柯布-道格拉斯生产函数
柯布道格拉斯生产函数
柯布道格拉斯生产函数柯布道格拉斯生产函数是经济学家柯布道格拉斯提出的一种描述生产关系的数学模型。
它是一种生产函数，描述了生产过程中输入要素和产出之间的关系。
柯布道格拉斯生产函数被广泛应用于经济学研究中，可以帮助我们理解和分析不同要素对产出的影响。
柯布道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A * (K^α) * (L^β) * (M^γ)其中，Y表示产出，K表示资本输入，L表示劳动输入，M表示其他要素输入，A表示全要素生产率，α、β、γ表示要素的弹性系数。
柯布道格拉斯生产函数的核心思想是，通过将输入要素（如资本和劳动）与全要素生产率相结合，可以预测产出的变化。
这个模型假设生产过程中的技术水平是固定的，并且每个要素对产出的贡献程度是固定的。
柯布道格拉斯生产函数的形式化表述可能有些晦涩难懂，但是我们可以通过一个简单的例子来理解它的应用。
假设一个农场使用了一定数量的土地和劳动力来种植农作物。
我们可以将土地和劳动力作为输入要素，农作物的产量作为输出。
通过柯布道格拉斯生产函数，我们可以分析不同的土地和劳动力对农作物产量的影响，并找出最佳的要素组合方式。
在柯布道格拉斯生产函数中，弹性系数α、β和γ表示了不同要素对产出的敏感性。
当α大于1时，资本输入对产出的增长影响更大；当α小于1时，劳动输入对产出的增长影响更大；当α等于1时，资本和劳动的影响是等价的。
柯布道格拉斯生产函数还可以用来分析全要素生产率的增长。
通过对全要素生产率的改进，可以提高产出水平而不需要增加输入要素。
这对于发展中国家和企业来说具有重要意义，因为他们可以通过提高技术水平来实现经济增长，而不仅仅依靠增加资本和劳动力的投入。
然而，柯布道格拉斯生产函数也存在一些限制。
它假设了技术水平是固定的，这在现实生产过程中并不成立。
现代经济往往面临着科技进步和创新的快速变化，传统的柯布道格拉斯生产函数无法很好地解释这种变化。
此外，柯布道格拉斯生产函数忽略了其他可能影响产出的因素，如市场需求、政府政策等。
柯布一道格拉斯函数
柯布一道格拉斯函数格拉斯函数（Glass Function）是一种经济学模型，由柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas Production Function）演化而来。
柯布-道格拉斯生产函数描述了产出与生产要素（劳动与资本）之间的关系，而格拉斯函数进一步展示了生产要素的变化和经济增长的动力学。
格拉斯函数的数学表示为：Y=A(K^α)(L^β)，其中Y代表产出，A代表总要素生产率，K代表资本输入，L代表劳动输入，α和β分别表示资本和劳动的弹性。
通过这个函数，我们可以看到生产要素对产出的贡献。
格拉斯函数的引入是为了解释生产要素的变更如何影响产出的增长率。
它提供了一个数量化生产要素相对变动的方式，这对经济政策制定者来说非常重要。
格拉斯函数展示了经济增长的核心因素，并通过弹性系数的变化来展示产出增长的动态。
首先，格拉斯函数说明了劳动和资本之间的互补性，也就是说，提高劳动投入会提高资本的边际产品，反之亦然。
当劳动或资本的比重在生产过程中发生变化时，格拉斯函数能够量化这种变化对产出的影响。
其次，格拉斯函数中的弹性系数α和β是非常重要的参数。
它们展示了不同生产要素对产出增长的贡献程度。
当α和β的数值大于1时，表明生产要素的增加对产出的贡献较大，反之较小。
这也意味着经济增长可能更容易通过提高劳动力和资本投入来实现。
在柯布-道格拉斯生产函数中，总要素生产率 A 的变化也会影响产出。
这可以通过格拉斯函数来 quant 所更容易度量。
例如，如果 A 增加了10%，同时劳动输入和资本输入都保持不变，那么根据格拉斯函数的模型，产出也应该增加 10%。
格拉斯函数的应用非常广泛。
除了用于经济增长和生产力分析，它还被用于评估不同国家或地区的经济优势和劳动力市场的效率。
政策制定者可以使用格拉斯函数来估计不同要素投入的最佳组合，以获得最大的产出增长。
虽然格拉斯函数提供了一种简单的方式来理解生产要素对经济增长的影响，但也有一些限制。
柯布-道格拉斯生产函数共168页文档
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柯布-道格拉斯生产函数 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
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柯布道格拉斯函数拓展分析.
一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力 水平的。只有明确一定历史阶段的社会生产力特征才能 构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数。在工 业时代，生产力水 平是以单位量的资本和劳动力的投入所能获得的产成品 的数量来衡量的。柯布——道格拉斯生产函数正是在 工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特征 的函数模型。当人类 进入到信息经济时代，由于信息资源的加入、技术的不 断进步，导致生产力发展的特征和能发生了根本变化， 信息时代的经济发展特征是以性能、质量、产品的差异 性组合，客户服务和信息管理等为主要竞争手段的。如 果我们仍然以工业时代测算生产力的方法去考察信息时 代中信息技术对生产力的作用的话，肯定无法对其做出 准确的判断。所以，原有的柯布——道格拉斯生产函 数已经不能再适应新的经济发展形态。
柯布——道格拉斯生产函 数
戚瓅丹 154
从三方面介绍C-D函数
• 传统的柯布——道格拉斯生产函数及其性质 • 对柯布——道格拉斯生产函的质疑 • 对柯布——道格拉斯生产函数所做的改进
传统的柯布——道格拉斯生产函数及其性质
柯布——道格拉斯生产函数是经济学中使用最为广泛 的生产函数，通常简称为C—D生产函数。它是由美国 数学家柯布(c．w．Cobb)和经济学家道格拉斯 (P．H．Douglas)根据1899年～1922年间美国制造业部 门的有关数据构造出来的。两人共同探讨投入和产出 的关系时，在生产函数的一般形式上引入了技术资源 因素，于1928年提出了这一函数形式。他们认为，在 技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力和 资本的关系可以表示为：
• 索洛经济增长速度方程表明产出增长率为技术进步速度和资本、劳动投入的 增长率的加权和。其表现形式为：
• 其中，P、a、k和1分别表示产出量、技术进步、资本投入和劳动投入的增长 速度，α、β分别表示资本和劳动的产出弹性。
柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型
柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数模型齐微辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）E-mail: qiwei1119@摘 要：柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function ）用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们知道柯布-道格拉斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多.关键词：柯布-道格拉斯生产函数；多项式拟合；线性回归柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：Y AK L αβ=其中： Y —— 产量；A —— 技术水平；K —— 投入的资本量；L —— 投入的劳动量；,αβ——K 和L 的产出弹性.经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的一般形式为 (,),0,1Q K L aK L αβαβ=<< （1-1）其中,,Q K L 分别表示产值、资金、劳动力，式中,,a αβ要由经济统计数据确定.现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如表（其中总产值取自“国内生产总值”，资金 取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员”）[3].问题1：运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与检验.问题2：建立Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数,αβ的解释.问题3：将几个模型做出比较与分析.表0-1 经济统计数据年份 总产值/万亿元 资金/万亿元 劳动力/亿人1984 0.7171 0.0910 4.8179 1985 0.8964 0.2543 4.9873 1986 1.0202 0.3121 5.1282 1987 1.1962 0.3792 5.2783 1988 1.4928 0.4754 5.4334 1989 1.6909 0.4410 5.5329 1990 1.8548 0.4517 6.4749 1991 2.1618 0.5595 6.5491 1992 2.6638 0.8080 6.6152 1993 3.4634 1.3072 6.6808 1994 4.6759 1.7042 6.7455 1995 5.8478 2.0019 6.8065 1996 6.7885 2.2914 6.8950 1997 7.4463 2.4941 6.9820 1998 7.8345 2.8406 7.0637 1999 8.2068 2.9854 7.1394 2000 9.9468 3.2918 7.2085 2001 9.7315 3.7314 7.3025 2002 10.4791 4.3500 7.37401.问题一求解1.1 模型建立假设：有()()()t L t K t Q ,,分别表示产值，资金和劳动力，并假设()t Q 仅与()()t L t K ,有关[1]..由表0-1中的数据拟合出()()()t L t K t Q ,,的关系：用Matlab 画出表1-1中数据的关系图，应用Matlab 中的plot 画出图形如图1-1.图1-1产值、资金和劳动力数据关系图由图1-1可知：选定()t Q 看作是()()t L t K +的一元多项式的优化模型.从而建立模型()()()()t L t K G t Q +=.1.2 模型的求解通过Matlab 计算出()t Q 和()()t L t K + 数据之间拟合误差如表1-1.表1-1 数据拟合次数误差拟合次数 1 2 3 4 5 6 误差 3.0313 2.4294 1.5141 1.2366 1.0898 1.0887由上表得知五次拟合和六次拟合误差已经达到很接近，和四次拟合误差相差很大，所以本文选择五次拟合来求解模型()()()()t L t K G t Q +=.本文选用的是Matlab 中的plotfit 来五次拟合数据求解模型并用rcoplot 来误差分析. 得到的拟合多项式系数p 如表1-2.表1-2 多项式系数多项式次数5 4 3 2 1 0 相应系数 0.0062 -0.2711 4.6074-37.6090 148.3464 -226.4984这样就知道了模型多项式为:()()()()()()()()()()()()()()()54320.00620.2711 4.607437.6090148.3464226.4984Q K t L t K t L t K t L t K t L t K t L t =×+−×++×+−×++×+−(1-1) 多项式模型下，新的产值预测值如表1-3.表1-3 多项式模型的产值预测值年份1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 预测值0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773年份1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 预测值 4.7428 5.6358 6.5850 7.28598.23048.65859.27909.920810.4620程序运行所得到的残差图如图1-2.图1-2 模型数据的残差图由图1-2可以看到除了第十七个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近.继而得出模型：()()()()()()()()()()()()()()()54320.00620.2711 4.607437.6090148.3464226.4984Q K t L t K t L t K t L t K t L t K t L t =×+−×++×+−×++×+− (1-2)1.3 模型的误差分析 本文在假设的前提下，确定(),()()K t L t Q t 与的关系，即()Q t 可看作是()()K t L t +的一元多项式，从而本文做分析得到，做五次的多项式拟合达到最佳拟合.能从S 的值知道拟合误差，S 中有R 类似于回归中的判别系数、df 自由度、normr 拟合算法中用到的范德孟系数.本文通过预测值Y 值可以看到和原始值y 存在着误差，但是这些误差都是在可接受范围之内的误差[2].2 问题二的线性回归模型2.1模型的建立本文假设的是在1=+βα的情况下，用)(t Q ，)(t K ，)(t L 分别表示某一地区或部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作))(),(()(t L t K F t Q =(2-1) 其中F 为待定函数.对于固定的时刻t ，上述关系可写作),(L K F Q =(2-2)为寻找F 的函数形式，引入记号L Q z =，L K y = (2-3) z 是每个劳动力的产值，y 是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的：z 随着y 的增加而增长，但增长速度递减.进而简化地把这个假设表示为()z ag y =，αy y g =)(，10<<α (2-4)显然函数)(y g 满足上面的假设，常数0a >可看成技术的作用.由(2-3)，(2-4)即可得到(2-2)式中F 的具体形式为1Q aK L αα−=，10<<α(2-5)由(2-5)式容易知道Q 有如下性质 0,>∂∂∂∂L Q K Q ，0,2222<∂∂∂∂LQ K Q (2-6) 记L Q Q K ∂∂=，K Q 表示单位资金创造的产值；LQ Q L ∂∂=，L Q 表示单位劳动力创造的产值，则从(2-5)式可得α=Q KQ K ，α−=1QLQ L ，Q LQ KQ L K =+ (2-7) (2-7)式可解释为：α是资金在产值中占有的份额，α−1是劳动力在产值中占有的份额.于是α的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.2.2模型的求解本文求解得出1Q aK L αα−=中的()1b 和α值为：0.7784和0.7833，这样能求得a 的值为：2.1780，β的值为：1-0.7833，即为：0.2167.这样得到模型如下：()()()2167.07833.01780.2t L t K t Q ×= (2-8)利用以上模型求解出一组新的预测值如表2-1.表2-1 多项式模型的产值预测值年份预测值0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773年份1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 预测值 4.7428 5.6358 6.5850 7.28598.23048.65859.27909.9208 10.4620程序运行所得的残差图如图2-1所示：图2-1 模型数据残差图由图2-1可以看到除了第一个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近，这样可以得到线性回归模型是符合题目的.继而模型可得：()()()0.78330.21672.1780Q t K t L t =× (2-9)程序计算得到的r 和rint 值见表2-2.表2-2 r 和rint 值 r rint 0.4259 0.2705 0.5814-0.1634 -0.4602 0.1334-0.2005 -0.4950 0.0940-0.2001 -0.4979 0.0976-0.1620 -0.4691 0.14510.0175 -0.2999 0.33490.0572 -0.2568 0.37120.0402 -0.2775 0.3580-0.0410 -0.3620 0.2799-0.1575 -0.4687 0.1537-0.0672 -0.3857 0.25130.0284 -0.2901 0.34690.0690 -0.2462 0.38410.0923 -0.2200 0.40470.0387 -0.2747 0.35210.0439 -0.2686 0.35640.1576 -0.1427 0.45780.0347 -0.2737 0.3431-0.0136 -0.3188 0.29172.3 模型α和β的解释通过对柯布-道格拉斯生产函数传递变形后，进行求解得出βα,的值，同样也进行预测数据和原始数据比较.从图上可以知道模型中参数βα,的解释：α是劳动力产出的弹性系数，β是资本产出的弹性系数，从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）.根据α和β的组合情况，它有三种类型：①1αβ+>称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的.②1<+βα称为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的.③1=+βα称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益.3 问题三:模型比较分析模型一是通过假设后进行拟合得到模型关系式，模型二是通过变形后线性回归运算得到模型.他们与实际之间都存在误差.五次多项式拟合模型的数据误差数是：1.0898.线性回归模型数据误差：r =[0.4259 -0.1634 -0.2005 -0.2001 -0.1620 0.0175 0.0572 0.0402 -0.0410 -0.1575 -0.0672 0.0284 0.0690 0.0923 0.0387 0.0439 0.1576 0.0347 -0.0136];m=sum(r)得到这个模型的误差数：m=1.0000e-004.可以看出1.0000e-004<1.0898,很明显柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数比假设的多项式拟合函数更接近实际数据，更加准确.在生产产值上的预测，柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数预测的结果近似就是准确生产值[4].4 评价和结论4.1 模型缺点一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.只有明确一定历史阶段的社会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数.在工业时代，生产力水平是以单位量的资本和劳动力的投入所能获得的产成品的数量来衡量的.也就是说工业时代的生产力是以产量、能耗、劳动生产率等针对物质、能量的生产和利用等概念构成的.而对工业时代生产力水平的衡量是以投入产出的数量为依据的，表现在：（1）工业时代的生产是在一个较为稳定的生产技术条件下形成的，是针对某一生产和设计都很成熟的产品进行物质性生产.（2）工业时代衡量生产技术水平的标志是在一定的时间范围内，单位量的资本和劳动力的投人所能获得的产成品的数量.（3）工业时代的生产力水平体现为以某一生产技术组织资本和劳动力的投入，从而获得最接近于该生产技术所能达到的产出极限.柯布—道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特征的函数模型.当人类进入到信息经济时代，由于信息资源的加入、技术的不断进步，导致生产力发展的特征和性能发生了变化，信息时代的经济发展特征是以性能、质量、产品的差异性组合，客户服务和信息管理等为主要竞争手段的.这样也就决定了信息时代这种以非物质，非能量的信息经济的生产力的概念与工业时代截然不同.如果仍然以工业时代测算生产力的方法去考察信息时代中信息技术对生产力的作用的话，肯定无法对其做出准确的判断.同样，原有的柯布——道格拉斯生产函数已经不能再适应新的经济发展形态，在工业时代用以衡量生产力水平的产量，资本投入量和劳动力投入量已经不能完全适应信息时代的生产力发展水平了；在信息经济时代，所投入的生产要素的核心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息资源应用于生产中时，对生产人员、资本、流程等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促进了经济发展.综合上述原因，需要对柯布——道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之适用于信息时代的生产力发展水平.4.2 模型改进4.2.1 对投入量的计量对投入的计量应包含：信息技术设备的资本投入，如电脑、数控设备、信息化管理设备、网络设备和其他软件等等；信息技术的劳动力投入，如电脑软件编制人员、硬件安装维护人员、信息化管理人员等等；非信息技术设备的资本投入，如传统的工业技术装备、生产设备、厂房等其他在工业时代类似的资本投入；非信息技术的劳动力投入，比如生产线上的操作工、一般管理人员等，这里需要指出的是“非信息技术的劳动力”既包括一般意义上的蓝领工人，也包括其他一些白领管理人员.4.2.2 对产出量的计量对产出量的计量则不应仅包含单位生产成品数量，而是应该考虑到生产者的盈利水平是否提高.因为从工业时代过渡到信息时代，企业的竞争手段已经从“低成本生产”转向了“全方位的优质服务”.这其实也是竞争发展到一定阶段的必然结果.所以，考察信息技术对生产力具有怎样的影响务必要从一个新的视角出发，不能仅仅衡量其对产成品数量的影响，更应从信息技术是否对提高整体赢利水平，扩大市场份额和增强竞争实力等方面进行综合考察.4.2.3 改进后的模型改进后的柯布—道格拉斯生产函数的表现形式为：0011a b c d Y K L K L =式中： Y —— 产量；0K —— 非信息技术设备的资本投入；0L —— 非信息技术的劳动力投入；1K —— 信息技术设备的资本投入；1L —— 信息技术的劳动力投入；,,,a b c d —— 产出弹性.此模型较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入1K 和信息技术的劳动力投入1L ，使得模型成为更贴近时代的生产模型，改进后的柯布—道格拉斯生产函数0011a b c d Y K L K L =是在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改进后的柯布—道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广、更具时代感.参考文献[1]唐焕文,贺明峰.《数学模型引论》[M],北京:教育出版社,2005.[2]雷功炎.《数学模型讲义》[M],北京:京大学出版社,2002.[3]白其峰.《数学建模案例分析》[M],京:洋出版社,2000.[4]李庆杨,王能超,易大意.《数值分析》[M],京:华大学出版社,2005.Cobb-Douglas production function modelQiweiCollege of Science,Liaoning Technology University,Fuxin (123000)AbstractCobb-Douglas production function used to predict national and regional systems or large industrial enterprises in production and development of the means of production of an economic model, called the production function. In this paper, a large number of production data Process, the establishment of polynomial fitting model and the linear programming model for data processing is complete problems, the production data analysis We have established a polynomial fitting, through error analysis, polynomial fitting model is fully consistent with the data . But through the use of linear regression obtained O'Brien - Douglas production function, through its error analysis we know that O'Brien - Douglas production function with the raw data of error than polynomial fitting model of the small number of errors .Keywords: Cobb-Douglas production function; polynomial fitting; linear regression。
柯布道格拉斯的应用原理
柯布道格拉斯的应用原理1. 什么是柯布道格拉斯法柯布道格拉斯法（Cobb-Douglas function）是一种经济学中常用的生产函数形式，用于描述生产过程中产出与投入之间的关系。
该函数最早由美国经济学家柯布（Charles W. Cobb）和道格拉斯（Paul H. Douglas）在1928年提出。
2. 柯布道格拉斯函数的数学表达式柯布道格拉斯函数可以用以下的数学表达式表示：Q = A * (L^a) * (K^b)其中，Q表示产出，A表示全要素生产率（Total Factor Productivity），L表示劳动力投入，K表示资本投入，a和b为可调参数，表示生产函数中各种投入要素的弹性。
3. 柯布道格拉斯函数的应用领域柯布道格拉斯函数广泛应用于经济学研究中，特别在生产函数的分析和经济增长模型中有重要应用。
下面列举几个柯布道格拉斯函数的应用领域：•生产力分析：柯布道格拉斯函数可以用来分析不同投入要素对产出的影响。
通过调整参数a和b的大小，可以评估不同要素对产出增长的贡献程度。
•资源配置优化：柯布道格拉斯函数可以帮助决策者优化资源的分配方式。
通过对不同要素的弹性进行比较，可以确定投入要素的最佳组合，以实现最大的产出。
•经济增长模型：柯布道格拉斯函数是许多经济增长模型的基础。
通过引入技术进步和全要素生产率的概念，可以建立经济增长模型，用来解释不同要素对经济增长的影响。
4. 柯布道格拉斯函数的优缺点柯布道格拉斯函数作为一种常用的生产函数形式，具有以下的优点和缺点：4.1 优点•简单易用：柯布道格拉斯函数的数学表达式简单明了，易于计算和分析。
•灵活性：通过调整参数a和b的值，可以适应不同的实际情况和要求。
•可解释性：柯布道格拉斯函数的参数a和b可以用来解释不同投入要素对产出的影响。
4.2 缺点•缺乏微观基础：柯布道格拉斯函数并没有明确的微观基础，只是一种经验性的数学模型。
•不考虑替代性：柯布道格拉斯函数假设劳动力和资本是不可替代的，但实际上在一些行业中，劳动力和资本是可以相互替代的。
柯布道格拉斯函数历史
1、柯布——道格拉斯生产函数原是创始人—数学家柯布和经济学家道格拉斯想借助它们用经济计量学方法得到的生产函数来分析国民收入在工人和资本家之间的分配,并通过它来证实边际生产率原理的正确性。
因此他们是为了洞察收入分配而考察生产关系的。
后来他们的生产函数的收入分配方面失去了重要意义,现在它已被广泛地用于研究生产的投入产出关系。
随着增长理论的发展,应用的范围得到了进一步的扩大。
柯布一道格拉斯生产函数是使用最为广泛的生产函数。
它是由柯布和道格拉斯根据1899——1922年间美国制造业部门的有关数据构造出来的。
其形式如下:1Q AK Lαα-=该函数形式是由维克塞尔(wicksell)首先使用的。
维克塞尔在《国民经济学讲义》的附注中指出这一函数形式(维克塞尔,1983):αβ=a b rP c一般化：=Q AK Lαβ其中Q是增加值,K是资本存量,L是雇用的劳动。
A为效率参数，表示那些影响产量,但既不能单独归属于资本也不能单独属于劳动的因素。
αβ和为分配参数或投入强度参数(同时也满足生产弹性,αβ（+）是规模弹性参数,反映该函数的齐次的次数。
2、CES函数1961年,由Arrow、chenery,Mihas,Solow四位学者提出了两要素CES生产函数,该函数在数学上相当简化,在统计上容易处理,而且还有固定的替代弹性的特性。
其基本形式为:1[(1)]Q A K L ρρρδδ---=+- 其中A 为效率参数[efficiency Parameter],表示资本和劳动的联合效率,δ为分配参数, ρ为替代参数,A>0,0<δ<1,1ρ-<<-∞,根据不同的ρ参数值,CES 生产函数包含着好几个著名的生产函数作为它的特例。
(l)当ρ=-1，CES 生产函数即为线性生产函数,形式如[(1)]Q A K L δδ=+-(2)当ρ=0，CES 生产函数即柯布道格拉斯函数生产函数,形式如下1Q AK L δδ--= (3)当ρ=+∞,CES 生产函数即为列昂惕夫人技术的生产函数[Leotief production Function](也被称之为投入一产出生产函数),形式如卜:Q=min 【欲,(l 一占)L 」(21)。
柯布--道格拉斯生产函数
柯布--道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数是一种用来描述产出与产出要素输入之间关系的经济学模型。
该模型是由美国经济学家柯布和道格拉斯在20世纪20年代提出的，被广泛应用于宏观经济学中的生产函数分析。
Y = A L^α K^β其中，Y表示产出, L表示劳动力输入量, K表示资本输入量, A表示全要素生产率, α和β是生产函数中劳动力因素和资本因素的弹性系数，而α+β的总和表示生产函数的规模收益。
所谓规模收益是指生产要素的总量增加一倍，能使产出增加的比例。
即α+β大于1时，存在递增规模收益；等于1时，存在恒等规模收益；小于1时，存在递减规模收益。
该生产函数的基本思想是，产出量可以用输入的各种生产要素数量来解释，而生产效率的提升可以通过升级技术和管理方法等手段来实现。
这一经济学模型通过科学地评估生产要素的投入和产出之间的关系，从而有效地指导产品生产的决策，同时也为企业实现成本最小化和效益最大化提供了理论基础。
优点：1.全要素生产率是该模型的核心概念，所包含的生产要素非常广泛，可以更全面地反映产出与产出要素之间的关系。
2.该模型能够帮助企业优化生产要素的投入，提高生产效率和效益。
3.对于某些复杂的生产运营系统，利用柯布-道格拉斯生产函数可以更加精细地建立生产模型，以便于深入分析和研究。
1.柯布-道格拉斯生产函数基于某一市场的生产数据，不适用于所有市场，无法复刻到所有不同形式的生产环境中。
2.该模型忽略了信息、技能和组织等非生产要素对企业产出的影响，对于这些影响因素的分析不够完备。
3.由于该模型只考虑单一生产函数，可能无法很好地解释某些特殊的产出情况。
柯布-道格拉斯生产函数
• 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次 的。
– 如果一个函数是k 阶齐次的，那么其导数就 是k-1阶齐次的
29
规模报酬不变
• 任何投入的边际生产率取决于资本和劳 动之比(而不是这些投入的具体水平) • k 和 l 之间的边际技术替代率仅仅取决于 k 和 l之比，而不是运行规模
30
规模报酬不变
• 生产函数是位似的 • 从几何上看,所有的等产量线均是彼此的 射线扩展
31
规模报酬不变
• 沿着一条从原点出发的射线 ( k/l不变), 所 有等产量线上的RTS都是相同的
k 每期
随着产出扩张，等产量线 均匀排列
q=3 q=2 q=1
l 每期
32
规模报酬
• 规模报酬可被扩展为n 种投入的生产函数
q = f(x1,x2,…,xn)
• 如果所有的投入均乘以一个正常数t, 可以 得到
– 生产中劳动分工的进一步细化和专业化 – 效率降低，因为企业规模变大会导致管理难 度增加
26
规模报酬
• 如果生产函数给定为 q = f(k,l)，所有的投 入都乘以某个正常数 (t >1), 则
对产出的影响 f(tk,tl) = tf(k,l) f(tk,tl) < tf(k,l) f(tk,tl) > tf(k,l) 规模报酬 不变 递减 递增
这一生产函数就意味着k 和 l 足够大时， 边际生产率递减
– fll 和 fkk < 0 如果 kl > 200
22
递减的边际技术替代率
• 对任一生产函数求二阶交叉导数得
fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2
仅当 kl < 266时，为正
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
科布-道格拉斯生产函数
科布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。
是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
柯布一道格拉斯生产函数主要用于测定生产过程中资本投入量和劳动投入量对产出量的影响；亦可测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。
柯布一道格拉斯生产函数用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y=A(t)LαKβμ式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。
从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。
根据α和β的组合情况,它有三种类型：①α＋β>1,称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。
②α＋β<1,称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
③α＋β＝1,称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
柯布—道格拉斯生产函数模型具有以下的特点：1、柯布—道格拉斯生产函数模型中，a，b1，b2是固定参数。
2、可线性化。
3、参数估计和其它代数方程相比，计算比较方便。
4、运用柯布—道格拉斯生产函数模型进行技术经济分析，由于数据特性，计算分析结论更准确。
柯布--道格拉斯生产函数
dQ d[cL(t) y (t)] cL(t)y 1 dy c dL(t) y 0
dt
d (t)
dt d (t)
整理得：
dQ dt
0
1
K0 K0
e(1 )t
1
1
因为 0 ，1所以上式右端恒大于1，因而当左端中 （0即
)e (1
) t
1 ]
知：
dy dt
0 1
K0 K0
e(1 ) t
0
显然，此式成立的条件为
K0 K0
1
K0 K0
此式含义为：劳动力相对增长率小于初始投资增长率
······数理学派在这时运用数学方法， 只对资本主义关系做数量上的说明，而抛开 对资本主义经济制度本质的研究，这样就更 有利于掩盖资本主义的剥削和矛盾。同时， 她运用数学方法，也企图用数学的精确性和 科学性，使资产阶级政治经济学具有一种高 度科学性的假象和外观。
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五、模型的改进与推广
1，探讨资金和劳动力的最佳分配（静态）
➢何为最佳分配？ ➢成本包括哪些？
资金来自贷款，利率 r
劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
问题转化为K/L满足什么条件使得S最大
S K
0 QK
r
0
S L 0 QL W 0
QK QL
CK L 1 1 C(1)K L
r w
K w
L 1 r
由该式可知：当，w变大、r变小时，分配
柯布道格拉斯生产函数及其应用
柯布-道格拉斯生产函数及其应用考号：姓名：［内容提要］生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。
柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。
［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长一、生产函数（一）简述生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。
它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。
换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。
例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。
另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。
（二）常见生产函数1、固定投入比例生产函数固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。
2、柯布-道格拉斯生产函数柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。
柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。
技术(柯布-道格拉斯生产函数)经济学解析
2、建筑业企业层次规模报酬 经济学意义上的企业与工厂的区别，在于企业 除了生产功能外，还具有经营功能，并且在法律上 具有独立的经营实体地位。所谓企业的规模经济主 要是指由企业经营规模扩大而给企业带来的经济上 的有利性。对于企业层次的规模经济来说，具有明 显的联合生产经营效应，形成的主要原因是生产流 通环节效率的提高、管理费用和市场交易费用的节 约。企业规模经济效益是建立在工厂规模经济基础 之上的，但是与工厂规模经济相比，企业规模经济 显然更多地由组织创新促成，也更多地体现于组织 效率和经营效率等非生产技术领域。
技术的凸性
假设有两种技术，技术A：a1单位的要素1和a2单位的 要素2生产一单位的产出，技术B: b1单位的要素1和b2单位的 要素2生产一单位的产出。 现在我们要得到一百单位的产出，投入要素可以(100 a1,100 a2) 或者是（100 b1,100 b2 ）.我们还可以用技术A生 产t单位产出，用B技术生产100-t单位产出，投入要素就是t a1 +(100-t) b1单位要素1和t a2 +(100-t) b2单位要素2. 凸性：如果x 和x’ 都可以生产y 单位产出，则任何加权 平均tx + (1- t)x’至少可以生产y单位的产量。
对应于制造业的工厂概念， 建筑业的工厂层次应该是 工程项目。项目是建筑业进行生产的第一线，主要体现的 是建筑业生产技术水平。从生产方式来看，我国建筑业目 前还远未形成产业化的生产模式，生产方式落后，主要以 手工现场湿作业为主；从生产手段来看，中小型建设项目 受经济实力的限制，对先进、高效的施工工艺技术和大型 施工设备的应用不多；从生产的自动化程度来看，由于受 建筑产品单件性的限制，建筑业现场生产方式很难实现标 准化、专业化和简单化。因此，建筑业的项目层次规模报 酬水平很低， 更多体现在那些机械设备和新技术应用较多 的大体量复杂工程中。
柯布-道格拉斯生产函数计算题
柯布-道格拉斯生产函数计算题Y=A*K^α*L^(1-α)其中，Y表示产出总量，A表示技术进步水平，K表示资本存量，L表示劳动力。
α是一个常数，表示资本在生产中的重要性。
下面，我们来看一个具体的柯布-道格拉斯生产函数的计算实例。
假设一个农场使用资本和劳动力来生产小麦。
农场总共有100台农机和400名工人。
现在要计算这个农场的小麦产量。
首先，我们需要确定技术水平。
假设技术水平为1，即没有技术进步。
进一步，我们需要确定α的值。
α的取值通常在0和1之间，表示了资本在生产中的重要性。
假设α的值为0.3现在，我们可以使用柯布-道格拉斯生产函数计算小麦产量。
根据柯布-道格拉斯生产函数的一般形式，我们有：Y=A*K^α*L^(1-α)代入已知的值，可以得到：Y=1*(100^0.3)*(400^0.7)现在，我们可以计算出小麦的产量。
请注意，计算结果会根据输入的值不同而有所变化。
在这个例子中，我们将得到一个特定的数值。
根据计算，小麦的产量为：Y=1*(100^0.3)*(400^0.7)≈329.45所以，这个农场的小麦产量约为329.45单位。
这个计算只是一个简单的例子，柯布-道格拉斯生产函数可以应用于更复杂的生产过程中，同时考虑多个输入要素。
通过调整不同要素的数值，我们可以进一步分析生产过程中不同要素的相对重要性，以及影响产出的因素。
柯布-道格拉斯生产函数在经济学研究中有广泛的应用，帮助理解和解释实际生产过程中的要素配置和产出水平。
通过分析柯布-道格拉斯生产函数，我们可以为生产过程提供有益的经济政策建议，提高产出效率，实现经济增长。
柯布道格拉斯生产函数
所以对于这一生产函数而言在k 和 l能保证边际生产率递减的区域内边际技术替代率均为递减 若k 和 l 较大则递减的边际生产率就足以抵消fkl 为负的影响以保证等产量线的凸性
规模报酬
产出会对所有投入的增加做何反应 假设所有投入都翻番产出是否会翻番 规模报酬从亚当斯密时代就进入了经济学家们的视野
替代弹性
如果 较高 RTS 的变动没有k/l大 等产量线会相对平坦 如果 较低 RTS 的变动会比 k/l 的变动大 等产量线会相对陡峭 沿着一条等产量线变动或随着生产规模变化而变动都是可能的
替代弹性
将替代弹性扩展至多投入情形会导致一些复杂的状况 如果我们将两种投入间的替代弹性定义为两种投入之比的百分比变化除以RTS 的百分比变化我们必须保持产出和其他投入不变
规模报酬不变
规模报酬不变的生产函数对于投入是一阶齐次的 ftktl = t1fkl = tq 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次的 如果一个函数是k 阶齐次的那么其导数就是k-1阶齐次的
规模报酬不变
任何投入的边际生产率取决于资本和劳动之比而不是这些投入的具体水平 k 和 l 之间的边际技术替代率仅仅取决于k 和 l之比而不是运行规模
递减的边际技术替代率
假设生产函数为 q = fkl = 600k 2l 2 - k 3l 3 对于这种生产函数而言 MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2 MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3 当kl < 400时 k 和 l 的边际生产率将为正
递减的边际技术替代率
规模报酬不变
生产函数是位似的 从几何上看所有的等产量线均是彼此的射线扩展
规模报酬不变
l 每期
柯布-道格拉斯生产函数计算题
柯布-道格拉斯生产函数计算题
Y=A*K^α*L^β
其中，Y表示产出，A表示全要素生产率，K表示资本投入，L表示劳动投入，α和β是大于等于零的参数，表示资本和劳动对产出的弹性。
通过柯布-道格拉斯生产函数，我们可以研究资本和劳动如何影响产出，并进一步优化生产要素的配置，以实现经济增长和效率提升。
下面我们将运用柯布-道格拉斯生产函数进行一个简单的计算题。
假设工厂的产出函数为：
Y=1.2*K^0.3*L^0.7
其中，A=1.2，α=0.3，β=0.7
现在，该工厂的资本投入为1000单位，劳动投入为500单位，我们需要计算该工厂的产出。
根据柯布-道格拉斯生产函数的表达式，代入参数和投入数量，可以得到：
Y=1.2*1000^0.3*500^0.7
计算得到：
Y=1.2*10^0.3*100^0.7
此外，我们还可以利用柯布-道格拉斯生产函数对不同组合的资本和劳动投入进行比较。
具体来说，我们可以变化资本和劳动的数量，比较不同数量下产出的变化情况，从而找到最优的生产要素配置方案。
总之，柯布-道格拉斯生产函数是一种有效的工具，可以帮助我们研究和优化生产过程，实现经济增长和效率提升。
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3
边际产品
• 为了研究单一投入的变动，我们将在保持 其他投入要素不变的情况下，增加一单位 某一要素所增加的产出量称为边际产品
q 资本的边际产品 MPk fk k q 劳动的边际产品 MPl fl l
4
边际生产率递减
• 一种要素的边际产出取决于投入的要素量 • 一般而言，我们假设边际生产率递减
第4讲 生产者理论
• 目标：获得单个厂商供给曲线 • 方法：利润最大化
– 厂商的利润为π＝PQ-wL-rK，服从约束为生 产函数Q=f(L,K)（第7章） – 令Q=Q0，求取C(Q)（第8章） – π＝PQ-C(Q)，求得最优Q（第9章）
1
生产函数
2
生产函数
• 厂商关于某种商品(q)的 生产函数 表示了 资本(k) 和劳动 (l)不同组合所能生产的最 大的商品数量
dk RTS (l 替代 k ) dl MPl MPk
16
q q0
边际技术替代率和边际产出
• 由于 MPl 和MPk 均非负, RTS 也为正 (或0) • 但是，单单假设边际产出递减往往并不能 推导出边际技术替代率递减。
17
边际技术替代率和边际产出
• 为了证明等产量线为凸, 我们希望得到 d(RTS)/dl < 0 • 因为 RTS = fl/fk
• 对于这种生产函数而言
MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2 MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3
– 当kl < 400时， k 和 l 的边际生产率将为正
21
递减的边际技术替代率
• 因为
fll = 1200k 2 - 6k 3l fkk = 1200l 2 - 6kl 3
– 我们必须考虑 flk，其始终大于 0
6
平均产出
• 我们经常使用平均产出衡量劳动生产率
产出 q f (k , l ) APl 劳动投入 l l
• 注意 APl 还取决于所用的资本量
7
两种投入生产数
• 假设厂商的生产函数可被表示为
q = f(k,l) = 600k 2l2 - k 3l3
dRTS (fk2fll 2fk fl fkl fl 2fkk ) 3 dl ( fk )
• 由于我们已假设 fk > 0, 所以分母为正 • 由于 fll 和 fkk 均被假设为负, 如果fkl 为正的 话，那么分子为负
19
边际技术替代率和边际产出
• 直觉上,fkl 和flk 应该相等且为正
dRTS d (fl / fk ) dl dl
dRTS [fk (fll flk dk / d l ) fl (fkl fkk dk / d l )] dl ( fk ) 2
18
边际技术替代率和边际产出
• 在一条等产量线上 dk/dl = -fl/fk ，且存在 Young定理 (fkl = flk)
这一生产函数就意味着k 和 l 足够大时， 边际生产率递减
– fll 和 fkk < 0 如果 kl > 200
22
递减的边际技术替代率
• 对任一生产函数求二阶交叉导数得
fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2
仅当 kl < 266时，为正
13
边际技术替代率(RTS)
• 等产量线的斜率表示l 可以在多大程度上 替代k
k 每期
- 斜率 = 边际技术替代率 (RTS)
RTS > 0 随着劳动投入的增多 递减
B
q = 20
kA kB
A
l 每期
lA lB
14
边际技术替代率(RTS)
• 边际技术替代率表示在保持产出不变的 情况下，即在同一条等产量线上，劳动 可以在多大程度上替代资本。
MPk 2f 2 fkk f11 0 k k MPl 2f 2 fll f22 0 l l
5
边际生产率递减
• 由于边际生产率递减，19世纪经济学家托马 斯.马尔萨斯担心人口增长会对劳动生产率 产生不良影响。 • 但是一段时间内，劳动的边际产出还取决于 其他要素（例如资本）投入的变动。
dk RTS (l 替代 k ) dl
q q0
15
边际技术替代率和边际产出
• 对生产函数进行全微分:
f f dq d l dk MPl d l MPk dk l k
• 在同一条等产量线上 dq = 0, 所以
M Pl d l M Pk dk
• 为得到 MPl和APl, 我们必须先设定k的值
令 k = 10
• 产出函数就变为
q = 60,000l2 - 1000l3
8
两种投入生产函数
• 边际产出函数为
MPl = q/l = 120,000l - 3000l2
随 l 增加递减 • 这就意味着 q 有最大值:
120,000l - 3000l2 = 0 40l = l2 l = 40
• 即劳动投入超过 l = 40时，产出将减少
9
两种投入生产函数
• 为得到平均产出, 我们假设k=10并进行求 解
APl = q/l = 60,000l - 1000l2
• APl 达到最大值当
APl/l = 60,000 - 2000l = 0
l = 30
10
两种投入生产函数
• 事实上, 当l = 30时,无论APl还是 MPl 均等 于 900,000 • 所以, 当 APl 为最大值时, APl与MPl相等
11
等产量曲线图
• 为更好地表示一种投入对另一种可能的 替代关系，我们引入等产量曲线图 • 一条产量线表示生产给定产量产出 (q0) 所需k和l 的不同组合 f(k,l) = q0
12
等产量曲线图
• 每条等产量线代表一个产出水平
– 越往右上方平移，产出越高
k 每期
q = 30 q = 20
l 每期
– 如果工人们有更多的资本，他们就能有更多的 产出
• 但是有些生产函数中，超出一定投入界限 后，fkl < 0 • 当我们假设边际技术替代率递减时，我们 便认为MPl 和 MPk 递减足够快以抵补任何 可能的负的交叉生产率效应。
20
递减的边际技术替代率
• 假设生产函数为
q = f(k,l) = 600k 2l 2 - k 3l 3