单因素实验的设计

解出

5 1 0.618 2
（另一根
5 1 2 负数，舍）
3 5 0.382
再由①式得
2
3） 0.618法一般步骤
• ①确定实验范围（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了 实验范围[a，b] ）；
• ②选实验点（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、 0.382的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点x1,x2的实验结果）；
三、单因素优化实验设计方法
1、均分法 2、对分法 3、黄金分割法（0.618法） 4、分数法
1．均分法
• 1） 作法
x：实验点 a＜x＜b
• 2） 优点：只要把实验放在等分点上，实验 点安排简单。n次实验可同时做，节约时间， 也可一个接一个做，灵活性强。
• 3）缺点：实验次数较多，代价较大，不经济。
为 的区间，即有 ac db 。
即 1
①
2．无论删掉哪一段，例如删掉（db），在留下的新区间[ad]内，再插入一新点 e， 使 e,f(即为原区间中 c)在新区间[a,d]中的位置与 c，d 在原区间[a,b]中的位置具有 相同的比列。 这就保证了每次都以同一入的比率缩短区间。这样做的目的是为了减少函数值的 计算次数。
设 f (x1) 和 f (x2 ) 表示 x1、x2 两点的实验结果，且 f (x) 值 越大，效果越好，分几种情况讨论。
（1)若 f (x1) ＞ f (x2 )，即 f (x1) 比 f (x2 )好，则根据“留好去坏” 的原则，去掉实验范围[a，x2]部分，在[x2，b]内 继续实验。见图 1。 ★若去掉实验范围的左边区间，则新试验点将它
步实验，结果是：
X：电解温度（℃） 65
74
80
Ｙ：电解率（％） 94.3 98.9 81.5
其中，74℃效果最好，但是最佳温度是不是就在 74℃？还有没有改 进的余地？这就要在 74℃附近安排实验。第一种方案是在 70、71、72、 73、75、76℃……逐个进行实验，这样工作量太大，第二种方案是对这 批数据进行分析，找出科学的设计方法。
从图 a)，b)看，在新区间[a,d]内，已包含算出了函数值的 点 f((即为原区间中 c))。所以在其内只需再取一个点（而 不是两个点）计算函数值，就可进一步把新区间短缩。
根据条件 2 有：
af ac ad ad ad ab
即


1
，有
2
②
将②式代入①式，得关于 的一元二次方程 2 1 0
第二节 单因素优化实验设计
一、定义
实验中只有一个影响因素，或虽有多个影 响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影 响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验， 即为单因素实验。
二、步骤
1）确定实验范围
x：实验点 a＜x＜b
2）确定指标 3）根据实际情况及实验要求，选择实验方法， 科学安排实验点
例1 某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，作了如下初
对分法举例
• 例1：如火电厂冲灰水，当水膜除尘器中出来的酸性水进入冲 灰管以前，必须加碱调整pH=7~8，加碱量范围[a，b]，试确 定最佳投药量。因素是加碱量，指标是加药后pH。采用对分 法安排实验。
•
第一次加药量
x1

a
2
b
• i）若加药后水样pH＜7，加药范围中小于x1的范围可舍弃，新的实验范围
• 设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内只有一极 小点，为最佳实验点
(a)
a
(b)
a
1
λ β
c
β
d
e
f(c)
d
b
•f(c)<f(d)
•
以图a看，设区间[a，b]的长为1，在与点a相
距分别为β 、λ 的点处插入c、d两点，为确定β 、λ
的数值，提出如下条件：
1．c、d 两点在[a，b]中的位置是对称的。这样，无论删去哪一段，总是保留长
分析这三个数据，可以看出，y 值中间高两边低，形成一条抛物线。 可以用求出抛物线方程，再求导数找出极大值的方法寻找最佳温度，抛
物线方程式是： y=ax2+bx+c
有了这三组数据，就可以解出 a、b、c 三个数据，然后找出极大点，从 而得到对应的温度是：70.5℃。再用这个温度作实验,电解率高达 99.5℃, 一次成功！
排在新实验范围的 0.618 的位置上，另一个试验点 在新范围的 0.382 的位置上，但这一点恰巧在旧区 间已试的实验点上。
2．对分法（中点取点）
• 1）作法 每次实验点都取在实验范围的中点，即中
点取点法。 • 2）优点：每做一个实验就可去掉试验范围的
一半，且取点方便，试验次数大大减小，故效 果较好。 • 3）适用情况：适用于预先已了解所考察因素 对指标的影响规律，能从一个试验的结果直接 分析出该因素的值是取大了或取小了的情况， 即每做一次实验，根据结果就可确定下次实验 方向的情况，这无疑使对分法应用受到限制。
• ③根据“留好去坏”的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处 将实验范围去掉，从而缩小了实验范围；
•
④在新实验范围内按0.618、0.382的特殊位置再次安排实验点，
重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点。
3） 0.618法具体作法
x1=a+0.618（b-a） x2=a+0.382（b-a）
20
40
Baidu Nhomakorabea
50 55 60
3．黄金分割法（0.618法）
• 1）单峰函数（实验中指标函 数）
• 注：单峰函数不一定是光滑 的，甚至也不一定是连续的， 它只要求在定义区间内只有 一个“峰”。
• 函数的单峰性使我们可以根 据消去法原理逐步地缩小搜 索区间，已知其中包括了极 小点的区间，称为搜索区间。
2）0.618法（黄金分割法） 的构思
[x1，b]
，第二次加药量x2

x1
2
b
。
• 实验后再测加药后水样pH。根据pH大小再次取舍，直到得到满意结果。
•
ii）若加药后水样pH＞8，说明第一次实验碱加多了，舍弃加药
范围中大于x1的范围，取另一半重复实验，直至得到满意结果。
对分法举例
• 例2：称量质量为20~60g某种样品时， 第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏 轻，则可判断样品的质量为40~60g，于 是，第二次砝码的质量为50g，如果砝 码又偏轻，则可判断样品的质量为 50~60g，接下来砝码的质量为55g，如 此称下去，直到天平平衡为准。