《2.1.1 平面》主要知识点--平面性质

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2.1.1平面的基本性质

6. 下列说法中正确的是 A．直线l上的一部分线段在平面a内，而其余部分在平面a外 B．"a∩b"表示平面a和平面b相交 C．"l∈a"表示直线l在平面a内 D．三角形一定是平面图形
8. 平面a、b的公共点的个数多于两个，则甲断定a、b一定重合，乙断定 a、b至少有三个公共点，丙断定a、b至少有一条公共直线，丁断定a、b至多有一条公共直线，以上四个判断中，不正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
(2) B1 _______ γ , C1 _______ γ ∈ ∈
∈ ∈ (3) A1 _______ β , D1 _______ β
(4)α _______ β = A1 B1 ∩
β _______ γ = BB1 ∩
∩ ∩
(5) A1B1 ________α , BB1 ________ β
α
D
C
A
α
B
A、B、C、…表示点， a、b、c、…表示直线， α、β、γ、…表示平面．
2.探索平面的基本性质探索平面的基本性质: 探索平面的基本性质
数学实验1 数学实验1：
把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面。（1）若直尺上的两个点固定在桌面内，问直尺所在直线若直尺上的两个点固定在桌面内，上各点与桌面所在的平面有何关系？上各点与桌面所在的平面有何关系？（2）若直尺上有一个点不在桌面内，直尺所在直线与桌若直尺上有一个点不在桌面内，面所在的平面关系如何 B
探讨：探讨：
根据刚才的两个实例，你得到怎么样的根据刚才的两个实例，一个结论？一个结论？
公理2 公理2 经过不在同一条直线上的三点，三点，有且只有一个平面

平面知识点总结

平面知识点总结一、平面的基本概念1.1 平面的定义平面是指两个维度的空间，即长度和宽度，没有高度。

它是一个无限大的二维空间，可以用来描述二维几何图形。

1.2 平面的性质（1）平面上的直线上的两点确定一条直线。

（2）平面外的一点到平面上的一条直线有且仅有一条直线垂直。

（3）平面外的一点到平面上的一条直线上的一点距离相等的其他直线上的所有点的距离相等。

（4）如果两个点在平面上，则连接这两点的线段在平面上。

（5）如果两个点在平面外，则连接这两点的线段不在平面上。

1.3 平面的表示方法平面可以用一个字母表示，如平面P，平面Q，平面R等。

也可以用三个不共线的点来表示，如平面ABC。

1.4 平面的作图（1）给出平面上的点，直线和圆，来画出这些几何图形。

（2）给出图中已有的几何图形求图中未画出的点，直线和圆。

1.5 平面的相交两个平面相交是指它们有一个或一条公共点或公共直线。

1.6 平面的平行两个不重合的平面，如果它们没有任何公共点，那么它们是平行的。

1.7 平面的投影（1）投影是指一些空间中的点（二维点）在平面上的投影（一维点）。

（2）投影分为平行投影和透视投影。

1.8 平面的旋转平面可以被旋转，旋转的中心可以在平面上，也可以在平面外。

旋转不改变图形的大小和形状。

1.9 平面的平移平面上的任意点按照平行相同的方向移动相同的距离，即为平面的平移。

二、平面几何图形2.1 点点是平面上最简单的图形，没有长度和宽度，只有位置。

2.2 直线直线是由无数个点组成的，没有宽度，只有长度和方向。

2.3 射线射线是由一个端点和一条线段组成的，没有宽度，只有长度和方向。

2.4 线段线段是由两个端点和一条直线组成的，没有宽度，只有长度。

2.5 角角是由两条射线共同端点组成的，有大小和方向。

2.6 长度平面上两点之间的距离，称为长度。

2.7 弧弧是由圆周上的一部分组成的，有长度和弧度。

2.8 圆圆是平面上所有到一个点距离相等的点构成的。

1.2.1平面的基本性质

例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面与长方体表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上点A在直线l外点A在平面内点A在平面外直线l在平面内直线l在平面外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面，使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一：因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.

平面及其基本性质

向量数量积运算规则
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
数量积运算规则
数量积满足交换律、分配律和结合律，且数量积的结果与两向量的夹角有关，当两向量垂直时数量积为零。
平面上标系建立与特点
直角坐标系的建立
在平面上选定两条互相垂直的数轴，分别作为x轴和y轴，两轴的交点O为坐标原点。对于平面上的任意一点P，其位置可以用从O点到P点的有向线段的数量来表示，该数量即为点P的坐标。
VS
极坐标系的特点
极坐标系在处理某些问题时具有独特的优势，如描述圆的方程、研究点的轨迹等。在极坐标系中，点的位置由其到极点的距离和与极轴的夹角确定，这种表示方式在某些情况下比直角坐标系更为简便。
坐标变换公式及应用
坐标变换公式
在平面上的不同坐标系之间，可以通过一定的数学公式进行坐标的转换。例如，在直角坐标系和极坐标系之间，点的坐标可以通过以下公式进行转换：x = rcosθ, y = rsinθ, r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x)。
向量表示方法
在平面直角坐标系中，向量可以用坐标形式表示，起点为坐标原点，终点坐标即为向量坐标。
向量加减法运算规则
向量加法
向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则，结果向量以两个加向量为邻边作平行四边形，其对角线即为和向量。
向量减法
向量减法可以转化为向量加法来处理，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
圆及其性质
圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
圆的性质
圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆的周长与直径的比值是一个常数，称为圆周率；圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

数学必修二平面性质知识点总结

数学必修二平面性质知识点总结
在数学学习中认识平面知识点时，需要掌握平面的基本性质，下面是店铺给大家带来的数学必修二平面性质知识点总结，希望对你有帮助。

数学平面的基本性质知识点总结(一)
平面的基本性质
教学目标
1、知识与能力：
(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论.
(2)能使用公理和推论进行解题.
2、过程与方法：
(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;
(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感态度与价值观：
培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。

教学重点
平面的三条基本性质即三条推论.
教学难点
准确运用三条公理和推论解题.
教学过程
一、问题情境
问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面?空间互相平行的三条直线呢?
问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内?
二、温故知新
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点
都在这个平面内.
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理 4(平行公理) 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
把以上各公理及推论进行对比：。

图形平面知识点总结

图形平面知识点总结一、基本概念1.1 点、线、面点是最基本的几何概念，没有大小和形状，用大写字母表示，如A、B。

线是由一系列点构成，没有宽度，用小写字母表示，如l、m。

面是由一系列线构成的，具有长度和宽度，用大写字母表示，如A、B。

1.2 图形的基本性质图形的基本性质包括点、线、面的性质，对于点而言，它既不占据空间，也不分开空间，对于线而言，它是由无数点组成的，没有宽度，对于面而言，它是由无数条线组成的，具有长度和宽度。

1.3 点、线、面的关系点、线、面之间存在着一定的关系，点可以在线上，线可以在面上，点也可以在面上，但是线不能在点上，面也不能在线上。

二、常见图形的性质2.1 直线的性质普通直线在平面上没有起点和终点，它无限延伸，平行直线永远不会相交，垂直直线正好相交于一点。

2.2 角的性质角是由两条射线共同起始于一个端点的空间所夹角度的大小来表示，角是几何学中的一个重要概念，它可以分为锐角、直角、钝角等不同种类，具有不同的性质。

2.3 多边形的性质多边形是由若干条线段所组成的，具有一定的边数和顶点数，它有内角和外角之分，多边形是平面几何中的重要概念，它具有许多特殊的性质。

2.4 圆的性质圆是平面上的一个几何图形，它具有一个固定的圆心和一个固定的半径，圆的性质包括圆心角、弧度、圆心角的性质等，圆是几何学中的一个重要内容。

三、图形的计算3.1 直线、射线、线段的长短计算直线、射线、线段的长短计算是平面几何中一个基本的问题，我们可以通过长度计算公式来求解。

3.2 角度的计算角度的计算是平面几何中一个重要的问题，我们可以通过角度计算公式来求解。

3.3 多边形的面积计算多边形的面积计算是平面几何中一个重要的问题，我们可以通过多种方法来求解，包括分割法、利用特殊的性质等。

3.4 圆的面积和周长计算圆的面积和周长计算是平面几何中一个重要的问题，我们可以通过圆的面积和周长计算公式来求解。

四、图形的应用4.1 几何图形在建筑中的应用在建筑中，几何图形是非常重要的，包括各种直线、圆等图形的运用，几何图形的知识对于建筑师和设计师来说非常重要。

人教A版必修2第二章2.1.1《平面》精选题高频考点(含答案)-2

人教A 版必修2第二章2.1.1《平面》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上2．如图，在空间四边形ABCD 中，点EH 分别是边,AB AD 的中点，F G ，分别是边,BC CD 上的点，23CF CG CB CD ==，则（）A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条4．下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．35．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是1DD 和AB 的中点，平面1B EF 交棱AD 于点P ，则=PE （）A ．6B ．3C ．2D ．6 6．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④ 7．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8．平面αI 平面l β=，点A α∈，B α∈，C β∈，C l ∉，有AB l R ⋂=，过A ，B ，C 确定的平面记为γ，则βγ⋂是（）． A ．直线AC B ．直线BC C ．直线CR D ．以上都不对 9．如图所示，1111ABCD A B C D -是长方体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，给出下列结论：①A ，M ，O 三点共线；②A ，M ，O ，1A 不共面；③A ，M ，O ，C 共面；④B ，1B ，M ，O 共面.其中正确结论的序号为（）A ．①④B ．③④C ．①③D ．②④ 10．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 11．已知空间不共面的四点A ，B ，C ，D ，则到这四点距离相等的平面有（）个．A ．4B ．6C ．7D ．512．下列说法错误的是（）A ．平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B ．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C ．经过两条相交直线，有且只有一个平面D ．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合13．下列结论正确的个数为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．14．下列各图均是正六棱柱，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 ( )A ．B ．C ．D ． 15．以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知二面角l αβ--为60︒，动点,P Q 分别在平面α，β内，点P 到β的距离Q 到α的距离为,P Q 点之间距离的最小值为（）．A B ．2 C ．D ．417．在空间中，可以确定一个平面的条件是（）A ．一条直线B ．不共线的三个点C ．任意的三个点D ．两条直线18．下列命题正确的是 ( )A ．四边形确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．经过三点确定一个平面D ．经过一条直线和一个点确定一个平面19．设,αβ表示两个平面，l 表示直线，,,A B C 表示三个不同的点，给出下列命题： ①若,,,A l A B l B αα∈∈∈∈，则l α⊂；②,αβ不重合，若,,,A A B B αβαβ∈∈∈∈，则AB αβ=I ；③若,l A l α⊂∈，则A αÏ；④若,,,,,A B C A B C αβ∈∈，且,,A B C 不共线，则α与β重合.其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．420．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（） A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面二、填空题21．两两相交的三条直线可确定______个平面.22．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l 在平面α内，可以用符号“l ∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交.其中真命题的序号是________.23．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的是____ (填序号).(1)直线AC 1在平面CC 1B 1B 内．(2)设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1，则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1.(3)由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1.(4)由A 、C 1、B 1确定的平面与由A 、C 1、D 确定的平面是同一个平面．24．如图所示的正方体中，P ，Q ，M ，N 分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.25．a ，b ，c 是三条直线，α，β是两个平面，如果a ∥b ∥c ，a ⊂α，b ⊂β，c ⊂β，那么平面α与平面β的位置关系是______________ .26．已知α、β是不同的平面，l 、m 、n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α、n ⊂β、m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为___.27．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱中，既与AB 共面，又与CC 1共面的棱有____条.28．AB ，AD ⊂α，CB ，CD ⊂β，E ∈AB ，F ∈BC ，G ∈CD ，H ∈DA ，若直线EH 与FG 相交于点P ，则点P 必在直线________上.29．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．30．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有_________ （填上所有正确答案的序号）．31．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ∩b ＝M ，则点M 与l 的位置关系为________．32．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．33．不共面的四点可以确定________个平面．34．如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，E 为CD 边的中点，点,P Q 为BC 边上两个动点，且2PQ =，当四边形APQE 的周长最小时，BP =__________．35．空间不共线的四点，可能确定___________个平面．36．过两两相交的三条直线中的每两条直线作一个平面，这样可作平面的个数是________．37．如图，正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、11C D 、1C C 、11A B 、1BB 的中点，则下列判断：（1）PQ 与RS 共面；（2）MN 与RS 共面；（3）PQ 与MN 共面；则正确的结论是＿＿＿＿＿38．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1为棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP =x,CQ =y ，其中x ，y ∈[0，1]，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）________.①当x =0时，S 为矩形，其面积最大为1；②当x =y =12时，S 为等腰梯形； ③当x =12，y =34时，S 为六边形； ④当x =12，y ∈(12，1)时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1=2−1y .39．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1为棱长为1，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP =x,CQ =y ，其中x ，y ∈[0，1]，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）____________.①当x =0时，S 为矩形，其面积最大为1；②当x =y =12时，S 为等腰梯形； ③当x =12，y ∈(12，1)时，设S 与棱C 1D 1的交点为R ，则RD 1=2−1y ； ④当y =1时，以B 1为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值13.40．在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有 .三、解答题41．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，画出过D 1、C 、E 的平面与平面ABB 1A 1的交线，并说明理由.42．空间四边形ABCD ，E ，F 点分别是AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD 和AD 上，且满足2CG AH GD HD==．（1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面；（2）证明：EH ，FG ，BD 三线共点.43．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点B ，1C ，D 是否在同一平面内？（3）画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线． 44．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．45．如图所示，在边长为a 正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为棱111,,,CC BC AB D C 的中点.（1）求证：点,,,E F G H 四点共面；（2）求三棱锥11B A C D -的体积．46．已知两个非零向量12,e e u r u u r 不共线，如果12AB e e =+u u u r u r u u r ，1228AC e e =+u u u r u r u u r ，1233AD e e =-u u u r u r u u r ，求证：,,,A B C D 共面.47．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH 1HC 2=，点G 在AH 上，且AG AH=m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值.48．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.（1）画出直线l的位置；（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．49．已知：正方体ABCD－A1B1C1D1，如图，（Ⅰ）若E、F为AA1、CC1的中点，画出过D1、E、F的截面；（Ⅱ）若M、N、P为A1B1、BB1、B1C1上的点（均不与B1重合），求证：△MNP是锐角三角形．50．已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.参考答案1．A2．D3．D4．C5．D6．B7．A8．C9．C10．B11．C12．A13．A14．D15．B16．C17．B18．B19．C20．B21．1或322．①③23．(2)(3)(4)24．①③25．平行或相交26．P∈l.27．528．BD29．030．(2)(4)31．M∈l32．①②③④33．434．435．1或436．1或337．（1）（3）38．②③④39．②③④40．841．详见解析.42．（1）见解析；（2）见解析.43．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 44．证明见解析45．（1）见解析；（2）33 a.46．证明见解析．47．3 448．(1)证明见解析；(2) 34 a.49．(1)画图见解析.(2)证明见解析. 50．详见解析。

第二章 2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系

§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.知识点一平面 1.平面的概念(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义. (2)几何中的平面的特征：⎩⎪⎨⎪⎧绝对的平无限延展不计大小不计厚薄2.平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD .(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法1.直线在平面内的概念如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l外A∉lA在l上A∈lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(×)2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)3.空间不同三点确定一个平面.(×)4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(√)题型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图.反思感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作()A.A∈b∈βB.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β(2)如图所示，用符号语言可表述为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)B(2)A题型二点、线共面问题例2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b ⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.证明已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思感悟证明点、线共面问题的理论及常用方法(1)依据：公理1和公理2.(2)常用方法.①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.跟踪训练2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.同理，F，G，H也在α与β的交线l上，∴E，F，G，H四点必定共线.[素养评析](1)点共线与线共点的证明方法①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.1.有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的.故选B.2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A.A⊂a，a⊂α，B∈αB.A∈a，a⊂α，B∈αC.A⊂a，a∈α，B⊂αD.A∈a，a∈α，B∈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.4.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线答案 D解析A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1.经过同一条直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案 C2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是()答案 D3.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α＝MD.l∩α＝N答案 A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.4.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 C解析不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.5.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形答案 D解析四边相等的四边形可能四边不共面.6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M不在直线AC上，也不在直线BD上答案 A解析由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是()A.0B.1C.1或4D.无法确定答案 C解析若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4，故选C.二、填空题9.如图所示的图形可用符号表示为________.答案α∩β＝AB10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.答案1或无数解析当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.答案A∈l，l⊄α三、解答题12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明∵AC∥BD，∴AC 与BD 确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD .∵l ∩α＝O ，∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β，∴O ∈直线CD ，∴O ，C ，D 三点共线.13.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是A 1A 的中点，求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)直线CE ，D 1F ，DA 三线共点.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明 (1)如图，连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ，又∵A 1B ∥D 1C ，且A 1B ＝D 1C ，∴EF ∥D 1C ，且EF ＝12D 1C ，∴E，F，D1，C四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.答案 6解析当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。

平面的基本性质

平面的基本性质一、知识梳理1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。

2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

二、典例剖析（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面。

的交线上例1 如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O.求证：B 、D 、O 三点共线.例2如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1、AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。

例3如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点. 求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点.（3）证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

职高数学平面知识点总结

职高数学平面知识点总结一、平面图形的性质1.1 直线和线段直线是平面上的一条无限延伸的直线，线段是平面上两点间的有限部分。

直线和线段的性质包括平行、垂直、重合等关系，以及直线与圆的位置关系等。

1.2 角的性质角的性质包括角的度量、角的平分、角的余弦、正弦、正切等三角函数的计算，以及角的和、差、倍数等相关知识。

1.3 三角形的性质三角形是平面图形中的基本图形之一，包括角的性质、边的性质、垂心、重心、外心、内心等特殊点的性质，以及三角形的重心和质心坐标的计算等。

1.4 四边形的性质四边形是平面图形中的另一类基本图形，包括平行四边形、菱形、矩形、正方形等各种四边形的性质和判定定理。

1.5 圆的性质圆是平面上的另一种基本几何图形，圆的性质包括圆的面积、周长的计算，弧长、扇形和弓形的计算等。

1.6 直角坐标系直角坐标系是平面解析几何中重要的概念，包括点的坐标、直线的方程、圆的方程以及曲线的方程等内容。

二、运动与刚体的性质2.1 平移和旋转平移是指物体在平面上沿着一条直线移动的运动，旋转是指物体围绕某一点旋转的运动，包括刚体的旋转、平移等性质。

2.2 对称对称是指物体相对于某一条直线、某一点或某一平面具有对称性，包括直线对称、点对称、中心对称等性质。

2.3 相似相似是指两个图形的形状相同，但大小不同的性质，包括相似三角形的判定定理、相似三角形的性质、相似多边形的性质等。

2.4 全等全等是指两个图形的形状和大小都相同的性质，包括全等三角形的判定定理、全等三角形的性质、全等多边形的性质等。

三、平面向量3.1 向量的基本概念平面向量是向量的一种，包括向量的定义、大小、方向、平行、共线、相等等基本概念。

3.2 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，以及向量的坐标表示、方向角、方向余弦等相关知识。

3.3 向量的应用向量的应用包括平面向量的基本定理、向量的坐标表示、平面向量的数量积、向量的线性运算等内容。

平面知识点归纳总结

平面知识点归纳总结一、平面的概念平面是一个没有厚度的二维几何图形。

在数学中，平面是一个由无限个点和直线组成的集合，它们满足以下性质：1. 任意两点之间有且只有一条直线与它们相连；2. 任意一条直线上的任意两点都在这条直线上；3. 任意一条直线都在平面内；4. 不能通过一个点在平面内画两条平行直线。

二、平面几何的基本概念1. 点点是平面上最基本的几何图形，它没有长度、宽度或高度，只有位置。

2. 直线直线是由无限多个点组成，且每两个点确定一条直线。

它没有开始和结束，可以延伸到无限远。

3. 线段线段是两个端点确定的有限长度的部分，它是直线的一部分。

4. 射线射线是起点和延伸方向确定的无限长度的部分，它是直线的一部分。

5. 角角是由两条射线共同端点所围成的图形，可以用两个字母来表示，如∠ABC。

6. 多边形多边形是由线段所围成的封闭图形，其中的线段称为边，多边形的每个端点都是两条相邻边的公共端点。

三、平面几何的基本性质1. 平行线的性质a) 如果一条直线与两条平行直线相交，那么它将分别与这两条直线内侧的对应角相等；b) 如果两条直线被一条直线截断，使得同侧内角之和为180度，那么这两条直线是平行的。

2. 三角形的性质a) 三角形的内角和等于180度；b) 等边三角形的三条边相等；c) 等腰三角形的两条边相等；d) 直角三角形的两条边满足勾股定理。

3. 四边形的性质a) 平行四边形的对边相等、对角相等；b) 矩形的对边相等、对角相等，且内角为直角；c) 菱形的对边相等，对角相等，且相对角为钝角；d) 正方形是矩形和菱形的特例，所有边相等，每个内角为直角。

4. 平面图形的周长和面积a) 多边形的周长是其所有边长的总和；b) 多边形的面积可以通过各种方法计算，如封闭曲线和曲线之间的面积，或者通过分割成简单几何图形来计算。

四、平面几何的变换1. 平移平移是指将平面上的点按照相同方向和距离移动到另一个位置，保持原来的形状和大小不变。

必修二2.1.1平面

点A在平面α上
α
A
A
点A不在平面α上 α
直线a在平面α内 α
a a
A∈α A∈ α
a α
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α
文字语言：公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。
图形语言：
l
α
A
B
符号语言：符号表示：
3，三条平面公理
新疆王新敞
奎屯
公理1
A B

AB

公理2 A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
公理3 P，P l,且Pl
点、线、面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达图形语言表达符号语言表达
点A在直线a上点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
2. 如果一直线与一平面有两个公共点，那么这直线在平面内吗？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
图形语言： l A

符 Al
号语言：
Bl
A

l

B
在生产、生活中，
人们经过长期观察与实
B
践，总结出关于平面的一些基本性质，我们把

公平面有一个公共点，
理那么它们有且只有

l P
3 一条过该点的公共
直线．
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面，使得A, B,C
P, P l

2.1.1平面及平面的基本性质

情境引入
必备知识
关键能力
五、平面的基本性质
观察下图，你能得到什么结论?
桌面
A
B
A
B l
图形语言文字语言公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直
线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
公理1的应用：(1)判定直线是否在平面内的依据;(2)判定一个面是否为平面：将直线任意放到面上，若出现一个交点，则不是平面。
可以确定的平面数是_1_、___3__;
(2)四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，
则可以作___1_、___4_、___6__个不同的平面 .
第一章
必修二 2.1.1 平面和平面的基本性质的简单应用
情境引入
必备知识
关关键键能能力力
3条直线相交于一点时：
(1)、3条直线共面时 (2)、每2条直线确定一平面时
Q 平面AA1DD1,Q 平面ABCD
D1
A1 E
C1 B1
DM F
C
A
N
B
Q
Q AD
D, A,Q三点共线
第一章
必修二 2.1.1 平面和平面的基本性质的简单应用
情境引入
必备知识
关关键键能能力力
题型三共点问题
【例3】: 在长方体ABCD A1B1C1D1中，M , N分别是AD, AB的中点，求证 : D1M , AA1, B1N三线共点.
证明： M , N为中点，MN // BD
C B
BD // B1D1 MN // B1D1，即M，N，B1，D1四点共面
D
MN B1D1 D1M 与NB1必相交于一点，设该点为P
N
M

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

D CBAα LA·α C ·B· A· α（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；P· αLβ共面直线=>a ∥c2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

第一章 1.2.1 平面的基本性质

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[一点通] 证明点共线的思路是构造相交平面，证明点在相交平面的交线上，即由公理2可得结论．
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5.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且 AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD， l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰． ∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M. 又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.∴M∈α∩β. 又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．
[思路点拨] 利用公理2可证，即创设两相交平面，证点在交线上即可．
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[精解详析] ∵AB∩A1B1＝P，∴P∈AB，P∈A1B1. ∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. 又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1. ∴P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．同理可证Q、R也都在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．根据公理3知两个平面的交线有且只有一条，故P、Q、 R三点共线．
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2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
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3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α 、平面ABCD 、平于A、B，且a∥b.求证：直线a，b，m 共面．
[思路点拨] 由a∥b确定平面α，由此得A∈α，B∈α，从而证明m⊂α.
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[精解详析] ∵a∥b ∴过a，b确定平面α ∵m∩a＝A，m∩b＝B ∴A∈a，B∈b. ∴A∈α，B∈α. ∴AB⊂α，即m⊂α. ∴直线a，b，m共面．

211平面的表示及其性质

（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
例1.画出两个竖直放置的相交平面。
四.平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示。
D
C
A
B
如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC 平面BD等。
文字语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
图形语言：
β
a
α
P
符号语言：
P 且P l且P l
例 1 . 判断下列命题是否正确：（ 1 ）经过三点确定一个平面。
（×）
（ 2 ）经过同一点的三条直线确定一个平面。（×）
练习
下列四个命题中，正确的是( C、E )
A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形 E、三角形一定是平面图形
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P 墙面β
β
a
α
P
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
（ 3 ）若点 A 直线 a ，点 A 平面 α ，则 aα .（×）
（ 4 ）平面 α 与平面 β相交，它们只有有限个公共点。
（×）
课本P43练习1、2、3
例2.把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来。
l
αa
A
a
a

平面知识点总结

平面知识点总结
平面的基本性质：
无限性：平面是无限延展的，没有边界。

均匀性：平面上的任意两点都可以通过平移相互重合。

确定性：不在同一直线上的三个点可以确定一个平面。

平面与直线的位置关系：
垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行线的性质：两直线平行，同位角相等。

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：同位角相等，两直线平行。

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

平面方程与两平面的关系：
平面的方程表示：包括平面的法向量、点法式方程、一般式方程和截距式方程。

两平面的夹角：定义了两平面夹角的概念，并讨论了其相对位置关系。

点到平面的距离：给出了点到平面的距离计算公式。

平面与三角形的关系：
三角形的分类：基于三角形的内角大小，可以判定为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。

综上所述，平面知识点涵盖了平面的基本性质、平面与直线的位置关系、平面方程与两平面的关系，以及平面与三角形的关系等多个方面。

这些知识点是数学中基础且重要的内容，对于理解几何学和空间关系具有重要意义。