实验应用FFT对信号进行频谱分析

20090401310074 海南大学

实验二 应用FFT 对信号进行频谱分析

一、实验目的

1、进一步加深DFT 算法原理和基本性质的理解(因为FFT 只是DFT 的一种快速算法， 所以FFT 的运算结果必然满足DFT 的基本性质)。

2、学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT 。二、实验原理

i.

模拟信号频率Ω和采样得到的数字信号频率ω的关系：

/s T f ω=Ω=Ω

ii.

DTFT 与对应的理想采样信号的频谱之间的对应关系为：

|^

()()jw a T X j X e ω=ΩΩ=

即DTFT 与FT 的关系为：

12()[()]j a r X e X j r T T T

ω

ωπ

∞=-∞=-∑

就是说，只要知道了采样序列的频谱，就可以得到相应的连续信号的频谱。(满足耐奎斯特采样定理)

DFT 是对离散时间序列的频域采样，是对ZT 上单位圆上的均匀采样，或者是

DTFT 上[0,2]π的等间距采样。当满足频域的采样定理时，便可以由频域的采样值恢复ZT 或者是DTFT 。所以能用DFT 对信号进行频谱分析。当采样的点数足够时，便能用它的包络作为模拟信号的近似谱。近似的过程中，可能会有混叠现象，泄露现象和栅栏效应这三种误差。iv.

离散傅立叶变换DFT ：

1

0()(),0,1,2...,1N nk

N n X k x n W k N -===-∑

[]1

1

()()(),0,1,2...,1N nk N

n x n IDFT X k X k W

n N N

--===

=-∑

反变换与正变换的区别在于N W 变为1-N W ，并多了一个N 1的运算。因为N W 和1

-N W 对

于推导按时间抽取的快速傅立叶变换算法并无实质性区别，因此借助FFT 来实现IFFT.三、实验内容和结果：

1. 高斯序列的时域和频域特性：

高斯序列的时域表达式：

2

()

,015

()0,n p q a e n x n -⎧⎪≤≤=⎨⎪⎩其它

i. 固定参数p=8,改变参数q 的值，记录时域和频域的特性如下图。

图 1

结论：从时域图中可以看到，q 参数反应的是高斯序列能量的集中程度：q 越小，能量越集中，序列偏离中心衰减得越快，外观上更陡峭。同时，随着q 的增大，时域序列总的能量是在增大的。频域上，对应的，随着q 的增加，由于时域序列偏离中心的衰减的缓慢，则高频分量也就逐渐减，带宽变小：时域上总的能量增大，故也可以看到低频成分的幅度都增大。

ii. 固定参数q ，改变参数p ，记录时域和频域的特性如下图 2.

图 2

结论：p 是高斯序列的对称中心，p 的变化在时域表现为序列位置的变化。由于选取的矩形窗函数一定，p 值过大时，会带来高斯序列的截断。并且随着p 的增大，截断的越来越多。对应地，看频域上的变化：截断的越多，高频的成分也在增多，以至发生谱间干扰，泄露现象变得严重。从图中可以看到，在p=13时，已经有混叠存在。当p=14时，混叠进一步加大，泄露变得更明显。2. 衰减正弦序列的时域和幅频特性：

sin(2),015

()0,n b e fn n x n απ-⎧≤≤=⎨⎩

其它

改变参数f ，记录时域和幅频特性如下图3.

图 3

结论：随着f 的增大，时域上可以看到，序列的变化明显快多了。从幅度谱上看，序列的高频分量逐渐增多，低频分量逐渐减小，以至于发生严重的频谱混叠。当f 增大到一定的程度，从图中可以看到，f=0.4375和f=0.5625时的幅度谱是非常相似的，此时已经很难看出其幅度谱的区别。3. 三角序列的时域表达式和对应的时域和幅频特性如图 4：

c 1,03()8,470,n n x n n n n +≤≤⎧⎪

=-≤≤⎨⎪⎩

其它

图 4

结论：随着fft 取点数的增多，能够看到的幅度谱的频率分量变得丰富，得到的是高密度更高的谱，也就是减轻了栅栏效应。但是这种截断后补零的方法不能提高物理频率的分辨率。因为截断已经使频谱变模糊，补零后使采样间隔减小，但得到的频谱采样的包络任然是已经变模糊的频谱，所以频谱的分辨率没有提高。因此，要提到频率的分辨率，就必须对原始信号截取的长度加长，也就是增加采样时间0T 的长度。另外,可以看到，三角序列的频谱几乎集中在低频区，旁瓣的幅度非常小。 4. 反三角序列的时域表达式和对应的时域和频域特性如图 5：

4,03()3,470,d n n x n n n n -≤≤⎧⎪

=-≤≤⎨⎪⎩

其它

图 5

结论：同样，随着fft 取点数的增多，能够看到的幅度谱的频率分量变得丰富，得到的是高密度更高的谱，减轻了栅栏效应。另外，可以看到，求8点的fft 时，三角序列和反三角序列的幅频特性是一样的。原因在于：反三角序列()d x n 可以看成是三角序列x ()c n 的4点圆周移位，即

x ()((4))()d c N N n x n R n =-，根据DFT 的圆周移位性质，则有4()()k d N c X k W X k =.由

于=8N ，所以4k k W =-N （1），即()(1)()k

d c X k X k =-，故()()d c X k X k =.不过，当补零之后，能够看到的频率成分增多，可以发现，反三角序列的频谱较宽，旁瓣的分量很多。

四、调用fft 函数计算ifft 的函数

原理：

1

1

x()[(k)]()N nk N

k n ifft X X k W

N

--===

∑