高三数学数列求和专项复习

高中数学数列求和专题复习

1．公式法求和

（ 1 ）等差数列前项和公式

（ 2 ）等比数列前项和公式时

时

（ 3 ）前个正整数的和

前个正整数的平方和

前个正整数的立方和

公式法求和注意事项（ 1 ）弄准求和项数的值；

（ 2 ）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。

例 1 ．求数列的所有项的和

例 2 ．求和 ( )

2 ．分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：

的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和：，…

例 2．求数列 1 ，，，…，的所有项的和。

例 3 ．已知数列中，，求。

练习 1 、求和：

练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 .

练习 3 、已知： .求 .

练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设，求数列

3 ．并项法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 S n .

例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 .

例 2 、在各项均为正数的等比数列中，若

的值 .

例 3 ．数列中，，求。

例 64．数列中，，，求及。

4 ．错位相减法求和

例 1 、

练习 1 、已知数列

练习 2 、已知数列，求数列的前 n 项和。

练习 3．求和（）。

5 ．裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：

若是公差为的等差数列，则；

；

；

；

* ；

例 1 ．求和。

例 2 ．求和。

练习1、数列 { } 的前 n 项和为，且满足

（ I ）求与的关系式，并求 { } 的通项公式；

（ II ）求和

6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

例 1 、求的值

例 2 、

练习 1 、设，求：（1）；（2）

练习 2 、函数 f ( x ) 对任意 x ∈ R 都有

（ 1 ）求的值；

（2）数列 { a n } 满足： = +

，数列是等差数列吗？请给予证明 .

专题训练数列求和练习

1 、数列的通项，则数列的前项和为 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

2 、数列的前项和可能为 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3 、已知数列的前项和，则等于 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

4 、数列的通项公式 , 若前项和为 10 ，则项数

为 ( )

A ． 11

B ． 99

C ． 120

D ． 121

5 、在数列中，且，则

．

6 、已知，则

．

7 、已知等差数列的前项和为，若

，则＝．

8 、已知数列中，，当时，其前 n 项和满足。

（ 1 ）求的表达式；（ 2 ）设，求的前 n 项和．

9 、等比数列同时满足下列条件：① ，② ，③三个数

依次成等差数列．（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）记，

求数列的前 n 项和 T n ．

10 、等差数列各项均为正整数，，前项和为，在等比数列中，

且，公比为 8 。

（１）求和；（２）证明：。