例题最大流的标号法

例题 最大流的标号法

例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 .

v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7）

v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4)

（9,9) (10,5)

v 3 (5,1) v 6

解：

(1) 首先,给v s 标上(0,∞+)

(2) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,)(2v l ),其中 其它点不符合标号条件。

(3) 检查2v ，给2v 为终点的非零流弧的未标号的起点3v 标号(2v -,)(3v l ),其中 其它点不符合标号条件。

(4) 检查3v ，给3v 为起点的未饱和弧的未标号的终点64v v 、标号(4v ,)(4v l )、(6v ,)(6v l )其中，1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l

其它点不符合标号条件。

(5) 检查6v ，给6v 为起点的未饱和弧的未标号的终点t v 标号(t v ,)(t v l )其中， 其它点不符合标号条件。

由于t v 已标号，反向搜索可得增广链)},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ，在该增广链的前相弧),(),,(),,(6632t s v v v v v v 上增加4)(=t v l ，在后向弧),(23v v 上减去4)(=t v l ，其它弧上的流量不变，则可得一流量20)(=f v 的新的可行流如下图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11）

v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4)

（9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6

重新开始标号：

(6) 首先,给v s 标上(0,∞+)

(7) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,)(2v l ),其中 其它点不符合标号条件。

(8) 检查2v ，没有以2v 为起点的未饱和弧的未标号终点和以2v 为终点的非零流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流,最大流的流量为v(f)=20。 事实上，可令},,,,{},,{6543121t s v v v v v V v v V ==，则最小截集),(11V V 的截量)(20659),(2425311f v c c c V V C s ==++=++=。