圆锥曲线——点乘双根法

圆锥曲线——点乘双根法

适用类型：类似21x x ，21y y ，))((21t x t x ++，))((21t y t y ++或||||,MB MA MB MA ⋅⋅（其中2121,,,y y x x 是直线与曲线的两个交点的横纵坐标，B A ,直线与曲线的两个交点）以及可转化为上述结构的问题

理论基础：二次函数的双根式，若一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则)

)((212x x x x a c bx ax --=++具体步骤：化双根式→赋值→变形代入

1．（2013天津）设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

334．（1）求椭圆的方程；

（2）设B A ,分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于D C ,两点．若8=⋅+⋅CB AD DB AC ，求k 的值．

2．（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为21,F F ，线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ，且21B AB ∆是面积为4的直角三角形．

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程．

3．（2014辽宁理）圆22

4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22

122:1x y C a b

-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；

（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于B A ,两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.

4．已知O 是坐标原点，若椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

2，右顶点为P ，上顶点为Q ，OPQ ∆的面积为22．

（1）求椭圆Γ的标准方程；

（2）已知点)0,6(E ，N M ,为椭圆Γ上两动点，若有2-=⋅EN EM ，证明：直线MN 恒过定点．

5．已知点22,1(在椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 上，椭圆离心率为22．（1）求椭圆C 的方程；

（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MB MA ⋅为定值？若存在,求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．

6．（2014大纲）已知抛物线)0(2:2

>=p px y C 的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4

QF PQ =

.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.

7．（2016四川）已知椭圆:E 22

221+=x y a b

（0a b >>）的一个焦点与短轴的两个端点是正

三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）设不过原点O 且斜率为12

的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B A ,，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于D C ,，证明：||||||||MD MC MB MA ⋅=⋅.

8．（2016四川理）已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x E 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线3:+-=x y l 与椭圆E 有且只有一个公共点T .

（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；

（2）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点B A ,，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．