8梁的弯曲应力和强度计算
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8章弯曲应力及弯曲强度
弯 矩 图 特 点
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
弯曲应力及强度计算
桥梁的受弯破坏问题
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
梁的弯曲应力与强度计算
max
FS
S
* z
I zb
Sz*3 2(R2 t)33 2(R2 t)3 2R2t
Iz4(R2 t)44(R2 t)4R3t
b2t
max
2
FS
2Rt
2
FS A
8.3 梁的剪应力及其强度条件
8.3.2 梁的剪应力强度条件
一般情况，在剪力为最大值的截面的中性轴上，出现最大剪
应力
max
F S* Smax max Izb
zdA
A
Mz
ydA
A
FN
dA0
A
(c)
My
zdA0
A
(d)
Mz AydAMe
(e)
将式 E y
代入式(c)，得
AdAAEydA0
E
＝常量，
E
y dA 0
A
Sz 0
z 轴（中性轴）通 过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
E y
(b)
1 M EI z
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
M y Iz
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的 公式就可适用。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
抗弯强度的计算公式
抗弯强度的计算公式抗弯强度（Bending Strength）是指材料在受弯作用下发生破坏之前能承受的最大应力值，也是衡量材料抵抗弯曲变形和断裂的能力的重要参数之一、在工程设计和材料选择中，抗弯强度常常是一个关键的考虑因素。
弹性理论是计算抗弯强度的常用方法之一，它可以应用于弹性材料，如金属、混凝土等。
在弹性理论中，抗弯强度的计算公式可以通过应用梁理论中的弯曲应力公式得到。
假设梁的跨度为L，弯曲力矩为M。
根据梁理论，梁的弯曲应力σ可以表示为：σ=M/(W*y)其中，W是梁的截面模量（Section Modulus），y是梁截面上任意一点到中性轴的距离。
对于矩形截面梁，截面模量可以由下式计算：W=(b*h^2)/6其中，b是梁的宽度，h是梁的高度。
对于圆形截面梁，截面模量可以由下式计算：W=(π*d^3)/32其中，d是梁的直径。
这些公式可以用于计算梁的抗弯强度。
但需要注意的是，这些公式是在假设材料的应力应变关系服从线弹性的条件下得到的，对于非线性材料（如混凝土）或者具有大变形的材料，这些公式可能不适用。
除了基于弹性理论的计算方法外，还可以根据材料的破裂力学性质来计算抗弯强度。
破裂力学是研究材料在破裂前后力学性质变化的科学，通过分析材料的断裂行为和裂纹扩展来计算材料的抗弯强度。
破裂力学计算抗弯强度的方法有许多，常见的方法包括线弹性断裂力学（Linear Elastic Fracture Mechanics，LEFM）和非线性断裂力学（Nonlinear Fracture Mechanics，NLFM）等。
这些方法是基于裂纹尖端处的应力场和应变场的计算，通过计算裂纹尖端处的应力强度因子（Stress Intensity Factor，SIF）来确定材料的抗弯强度。
总之，计算抗弯强度的公式主要有两类：基于材料的弹性理论和基于材料的破裂力学。
这些公式可以帮助工程师和设计师选择合适的材料和设计结构，以满足抗弯强度的要求。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
梁的弯曲(应力、变形)
和梁的跨度、截面尺寸等因素。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力是指由于外力矩作用，使梁 发生弯曲变形时，在梁的横截面上产 生的应力。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
弯曲切应力和强度校核
材料力学
二、工字形截面梁 在腹板上
腹板上的总剪力
材料力学
材料力学
在翼缘上，有平行于 的切应力分量，分布情况较复 杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于 的切应力分量，它与腹板上 的切应力比较，一般来说也是次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面 上的大部分弯矩。
材料力学
材料力学
弯曲切应力和强度校核 一、矩形截面梁
材料力学
My
Iz
材料力学
材料力学
假设：1) 的方向都与 FS平行； 2) 沿宽度均布。
FN1 dA A*
My
dA
I A* z
M Iz
y dA
A*
M Iz
S
* z
FN2
A*
dA
(M
A*
dM )y dA Iz
M
dM Iz
160
10 6
得 d 137 mm
32
由剪应力强度条件
max
4 3
FS max A
[ ]
即
4 3
40 103 πd 2
100
10 6
得 d 26.1 mm
4
所以 dmin 137 mm
材料力学
材料力学
材料力学
材料力学
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用
应[力] 160 MPa [ ] 100 MPa
d m in
，
, 试求最小直径 。
材料力学
材料力学
解： FS max 40 kN ,
M max
ql 2 8
40
kN m
由正应力强度条件
弯曲强度计算
I y 令
Wz
Iz ymax
则
z max
max
M Wz
式中 Wz——抗弯截面系数。在M相同的情况
下，Wz 愈大， max就愈小，梁便不容易破坏。可见
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。
（2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生
在同一截面，所以，最大正应力公式表示为
RA 26 KN
RB 34 KN
M max 136 KN m
Wz
M max
2
136 106 2 170
400 cm3
a z
b
y
M
τmin
τmax τmin
二、强度计算
1. 强度校核
max
M max Wz
2. 设计截面
max
FQ
S* z max
Iz b
Wz M max
圆截面：
Wz
Iz ymax
d 4
d
64 2
d3
32
矩形截面：
Wz
Iz ymax
bh3 12 h2
bh2 6
3. 确定许用荷载
M max Wz
力强度，甚至由切应力强度条件来控制：
（1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。
（2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板梁
），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相应
比值时。
（3）木梁或玻璃等复合材料梁。
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
mmaxaxMM2I1Iyzyzmmaaxx
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
梁应力强度计算
纵向对称面仍为平面在同一截面上变形公式共同作用横截面翘曲纵向截面间有挤压
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
梁的应力及强度计算
Q图
-
2KN
y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉，下部受压
最大拉应力在上边缘
1KNm
s l max
M maxy1 IZ
1106 15.2 25.6 104
59.4MPa 拉
M图
最大压应力在下边缘
s ymax
M maxy2 IZ
1106 32.8 25.6 104
128.1MPa压
23
9 104
:3
144 104
:
4
3
642
2
104
3 72 : 3 144 : 3 64
结论：矩形截面最省料；圆形截面用料最多。
Z
Z
习题8-44
2、横截面上：在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相 等。
3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。
横截面上正应力的画法：
M 0
M 0
M
M
smax
smax
第九章 梁的应力及强度计算
公式适用范围： ①弹性范围—正应力小于比例极限； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公 式的误差不大。
20kNm
20kNm
-
-
50 2003 50 200 94.6 1502
12 102106 mm4
+
20kNm
10kN/m
CA 2m
40kN
D 2m 2m
10kN/m
BE 2m
Q图
20kN
20kN
+
+
-
20kN
第八章弯曲应力与弯曲变形
第八章弯曲应力与弯曲变形前面曾讨论了弯曲内力计算、内力图的绘制和平面几何性质，本章将解决弯曲的强度和刚度问题。
【能力目标、知识目标与学习要求】本章学习目标，知识目标和学习要求：本章学习内容要求学生熟练掌握弯曲强度计算的方法以及强度条件的应用，熟悉简单荷载作用下，用叠加法计算弯曲变形。
第一节弯曲应力本节将在第七章的基础上，进一步研究梁的横截面上内力的分布情况，即研究横截面上各点的应力。
通过研究，找出应力的分布规律，推导出应力的计算公式，从而解决梁的强度计算问题。
本节将分别讨论正应力σ和剪应力τ在横截面上的分布规律及其计算。
一、弯曲应力的种类由轴向拉伸与压缩和圆轴扭转可知，应力是与内力的形式相联系的，它们的关系是：应力为横截面上分布内力的集度。
梁弯曲时，横截面上一般是产生两种内力——剪力FQ和弯矩M（图8-1），这些内力皆是该截面内力系合成的结果。
由于剪力FQ是和横截面相切的内力，所以它是与横截面相切的剪应力的合力；而弯矩M则是作用面与横截面垂直的力偶矩，故它是由与横截面垂直的正应力合成的结果。
总之，由于梁的横截面上一般同时存在弯矩M和剪力FQ，所以，梁的横截面上σ，又有剪应力τ。
一般既有正应力二、弯曲正应力计算1、纯弯曲时梁横截面上的正应力：如图8-2所示的梁AB，CD段内只有弯矩而无剪力，这种情况称为纯弯曲。
而AC和DB段内各横截面上既有剪力还有弯矩．这种情况称为横力弯曲(剪切弯曲)。
在推导梁的正应力公式时，为了便于研究，我们从“纯弯曲”的情况进行推导。
F F(a)(b)(c)M 图Fal图 8-2（1）实验观察与分析：为了便于观察，采用矩形截面的橡皮梁进行试验。
实验前，在梁的侧面画上一些水平的纵向线pp 、ss 等和与纵向线相垂直的横向线mm 、nn 等(图8-3a)，然后在对称位置上加集中荷载F(图8-3b)。
梁受力后产生对称变形，且可看到下列现象：1）变形前互相平行的纵向直线(pp 、ss 等)，变形后均变为互相平行的圆弧线('p 'p 、''s s 等)，且靠上部的缩短，靠下部的伸长。
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取 d =145mm。
内容回顾
正应力强度计算 1.最大正应力： 2.弯曲正应力强度条件： 3.强度计算：三方面①校核强度 ②设计截面 ③许可荷载 4.步骤：
内力图 找危险截面 确定危险点 最大应力
Ⅱ新的问题 剪应力强度计算
三、弯曲剪应力 由于分布复杂，与截 面形状有关，故对不同截 面分别研究。
1、矩形截面梁 （1）假设
S A yc 120 (90 50) (50 40 / 2) 336 10 mm
* Za 3
* Q max S Za ta 0.25MPa bI Z
3
（2） 计算剪应力
tb 0
3Q max tc 2A 3 3 5.25 10 0.36MPa 2 120 180
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
弯曲正应力计算
三、计算题
6、简支梁受集中力P=20kN作用，梁截面形状，尺寸如图，它 的轴惯性矩为IZ=7.6×106mm4，试求此梁最大拉应力。
解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩
M max 7.5kN m
（2）计算最大拉应力 因危险截面的弯矩为正，故截面下端受 最大拉应力：
解：
（1）作内力图
M max 39kN m
（2）校核梁的强度
Q max 17kN
bh 2 WZ 2.4 105 cm3 6
（2）校核梁的正应力强度
s max
M max 39 106 162.5MPa 5 WZ 2.4 10
s max s 170MPa
弯曲应力问题
一、填空题（每空1分）
11.矩形截面弯曲切应力公式为 t
FQ S bI Z
* Z
中性轴 截面上的最大切应力发生在________。
弯曲应力问题
一、填空题（每空1分）
11.矩形截面梁受集中力P作用，在图示各点中，最大拉应
力在________点，最大压应力在________点，最大切应力 4 2
一、单项选择题
14．矩形截面受纯弯曲作用的梁，横截面上的正应力分布 规律是（ D ）
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
第六章 梁 的 弯 曲 应 力
一、引言 1、弯曲应力的组成 Q M
t
s
Q
2、应力、内力的关系
tdA Q s dA y M
二、纯弯曲梁横截面上的正应力
1、纯弯曲概念
CD段：Q＝0 M＝0
t0
纯弯曲 AC 、BD段：
s0
Q
Q＝0 M＝0
t0
s0
剪切弯曲（横力弯曲）
2、实验现象与假设 （1）实验现象
安全
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题
矩形截面外伸梁受力如图所示，已知材料的容许应力［σ］ =28MPa， P=38kN，M=10kN· m，试校核梁强度。
解：（1）作内力图
M max 14kN m
（2）校核梁的强度
s max
31MPa s
∴ 不安全
M max 6 M max WZ bh 2
圆形： IZ =πD4/64
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广 〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料 〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关 抗弯截面模量
三方面强度计算
① 校核强度
s max
M max WZ
s
安全
s
不安全
② 设计截面
WZ
M max
s
③ 确定许可荷载
M max WZ s
例、矩形截面外伸梁，所受荷载如图，截面高为250mm， 宽为100mm。已知[s] =40MPa, 试校核梁的强度。
解：
1 在________点。
弯曲应力问题
二、单项选择题（每小题1分）
11.梁发生平面弯曲时其横截面绕（ D ）旋转。 A.梁的轴线 B.横截面上的纵向对称轴 C.中性层与纵向对称面的交线 D.中性轴
弯曲应力问题
二、单项选择题（每小题1分）
11.(a)、(b)两根悬臂梁的荷载，长度都一样，而截面直径不
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题
如图所示一圆形截面木梁，木材的容许应[σ]=10MPa，试 选择圆木的直径d。
解：（1）作弯矩图
（2）求直径d
M max 3kN m
s max
M max 32M max s 3 WZ d
32M max
d 3
s
145mm
梁需满足
s max s
（设计） （校核）
t max t
需要校核切应力的三种情况： ①小跨度梁，或支座处附近作用大荷载；
q F
挑梁
需要校核切应力的三种情况：
②焊接或铆接的组合截面梁，腹板宽高比小于型钢；
③木梁
例题：如图所示矩形截面外伸梁，已知截面宽b=100mm，截面高 h=120mm，P=30kN，q=6kN/m,材料[s]=170MPa，[t]=100MPa， 试校核梁的强度。
M max 6kN m
s max
M max M max bh 2 WZ 6 9 MPa
二、弯曲梁的正应力强度计算 1、正应力强度条件 （1）上下对称截面
h
b
对于脆性材料 [s+ ]< [s- ]，为节约材料，以达到充分 利用，常设计成上下不对称截面。 （2）上下不对称截面
2、正应力强度计算
t amax 一样，求它们的最大弯曲切应力之比 t bmax
A. 4∶1 C. 8∶1 B. 12∶1 D. 2∶1
A
t max
4Q 4Q 3 A 3R 2
三、弯曲梁的强度计算
2、弯曲梁的剪应力强度计算 （1）剪应力强度条件
t max
* QS Z t bI Z
**几种常见截面梁的剪应力 7.5 106 88 86.8MPa 88 6 7.6 10 IZ
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力.
解：（1） 作剪力图、弯矩图 （2）求最大正应力
1、作内力图，求最大弯矩
M max 20kN.m
M max 10kN.m
2、求最大正应力
M max 20 10 s max M max 19.2MPa 2 100 250 s max Wz Wz 6 3、校核强度
在正、负弯矩作用下，截面抗弯模量相同 6
s max 19.2MPa s 40MP
Q 工字钢截面： t max I t d Z * SZ 3Q 矩形截面： t max 2A 4Q 熟记** 圆形截面： t max 3A 2Q 圆环截面： t max A
（2）弯曲梁的强度计算 梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题， 一般按正应力强度设计，再用切应力强度校核。
〖1〗几何变形关系
各层纵向纤维的线应变与该点距中性层距离成正比
〖2〗物理关系 弹性范围内，单向应力假设
横截面上的正应力沿截面高度成线性分布的规律
〖3〗正应力计算公式 Z轴（中性轴）——形心轴
梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：
M－所求截面的弯矩 y－所求应力到中性轴的距离 IZ－截面对中性轴的惯性矩
矩形：IZ =bh3/12
鱼腹梁
弯曲应力小结
正应力s： s 弯矩M
强度计算 M max s s 最大正应力： max Wz
My （沿截面高度呈线性分布） IZ
①校 核 强 度 ②选择截面尺寸
内 力
剪力FQ
③确定许可荷载
Q SZ 切应力t ： t b IZ
对剪切（横力）弯曲：
h b D
z
矩形：
圆形：
空心圆截面：
d 外径为D，内径为d, D
IZ WZ ymax
D 64
4
d4
D 2
D 3
32
1
4
例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨 l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm， B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。 解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩
（3）校核梁的剪应力强度
t max
3Q max 3 17 103 2.125MPa 2A 2 100 120
t max t 100MPa
∴ 安全
四、提高梁的弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁的主要因素
1、更换材料： [s] 2、合理安排梁的受力情况：
(1)合理布置支座
M
max
ql 2 20 1.2 2 2 2 14.4kN m
（2）计算截面的惯性矩
BH bh IZ 736cm 4 12 12
3
3
（3）计算应力
s 外 max
M max H 14.4 10 12 10 4 IZ 2 736 10 2