最大流标号法
求解网络最大流问题的标号算法
求解网络最大流问题的标号算法赵礼峰;白睿;宋常城【摘要】It provides a new way-labeling algorithm to solve network flow. Every vertex is labeled and vertex has the same number in arc as grades. Choose the way that has a grade. After every way that has only a grade,choose the way that has bigger arc capacity and shorter path. The algorithm is easy to understand and avoids the shortcomings of several labeling and adjusting process through improving Ford-Fulkerson labeling algorithm. The algorithm improves efficiency to solve the maximum network flow. The algorithm gives specific steps and manifests the practices of the algorithm through example.%给出了一种新的求解网络流问题的标号算法,对每个顶点进行标号,顶点有几个人弧,即有几个标号,每次在选择路径时先选取只有一个标号的路径,当所有单标号的路径走完时,再按照弧容量较大且最短的路径选择增广链.通过对Ford-Fulkerson标号算法进行改进,使得该算法容易理解,且又避免了Ford-Fulkerson标号算法在求解网络最大流问题时需经过多次的调整与标号,从而大大提高了求解最大流执行的效率.该算法通过实例给出了具体算法步骤并且表明了算法的实用性.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2011(021)012【总页数】3页(P113-115)【关键词】最大流;Ford-Fulkerson标号算法;增广链;标号【作者】赵礼峰;白睿;宋常城【作者单位】南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003;南京邮电大学理学院,江苏南京210003【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言在现实生活中，存在着大量的“流”的问题，计算机技术和网络技术的迅速发展使得网络最大流问题在通信、物理、电力等科学领域都得到了广泛的应用。
最大流
割是分离A和F的弧的集合,若切断一个割的所有弧对应的桥梁, 就可切断A和F之间的线路。切断最小割包含的弧对应的桥 梁，是切断A和F之间线路的桥梁数最少的方法。
由最大流最小割定理，分离A和F的最小割容量等于由A到F的 最大流量 A(0,+) 1,1 2 ,1 1 1, 1,0 2,1 D 2,0 B E C 1,1 2,0 (B,1) (A,1) 1 2, 2,1 F 由上图得知：已标号点为A，B，C，而D，E，F不能获得标 号，从而知道该最大流对应的最小割为{（A，E），（C， D），（C，F）}因此，切断AE，CD，CF三座桥梁，即可阻 止对方部队过河。
3 3 2 v4
割 集 容量 6 7 7 5 11 8 最小割 { (v1, v2) , ( v1, v3) } { (v1, v3) , ( v2, v5) } { (v1, v2 ) , ( v3, v2) , (v3,v4 ) } { (v2, v5) , ( v3, v4) } {(v1, v2) , ( v3, v2),(v4,v2) , (v4,v5)} { (v2 , v5 ) , ( v4 , v5 ) }
• 割中所有弧的容量之和称为该割的容量
C (V1 ,V2 )
( v i , v j )(V1 ,V2 )
c ij
所有割中容量最小的称为最小割
v2 2 v1 4 v3
V1 {v1} {v1,v2} {v1,v3} { v1,v2,v3 } {v1,v3 ,v4 } {v1 ,v2 ,v3, v4} V2 { v2 ,v3 ,v4 , v5 } { v3 ,v4 ,v5 } {v2 ,v4, v5} { v4, v5 } { v2 ,v5 } { v5 }
1,1
网络最大流问题
t(v4 ,1)
7(6)
v2 (s,1)
9(9)
k
10 (9)
v4 (v3 ,1)
该网络的最小割为
(V,V)(3,t),(2,4),最小割的5容 9量 14为 .
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13
§6.5 中国邮递员问题
一个邮递员从邮局出发分送邮件，要走完他负 责的所有街道，最后再返回邮局。应如何选择路线， 才能使所走的路线最短，这就是中国邮递员问题。 1962年，管梅谷先生提出中国邮递员问题。
v5
21
例子的初始可行解
v2
5
1 2
v3 4
5 1
v1
3 22
v6
6 v4 3 2
2
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v5
22
例子的修正解
v2
1
1 2
v3 4
5 1
v1
3 22
v6
6 v4 3 2
2
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v5
23
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
一条可增值v 链（。 4，3） v
（3，3） 2
4 （5，3）
vs
（1，1）（1，1）（3，0）
vt
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（5，1）
（2，1）
3
v （2，2） v
（3） 截集与截量
截集（割V 集 分） 为： 二将 非V 空 1与 V互 1，补 v使 s集 V1,vt V1。
称弧 （ v集 i,vj） viV1,vjV1为 D的一个截集 V1,， V1）记 。为
图，最大流量v=5，同时得最小截
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（ V ,V ） （ v,v）v ， ,v） 。 （
运筹学第7章 最大流问题(精简)
vs [v , 1]
5
(2, 0)
v5 v1
[vs, 3] (2, 2)
v3
(4, 0)
[v3, 1]
[-v4, 1]
如图已经得到增广链，然后进行调整。
调整后的可行流如下图： v2
(4, 4) (1, 0) [-, ∞] vs (5, 2) (1, 0) (3, 1) (2, 1)
(4, 4)
v4
网络上的流，是指定义在边集E上的 函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边 (vi,vj)上的流量，简记为fij。
v2 3,1 vs 5,2 1,0 v1 1,0 3,1 2,1 2,2 v3 4,1 v4 5,2 vt
标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二 是流量
可行流、可行流的流量、最大流。
标号过程: (1)给vs标号(∆,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其 余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj： 若有非饱和边(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非 零边(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点。 (3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点 都检查过。若vt成为标号点，表明得到一条vs到vt的 增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过， 表明这时的可行流就是最大流，算法结束。 调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后 向边流量减少l(vt)。
v2 3 vs 5 v1 2 v3 1 1 3 2 4 v4 5 vt
第五节 最大流问题
2、网络流
如果在网络N=(V,A,C,x,y)中，定义在弧集上的一函 数f满足： （1）对任一条弧(vi ,vj),cij≥fij
（2）对中间顶点vk
f
i
j
ik
f kj
j
对于源x和汇y, f x j fi x fi y f y j V f
i i j
则称f为N的一个网络流（可行流）。称 Vf为f流 量。
3、最大流 网络中从x到y流值最大的可行流，称为从x到y最大 流. 一个流 f ={ fij },当fij = cij,则称流 f对边(vi ,vj) 是饱和的,否则称f 对边(vi ,vj)不饱和。 4、增广链 设P是从源x到汇y的一条链，定义P的方向是从x到 y的。称P上与P的方向一致的弧为前向弧，记 P+ . 称P上与P的方向相反的弧为反向弧，记P- . P是网络N=(V,A,C,x,y)中从源x到汇y的一条链，f为 N的一个网络流，若对任一a∈ P+ ，f(a)<c(a)，对 任一a ∈ P- ，f(a)>0，则称P为N中关于流f的一条 增广链。
f(a) a p f f(a) a P f(a) 其它弧
(2)去掉所有标号，回到第一步，对可行流重新标号。
例1：用最大流算法求下图所示网络的最大流。
4.3 x v2 4.2 4.0 v3 7.2 y
1.1 6.0 8.2 2.2 9.3 2.2 v4 v5
1.1 6.0 8.2 2.2 9.3 2.2 v4 v5
x
V2(v4 ,-,2) 4.1 4.2 8.2
v3 (v2 ,+,2) 7.3 x
4.4
v2 4.1 4.2
最大流算法小结
网络最大流的算法网络最大流的算法分类：一、Ford-Fulkerson增广路方法1、Ford-Fulkerson标号算法（最简单的实现）分别记录这一轮扩展过程中的每个点的前驱与到该节点的增广最大流量，从源点开始扩展，每次选择一个点（必须保证已经扩展到这个点），检查与它连接的所有边，并进行扩展，直到扩展到t。
2、最大容量增广路算法每次找一条容量最大的增广路来增广，找的过程类似Dijkstra，实现起来相当简单。
3、Edmonds-Karp，最短路增广算法的BFS实现每次找一条最短的增广路，BFS是一个可以很方便的实现思想。
4、距离标号算法最短路增广的O(n)寻找实现，使用距离函数d：d[t]=0;d<=d[j]+1若存在(i,j)∈E；只有路径上满足d=d[i+1]+1的增广路才为满足要求的，一开始我们初始化使标号恰好满足要求，之后不断更改标号使其可以使增广继续。
5、Dinic，分层思想对网络分层（按照距t的距离），保留相邻层之间的边，然后运用一次类似于距离标号的方法（其实质是DFS）进行增广。
二、预留与推进算法1、一般性算法随便找个点，要么将他的盈余推出去，要么对他进行重标记，直至无活跃点为止。
2、重标记与前移算法维护一个队列，对一个点不断进行推进与重标记操作，直至其盈余为0，若过程中他没有被重标记过，则可出列，否则加入队头，继续等待检查。
3、最高标号预留与推进算法记录d值，然后优先处理d值较高的，直至没有盈余。
网络最大流的算法实现一、Edmonds-Karp（EK）算法就是用广度优先搜索来实现Ford-Fulkerson方法中对增广路径的计算，时间复杂度为O(VE2)，Shortest Augmenting Path (SAP) 是每次寻找最短增广路的一类算法，Edmonds - Karp 算法以及后来著名的Dinic 算法都属于此。
SAP 类算法可统一描述如下：Shortest Augmenting Path{ x <-- 0while 在残量网络Gx 中存在增广路s ~> t do{ 找一条最短的增广路径Pdelta <-- min{rij:(i,j) 属于P}沿P 增广delta 大小的流量更新残量网络Gx}return x}在无权边的有向图中寻找最短路，最简单的方法就是广度优先搜索(BFS)，E-K 算法就直接来源于此。
运筹学05-图与网络分析3-最大流
(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(0,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
再检查vi，直到vs为止
min1,2
1 min cij fij 对于增广链上的前向弧
2 min fij 对于增广链上的后向弧
(2)以为调整量进行调整
fij
'
ffiijj
(vi , vj ) (vi , vj )
fij (vi , v j )
去掉所有点的标号，对新的可行流f ' {fij '}进行标号
v2
最大流问题标号法例题详解
最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。
题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。
解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。
首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。
2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。
3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。
4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。
最大流问题的标号
• • • • • • • • • • • • • • • • • •
4、输出最大流的流量 Procedure answer; Var I,tot:integer; x:link; Begin tot:=0; for i:=1 to n do begin x:=d[i]; while x<>nil do begin if x^.f>0 then 输出弧(i,x^.k)及其流量x^.f； if (i=s) and (x^.f>0) then tot:=tot+x^.f; x:=x^.next; end; end; 输出最大流量tot； End;
2
(3,3)
(4,3)
4 (5,3)
s
(5,1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1,1)
(3,0) (1,1) (2,1) 1 (2,2) 3 t
弧旁的数字是（cij,fij）
二、标号法的算法流程
• 1、数据结构：采用邻接表D存储。 • Const maxn=xxx; • Type link=^dtype; • dtype=record • k:integer; {顶点序号} • f,c:integer; {流量，容量} • next,pre:link; {后向弧指针，前向弧 指针} • end; • Var d:array[1..maxn] of link;
• （2）若在弧（vj,vi）上，fji>0,则给vj标号（-vi,L(vj)）, L(vj)=min{L(vi),fji}。这时顶点vj成为标号而未检查的顶点。 • 在vi的全部相邻顶点都已标号后，vi成为标号而已检查过 的顶点。重复上述步骤，一旦vt被标上号，表明得到一条 从vs到vt的可改进路P，转入调整过程；若所有标号都已 检查过致使标号过程无法继续时，则算法结束。这时的可 行流即最大流。
最大流 标号法
10
28
10 8
广
6
沈
京
18
发点vs =成都，收点vt =北京。前面已订购机票情况表中的数字即是 各边上的容量（允许通过的最大旅客量），当各边上的实际客流量为
零时略去不写，以零流作为初始可行流。
利用标号法（经5次迭代）可以得到从成都发送旅 客到北京的最大流量如图所示
0
西
6
郑
重
10 0 6
0
0
2
10 10
标号过程: (1)给vs标号(-,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其 余都是未标号点。
(2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj： 若有非饱和弧(vi,vj)，则vj标号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝ min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非 零弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]， vj成为已标号未检查的点。vi成为已标号已检查的点。
[-,+∞]
vs
x[v1 s,1] [xv2s,1] [xv3s,1] [xv4s,1]
x[v5 s,1]
[x1,1y1] [x1,1y]2 [x1,1]y3
y4
y5
[y1,1]vs
1
[v-,s+∞]
x1
1
x[2vs,1]
[xv3 s,1] x4 [vs,1] x5 [vs,1]
[x2,1y]1 1
(3,0) vt (2,1)
v1 (2,2)
v3
(vs,4)
(-v2,1)
(3,3) v2 (4,3)
(-,+∞)
运筹学课件第四节最大流问题
fij
fi j t , (vi , v j ) fi j t , (vi , v j )
一f．○i j令调, (整v过i ,程v j )不在可增广链
○ 但是，如果vt 被标上号，表示得到一条增广链μ，转入下一
步调整过程。
例 求图的网络最大流，弧旁的权
数表示（cij , fij）。
S
量，记为C(S, ) 。
v1
2
4 3
1 v3 2
2
vs
2
3
4 3
v4
v2 4 vt
边集{(vs,v1),(vs,v3),(vs,v4)} 边集{(vs,v1),(v1,v3),(v2,v3),(v3,vt)} 为图的割集，割集容量分别为11，9
最大流-最小割定理
定理10：设f为网络G=（V，E，C）
v1
(5,5) vs
(4,2)
v2
(3,2)
v3
(5,2)
v4
(3,3) v5
(3,3)
(2,2)
(2,2)
v6
(4,2) vt
(5,4)
v1
(5,2)
v4
(5,5)
(+ vs,2) (3,3)
(4,2)
vs
(∆ ，+∞)
(4,2)
v2
(3,2)
v5
(3,3)
(2,2)
vt
(5,4)
v3
(2,2)
(- v5,2)
(+ v1,2)
v1
(5,2)
v4
(5,5)
(+ vs,2) (3,3) (+ v2,2) (4,2)
vs
(∆ ，+∞)
第四节---最大流问题
• 最大流问题是一类应用极为广泛旳问题，例如在交通运送网 络中有人流、车流、货品流，供水网络中有水流，金融系统 中有现金流，通讯系统中有信息流，等等。50年代福特 （Ford）、富克逊（Fulkerson）建立旳“网络流理论”， 是网络应用旳主要构成部分。
一、最大流有关概念
• 假点如，u我1,u们2 ,把u3,图u45-4为1中年转做站输，油边管上道旳网数，表us达为该起管点道，旳ut 最为大终
属于 S, S ，满足：① G V , E E不连通；②E为E
旳真子集，而G V , E E 仍连通，则称 E为G旳割
集，记 E S, S 。
• 割集 S, S 中全部始点在S，终点在 S 旳边旳容量 之和，称为 S, S 旳割集容量，记为 C S, S 。如图 5-41中，边集 vs ,v1 ,v1,v3 ,v2,v3 ,v3,vt ,v4,vt 和边集 vs ,v1 ,vs ,v3 ,vs ,v4 都是G旳割集，它们
输油能力，问应该怎样安排各管道输油量，才干使从 us
到 ut 旳总输油量最大？
• 管道网络中每边旳最大经过能力即容量是有限旳，实际 流量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论怎样充分 利用装置旳能力，以取得最佳效果（流量最大），此类 问题一般称为最大流问题。
•（定非称汇义负为）2发数，0点称其设（c他有i源j为点向）边为连，容中通一量间图种，点G出仅，次有这V为一么, E0种旳旳,Gr网点入旳络次每vG为t条称称0边为为旳上容收点有量点vs
44，调整后旳可行流见图5-45。
• 重新开始标号过程，寻找可增广链，当标 到 v3 点为 vs ,1后来，与 vs , v3 点邻接旳 v1, v2, v6 点都不满足标号条件，所以标号无法再继续， 而 点并vt 为得到标号，如图5-45。
最大流标号法
8
12 6 10
00
30 上8
10
京 18
广
0
沈
W ( f* ) =10+6+12+30+12+10+5 = 85
多个发点多个收点的情形
对于多发点多收点的容量网络的最大流问题可 以通过添加两个新点vs与vt扩充为新的单发点 与单收点的容量网络的方式解决。
+∞ x1
vs
x2
使fij＝0的弧称为零流弧，使fij>0的弧称为非零
流弧。
v2 3,1
vs
1,0
5,2
4,1 1,0
v4 5,2
3,1 2,1vt
若μ是联结发点vs 和收点vt的一条链，
我们规定链的方向是
从vs到vt，则链上的
v1
2,2 v3
弧被分成两类：前向
弧、后向弧。
设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若
号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零 弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的 点。vi成为已标号已检查的点。 • 重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点，表 明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过，表明这 时的可行流就是最大流，算法结束。
1 x3
1
[xv4s,1] 1
x5
[vs,1]
y1
1
y2
y3 [x3,1y]4 1 [x3,1y]5
[x2,1y]1 [x1,1y]2 1 [x1,1y]3 [x5,1y]4 1
最大流算法-最高标号预流推进（HLPP）
最⼤流算法-最⾼标号预流推进（HLPP）昨天我们学习了ISAP算法，它属于增⼴路算法的⼤类。
今天学习的算法是预流推进算法中很⾼效的⼀类——最⾼标号预流推进（HLPP）。
预流推进预流推进是⼀种很直观的⽹络流算法。
如果给到⼀个⽹络流让你⼿算，⼀般的想法是从源点开始流，遇到不够的就减掉，⼀直往前推到汇点。
这就是预流推进算法的基本思想。
每个节点是⼀个储⽔池，最开始源点有⽆限多的⽔。
⽤⼀个队列维护需要处理的点。
最开始把源点加进去，对于每⼀个当前点，我们把将这个点⽔池中有的流量沿着边（⽔管）推到相邻的点，然后把相邻的点加⼊队列中。
算法思想如此，但其中有⼀个问题：这样做有可能出现两个点⼀个推过来⼀个推回去，结果就死循环了。
这时候我们给每个点引⼊⼀个⾼度来解决这个问题。
源点的⾼度为\(n\)，汇点的⾼度为\(0\)，其他点初始⾼度为0，我们规定，⽔往下⼀层流，即我们只推\(h[x]=h[v]+1\)的边\((x,v)\)。
如果⼀个点还有⽔，但是却⽆法推出去，即周围的点都⽐他⾼，那么我们就抬⾼这个点，因为\(h\)值是连续的，所以每次出现这种情况我们就给它加⼀。
如果这个点根本就流不出去，那么最后它会被抬⾼到\(n+1\)的⾼度，回流给源点。
最⾼标号Tarjan和Goldberg在1986年提出了最⾼标号预留推进算法，即把普通队列换成优先队列，每次取出⾼度最⾼的那个来推进。
Cheriyan和Maheshwari在1988年证明了这样做的复杂度为\ (O(n^2\sqrt m)\)。
优化喜闻乐见的gap优化，但和ISAP的形式不太⼀样。
如果我们发现在给⼀个点抬⾼1的⾼度的时候，这个点原来的⾼度已经没有点了，那么我们直接把⼤于这个⾼度的点全部设为⾼度\(n+1\)，让他们回流到源点去，因为根据算法，他们⽆法再有机会把⽔推到汇点（为什么不能有下⾯⼀个点抬上来形成路径呢？因为⼀个点的⾼度是所有相邻点⾼度最⼩值加⼀，所以不可能出现这种情况）。