例题最大流的标号法

例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 .

v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7）

v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4)

（9,9) (10,5)

v 3 (5,1) v 6

解：

(1) 首先,给v s 标上(0,)

(2) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。

(3) 检查，给为终点的非零流弧的未标号的起点标号(,),其中 其它点不符合标号条件。

(4) 检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)、(,

)其中，

其它点不符合标号条件。

(5) 检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)其中， 其它点不符合标号条件。

由于已标号，反向搜索可得增广链，在该增广链的前相弧上增加，在后向弧上减去，其它弧上的流量不变，则可得一流量的新的可行流如下图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11）

v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4)

（9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6

重新开始标号：

(6) 首先,给v s 标上(0,)

(7) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中

∞+)(2v l 2v 2v 3v 2v -)(3v l 3v 3v 64v v 、4v )(4v l 6v )(6v l 1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 6v 6v t v t v )(t v l t v )},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ),(),,(),,(6632t s v v v v v v 4)(=t v l ),(23v v 4)(=t v l 20)(=f v ∞+)(2v l

其它点不符合标号条件。

(8) 检查，没有以为起点的未饱和弧的未标号终点和以为终点的非零流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流,最大流的流量为v(f)=20。

事实上，可令，则最小截集的截量。 2v 2v 2v },,,,{},,{6543121t s v v v v v V v v V ==),(11V V )(20659),(2425311f v c c c V V C s ==++=++=