD，所以∠EDF=∠1=∠110°，因为∠ECD=70°，所以∠EDF=∠ECD+∠E，110°=70°+∠E，所以∠E=40°．五、探究学习1．解：（1）三角板旋转的度数为180°-30°=150°．（2）因为CB=BD，所以△CBD为等腰三角形，（3）因为∠DBE为△CBD的外角，所以∠DBE=∠BCD+∠BDC，又因为△CBD•为等腰三角形，所以∠BCD=∠BDC．所以2∠BDC=∠DBE=30°，所以∠BDC=15°．点拨：这是一类动手操作题．在操作过程中要注意发现规律，•要有把现实模型抽象为数学问题，从而进一步解决问题的能力．2．解：他们两人的证法都不对，•因为小马所使用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与小虎所用“直角三角形的两锐角互余”都是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能逆过来证明三角形的内角和定理，这是犯了“循环证明”的错误．证明：如图，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，•又因为点D，A，E在同一条直线上，所以∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，所以∠BAC+∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°．点拨：一定要清楚三角形内角和定理及其两个推论之间的关系，不要乱用定理．3.证明：如图所示，在BD上找一点E，使DE=DC．因为AD⊥BC，所以在△ADE•与△ADC中,90,AD ADADE ADCDE DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△ADC，所以∠C=∠AED．又因为∠AED是△ABE的一个外角，所以∠AED>∠B，所以∠C>∠B，所以AB>AC．。

《三角形内角和定理》习题

《三角形内角和定理》习题
1、在一个三角形中，下列说法错误的是( )．
A ．可以有一个锐角和一个钝角
B ．可以有两个锐角
C ．可以有一个锐角和一个直角
D ．可以有两个钝角
2、已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为( )．
3、若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( )． A ．直角三角形 B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
4、等腰三角形有一个角是30°，则它的另两个角分别是 .
5、正三角形的每个内角都等于度．
6、三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形
7、下列命题正确的是( )
A 、三角形的一个外角等于该三角形的两个内角的和
B 、三角形的一个外角大于任何一个内角
C 、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
D 、三角形的任何两个外角都不可能相等
8、在△ABC 中，∠A 、∠B 的外角分别是120°、150°，则∠C =( ) A .120° B .150° C .60° D .90°
9、如图，∠1=________.
10、已知：如图，在△ABC 中，∠A =45°，外角∠DCA =100°，求∠B 和∠ACB 的度数.
第5题 80︒
30︒
1（第4题）。

三角形内角和习题(答案)

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三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图(1）,△ABC中，AD是角平分线,AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°,求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图,AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线,（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；(2)在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．如图，DB是△ABC的高,AE是角平分线,∠BAE=26°，求∠B FE的度数．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中,∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数；(2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？（3)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系？（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系?【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】7．如图，已知△ABC中,∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．(1）求证：BD=DE；（2）若AB=CD,求∠ACD的大小．8．如图，A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动,点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．(1）若｜x+2y﹣5｜+|2x﹣y｜=0,试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化,请说明理由;（3）如图，延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC 的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线,垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°,求∠A的度数．10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上,CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2）,∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．11．如图,△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），（1）试说明∠BOA=90°+∠C；（2)当AD是高,判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．(1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；(2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线)相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3)如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O,O1，O2…,如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．答案与评分标准一．解答题（共12小题）1．如图（1)，△ABC中,AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2)．若∠C＞∠B,试说明∠DAE=(∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E,(2）中的结论还正确吗?为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义;垂线；三角形内角和定理。

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