九年级数学《二次函数性质的应用》教案 北师大版

山东省枣庄四中九年级数学《二次函数性质的应用》教案 北师大版

一 教学目标

1、 能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。

2、 掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。

3、 提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。

4、 让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。 二 教学重点和难点

重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。 难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。 三 教学过程的形成过程

成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。

“二次函数性质的应用举例”的教案，是一位青年教师根据如下教案进行试教，经过其他教师听课点评后，再结合执教者对教材的深刻理解编写的一份教案，下面我们来看这份教案形成的过程。 （一） 对被借鉴的教案的实施（课堂实录）和点评

1、 复习提问

师 二次函数y=ax 2

+bx+c 有哪些性质？ 生 （略）

评 教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。

师 下面大家一起做投影上的练习。 （出示投影）

已知二次函数y=x 2-3x+2，填空：

(1)图象的对称轴是 ，顶点坐标是 。[直线x=23, (23,4

1

-)] (2)开口方向是 。（向上）

（3）当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 增大而增大；当x 时，函数有最 值，是 。（23<

，23>，23=，小，4

1

-） （4）当x 时，y>0，若y<0，则x 的取值范围是 .(>2或<1,1

评 复习练习应起到承上起下的作用，要紧扣本节课的教学要求，一些内容联系不大的问题[如练习（4）]，该省略就省略。 2、新课教学

师 这一节课我们来学习二次函数性质的应用。 （板书：二次函数的性质应用举例） 先看例1（呈现投影） 例1

用长6m 的铝合金条制成如图1的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

师 大家考虑一下，要求窗户的最大透光面积，应先解决什么问题？ 生 先应写出面积关于窗宽的二次函数解析式。

师 窗户面积关于窗宽的二次函数的解析式怎么求呢？ 图1

生 设窗户宽为xm ，则窗户高为

236x -m ，窗户的透光面积y 与x 的关系是y=x 2

36x

-∙。 师 这里自变量x 的取值范围是什么？根据什么来定的？ 生 根据窗户的宽和高都必须大于零，得 6-3x>0

解得：0＜x<2 x>0

师 这样求窗户的最大透光面积，就转化为求什么？ 生 求函数y=x 236x -∙=x x 32

32

+-的最大值。 师 怎样求？ 生 当x=a b 2-

＝1时，y 的最大值是2

3。 师 对，应注意x 的取值是否在自变量的取值范围内。（教师板书解题过程）

评 （1）这种问答式的讲课方式，表面上看教师提出的问题学生都对答如流，没有任何障碍，但这样的问答结果，学生有没有真正掌握了问题所在，学生的思维是否被激起？

（2）新课的引入缺乏新意，照搬照抄会让学生成为解题机器。教学中应创设情境，让学生在实践中提出问题，解决问题，增加师生互动，生生互动，激发学生学习的兴趣，让学生主动地学习。

师 通过例1的讲解可知，用二次函数的性质解决生活和生产中的实际问题时，一般步骤是：

⑴ 列出二次函数的解析式，列解析式时要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 ⑵ 在自变量的取值范围内，运用公式或通过配方法，求出二次函数的最大值或最小值。 评 数学课堂教育应充分发挥学生的主体作用，学生能做的尽量让学生去做，教师在必要的时候加以点

拨，像这种归纳最好由学生去完成，教师对不完整之外进行补充，让学生体验一次成功的感觉。

师 接下来看例2。（呈现投影片） 例2

如图2，B 船位于A 船正东26Km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船以每小时12Km 的速度朝正北方向行驶，B 般以每小时5Km 的速度向正西方向行驶，求A 船何时与B 船相距最近，最近距离是多少?

A ’

A B ’ B

图2

师 要求两船相距最近，应先回答下列问题。（呈现投影片）

⑴设若经过t 时，两船A 、B 分别到A ’、B ’，则AA ’= ,BB ’ 。 （2）AB ’＝

（3）若设两船的距离为s （km ），写出s 关于t 的函数解析式s= （4）要求出两船之间的距离的最小值只要求什么？

（指定一名学生填空：①AA ’＝12t ，BB ’=5t ②AB ’＝26-5t ③A ’B ’＝)6762601692

+-t t

生 要求最小值只要求二次三项式169t 2

-260t+676的最小值。 师 多项式169t 2

-260t+676的最小值.怎么求呢？ 生甲 当t ＝13

10

2=-

a b 时，有最小值576。 生乙 用配方法，1695t 2

-260t+676=(13t-10)2

+576. 当13t-10=0,即t=

13

10

时，有最小值576，则s 的最小值为24 评 这个例题是一个运动点的问题，有条件的情况下最好采用多媒体动态图形，使问题更直观、形象，问题的解答过程可由学生学习小组讨论解决、以调节课堂气氛，调动学生学习积极性，培养学生团队合作能力。 3、课堂练习

师 下面做书本的练习。

1． 如图3，周长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才

能使园子的面积最大？最大面积是多少？

图3

2． 把60表示成两个正数的和，使这两个数的乘积最大。

3． 已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边的最小值，以及当斜边达到最小值时的两条直角边

的长。

（学生练习，教师巡视指点）