圆锥曲线齐次式与点乘双根法

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值

例1：12,Q Q 为椭圆22

2212x y b b +=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的

垂线OD ，求D 的轨迹方程.

解法一（常规方法）：设

111222(,),(,)

Q x y Q x y ，

00(,)

D x y ,设直线

12

Q Q 方程为

y kx m =+，联立22

2212y kx m x y b b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得:

22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以

222222212122222222()(2)

,22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==

++

因为

12

OQ OQ ⊥所以

222222222222

121222222222

2()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)

m b k ∴=+*

又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2

000

00

x x y x y y y =-++对比于

y kx m =+，则002

000x k y x y m y ⎧

-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：22

200

23x y b +=.

解法二（齐次式）：

设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222

2

222211

11022mx ny mx ny x y x y b b b b +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩

22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:222222

22202x y m x n y mnxy b b +---=

整理成关于,x y ,x y 的齐次式：

2222222

(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2

x ，则

22

2

2

2

2

22

122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=

-

因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，22

22

12122m b b n -=-- 22232()

b m n ∴=+*

又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2

000

00x x y x y y y =-++对比于

1mx ny +=，则0

22000

2200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨

⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：22200

23x y b +=.

例2：已知椭圆2

21

4x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线

,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.

解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：

旧坐标 新坐标

(,)(',')x y x y ⇒

即(0,1)(0,0)⇒

所以

''

'1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨

=-→⎩⎩ 原来

12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒

+=-则转换到新坐标就成为：1212''

1''y y x x +=-

12''1

k k +=-即

设直线l 方程为：''1mx ny +=

原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22

'4('1)4x y ++= 展开得：

22'4'8'0x y y ++= 构造齐次式：

22

'4'8'('')0x y y mx ny +++= 整理为：

22

(48)'8'''0n y mx y x +++= 两边同时除以2'x ，则

2(48)'8'10n k mk +++= 所以

128''148m k k n +=-

=-+所以

1

2212m n m n -=⇒=+ 而''1mx ny +=1'

()''1('')10

22x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0

'2'

'2102x y x x y +=⎧=⎧⎪

⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩

所以恒过定点(2,1)-

.

例3：已知椭圆182+=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭

圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.

解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：

旧坐标 新坐标

(,)(',')x y x y ⇒

即(2,1)(0,0)⇒

所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨

⎨=-→⎩

⎩ 原来

1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒

+=--则转换到新坐标就成为：1212''

0''y y x x +=

12''0

k k +=即

设直线AB 方程为：''1mx ny +=

原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22

('2)4('1)8x y +++= 展开得：

22'4'4'8'0x y x y +++= 构造齐次式：

22

'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++= 整理为：

22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++= 两边同时除以2'x ，则

2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=