插空法解排列组合题
排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合专题12 插空法模型(练习版+解析版)
专题12插空法模型例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A．96B．144C．240D．288例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A．10B．15C．20D．24例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60B．48C．36D．24例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种C．36种D．144种例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768C．810D．816例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A．1360B．16C．715D．115例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A．48B．144C．288D．576例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432B．576C．696D．960例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种B．36种C．72种D．144种例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A．40B．36C．32D．20例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A．48B．54C．72D．84例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A．96B．120C．48D．72例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A．72种B．144种C．360种D．720种例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.A B C D E F六人并排站成一排，,A B必须站在一起，且,C D不能相邻，那么不同的排法共有例20．,,,,,_____种（结果用数字表示）.例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.专题12插空法模型例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B .例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A ．96B ．144C ．240D ．288【解析】当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：323436A C =个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同∴满足题意的五位数共有：364144⨯=个本题正确选项：B例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A ．10B ．15C ．20D ．24【解析】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C =种故选：A例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A ．60B ．48C ．36D ．24【解析】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A =，故选：D ．例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种【解析】先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种.故选：D ．例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A ．720B ．768C ．810D ．816【解析】由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解析】由题意知先使五个人的全排列，共有55A种结果．(1)身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有22322324A A A=种情况；(2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A=种情况；(3)只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A=种情况；∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有552422448A--⨯=种情况，故选：A．例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A．1360B．16C．715D．115【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为5376A A．所以所求的概率537681016A APA==，故选：B．例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A．48B．144C．288D．576【解析】分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有2323A A种不同排法，把高二年级两个同学排入4个空位中的2个（插空法）有24A种不同方法，故第一类有232234144A A A=种站法，第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法，由分类加法计数原理知，共有144144288+=种站法，故选：C例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432B．576C．696D．960【解析】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A22A34(A+1224)576C A=种.故选：B.例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种B．36种C．72种D．144种【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有24A种，由于是分步进行，所以共有232234144A A A ⋅⋅=种，故选：D .例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A ．40B ．36C ．32D ．20【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故选：A .例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A ．48B ．54C ．72D ．84【解析】根据题意，分2步进行分析：①先将3名乘客全排列，有336A =种情况，②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，则恰好有2个连续空座位的候车方式有64372⨯⨯=种；故选：C ．例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A ．96B ．120C ．48D ．72【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种，根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ，根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B.例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A ．72种B ．144种C ．360种D ．720种【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有442A 种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有24A 中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有4244=1442A A ⋅种.故选：B .例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有44A 种排法，再安排空盒，有2252C A 种方法，再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有3232A A 种排法，再安排空盒，有2242C A 种方法，因此所求放法种数为44A 2252C A -3232A A 2242336.C A =例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．【解析】从3人选择2人进行捆绑，形成1个“大元素”，然后与另外1人形成2个元素，再由3把椅子所形成的4个空位中选择2个空位插入即可，由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为242372A A =.故答案为：72.例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.【解析】从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有236A =种，先排三个奇数，有336A =种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方法有2412A =种根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：6612432⨯⨯=种若1排在两端，3个奇数的排法有12224A A ⋅=种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有236A =种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有646144⨯⨯=种故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有432144288-=种故答案为：288例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.【解析】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有3620C =种不同方法.故答案为：20例20．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，有232312A A=种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C、D，有2412A=种情况，则有1212144⨯=种不同的排法.故答案为：144.例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.【解析】5个相同的小球产生4个空，插入两块隔板，共有246C=种投放方法.故答案为：6.例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.【解析】第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432121+++++=种选法；第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有222A=种方法；第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有155C=种方法，由分步乘法计数原理可知，共有2125210⨯⨯=种调整方法.故答案为：210.8。
排列组合中捆绑法和插空法的应用,典型例题讲解
相邻问题——捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起，看作一个“大”的元素，与其它元素排列，然后再对相邻的元素内部进行排列。
(例3）7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有55A种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列由分步计数原理可得：5353A A种不同排法例4：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有55A种排法，而三个女孩之间有33A种排法所以不同的排法共有：5353720A A（种）。
变式1：若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？不同的排法有：（种）对于相邻问题,常常先将要相邻的元素捆绑在一起,视作为一个元素,与其余元素全排列,再松绑后它们之间进行全排列.这种方法就是捆绑法.不相邻问题——插空法对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。
例4）7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分析：可先让其余4人站好，共有44A种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲，乙，丙插入，则有35 A种方法，这样共有3445AA种不同的排法。
变式2：若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有44A种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有35A种方法，所以共有：43451440A A=（种）排法。
变式3：男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？23423428 A A A=解：先把四个男孩排成一排有44A种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有33A种方法，所以共有：4343144A A=（种）排法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)插板法(m为空得数量)【基本题型】有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
ﻫ注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。
但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。
插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.应用插板法必须满足三个条件:(1) 这n个元素必须互不相异(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异举个很普通得例子来说明把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种【基本解题思路】将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。
排列组合的方法捆绑法,插空法和插板法
排列组合的方法捆绑法,插空法和插板法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
2024公务员联考行测数量关系解题技巧
2024公务员联考行测解题技巧1、利用插空法解决排列组合题“排列组合问题”是行测数量关系中常考的题型，也是大家觉得较难的题型。
往往很多同学看到排列全颗就直接放弃不做，其实解排列组合题目也是讲究方法的，当我们找准方法时，解题就能事半功倍了。
一、要点梳理插空法：当排列组合题中，有元素要求不相邻，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素指入到已排好的元素的间隙或两端位置。
二、例题解析【例1】某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。
某考生要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有（）种。
A.24B.72C.96D.120答案：B【解析】题目要求观看视频和阅读文章不能连续进行，也就是说两者不相邻，那我们可以使用插空法解题。
即先将除观看视频和文章阅读外的三个学习内容排好，题目当中说考生需要先后完成五个部分的学习且五个部分的学习内容不同，那收藏分享、论坛交流、考试答题中部分内容的安排可列式为A33，而三个元素排好包含两端会产生4个位置，接下来在4个位置中选两个位置插入观看视频和阅读文章即可，又因为需要考虑观看视频和阅读文章的顺序，所以列式为A24。
第一步安排其他三个学习内容，第二步按排观看视频和阅读文章，分步运算用乘法，因此该学员学习顺序共有A33×A24=72种，故选B项。
【例2】某条道路一侧共有20盥路灯。
为了节约用电，计划只打开其中的10盏。
但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有（）种开灯方案。
A.2B.6C.11D.13答案：c【解析】题目要求说相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，也就是找不到两盏相邻的不亮的路灯，即不亮的路灯不能相邻，选择插空法。
先将亮着的10盏路灯排好，因为路灯与路灯一样，没有顺序要求，所以10盏亮着的路灯就一种情况。
10盏路灯包括两端会形成11个位置C1011=11种，故选择c项。
排列组合插空法例题
排列组合插空法例题“哎呀，这排列组合可真是让人头疼啊！”小李皱着眉头说道。
好啦，小李别愁啦，让我来给你讲讲排列组合插空法的例题。
比如说，有 5 个不同的球，要放到 3 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个球，问有多少种放法。
我们就可以用插空法来解决。
先将 3 个球排成一排，中间就有 2 个空，然后从这 2 个空中选 1 个空插入隔板，将球分成 2 部分，这样就可以分成3 个盒子。
所以一共有 C(2,1)种插隔板的方法。
再比如说，有 6 个人排成一排，其中甲、乙两人不相邻，问有多少种排法。
我们先将除甲、乙之外的 4 个人全排列，有 A(4,4)种排法，这 4 个人排好后会产生 5 个空，然后从这 5 个空中选 2 个空，将甲、乙插入，有A(5,2)种插空方法。
所以总的排法就是A(4,4)×A(5,2)。
再看一个例子，在一张节目单中原有 6 个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去 3 个节目，要求不相邻，那么有多少种不同的添加方法。
原来的 6 个节目排好后会产生 7 个空，从这 7 个空中选 3 个空插入 3 个节目，就有 A(7,3)种方法。
插空法主要用于解决不相邻问题，通过先排列其他元素，再在它们之间插入不相邻的元素。
这样可以将复杂的问题简单化。
就像在一个聚会上，有 10 个人要坐成一排，其中小明和小红不想坐在一起。
那我们就先让其他 8 个人坐好，他们之间会有 9 个空，然后从这 9 个空中选 2 个空让小明和小红坐进去，这样就保证了他们不相邻。
所以啊，小李，只要掌握了插空法的精髓，这类问题就都不难解决啦。
多做几道题练习一下，你肯定能熟练掌握的。
别再头疼啦，加油哦！。
解答排列组合问题的几种常用路径
排列组合问题经常出现在各类试题中，此类问题常与生活实际相结合，要求同学们根据已有的生活经验和所学的分类计数原理、分步计数原理来求解.那么求解排列组合问题有哪些途径呢？下面我们一起来探讨.一、利用插空法插空法是解答元素相邻问题的重要方法.运用插空法解题，要将问题中要求不相邻的元素插入其他元素排列之间的空隙中，再根据分步计数原理计数.其解题步骤为：①明确题目中要求不相邻元素的个数m ，以及其他没有要求的元素的个数n ；②对没有要求的n 个元素进行排列，这时n 个元素之间形成n -1个空位；③将m 个元素随机插入这n -1个空位和两端的位置中；④根据分步计数原理，将所得的排列数相乘，即可得出问题的答案.例1.公元5世纪，数学家祖冲之估计出圆周率π的范围是：3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”.小明是个数学迷，在设置手机的数字密码时，打算将圆周率前6位数字“3,1,4,1，5,9”进行某种排列得到密码，并确保两个“1”不相邻，则小明可以设置的不同密码有()个.A.240B.360C.600D.720分析：题目中没有要求的数字有3、4、5、9共4个数字，要使两个“1”不相邻，需先分两步进行：首先排列3、4、5、9这4个数字的顺序；再将两个“1”插入其他4个数字之间的空位和两端的位置中即可.解：先排列3、4、5、9这4个数字的顺序，共有A 44种排法；然后将两个“1”插入之间的空位和两端的位置中，有C 25种方法，根据分步计数原理得，共有A 44C 25=240个不同的密码.例2.某音乐会的节目单上原定有3首歌曲，如果保持这3首歌曲的相对顺序不变，再安排2首歌曲A 、B 插入其中播放，则不同的安排方法有多少种？解：将所有的歌曲看作几个元素，则原有的3首歌曲之间形成2个空位，加上两端的位置，共有4个空位.先将首歌A 曲插入4个空位中，有C 14=4种插法.这样就排好了4首歌曲的顺序，它们之间形成3个空位，加上两端的位置，共有5个空位.再将首歌曲B 插入这5个空位中，有C 15=5种插法，故不同的安排方法有：C 14C 15=20种.按照题目要求，我们需将2首新歌曲插入到已有固定顺序的3首歌曲中间的空位或两端的位置，这就要求新增的2首歌曲不相邻，故需采用插空法求解.例3.某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出6位同学A 、B 、C 、D 、E 、F 参加比赛，要求同学D 和F 的参赛顺序不能相邻，则一共有____种排列方案.解：先排列A 、B 、C 、E 4名同学的顺序，有A 44=24种排列方案，此时4名同学之间形成3个空位，加上两端的位置，共有5个空位；然后将D 、F 2名同学插入这5个空位中，有A 25=10种方案，根据分步计数原理得，一共有A 44A 25=240种排列方案.分析问题可知，不相邻的元素有2个，即D 、F 两名同学，其他4名同学A 、B 、C 、E 没有要求，于是采用插空法，先排列其他4名同学的参赛顺序；然后将D 、F 2名同学插入5个空位中；最后根据分步计数原理求解.二、采用优先法解答元素有特殊要求的问题，常用优先法.运用该方法解题的思路为：①根据题意确定特殊元素的个数、位置、顺序；②将这些特殊元素分类进行排列；③对剩余的元素进行排列；④根据分类计数原理、分步计数原理进行求解.例4.用0,2,3,4,5这5个数字组成一个没有重复的3位数（一个数字只出现一次），则这个3位数是偶数的情况有种.解：①当0排在末位时，其他数字2,3,4,5有A 24种排列方式；②当0不排在末位时，其他的数字2,3,4,5有A 12A 13A 13种排列方式，根据分类计数原理可知，这个3位数是偶数的情况有：A 24+A 12A 13A 13=30种.要使这个3位数是偶数，需使个位数为0、2、4，其中0较为特殊，不能在首位，于是采用优先法，对0的位置进行分类讨论，并在排列各个数字的顺序时，需先对0的位置和末位数字进行排列，再排列其他的数字和位置.运用优先法解题，需先排列特殊元素的位置和顺序，再考虑其他元素的位置和顺序.三、运用间接法间接法适用于解答直接排列顺序或分类比较复杂的排列组合问题.运用该方法解题，需先讨论不满足题意的排列组合数，求得满足题意的所有排列组合数；然后用总数减去不满足题意的排列组合数，即可间接求得满足题意的排列组合数.46例5.某电影院的倒数第二排共有6个座位，最后一排共7个座位，现有2名学生购票选座，若倒数第二排中间的两个座位已被售出，且这两名学生不想相邻而坐，则有多少种不同的选座方法？解：电影院的最后两排共有11个座位，这2名同学有C 211A 22=110选法；2名同学相邻而坐，有(2+6)A 22=16种选法.因此，这两名同学不相邻而坐的选法有C 211A 22-(2+6)A 22=94种.若直接求两名同学不相邻，且倒数第二排中间两个位置不能坐的方案数，则需分几种情况进行讨论，解题的过程比较繁琐.于是采用间接法，分别求出2名同学随意选座位以及相邻而坐的方案数，然后将二者相减，即可快速解题.例6.某公司准备从4个重点城市和6个普通县区中各选择2处扩大规模进行建设，要求重点城市甲和普通县区A 至少有一个被选中，则有多少种不同的选择方法？解：从4个重点城市和6个普通县区中各任意选择2处，有C 24C 26=90种不同的方案，若重点城市甲和普通县区A 都没有被选中，则有C 23C 25=30种方案，故重点城市甲和普通县区A 至少有一个被选中的方案有90-30=60种.采用常规方法求解本题，需要分3种情况进行讨论，且容易重复计数，运用间接法求解更直接、简洁.分别求出从4个重点城市和6个普通县中各任意选择2处的方案数以及重点城市甲和普通县区A 都没有被选中的方案数，最后将两者相减，即可得到问题答案.四、使用捆绑法捆绑法是把几个要求相邻的元素捆绑在一起，看作一个整体，与其他元素一起排列的方法.该方法适用于求解元素相邻的问题.若要求n 个元素中有m 个元素相邻排列，则需先把这m 个元素捆绑起来，并将其看作一个整体，与其他元素n-m 个元素，即n -m +1个元素一起排列；然后根据分步计数原理进行求解.例7.7个人一起排队，若小明、小红、小凯3人要求相邻，则不一样的排法有多少种？解：先将小明、小红、小凯3个人进行捆绑，有A 33种排法；然后将其看作一个“大元素”，与其余4个人，一共5个元素一起全排排列，有A 55种排法，因此符合题意的排法有A 55A 33=720种.分析题意可知，7名同学中有3个人要求相邻，于是采用捆绑法，先将小明、小红、小凯这3名同学捆绑，然后与其他同学一起排列.例8.A 、B 、C 、D 、E 5个小朋友并排站成一排，如果A 、B 必须相邻，且B 在A 的右边，则不同的排法有().A.60种B.48种C.36种D.24种解：要使A 、B 必须相邻，且B 在A 的右边，则只有BA 一种排法，此时可将A 、B 两个小朋友捆绑起来，当作一个元素，与另外3个小朋友一起排列，有A 44=24种排法.因此，满足题意的排列方式有24种.在运用捆绑法解题时，要先分别求得捆绑起来的“大元素”内部元素的排序以及外部元素的顺序，再运用分步计数原理求解.五、借助缩倍法缩倍法适用于求解部分元素的顺序固定的问题.若m 个元素中有n 个元素的顺序固定，则需分别求得m 、n 个元素全排列数，然后将二者相除，即可求得这m 个元素的排列数.例9.为纪念某活动顺利举办，现有12名工作人员排队留影.（1）若工作人员甲排在乙的左边（从左往右排列），有多少种排法？（2）若工作人员甲排在乙的左边，丙排在乙的右边（从左往右排列），有多少种排法？解：（1）12名人员排成一列，有A 1212种排法，甲排在乙的左边和右边的机会是均等的，故一共有A 12122种排法.（2）甲、乙、丙3人排列，有A 33种排法，“甲排在乙的左边，丙排在乙的右边”情况有A 33种，故一共有A 1212A 33种排法.本题中甲、乙、丙3人的顺序固定，于是采用缩倍法求解，分别求得12人的全排数，以及甲乙2人、甲乙丙3人有固定顺序的排列数，然后将所得的结果相除.一般地，作除法的目的是为消序.例10.某大学三年级某系一共有6个班级，这个学期来了4名留学生，现要将他们安排在其中的2个班级中，且每个班级有2名留学生，一共有____种安排方案.解：设4名留学生为A 、B 、C 、D ，若A 、B 为一组，C 、D 为另外一组，则有C 24C 22A 26=300种安排方案.由于C 、D 为一组和A 、B 为一组的分法相同，故一共有C 24C 22A 26A 22=150种不同的安排方案.本题实际上是要求对4名留学生进行平均分组，再分配到2个班级中，所以采用倍缩法，将总的排列数除以A 22，使得4名留学生均分成2组.在求解排列组合问题的过程中，同学们一定要先明确题目中是否存在相邻或不相邻元素，判断是否有特殊要求的元素或位置；然后选用捆绑法、优先法、插空法、间接法、缩倍法等方法进行求解.只有明确题目的类型和对应的解题方法，才能准确解题，有效地提高解题的效率.（作者单位：甘肃省礼县实验中学）47。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。
五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。
例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。
例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。
例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。
完整版排列组合问题之捆绑法 插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1 •若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，贝U有多少排队方法?【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■<种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有I -种例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D E三个人排列,有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：〜D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。
由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。
例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。
怎样求解排列组合问题
探索探索与与研研究究排列组合问题常以填空题或选择题的形式出现在各类试题中，通常要求一些元素的排列数.这类问题的难度不大，却是出错率较高的一类题目.本文重点谈一谈求解排列组合问题的几种常用方法.一、插空法插空法是指把一些要求不相邻的元素插入其他已排列好的元素之间的间隙中，进而求得这些元素的排列数.若要求M 个元素中的n 个元素不相邻，则需先安排没有要求的M -n 个元素，有A M -nM -n 种可能的情况；然后把要求不相邻的n 个元素插入M -n 个元素之间的M -n -1空隙和两端的位置中，有A nM -n +1种可能的情况；最后根据分步计数原理计算,可得总共有A M -n M -n A n M -n +1种可能的情况.例1.4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有____种排法.分析：4名男生不相邻，且不站在队伍的两端，需采用插空法，先将没有要求的其他6名女生排好，这6名女生之间就有5个空位，再将4名男生插入这5个空位中，就能确保4名男生不相邻，且不站在队伍的两端.解：6个女生排成一排共有A 66种排法，把4个男生放在6个女生中间的5个空位中，有A 45种排法，根据分步计数原理可得，满足要求的排法有A 66A 45=86400种.例2.一条长街上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法？分析：要保持原来的6个路灯的相对顺序不变，就需采用插空法求解.原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，先将一个路灯插入，那么此时7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，那么此时8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，最后利用乘法计数原理求解即可.解：原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，将其中一个路灯插入这些空位中，则A 17=7种方法；7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，有A 18=8种方法；8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，有A 19=8种方法，由乘法计数原理可得，共有A 17⋅A 18⋅A 19=504种不同的安装方法.二、隔板法隔板法适用于求解一些相同元素的分组问题.若要将n 个相同的元素分成m 组，需将m -1个板插入n 个元素之间的n -1空隙中，使其分为m 组，则共有C m -1n -1种分法.例3.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有_____种.分析：7个小球相同，要将其放入4个不同的盒子中，只需采用隔板法,在7个小球之间的6个空位中随意插入3块隔板,将小球分成4组，再将其放入4个盒子中即可.解：7个小球之间有6个空位，将3个隔板插入，便把7个小球分成4份，有C 36=20种分法，故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有20种.例4.体育老师将10个完全相同的篮球分给7个小组，要使每个小组至少有1个篮球，则一共有多少种分配方案？分析：10个篮球完全相同，要将其分给7个小组，需采用隔板法，将10个篮球排成一排，在篮球之间的空隙中插入6块隔板，就能将篮球分为7份，且使每一份中至少有一个篮球.解：将10个篮球排成一排，那么在篮球之间形成9个空隙中，插入6块隔板，就将篮球分为7份，有C 69=84种分法，所以一共有84种分配方案.三、优先法优先法适用于求解某个或某些元素有特殊要求的排列组合问题.优先法有两种：特殊位置优先法和特54探索探索与与研研究究殊元素优先法.采用优先法解题，要先明确哪些元素或位置有特殊要求，然后优先对特殊元素、位置进行排列，最后再安排没有特殊要求的元素的排列顺序.例5.从6人中选取4人对每道生产程序进行检验，若第1道生产程序只能由甲、乙两人完成，第4道生产程序只能由甲、丙两人完成，则共有______种不同安排的方案.分析：问题对甲、乙、丙都有特殊要求，其中甲的情况较为复杂，需分三种情况：（1）检验第1道生产程序；（2）检验第4道生产程序；（3）既不检验第1道生产程序，也不检验第4道生产程序.分别求得各种情况下的安排方法数，再根据分类计数原理和分布计数原理进行求解。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。
例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。
例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。
n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。
(完整版)排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
排列组合专题三 插空法
排列组合专题三插空法一、标准的插空法....................................................................................................................... - 1 -（一）插空法引入介绍....................................................................................................... - 1 - （二）插空法模型训练....................................................................................................... - 1 -二、插空中的定序....................................................................................................................... - 3 -三、插空中的转化：相邻至少与插空....................................................................................... - 3 -四、插空中的分类....................................................................................................................... - 4 -（一）三类元素各自不邻问题........................................................................................... - 4 - （二）相邻至多与插空....................................................................................................... - 5 - （三）部分同种元素相邻问题........................................................................................... - 5 - 五、疑惑诠释：插空法与分步法............................................................................................... - 6 -（一）分步插空法介绍....................................................................................................... - 6 - （二）分步插空法示例....................................................................................................... - 7 - （三）分步插空与插空法的区别....................................................................................... - 7 -一、标准的插空法（一）插空法引入介绍【例1】5个人站一排，甲乙不相邻，有多少种排法？【答案】443A【例2】8个人站一排，甲乙丙都不相邻，有多少种排法？【答案】3655A A【方法】①找出被插对象并排列②将不相邻者放入空中并排列（二）插空法模型训练【例1】5名妈妈和5个儿童进行排列，要求5个儿童不相邻，有多少种排法？【答案】5655A A【例2】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，有多少种排法？【答案】3544A A【例3】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，且不能排在第一节和最后一节，有多少种排法？【答案】4433A A【例4】8名同学和2名老师合影，要求老师不相邻且不排在两端，有多少种排法？【答案】2788A A【例5】把5名同学排到6个座位中，且B A ,不相邻，有多少种排法？【答案】2544A A【例1】文艺演出舞台上有15只相同的彩灯，每次闪灯恰有6只是关着的，且相邻的灯不能同时关，两端的灯必须一直亮，有多少种排法？【答案】28【例2】显示屏一排有7个小孔，可以显示0或1两种信号，每次显示3个小孔，但相邻孔不能同时显示，则显示屏能显示的信号种数是多少？【答案】80三、插空中的转化：相邻至少与插空【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至少有一节艺术课，有多少种排法？【答案】3433A A（一）三类元素各自不邻问题【引理】两人分类的相邻与不邻A,都不与C相邻，共有多少种排法？【例1】5人排成一排，B【答案】36【破解方法】1.从最多开始2.相邻与不邻的讨论【例1】5本不同的书，其中语文2本，数学2本，物理1本，对其进行排列，要求同一科目不相邻，有多少种排法？【答案】48【例2】文艺演出中有三类节目，3个歌舞类节目，2个小品类，1个相声类，对其排列，要求同类节目不相邻，有多少种排法？【答案】120（二）相邻至多与插空【破解方法】讨论相邻个数【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至多有一节艺术课，有多少种排法？【答案】22222333A A C A （三）部分同种元素相邻问题【破解方法】打包+不邻【例1】将4个白球，1红1蓝1黄1绿进行排列，要求只有2个白球相邻，有多少种排法？【答案】441524A C C【例2】将4名男生，2名女生排成一排，男生只有两个相邻，则不同的排法有多少种？【答案】144【例3】某名学生默写英文单词()”会计“bookkeeper ，他记得这个单词是由3个""e ，2个""o ，2个""k ，r p b ,,各一个组成，2个""o 相邻，3个""e 恰有两个相邻，e o ,都不在首位，他按此条件写出的结果有多少个？【答案】9000五、疑惑诠释：插空法与分步法（一）分步插空法介绍 1.可以用分步法理解2.用分步法涉及从一堆元素中多次选取时会重复（二）分步插空法示例【例1】5名同学排成一排，甲不站排头或排尾，有多少种排法？【答案】1344C A【例2】12名同学合影，前排站4人，后排站8人，摄影师从后排找2人站在前排，剩下的同学相对顺序固定，有多少种排法？【答案】2830C【小结】向一群元素中插入多个元素，不涉及相邻时，可采用多次插入的方法. （三）分步插空与插空法的区别【例1】6个人站一排，甲乙不相邻，共有多少种排法？【答案】141544C C A【小结】避开相邻的特殊空也可以插入。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列. 例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.例2:七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.例3: A B CD E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有_____________________ 。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4:将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有____________________ 。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。
例5:有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有_______________________ 。
六、多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。
例6:由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有______________________ 个。
例7:从1，2，3,…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？例8:从1, 2,…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n（A- B）= n（ A） n（ B）- n（ A °E）例9 :从6名运动员中选出4个参加4X100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（几个）元素，再排其他元素。
排列组合 插空法模型(原卷版)
专题12 插空法模型【方法技巧与总结】插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n 个不同的元素排成一排，其中k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共n k -个排成一排，其排列方法有k n k n A --种；②然后将要求两两不相邻的k 个元素插入1n k -+个空隙中，相当于从1n k -+个空隙中选出k 个，分别分配给两两不相邻的k 个元素，其排列方法有：k k n A 1+-种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有1n k k n k n k A A ---+⋅种． 【典型例题】例1．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）A ．12种B ．48种C ．72种D ．120种例2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）A ．从六门课程中选两门的不同选法共有30种B ．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种C ．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种D ．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种例3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？A ．72B ．36C ．24D ．12例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926π 3.1415927<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（ ）A ．24个B ．36个C ．72个D ．60个例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（ ）A ．1440B ．2400C ．14400D ．86400例6．（2023·全国·高三专题练习）“四书” “五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）A ．622622A A A B ．6262A A C ．622672A A A D ．622662A A A例7．（2023·全国·高三专题练习）A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）A ．72B ．48C ．36D ．24例8．（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（ ）A ．24B ．48C ．144D ．240例9．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）A ．240种B ．408种C ．1092种D ．1120种例10．（2023·全国·高三专题练习）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）A ．120种B ．96种C ．48种D ．24种例11．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（ ）A ．7377A A B ．3636A A C ．3133A A D ．6367A A例12．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（ ） A ．48B ．72C ．54D ．36例13．（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种例14．（2023·高二课时练习）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A ．144B ．120C ．72D ．24例15．（2023·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式在北京鸟巢举行，小明一家五口人观看开幕式表演，他们一家有一排10个座位可供选择，按防疫规定，每两人之间必须至少有一个空位.现要求爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则不同的就座方案有___________种.例16．（2023·上海·高三专题练习）已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有___________种（用数字作答）例17．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答）例18．（2023·高三课时练习）已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有______例19．（2023·全国·高三专题练习）在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_____．例20．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）求下列问题的排列数:(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.。
497-插板法、插空法解排列组合问题
插板法、插空法解排列组合问题华图教育 邹维丽排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。
掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。
解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。
所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。
应用插板法必须满足三个条件：(1) 这n 个元素必须互不相异；(2) 所分成的每一组至少分得一个元素；(3) 分成的组别彼此相异举个普通的例子来说明。
把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。
在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。
上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。
下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。
例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。
问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46）【解析】C 。
本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。
事实上，我们可以分两步来解这道题：1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。
2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。
问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C另外，本题也可以不用插板法解。
由于每个部门至少发放9份材料，我们可以先给每个部门发放9份材料，还剩30-3*9=3份材料，问题可转化为将3份材料发给3个部门，则每个部门的材料分布情况如下：每个部门的材料数分布情况 不同的分法数目（0，0，3） 3（0，1，2） 6（2，2，2） 1所以共有10种。
2020云南公务员考试行测数量关系：排列组合中的插空法详解
2020云南公务员考试行测数量关系：排列组合中的插空法详解
一、排列组合插空法的具体解题步骤
1.先排扣除不相邻元素的其他元素
2.将不相邻元素插入空隙中
3.1、2为分步，所以将两式相乘
二、排列组合插空法的应用环境
1.题干中有不相邻或者包含这个意思
【例题1】现有ABCDE5人排队，其中AB不相邻，一共有多少种排列方式。
A.12
B.36
C.72
D.144
2.题干中有保持相对顺序不变，插入其他元素
【例题2】现有ABCDE5人排队，保持相对顺序不变的情况下，插入FG两人，一共有多少种排列方式。
A.12
B.36
C.72
D.144
三、空隙的计算情况(类似于植树问题)
1.N个人，开区间，两端无限制，空隙为N+1
【例题3】10个人排队，则有11个空
2.N个人，开区间，限制一端，空隙为N
【例题4】5人排队，其中甲乙不相邻，且都不能站第一个，一共有几种排队方式?
A.36
B.72
C.120
D.144
3.N个人，开区间，限制两端端，空隙为N-1
【例题5】5人排队，其中甲乙不相邻，且都不能站排头和排尾，一共有几种排队方式?
4.N个人，闭区间，空隙为N
【例题6】7人围成一个圈，其中甲乙不相邻，一共有几种排队方式?
A.120
B.240
C.36 0
D.480。
行测排列组合问题技巧：插空法
⾏测排列组合问题技巧：插空法 ⾏测排列组合问题有哪些解题技巧？正在备考的朋友可以来本篇⽂章看看，下⾯店铺⼩编为你准备了“⾏测排列组合问题技巧：插空法”内容，仅供参考，祝⼤家在本站阅读愉快！⾏测排列组合问题技巧：插空法 ⼀、插空法的应⽤环境 元素不相邻 ⼆、插空法的操作步骤 1、将剩余元素（除不相邻元素）排序； 2、选空； 3、将不相邻元素排序。
三、插空法的应⽤ 例1.由数字1、2、3、4、5、6、7组成⽆重复数字的七位数，求三个偶数互不相邻的七位数的个数？A.360B.720C.1440D.2880 【答案】C。
解析：问题中出现三个偶数互不相邻，考虑⽤插空法解题。
⾸先将除三个偶数外的数字1、3、5、7进⾏排序，有种不同的排法；这4个数字会产⽣5个空隙，从5个空隙中选出3个，有种不同的排法；最后将三个偶数进⾏排序，有种不同的排法，所以总的排法有24×10×6=1440种，故选择C选项。
例2.某单位举办职⼯⼤会，5名优秀员⼯坐⼀排，其中有2名男员⼯，若要求2名男员⼯不能坐在⼀起，则有多少种不同的座次安排？A.24种B.36种C.48种D.72种 【答案】D。
解析：问题中出现2名男员⼯不能坐在⼀起，表述的意思是男员⼯不相邻，考虑⽤插空法解题。
⾸先将除男员⼯之外的3名⼥员⼯进⾏排序，有种不同的排法；3名⼥员⼯会产⽣4个空隙，从4个空隙中选2个，有种不同的排法；最后将2名男员⼯进⾏排序，有种排法，所以总共的排序⽅式有6×6×2=72种，故选择D选项。
例3.将三盆同样的红花和四盆同样的⻩花摆放成⼀排，要求三盆红花不相邻，共有多少种不同的⽅法？A.8B.10C.15D.20 【答案】B。
解析：问题中出现红花不相邻，考虑⽤插空法解题。
⾸先将红花之外的⻩花进⾏排序，由于⻩花相同，只有1种排法；四盆⻩花产⽣5个空隙，从5个空隙中选2个，有种排法；最后将红花排序，由于红花也相同，只有1种排法，所以总的排序⽅式有1×10×1=10种，故选择B选项。
插空法解排列组合题
插空法解排列组合题曾安雄插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。
下面举例说明。
一. 数字问题例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有二. 节目单问题例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：若直接解答则较为麻烦。
故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后一个节目去插九个空位有种方法。
由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。
三. 关灯问题例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。
四. 停车问题例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。
所以共有种方法。
五. 座位问题例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有种，所以每个人左右两边都空位的排法有种。
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。
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插空法解排列组合题
曾安雄
插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。
下面举例说明。
一. 数字问题
例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？
解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有
二. 节目单问题
例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析：若直接解答则较为麻烦。
故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后一个节目去插九个空位有种方法。
由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。
三. 关灯问题
例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。
四. 停车问题
例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。
所以共有种方法。
五. 座位问题
例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？
解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有种，所以每个人左右两边都空位的排法有种。
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。